玻尔原子理论

玻尔原子理论

玻尔理论提出的前夜

经典理论失足于原子尺度

1911年卢瑟福建立原子核式结构模型，表明原子由原子核与电子组成，而电子就像一群孩子一样围着火堆跳着圆圈舞，这火堆正是原子核。这一模型成功地解释了α粒子散射实验，但是一旦运用牛顿力学与经典电磁理论来仔细一下分析这一模型则会发现它与事实存在着很大的矛盾，是站不住脚的。如果按照经典电磁理论来推导，电子在绕核运动的过程中必将不断地辐射电磁波，电子也将因此不断损失能量最终坠落到原子核上，这样一来原子就必将是一个不稳定的结构。其次，辐射电磁波的频率应当等于电子绕核转动的频率，既然电子在损失能量的过程中就像坠落地球的陨石一样随着不断地靠近绕转频率做出连续性地变化，那么其辐射出的电磁波频率也应当是连续变化的。然而事实上，原子的结构是稳定的，并不会出现电子坠落到原子核上的现象，这是难以想象的，否则它也不会得到原子的称号，因为“原子”（atom）一词的原意就是“不可分”，而且观察表明原子辐射总是辐射具有特定频率的分立的光波（线光谱），一般不会出现不断改变的连续谱。

经典理论在原子的尺度上受到了挑战，而且这并不是说当时没能出现某个天才人物，能够运用已有的经典理论建立一个适用于原子内部的模型，而是只要运用经典理论就不可能得到合理的理论，无论理论的建立者是怎样的天才。打个不恰当的比喻，这看起来有点儿像阴沟里翻船，经典理论陷入原子的泥潭中难以抽身。但不论怎样，现在亟须建立起一个不同于经典理论的新理论，来描述在原子尺度上发生的奇怪现象。

复杂的氢原子光谱

且不谈古圣先贤们对于彩虹的研究和关于光谱的种种充满想象力的理论，在玻尔理论提出之前，至少是从牛顿开始，人们就已经积累了大量关于原子光谱的实验数据，尤其是在夫琅和费开拓性的发明了光柵之后。但这些全都是经验性的，如果谈及理论即使是对原子光谱了解得再多的科学家也是一句话都说不出来，当时确实是出现了一些理论，像巴尔末公式、瑞兹公式，但这些理论都只是对数据做出了解释与预言，并未解释为什么会出现光谱，就像玻尔常常说的：瑞兹理论求出的那些谱线到底实际上是否存在是一个“离奇莫测”的问题。而事实上氢原子作为自然界中最简单的原子，其谱线也被人们研究的最透彻，但其谱线的复杂程度是却人们没有料想到的，因此想要解决原子结构的问题，得先拿氢原子开刀。

玻尔原子理论的建立

玻尔的基本假设

玻尔的假设是在卢瑟福理论的基础上建立的，因此没有脱离卢瑟福的原子核式结构模型，在玻尔的理论当中，原子核依然是静止的，电子也绕核做圆周运动。但为了解决经典理论在解决原子问题上遇到的尴尬，玻尔提出了几点与经典力学和电磁学格格不入的假设。

首先，玻尔注意到原子光谱具有分立的波长这一事实，因而假设原子内的能量是分立存在的，以E1、E2、E3…等表示。又因为原子核是稳定的，所以他假设处于上述分立状态的原子是稳定的，而绕核转动的电子并不向外辐射电磁波，这些稳定的状态被称为定态。

于是玻尔就进一步假设只有当原子从一个一个定态跃迁到另一个定态的过程中才可能会吸收或发射光波。现假设有m和n两个定态，且E m>E n，则当处于m定态的原子要跃迁到n定态时，它就要失去一部分能量，而这部分能量以光波的形式放出；当处于n态的原子要跃迁到m态时就要吸收一定频率的光波来补充能量。而在这两个过程中吸收和放出的光波的频率ν与E m、E n存在下列关系

hν=E m-E n

其中h为普朗克常量。

运用玻尔原子理论解释氢原子光谱

玻尔在以上假设的基础上推导出了氢原子能级公式。

首先，记氢原子核外电子绕核运动的半径为r，则电子受到的库伦力作用为

(1)

其中Z为原子序数，对于氢原子来说，原子序数Z=1。而ε0为真空介电系数，ε0≈8.85×10﹣¹²F /m。根据牛顿定律，库仑引力应等于电子做圆周运动的向心加速度

(2)

其中v为电子绕核转动的线速度。所以电子的总能量就包含两方面：运动时产生的动能与在电场中的电势能

(3)

综合以上两式可的电子的总能量

或(4) 以上推导均限于经典理论。而为了与假设一致，得出分立的能量值，玻尔受到了普朗克量子理论的启发，提出电子的角动量是量子化的(电子受到的库仑力为有心力，角动量守恒)。由于普朗克常数 具有角动量的量纲，玻尔假设电子角动量等于 的整数倍

m e vr=nh /2πn=1,2,3 (5)

将其代入式（2），便可的到量子化的速度和半径

n=1,2, (6)

n=1,2, (7)

将v n代入（4）式可得：

n=1,2, (9)

这样便得到了符合玻尔假设的分立的能量值。

为了使式子得到简化，不妨引入一无量纲数

通过计算可这α=7.29735308×10﹣³约为1 /137.

现在即可将v n,r n以及E n分别表示为：

v n=αcZ /n n=1,2, (10)

10米其中a0称为玻尔半径，常做原子线度的标志，它的值等于0.529166×10-

（13）

E n为负值，所以当n=1时原子的能量最低，处于此状态被称为原子的基态。此状态下对应的v1，r1分别表示基态下电子的绕行速度和半径。对于氢原子来说

v1=αc (14)

r1=a0 (15)

E₁=﹣½m e c²α²(16)

玻尔的原子模型经过计算得出的数据与前人得出的实验测量符合得很好，由此证实了玻尔关于原子能级的假设。

利用波粒二象性推导玻尔模型

我们不妨换一个角度来看玻尔的原子理论。

首先，我们依旧假设电子绕原子核运动，并且在此过程中不辐射电磁波。那么根据德布罗意的理论，实物粒子如电子也具有波动性，不妨把它看成波长λ=h/mv的绕原子核运行的波，那么不难得出结论这样的波只能在周长为波长整数倍的圆轨道上存在，否则，在运行的过程中波峰和波谷势必会发生重叠，这样的波就不可能存在。

所以可以得出这样一个式子

n=1,2, (17)

由（2）式可知

(18)