第四章_运输问题
运筹学 运输问题
运筹学运输问题
运筹学是一门研究如何最优地规划和管理资源以实现预定目标的学科。
在运筹学中，运输问题是其中一个重要的应用领域。
运输问题主要关注如何有效地分配有限的资源到不同的需求点，以最小化总体运输成本或最大化资源利用效率。
这些资源可以是货物、人员或其他物资。
运输问题通常涉及到多个供应地点和多个需求地点之间的物流调度。
运输问题的目标是找到一种最佳的调度方案，使得满足所有需求的同时，总运输成本达到最小。
为了解决运输问题，可以采用线性规划、网络流和启发式算法等方法。
在运输问题中，需要确定以下要素：
1. 供应地点：确定从哪些地点提供资源，例如仓库或生产基地。
2. 需求地点：确定资源需要分配到哪些地点，例如客户或销售点。
3. 运输量：确定每个供应地点与需求地点之间的运输量。
4. 运输成本：确定不同供应地点与需求地点之间运输的成本，可以
包括距离、时间、燃料消耗等因素。
通过数学建模和优化技术，可以对这些要素进行量化和分析，以求得最佳的资源分配方案。
这样可以降低运输成本、提高物流效率，并且满足不同地点的需求。
总而言之，运输问题是运筹学中的一个重要领域，涉及到如何有效地规划和管理资源的物流调度。
通过数学建模和优化方法，可以找到最优的资源分配方案，从而实现成本最小化和效率最大化。
线性规划运输问题
第四章 运输问题Chapter 4Transportation Problem§4.1 运输问题的定义设有同一种货物从m 个发地1，2，…，m 运往n 个收地1，2，…，n 。
第i 个发地的供应量（Supply ）为s i （s i ≥0），第j 个收地的需求量（Demand ）为d j （d j ≥0）。
每单位货物从发地i 运到收地j 的运价为c ij 。
求一个使总运费最小的运输方案。
我们假定从任一发地到任一收地都有道路通行。
如果总供应量等于总需求量，这样的运输问题称为供求平衡的运输问题。
我们先只考虑这一类问题。
图4.1.1是运输问题的网络表示形式。
运输问题也可以用线性规划表示。
设x ij 为从发地i 运往收地j 的运量，则总运费最小的线性规划问题如下页所示。
运输问题线性规划变量个数为nm 个，每个变量与运输网络的一条边对应，所有的变量都是非负的。
约束个数为m+n 个，全部为等式约束。
前m 个约束是发地的供应量约束，后n 个约束是收地的需求量约束。
运输问题约束的特点是约束左边所有的系数都是0或1，而且每一列中恰有两个系数是1，其他都是0。
运输问题是一种线性规划问题，当然可以用第一章中的单纯形法求解。
但由于它有特殊的结构，因而有特殊的算法。
在本章中，我们将在单纯形法原理的基础上，根据运输问题的特点，给出特殊的算法。
图4.1x x x x x x x x x d x x x d x x x d x x x s x x x s x x x s x x x .t .s x c x c x c x c x c x c x c x c x c z min mn2m 1m n22221n11211n mnn 2n122m 221211m 2111m mn2m 1m 2n222211n11211mn mn 2m 2m 1m 1m n 2n 222222121n 1n 112121111≥=++=++=++=++=+++=++=+++++++++++++=在运输问题线性规划模型中，令X =（x 11，x 12，…，x 1n ，x 21，x 22，…，x 2n ，……，x m1，x m2，…，x mn ）TC =（c 11，c 12，…，c 1n ，c 21，c 22，…，c 2n ，……，c m1，c m2，…，c mn ）T A =[a 11，a 12，…，a 1n ，a 21，a 22，…，a 2n ，……，a m1，a m2，…，a mn ]T=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡行行n m 111111111111111111b =（s 1，s 2，…，s m ，d 1，d 2，…，d n ）T则运输问题的线性规划可以写成：min z=C TX s.t. AX =b X ≥0其中A 矩阵的列向量a ij =e i +e m+je i 和e m+j 是m+n 维单位向量，元素1分别在在第i 个分量和第m+j 个分量的位置上。
第四章 第四节 行李不正常运输
第四节行李不正常运输本节主要内容：一、一般规定二、迟运行李三、少收行李（重点）四、多收行李五、无人认领行李六、速运行李七、破损行李八、临时生活用品补偿费在行李运输过程中，除了正常运输外，经常会发生针对行李而产生的不正常运输。
本节将对行李的各种不正常运输进行详细阐述。
行李运输不正常是指在行李的运输过程中，由于承运人工作失误造成的行李运输差错或行李运输事故，如行李迟运、错运（少收、多收）、漏卸、错发、损坏、遗失等。
本文将针对其中的几类不正常运输情况进行详细阐述。
行李运输发生不正常情况时，应及时、迅速、认真、妥善地处理，尽量避免或减少因行李不正常运输造成的损失，挽回影响。
各个航空公司都有专门的处理行李不正常运输工作的部门，分为专门处理国际行李不正常运输的部门和国内行李不正常运输的部门，两个部门的代号分别是LN和LL。
同时，航空公司还设立专门的行李查询中心（代号LZ），以协助各地查询及处理本航空公司行李查询工作和行李赔偿工作。
一、迟运行李（DELAYED BAGGAGE）1、什么是迟运行李指本次航班在始发站应予载运而未能运出的行李。
一般指行李漏装或行李牌脱落不能辨认行李的目的地或由于飞机载量不足拉卸行李，而造成行李无法随旅客同机运出的情况。
迟运行李不包括旅客的逾重行李，由于飞机载量原因而被安排在后续航班运出的托运行李。
2、迟运行李的处理1）收到迟运行李的处理程序①在“迟运行李登记表”上编号、登记。
②安排后续航班和日期，并拍发行李运送电报给行李目的站或有关转运站，以使能在航班到达时及时通知旅客，避免不必要的查询。
③若由于行李牌脱落无法确定行李的目的站而造成迟运，向当日从本站起飞的所有航班和航班的中途站、目的站按多收行李（OHD）电报格式发报查询，在得到有关站的电报确认后，再将行李运出，运出前拍发行李运送电报。
④迟运行李运出前，应填写和栓挂速运行李牌（EXPEDITED），按运送电报的航班日期将迟运行李运往行李的到达站。
运筹学 第四章 运输问题
最小元素法 西北角法 沃格尔(Vogel)法
1。最小元素法 思想：优先满足运价（或运距）最小的供销业务。
表 3-2
销地
产地
B1
4
B2
12 10
B3
4 3
B4
11
产 量
A1
A2
A3
销 量
16
2
8
9
2 810
22
5
14
11
12 14
6
48
8
①
表 3-2
销地
产地
B1
4
B2
12 10
B3
4
B4
11
2．运输问题约束方程组的系数矩阵是一个只有0和1两个数值 的稀疏矩阵,其中1的总数为 2×m×n 个。
3、约束条件系数矩阵的每一列有两个非零元素，这对应于
每一个变量在前m个约束方程中出现一次，在后n个约束方
程中也出现一次
4、约束条件系数矩阵的秩是m+n-1。即运输问题的基变量总 数是m+n-1 证明：因A的前m行对应元素的和与后n行对应元素的和相等， 恰好都是： E1
故 [ xij ] 是一组可行解。
x
i 1 ij i 1
m
m
ai b j d
bj
a d
i 1
m
i
bj
又因 ai 0, b j 0. 所以
xij 0.
又因为总费用不会为负值（存在下界）。这说明，运输问题
既有可行解，又必然有下界存在，因此一定有最优解存在。
运输问题数学模型的特点
表 3-2
销地
产地
B1
4
x11
北交大交通运输学院《管理运筹学》知识点总结与例题讲解第4章 运输问题
第四章运输问题4.1 运输问题的数学模型4.1.1 运输问题的模型本章研究物资的运输调度问题，其典型情况是：设某种物品有m个产地，A1，A2，…，A m；各产地的产量分别是a1，a2，…，a m；有n个销地B1，B2，…，B n；各销地的销量分别是b1，b2，…，b n；假定从产地向销地运输单位物品的运价是c ij；问：怎样调运这些物品才能使总运费最小?设变量ij x为第i个产地运往第j个销地的产品数量。
为直观起见，可将产品产地、销地的产销量以及运输物品的单价为一个汇总表，如表4-1所示。
表4-11A2A1B2BmAnB"#11c12c1n c2ncmnc2mc1mc21c22c11x12x1n x21x22x2n x1mx2m x mn x1a2ama1b2b n b"#如果运输问题的总产量等于其总销量，即有∑∑===njjmiiba11(4-1)则称该运输问题为产销平衡运输问题；反之，称为产销不平衡运输问题。
产销平衡运输问题的数学模型可表示如下：m nij iji1i1nij ij1mij ji1ijmin z c xx a,i1,2,,mx b,j1,2,,nx0,i1,2,,m,j1,2,,n=====⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩≥==∑∑∑∑""""目标函数约束条件决策变量(4-2)其中，约束条件右侧常数a i，和b j，满足总量平衡条件。
在模型(4-2)中，目标函数表示运输总费用极小化；约束条件前m个约束条件的意义是：由某一产地运往各个销地的物品数量之和等于该产地的产量；中间n个约束条件是指由各产地运往某一销地的物品数量之和等于该销地的销量；后m×n个约束条件为变量非负条件。
运输问题模型是线性规划问题特例。
因而可用单纯形法求解，但是，需要引进很多个人工变量，计算量大而复杂。
应该寻求更简便的、更好的解法。
例4.1某公司经销甲产品。
运筹学-第四章-运输问题和指派问题 PPT课件
A1 A2 A3 销量
B1
B2
B3
B4
1
32
11 4 3
3 10
3 1 3 9 1 2 -1 8
4
7
6 4 12 10 3 5
3
6
5
6
产量
7 4 9 20
检验数<0表示：例如（A2,B4）如果增加A2到B4的1单位产 品，将会降低1单位的运费，所以，该解不是最优解。
13
解的改进
（1）以 xij 为换入变量，找出它在运输表中的闭回路；
B2 4 11 29
4
6
B3 3
22
3 10
5
B4 产量 10 7
8
4
65
9
5
6
20
求平衡运输问题初始解方法—西北角方法
西
B1
B2
B3
B4 产量
北 角
A1 3
34
11
3
10 7
方
A2
12
92
2
8
4
法
A3
7
43
10 6 5
9
初 始
需求量
3
6
5
6
20
解
x11 3, x12 4, x22 2, x23 2, x33 3, x34 6
min cij xij
s.t.
n
xij si
j 1
m
xij d j
i 1
xij 0
目标函数
n表示物资的n个销地 m表示物资的m个产地
供给约束
需求约束
非负约束
18
问题分析
决策变量 目标函数 约束条件：产量约束、销量约束、非负
第四章 运输问题习题课
产量
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ
销量
x12 x13 10.95 11.10
x22 11.10
M M
x23 11.25
x33 11.00
M
x24 11.40
x34 11.15 x44 11.3 15 20 5
5
25 0 15 35 30 30 5 10 25 35 30 10
10
10
15
15
25
0
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ
x33 11.00
M
x14 11.25
11.40 x24
x34 11.15
11.3 x44
10
15
25
20
x0 15 x0 25 x0 35 x0 45 30
25 35 30 10
销地
产地
Ⅰ x11 10.8
M M M
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ x14 11.25
D x0 15 x0 25 x0 35 x0 45 30
A C D F 每天缺少船只 2 14 7 1 A C D F 每天缺少船只 1
B 3 13 8 1 B 1
E 5 17 3 3 E 1 1 1 3
每天多余船只 2 2 1 每天多于船只 2 2 1
1
1
最少调度用空船数为: 2×1+5×1 +13×1 +17×1+3×1=40（条）
销量
25
5 10
10
15
25
20
30
销地
产地
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
D
u
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ
v
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ
销量
0 10.80 10.95 11.10 11.25 0 M 11.10 11.25 11.40 0 0.15 M M 11.00 11.15 0 -0.10 M M M 11.30 0 0.05 10.80 10.95 11.10 11.25 -0.15 / 10 15 0 0 25 0 0 5 30 35 / 25 5 30 / / / / 10 10 / / / 10 15 25 20 30
物流法律法规知识第4章运输法律法规
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4．1 物流运输中的法律关系概论
2）按运输是否需要中转，可以分为直达运输和联合运输， 后者又有单式联运和多式联运两种类型。
（1）直达运输。 所谓直达运输是指物品由发运地到接收地，中途不
需要换装和在储存场所停滞的一种运输方式。直达运输 是追求运输合理化的重要形式，由于减少中转过载换载， 从而提高运输速度，省却装卸费用，降低中转货损。此 外，在生产资料、生活资料运输中，通过直达，建立稳 定的产销关系和运输系统，也有利于提高运输的计划水 平和运输效率。
18
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4．1 物流运输中的法律关系概论
（2）一般写有格式条款。 格式合同或是具有格式条款的合同指一方当事人为
了重复使用而预先拟定好内容，并在订立合同时未与对 方协商的合同或合同条款。
运输合同中的承运人为了简化手续，提高交易效率， 常常以统一的货运单或者提单记载主要运输条款，经客 户填写并经双方签字作为运输合同的一部分或作为对运 输合同确认的证据。 （3）合同效力常常涉及第三人。
16
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4．1 物流运输中的法律关系概论
两类主体提供运输服务的不同在于第二类主体还必 须通过与具备运输资质的人签订运输合同或者向其租用 运输工具才能完成相应的运输任务。
由此看出，发生在运输当事人之间的法律关系主要 是运输合同关系，但又不局限于运输合同关系，还可能 有租赁关系等。这些法律关系从其性质而言，均是一种 民事法律关系，受到我国民事法律法规的调整，但已经 有相应国际惯例或者我国已加入了相应的国际条约时， 则首先要遵守这些国际规则的规定。
第四章 运输法律法规
4．1 物流运输中的法律关系概论 4．2 陆上货物运输中的法律关系 4．3 水路货物运输中的法律关系 4．4 航空货物运输中的法律关系 4．5 几种特殊运输中的法律关系
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m
n
n xij ai , i 1,....,m j 1 m xij b j , j 1,...,n i 1 xij 0
这就是运输问题的数学模型。
第10页
如果运输问题中，总产量不等于总销量，即有
a
i 1
m
i
bj
j 1
5）按最小元素法进行。 伏格尔法给出的初始解比最小元素法更接近最优解。
第31页
例：
销地 产地 A1
B1 3 B2 11 B3 3 B4 10 产量
7
A2
13
销量 3
7
4
10
5
9
6
5
6
第32页
解：问题为一产销平衡问题。 计算各产地和销地的差值（罚数）：
销地 产地 A1 B1 B2 B3 B4 产量
去的一行或一列中选取某个空格填入数字 0 。 此时表示问题出现了退化现象。
第34页
例：
销地 产地 A1 B1 3 B2 11 B3 4 B4 5 产量 7
A2
7
7
3
8
4
A3 销量 3
1
2
10
6
9
6
5
6
第35页
解：最小元素法。
销地 产地 A1 B1 3 B2 B3 B4 产量 5 6 3 4 1 A3 3 6 2 10 6 6 9 8 7 6
m行
n行
第17页
特点 2 ：必有有限最优解。
证明：设
a b
i 1 i j 1
m
n
j
Q
令变量 xij
n n
ai b j Q
, i 1,...,m; j 1,...,n
xij
j 1 j 1
ai b j
ai n ai b j Q ai Q Q j 1 Q
第39页
Pij=
如果变量组
x
ij
, xik , xlk , xls ,...,xus , xuj 组成一
闭回路，则这组闭回路中变量的系数列向量满足如 下关系：
P ij P ik P lk P ls ... P us P uj 0
从而由线性相关的定义可知：
P , P , P , P ,...,P
1. 最小元素法
思路：优先考虑具有最小运价的供销业务。
步骤： 1）对所有 i 和 j ，找出 ci0 j0 min(cij ) ，并将
xi0 j0 min(ai0 , b j0 )
的物资量由 Ai0 供应给 B j0 ；
第24页
2）若 xi0 j0 ai0 ，则产地 Ai0 的可供物品已用完（划
第37页
性质 1 构成闭回路的变量组如下
x
ij
, xik , xlk , xls ,...,xus , xuj
其对应的列向量为
P , P , P , P ,...,P
ij ik lk ls
us
,P uj
是线性相关的。
第38页
证明：运输问题中，变量 xij 的系数列向量为
0 1(第i行 ) 0 （ 第m j行 ） 1 0
第18页
x
i 1
m
ij
i 1
m
ai b j Q
bj
a Q
i 1
m
i
bj Q
Q bj
xij
ai b j Q
满足所有约束条件。
又因为 xij
ai b j Q
0
xij
ai b j Q
, i 1,...,m; j 1,...,n 为可行解。
第19页
由此可知：产销平衡的运输问题，存在可行解。
cm2 b2
cmn
xmn
销量
b1
…
bn
销地销量
第 8页
如果运输问题中，总产量等于总销量，即有
a
i 1
m
i
bj
j 1
n
则称为产销平衡运输问题。
第 9页
若用 xij 表示从 Ai 到 Bj 的运量，要得出总运费最小 的调运方案，可建立如下数学模型：
m inz cij xij
i 1 j 1
11 0
1 7
4
A2
7
4
销量
3
6
1 5
6
第36页
二、最优解的判别
介绍两种求空格（空格对应着非基变量）检验数的 方法： 1. 闭回路法（cycle method） （1）关于闭回路的基本理论 定义：凡能排成 xi1 j1 , xi1 j2 , xi2 j2 , xi2 j3 ,..., xis js , xis j1 形式的变量的集合称为一个闭回路。
并同时划去一行和一列。
最小元素法的缺点：按某一最小运价优先安排物品调 运时，可能导致其他供销点对之间运费很高，从而使 得总运费很高。
第26页
例：
销地 产地 A1 B1 B2 B3 B4 产量
3
11
3
10
7
A2
1
9
2
8
4
A3 销量 3
7
4
10
5
9
6
5
6
第27页
解：判断：问题为一产销平衡问题。
销地 产地
n
称为产销不平衡运输问题。
第11页
三、运输问题数学模型的特点
1、有 m×n 个变量。
2、（m + n）个约束条件，且都为等式。
3、其系数矩阵为：
第12页
x11 x12 ... x1n x 21 x 22 ... x 2 n ... x m1 x m 2 ... x mn 1 1 1 ... 1 1 1 ... 1 1 1 ... 1 1 ... 1 1 1 1 1 ... ... 1 1
第三节 产销不平衡的运输问题 第四节 应用举例
第 4页
第一节 运输问题的数学模型
一般线性规划问题的求解方法：单纯形法。 实际工作当中，往往有些线性规划问题，它们的 约束方程组的系数矩阵具有特殊的结构，这就有 可能找到比单纯形法更为简便的求解方法。
运输问题就属于这样一类特殊的线性规划问题。
行差值
3
11
5
3
2 1 3
6 2 3 2 3 0
10
2 7 1 4
7 0
A2
3
1
9
2
8
1 6 0
A3
销量
7
6
6 5
4
10
5
9 3
2 1
3 2
5 1
列差值
第33页
3. 值得注意的问题 确定初始基可行解时，若在(i, j)填入数字时（不是最 后一个数字格），出现 Ai 处的余量 = Bj 处的余量，
则在填入该数字后，同时划去一行和一列，并在所划
第14页
4、对于产销平衡的运输问题： 特点 1：模型中最多只有m+n-1个约束条件方程独立。 证明： 前m个约束条件方程之和为： xij ai 后n个约束条件方程之和为： xij b j 而，
i 1 j 1 n m j 1 i 1 i 1 n j 1 m n m
3、掌握运输问题的求解（重点和难点）：
表上作业法（单纯形法）及其步骤； 初始基可行解的确定：最小元素法和伏格尔法。 检验数的计算方法：位势法和闭回路法及最优解的判别。 闭回路调整法。
4、掌握退化解的处理。 5、理解产销不平衡时的求解。
第一节 运输问题的数学模型 第二节 表上作业法
第 5页
一、运输问题的提出
经济建设中，经常碰到大宗物资调运问题：利用现有
的交通运输网络，将煤炭、钢铁、木材、粮食等物资
，从生产地运往消费地，使得总运费最小。
第 6页
二、运输问题的数学模型
用数学语言对上述问题进行描述： 1. 有 m个生产地 Ai ：i=1,2,…,m；供应量分别为：ai， i=1,2,…,m；
中不含闭回路。
证明：略。
第41页
推论 1 若 Pi1 j1 , Pi2 j2 , Pi3 j3 , Pi4 j4 ,..., Pis js
线性相
关，则 xi1 j1 , xi2 j2 , xi3 j3 , xi4 j4 ,..., xis js 中必含闭回路。
表上作业法的步骤： 1. 找出初始基可行解：在（m×n）产销平衡表中给
出（m+n-1）个数字格；
第22页
2. 求非基变量的检验数：在表上计算空格的检验数， 判别是否达到最优解；
3. 确定换入变量和换出变量，找出新的基可行解： 在表上用闭回路法调整；
4. 重复2、3直到最优解为止。
第23页
一、确定初始基可行解(初始调运方案)
则不按最小运价安排运输时造成的运费损失也小。
第29页
思路：优先考虑罚数大的产地或销地，并按最小
运费安排调运。 步骤： 1）计算每一行和每一列的次小运价和最小运价的 差值，并称为行罚数和列罚数； 2）将算出的行罚数填入表中右侧的行罚数栏；
第30页
3）将算出的列罚数填入表中下边的列罚数栏； 4）从行罚数和列罚数中选出最大者，并选择它所在 行或列中的最小元素；
m行
--- ++
n行
第16页
x11 x12 ... x1n x 21 x 22 ... x 2 n ... x m 1 xm 2 ...x mn 1 1 1 1 0 0 ... 1 1 1 ... 1 1 1 ... ... 0 0 0 ... ... 0 0 1 1 1 1 0 0 ... 1 ... ... 0