2021学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.2.1.2函数的最大(小)值课时作业新人教A版必修第一册
新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.2.1单调性与最大小值2学案含解析新人教A版必修第一册
学习资料新教材高中数学第三章函数的概念与性质 3.2.1单调性与最大小值2学案含解析新人教A版必修第一册班级：科目：3．2。
1 单调性与最大(小）值(2)内容标准学科素养1.理解函数的最大(最小）值及几何意义．直观想象逻辑推理、数学运算2。
利用单调性求最值、比较大小、解不等式.授课提示：对应学生用书第39页［教材提炼］知识点函数的最值预习教材思考问题（1)函数f(x）＝x2图象的最低点的纵坐标是多少？（2）函数f(x）＝－x2图象的最高点的纵坐标是多少？知识梳理最大值最小值条件一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I,都有f(x)≤M f（x）≥M存在x0∈I，使得f(x0）＝M结论称M是函数y＝f(x)的最大值称M是函数y＝f（x)的最小值几何意义f(x）图象上最高点的纵坐标f（x)图象上最低点的纵坐标[自主检测］1．函数f(x)＝－2x＋1(x∈［－2,2］）的最小、最大值分别为(）A．3、5B．－3、5C．1、5 D．－5、3答案：B2．函数f（x)在[－2，＋∞）上的图象如图所示,则此函数的最大、最小值分别为()A．3、0 B．3、1C．3、无最小值D．3、－2答案：C3．函数y＝2x2＋2,x∈N*的最小值是________．答案：4授课提示：对应学生用书第40页探究一利用图象法求函数的最值［例1］已知函数f（x）＝错误!求函数f(x）的最大值、最小值．［解析］作出f(x)的图象如图:由图象可知，当x＝2时，f(x)取最大值为2；当x＝错误!时，f（x)取最小值为－错误!. 所以f(x)的最大值为2，最小值为－错误!.用图象法求最值的三个步骤已知函数f(x）＝错误!（x∈[2,6］)，求函数的最大值和最小值．解析：由函数f(x）＝错误!(x∈［2，6])的图象（如图所示）可知，函数f（x）＝错误!在区间［2,6]上单调递减．所以，函数f(x)＝2x－1在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值和最小值．y max＝f(2）＝2，y min＝f（6)＝错误!。
新教材高中数学第3章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大(小)值第2课时函数的最大(小)
新教材高中数学第3章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大（小）值第2课时函数的最大（小）值课后课时精练新人教A 版必修第一册A 级：“四基”巩固训练一、选择题 1．已知函数f (x )＝2x －1(x ∈[2,6])，则函数的最大值为( ) A ．0.4 B ．1 C ．2 D ．2.5 答案 C解析 ∵函数f (x )＝2x －1在[2,6]上单调递减，∴f (x )max ＝f (2)＝22－1＝2. 2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6，x ∈[1，2]，x ＋7，x ∈[－1，1)，则f (x )的最大值、最小值分别为( )A ．10,6B ．10,8C ．8,6D ．以上都不对答案 A解析 当1≤x ≤2时，8≤2x ＋6≤10，当－1≤x <1时，6≤x ＋7＜8.∴f (x )min ＝f (－1)＝6，f (x )max ＝f (2)＝10.故选A.3．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．[0,2] C ．(－∞，2] D ．[1,2]答案 D解析 由y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2知，当x ＝1时，y 的最小值为2，当y ＝3时，x 2－2x ＋3＝3，解得x ＝0或x ＝2.由y ＝x 2－2x ＋3的图象知，当m ∈[1,2]时，能保证y 的最大值为3，最小值为2.4．当0≤x ≤2时，a ＜－x 2＋2x 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．(－∞，0] C ．(－∞，0) D ．(0，＋∞)答案 C解析 令f (x )＝－x 2＋2x ，则f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1.又∵x ∈[0,2]，∴f (x )min＝f (0)＝f (2)＝0.∴a <0.5．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 答案 C解析 因为f (x )＝－(x 2－4x ＋4)＋a ＋4＝－(x －2)2＋4＋a ，所以函数f (x )图象的对称轴为x ＝2.又因为函数图象开口向下，所以f (x )在[0,1]上单调递增．又因为f (x )min ＝－2，所以f (0)＝－2，即a ＝－2.所以f (x )max ＝f (1)＝－1＋4－2＝1.二、填空题6．设函数y ＝f (x )的定义域为[－4,6]，且在区间[－4，－2]上单调递减，在区间[－2,6]上单调递增，且f (－4)<f (6)，则函数f (x )的最小值是________，最大值是________．答案 f (－2) f (6)解析 函数y ＝f (x )在[－4,6]上的图象的变化趋势大致如图所示，观察可知f (x )min ＝f (－2)．又由题意可知f (－4)<f (6)，故f (x )max ＝f (6)．7．函数f (x )＝1x 在[1，b ](b >1)上的最小值是14，则b ＝________.答案 4解析 因为f (x )＝1x 在[1，b ]上单调递减，所以f (x )在[1，b ]上的最小值为f (b )＝1b ＝14，所以b ＝4.8．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为______(m)．答案 20解析 设矩形花园的宽为y m ， 则x40＝40－y 40，即y ＝40－x ，矩形花园的面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400，当x ＝20时，面积最大．三、解答题9．求下列函数的最值．(1)函数y ＝x ＋x －1(x ≥1)的最小值； (2)函数y ＝2x 2－2x ＋3x 2－x ＋1的最大值．解 (1)解法一：令t ＝x －1，且t ≥0，则x ＝t 2＋1， 所以原函数变为y ＝t 2＋1＋t ，t ≥0.配方得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34，又因为t ≥0，所以y ≥14＋34＝1.故函数y ＝x ＋x －1的最小值为1.解法二：因为函数y ＝x 和y ＝x －1(x ≥1)均为增函数，故函数y ＝x ＋x －1(x ≥1)为增函数，所以当x ＝1时y 取得最小值，即y min ＝1.(2)y ＝2x 2－2x ＋3x 2－x ＋1＝2(x 2－x ＋1)＋1x 2－x ＋1＝2＋1x 2－x ＋1＝2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34. 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，所以2<2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≤2＋43＝103.故函数的最大值为103.10．已知函数f (x )＝ax ＋1a(1－x )(a >0)，且f (x )在[0,1]上的最小值为g (a )，求g (a )的最大值．解 f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫a －1a x ＋1a，当a >1时，a －1a>0，此时f (x )在[0,1]上单调递增，∴g (a )＝f (0)＝1a；当0<a <1时，a －1a<0，此时f (x )在[0,1]上单调递减，∴g (a )＝f (1)＝a ；当a ＝1时，f (x )＝1，此时g (a )＝1.∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，0<a <1，1a，a ≥1，∴g (a )在(0,1)上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减， 又a ＝1时，有a ＝1a＝1，∴当a ＝1时，g (a )取最大值1.B 级：“四能”提升训练1．已知函数f (x )对任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上单调递减； (2)求f (x )在[－3,3]上的最小值． 解 (1)证明：∀x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2， 则x 2－x 1>0，因为x >0时，f (x )<0， 所以f (x 2－x 1)<0. 又因为x 2＝(x 2－x 1)＋x 1，所以f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)， 所以f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)<0， 所以f (x 2)<f (x 1)． 所以f (x )在R 上单调递减． (2)由(1)可知f (x )在R 上单调递减， 所以f (x )在[－3,3]上也单调递减， 所以f (x )在[－3,3]上的最小值为f (3)．而f (3)＝f (1)＋f (2)＝3f (1)＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－2. 所以函数f (x )在[－3,3]上的最小值是－2.2．某公司生产某种产品投入固定资金20万元，以后生产x 万件产品需再投入可变资金a (x 2－1)万元，收入为R (x )万元，其中R (x )＝160x －3.8x 2－1480.2.已知当生产10万件产品时，投入生产资金可达到39.8万元．(1)判断生产每件产品所需可变资金函数的单调性；(2)求计划生产多少件产品时，利润最大？最大利润是多少万元？ 解 (1)生产x 万件产品所投入资金共有y ＝20＋a (x 2－1)万元，当x ＝10时，y ＝39.8，解得a ＝0.2. 生产每件产品所需可变资金函数为f (x )＝110000×a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝110000×0.2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ， 设x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝110000×0.2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1x 1－110000×0.2⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x 2＝110000×0.2(x 1－x 2)－110000×0.2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝110000×0.2⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x 1－x 2)＋x 1－x 2x 1x 2＝110000×0.2(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1x 2，因为x 1>x 2>0，所以110000×0.2(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1x 2>0， 故生产每件产品所需可变资金函数f (x )＝110000×0.2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 为单调递增函数．(2)设利润为L (x )万元，则L (x )＝R (x )－20－0.2(x 2－1)＝160x －3.8x 2－1480.2－20－0.2(x 2－1)＝160x －4x 2－1500＝－4(x －20)2＋100，所以当生产20万件产品时利润最大，最大利润为100万元．。
新教材高中数学第三章函数的概念与性质单调性与最大小值第1课时函数的单调性课件新人教A版必修第一册
所以 f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)． 所以函数 f(x)＝x2－1x在区间(0，＋∞)上是增函数． (2)设 x1，x2 是 R 上的任意两个实数，且 x1＜x2，则 x2－x1＞0， 而 f(x2)－f(x1)＝(x32＋x2)－(x31＋x1) ＝(x2－x1)(x22＋x2x1＋x21)＋(x2－x1) ＝(x2－x1)(x22＋x2x1＋x21＋1) ＝(x2－x1)x2＋x212＋34x21＋1.
答案 C 解析 f(x)＝|x|的递增区间是[0，＋∞)，g(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1 的递增区间为(－∞，1]．
7．函数 f(x)＝x－2－x21，，x<x≥0 0， 的单调区间为(
)
A．(－∞，0)，[0，＋∞) B．(－∞，0)
C．[0，＋∞)
D．(－∞，＋∞)
答案 A
解析 函数 f(x)的大致图象如图所示．由图可知函数 f(x)的单调区间为 (－∞，0)，[0，＋∞)．
∴(－∞，－3]是 y＝－12 x2＋2x－3的单调递增区间． 故所求函数的单调递减区间为[1，＋∞)．
9．已知函数 f(x)＝8＋2x－x2，g(x)＝f(2－x2)，试求 g(x)的单调区间． 解 令 u(x)＝2－x2，则 u(x)在(－∞，0]上为增函数，在[0，＋∞)上为 减函数，且 u(0)＝2. f(x)＝8＋2x－x2＝－(x－1)2＋9 在(－∞，1]上为增函数， 在[1，＋∞)上为减函数． 令－x2＋2＝1，则 x＝±1. ∴当 x∈(－∞，－1]时，u(x)为增函数，值域为(－∞，1]，且 f(x)在(－ ∞，1]上也为增函数． ∴g(x)在(－∞，－1]上为增函数．
4．(多选)下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是( )
新教材高中数学第3章函数概念与性质3.2.1单调性与最大(小)值课件
(4)任何函数都有最大(小)值.( × )
(5)函数f(x)在区间[a,b]上的最值一定是f(a)(或f(b)).( × )
合作探究·释疑解惑
探究一 证明函数的单调性
【例 1】 求证:函数 f(x)= 在区间(0,+∞)内单调递减.
证明:设∀x1,x2∈(0,+∞),且 x1<x2,
函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)
的单调区间.
3.做一做:下列函数中,在区间(0,+∞)内单调递增的是(
A.y=-2x
B.y=(x-1)2
C.y=+
D.y=|x+2|
解析:y=-2x 在区间(0,+∞)内单调递减,A 错;
y=(x-1)2 在区间(0,+∞)内先减后增,B 错;
)
A.(-∞,4] B.(-∞,4)
C.[4,+∞) D.(4,+∞)
解析:若函数f(x)=2x2-ax+5在区间[1,+∞)内单调递增,则其图
象的对称轴应满足 ≤1 ,所以a≤4.
答案:A
(2)f(x)在R上单调递增;g(x)在区间(-∞,0)内单调递减,在区间
(0,+∞)内单调递增;h(x)在区间(0,+∞)内单调递减.
2.填空:
最大值
最小值
一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足
条 件 ∀x∈I,都有 f(x)≤M
∀x∈I,都有 f(x)≥M
∃x0∈I,使得 f(x0)=M
(3)函数f(x)的定义域为R,
新教材高中数学第3章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大(小)值第2课时函数的最大(小)
新教材高中数学第3章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大（小）值第2课时函数的最大（小）值教学案新人教A 版必修第一册第2课时 函数的最大(小)值(教师独具内容)课程标准：1.理解函数最大(小)值的含义并会用符号语言表达函数的最大(小)值.2.会求简单函数的最大(小)值.3.会运用函数的图象理解和研究函数的最值．教学重点：1.函数最大(小)值的含义及其几何意义.2.求一些简单函数的最值． 教学难点：求较复杂函数的最值.【知识导学】知识点一 函数的最大值(1)定义：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①∀x ∈I ，都有□01f (x )≤M ； ②∃x 0∈I ，使得□02f (x 0)＝M . 那么，称M 是函数y ＝f (x )的最大值．(2)几何意义：函数y ＝f (x )的最大值是图象□03最高点的纵坐标． 知识点二 函数的最小值(1)定义：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①∀x ∈I ，都有□01f (x )≥M ； ②∃x 0∈I ，使得□02f (x 0)＝M . 那么，称M 是函数y ＝f (x )的最小值．(2)几何意义：函数y ＝f (x )的最小值是图象□03最低点的纵坐标． 【新知拓展】(1)并不是每一个函数都有最值，如函数y ＝1x，既没有最大值，也没有最小值．(2)有些函数只有最大(小)值，没有最小(大)值，如函数y ＝－x 2(y ＝x 2)． (3)特别地，对于常函数f (x )＝C ，它的最大值和最小值都是C .1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何函数都有最大值或最小值．( ) (2)函数的最小值一定比最大值小．( )(3)若函数y ＝f (x )有最大值，则这个最大值唯一．( )(4)若函数y ＝f (x )的最大值是M ，则使f (x 0)＝M 的x 0是唯一的．( )(5)对于函数y ＝f (x )，如果它的函数值都不小于3，那么该函数的最小值是3.( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)函数f (x )＝x 2在[0,1]上的最大值是________．(2)函数y ＝1x在[2,6]上的最大值与最小值之和等于________．(3)函数y ＝2x 2＋2，x ∈N *的最小值是________． 答案 (1)1 (2)23 (3)4题型一 利用图象求函数最值例1 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1x，x >1.求f (x )的最大值、最小值；(2)画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x，x ∈(－∞，0)，x 2＋2x －1，x ∈[0，＋∞)的图象，并写出函数的单调区间，函数的最小值．[解] (1)作出函数f (x )的图象(如图)．由图象可知，当x ＝±1时，f (x )取最大值为f (±1)＝1；当x ＝0时，f (x )取最小值f (0)＝0，故f (x )的最大值为1，最小值为0. (2)f (x )的图象如图所示，f (x )的单调递增区间是(－∞，0)和[0，＋∞)，函数的最小值为f (0)＝－1.金版点睛图象法求最值的一般步骤[跟踪训练1] 求函数y ＝|x ＋1|－|x －2|的最大值和最小值．解 y ＝|x ＋1|－|x －2| ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x ≥2，2x －1，－1<x <2，－3，x ≤－1.作出函数的图象，如图所示．由图可知，y ∈[－3,3]．所以函数的最大值为3，最小值为－3. 题型二 利用单调性求函数最值例2 求函数f (x )＝x ＋4x在x ∈[1,3]上的最大值与最小值．[解] 设1≤x 1＜x 2≤3，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－x 2＋4x 1－4x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4x 1x 2.又因为x 1<x 2，所以x 1－x 2<0. 当1≤x 1＜x 2≤2时，1－4x 1x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)>0， 所以f (x )在[1,2]上单调递减．当2<x 1<x 2≤3时，1－4x 1x 2>0，所以f (x 1)－f (x 2)<0.所以f (x )在(2,3]上单调递增． 所以f (x )的最小值为f (2)＝2＋42＝4.又因为f (1)＝5，f (3)＝3＋43＝133<f (1)，所以f (x )的最大值为5. 金版点睛利用单调性求函数最值(1)利用函数的单调性求函数最值是常用方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性几乎成为首选方法．(2)注意对问题中求最值的区间与函数的单调区间之间的关系进行辨析；注意对问题中求最值的区间的端点值的取舍．[跟踪训练2] 求函数y ＝x 2x －3在区间[1,2]上的最大值和最小值．解 令f (x )＝x 2x －3，∀x 1，x 2∈[1,2]，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 21x 1－3－x 22x 2－3＝x 21x 2－3x 21－x 1x 22＋3x 22(x 1－3)(x 2－3)＝(x 2－x 1)[3(x 1＋x 2)－x 1x 2](x 1－3)(x 2－3)，因为1≤x 1＜x 2≤2， 所以2<x 1＋x 2<4，即6<3(x 1＋x 2)＜12，又1<x 1x 2<4，x 2－x 1>0， 故f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以函数y ＝x 2x －3在区间[1,2]上单调递减，所以y max ＝f (1)＝－12，y min ＝f (2)＝－4.题型三 求二次函数的最值例3 (1)已知函数f (x )＝x 2－2x －3，若x ∈[0,2]，求函数f (x )的最值； (2)已知函数f (x )＝x 2－2x －3，若x ∈[t ，t ＋2]，求函数f (x )的最值；(3)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2，x ∈[－1,1]，求函数f (x )的最小值； (4)已知函数f (x )＝x －2x －3，求函数f (x )的最值．[解] (1)∵函数f (x )＝x 2－2x －3图象的开口向上，对称轴x ＝1， ∴f (x )在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，且f (0)＝f (2)． ∴f (x )max ＝f (0)＝f (2)＝－3，f (x )min ＝f (1)＝－4.(2)由(1)知对称轴x ＝1， ①当1≥t ＋2即t ≤－1时，f (x )max ＝f (t )＝t 2－2t －3， f (x )min ＝f (t ＋2)＝t 2＋2t －3.②当t ＋t ＋22≤1<t ＋2，即－1<t ≤0时，f (x )max ＝f (t )＝t 2－2t －3， f (x )min ＝f (1)＝－4.③当t ≤1<t ＋t ＋22，即0<t ≤1时，f (x )max ＝f (t ＋2)＝t 2＋2t －3， f (x )min ＝f (1)＝－4.④当1<t ，即t >1时，f (x )max ＝f (t ＋2)＝t 2＋2t －3， f (x )min ＝f (t )＝t 2－2t －3.设函数最大值为g (t )，最小值为φ(t )，则有g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t －3，t ≤0，t 2＋2t －3，t >0，φ(t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋2t －3，t ≤－1，－4，－1<t ≤1，t 2－2t －3，t >1.(3)f (x )＝x 2－2ax ＋2＝(x －a )2＋2－a 2的图象开口向上，且对称轴为直线x ＝a .当a ≥1时，函数图象如图①所示，函数f (x )在区间[－1,1]上单调递减，最小值为f (1)＝3－2a ；当－1＜a ＜1时，函数图象如图②所示，函数f (x )在区间[－1,1]上先单调递减后单调递增，最小值为f (a )＝2－a 2；当a ≤－1时，函数图象如图③所示，函数f (x )在区间[－1,1]上单调递增，最小值为f (－1)＝3＋2a .(4)设x ＝t (t ≥0)，则x －2x －3＝t 2－2t －3.∵y ＝t 2－2t －3(t ≥0)在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增， ∴当t ＝1，即x ＝1时，f (x )min ＝－4，无最大值． 金版点睛二次函数最值的求法(1)探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y ＝f (x )的草图，然后根据图象判断函数的单调性．对于“定对称轴变区间”“变对称轴定区间”的情况，特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．(2)二次函数图象的对称轴与定义域区间的位置通常有三种关系：①对称轴在定义域的右侧；②对称轴在定义域的左侧；③对称轴在定义域区间内．(3)对某些函数，可通过换元，转化为二次函数，如函数f (x )＝x －2x －3.[跟踪训练3] (1)已知函数f (x )＝x 4－2x 2－3，求函数f (x )的最值； (2)求二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在[2,4]上的最小值； (3)求函数f (x )＝x 2－2x ＋2在区间[t ，t ＋1]上的最小值g (t )． 解 (1)设x 2＝t (t ≥0)，则x 4－2x 2－3＝t 2－2t －3.令y ＝t 2－2t －3(t ≥0)在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增． ∴当t ＝1，即x ＝±1时，f (x )min ＝－4，无最大值． (2)∵函数图象的对称轴是x ＝a ， ∴当a <2时，f (x )在[2,4]上单调递增， ∴f (x )min ＝f (2)＝6－4a .当a >4时，f (x )在[2,4]上单调递减， ∴f (x )min ＝f (4)＝18－8a .当2≤a ≤4时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2. ∴f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧6－4a ，a <2，2－a 2，2≤a ≤4，18－8a ，a >4.(3)f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，对称轴为x ＝1.当t ＋1<1，即t <0时，函数图象如图①所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，∴最小值为g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋1；当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，函数图象如图②所示，最小值为g (t )＝f (1)＝1； 当t >1时，函数图象如图③所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递增，∴最小值为g (t )＝f (t )＝t 2－2t ＋2.综上可得，g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1，t <0，1，0≤t ≤1，t 2－2t ＋2，t >1.题型四 应用题中的最值问题例4 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80000，x >400，其中x 是仪器的月产量(单位：台)．(1)将利润表示为关于月产量的函数f (x )；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)[解] (1)月产量为x 台，则总成本为(20000＋100x )元， 从而f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋300x －20000，0≤x ≤400，60000－100x ，x >400.(2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12(x －300)2＋25000，当x ＝300时，f (x )max ＝25000；当x >400时，f (x )＝60000－100x 是减函数，f (x )<60000－100×400＝20000<25000. ∴当x ＝300时，f (x )max ＝25000.即每月生产300台仪器时公司所获利润最大，最大利润为25000元． 金版点睛解实际应用题的四个步骤(1)审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和因变量的条件关系．(2)建模：建立数学模型，列出函数关系式．(3)求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法(一定注意自变量的取值范围)． (4)回归：数学问题回归实际问题，写出答案．[跟踪训练4] 某水厂蓄水池有水450吨，水厂每小时向蓄水池注水80吨，同时蓄水池又向居民小区供水，t 小时内供水量为8020t 吨，现在开始向池中注水并同时向居民供水，多少小时后蓄水池中水量最少？解 设t 小时后，池中水量为y 吨，则y ＝450＋80t －8020t ＝4(20t －10)2＋50， 当20t ＝10，即t ＝5时，y min ＝50，所以，5小时后蓄水池中水量最少，只有50吨．1．函数f (x )在[－2，＋∞)上的图象如图所示，则此函数的最大、最小值分别为( )A ．3,0B ．3,1C ．3，无最小值D ．3，－2答案 C解析 观察图象可以知道，图象的最高点坐标是(0,3)，从而其最大值是3；另外从图象看，无最低点，即该函数不存在最小值．故选C.2．已知函数f (x )＝x 2－2，其中x ∈[0,2]，这个函数的最大值和最小值分别为( ) A ．－2和1 B ．2和－2 C ．2和－1 D ．－1和2答案 B解析 ∵f (x )＝x 2－2在区间[0,2]上单调递增， ∴y max ＝f (2)＝2，y min ＝f (0)＝－2.3．长为4，宽为3的矩形，当长增加x ，且宽减少x2时，面积S 最大，此时x 的值为( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 答案 B解析 ∵S ＝(4＋x )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－x 2＝－12x 2＋x ＋12＝－12(x －1)2＋252，又∵⎩⎪⎨⎪⎧x >0，3－x2>0，即0<x <6，∴当x ＝1时，S 取最大值252.故选B.4．函数f (x )＝6x －2(x ∈[3,5])是________函数(填“增”或“减”)，它的最大值是________，最小值是________．答案 减 6 2解析 易知函数是减函数，从而f (x )的最大值是f (3)＝6，最小值是f (5)＝2. 5．已知二次函数y ＝x 2－4x ＋5，分别求下列条件下函数的最小值： (1)x ∈[－1,0]；(2)x ∈[a ，a ＋1]．解 (1)∵二次函数y ＝x 2－4x ＋5图象的对称轴为x ＝2且开口向上， ∴二次函数在x ∈[－1,0]上单调递减． ∴y min ＝02－4×0＋5＝5.(2)当a ≥2时，函数在x ∈[a ，a ＋1]上单调递增，y min ＝a 2－4a ＋5；当a ＋1≤2，即a ≤1时，函数在[a ，a ＋1]上单调递减，y min ＝(a ＋1)2－4(a ＋1)＋5＝a 2－2a ＋2；当a <2<a ＋1，即1<a <2时，y min ＝22－4×2＋5＝1.故函数的最小值为⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ＋2，a ≤1，1，1<a <2，a 2－4a ＋5，a ≥2.。
2021_2020学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.2.1.2函数的最值讲义新人教A版必修
第2课时 函数的最值知识点 函数的最大值一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： (1)∀x ∈I ，都有f (x )≤M ； (2)∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .那么，我们称M 是函数y ＝f (x )的最大值(maximum value)．状元随笔 最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y ＝－x 2(x∈R )的最大值是0，有f(0)＝0.[教材解难]1．教材P 80思考函数f (x )的最大值包含“最大〞和“值〞两方面的含义．“最大〞是指没有比它更大的，“值〞是指一定是函数值．以f (x )＝－x 2为例，画出其图象(图略)可以发现：所有函数值都不大于1，但1不是f (x )的某个函数值，因而1不是f (x )的最大值；存在x 0使f (x 0)＝－1，即－1是f (x )的某个函数值，但－1不是f (x )的函数值中最大的，因此也不是f (x )的最大值．两项要求均满足的函数值只能是0，即函数f (x )＝－x 2的最大值为0.2．教材P 80思考一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数m 满足： (1)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥m ； (2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝m .那么，我们称m 是函数y ＝f (x )的最小值(minimum value)[根底自测]1．函数f (x )＝1x在[1，＋∞)上( )A ．有最大值无最小值B ．有最小值无最大值C ．有最大值也有最小值D ．无最大值也无最小值解析：函数f (x )＝1x是反比例函数，当x ∈(0，＋∞)时，函数图象下降，所以在[1，＋∞)上f (x )为减函数，f (1)为f (x )在[1，＋∞)上的最大值，函数在[1，＋∞)上没有最小值．应选A.答案：A2．函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])的最小、最大值分别为( )A．3,5 B．－3,5C．1,5 D．－5,3解析：因为f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])是单调递减函数，所以当xx＝－2时，函数的最大值为5.答案：B3．函数f(x)在[－2,2]上的图象如下图，那么此函数的最小值、最大值分别是( ) A．f(－2)，0 B．0,2C．f(－2)，2 D．f(2)，2解析：由图象知点(1,2)是最高点，故y max＝2.点(－2，f(－2))是最低点，故y min＝f(－2)．答案：C4．函数f(x)＝2x2－4x＋4有最________值，为________．解析：f(x)＝2x2－4x＋4＝2(x2－2x＋1)＋2＝2(x－1)2＋2答案：小 2题型一图象法求函数的最值[经典例题]例1 如下图为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值．【解析】观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3,3)，最低的点是(－1.5，－2)，所以函数y＝f(x)当x＝3时取得最大值，最大值是3.当x＝－1.5时取得最小值，最小值是－2.观察函数图象，最高点坐标(3,3)，最低点(－1.5，－2)．方法归纳图象法求最值的一般步骤跟踪训练1 函数y ＝－|x －1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域．解析：y ＝－|x －1|＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x ，x ≥1，x ＋1，x <1，图象如下图．由图象知，函数y ＝－|x －1|＋2的最大值为2，没有最小值， 所以其值域为(－∞，2]．利用x 的不同取值先去绝对值，再画图．题型二 利用单调性求函数的最大(小值)[教材P 81例5] 例2 函数f (x )＝2x －1(x ∈[2,6])，求函数的最大值和最小值． 【解析】 ∀x 1，x 2∈[2,6]，且x 1<x 2，那么f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－1－2x 2－1＝2[(x 2－1)－(x 1－1)](x 1－1)(x 2－1)＝2(x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1).由2≤x 1<x 2≤6，得x 2－x 1>0，(x 1－1)(x 2－1)>0， 于是f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)． 所以，函数f (x )＝2x －1在区间[2,6]上单调递减． 因此，函数f (x )＝2x －1在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值．在x ＝2时取得最大值，最大值是2；在x ＝6时取得最小值，最小值是0.4.状元随笔由函数f(x)＝2x －1(x∈[2,6])的图象(如图)可知，函数f(x)＝2x －1在区间[2,6]上单调递减．所以，函数f(x)＝2x －1在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值和最小值. 教材反思1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性． (2)利用单调性求出最大(小)值． 2．函数的最大(小)值与单调性的关系(1)假设函数f (x )在区间[a ，b ]上是增(减)函数，那么f (x )在区间[a ，b ]上的最小(大)值是f (a )，最大(小)值是f (b )．(2)假设函数f (x )在区间[a ，b ]上是增(减)函数，在区间[b ，c ]上是减(增)函数，那么f (x )在区间[a ，c ]上的最大(小)值是f (b )，最小(大)值是f (a )与f (c )中较小(大)的一个.跟踪训练2 函数f (x )＝32x －1，求函数f (x )在[1,5]上的最值． 解析：先证明函数f (x )＝32x －1的单调性，设x 1，x 2是区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上的任意两个实数，且x 2>x 1>12，f (x 1)－f (x 2)＝32x 1－1－32x 2－1＝6(x 2－x 1)(2x 1－1)(2x 2－1). 由于x 2>x 1>12，所以x 2－x 1>0，且(2x 1－1)·(2x 2－1)>0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以函数f (x )＝32x －1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上是单调递减的，所以函数f (x )在[1,5]上是单调递减的，因此，函数f (x )＝32x －1在区间[1,5]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即最大值为f (1)＝3，最小值为f (5)＝13.(1)判断函数的单调性. (2)利用单调性求出最大(小)值.解题思想方法 利用函数最值或别离参数求解恒 成立问题例 函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)假设对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围． 【解析】 (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2.设1≤x 1<x 2，那么f (x 2)－f (x 1)＝(x 2－x 1)⎝⎛⎭⎪⎫1－12x 1x 2，∵1≤x 1<x 2，∴x 2－x 1>0,2x 1x 2>2， ∴0<12x 1x 2<12，1－12x 1x 2>0，∴f (x 2)－f (x 1)>0，f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )在区间[1，＋∞)上为增函数，∴f (x )在区间[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝72.(2)在区间[1，＋∞)上f (x )>0恒成立⇔x 2＋2x ＋a >0恒成立．设y ＝x 2＋2x ＋a ，x ∈[1，＋∞)，那么函数y ＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1在区间[1，＋∞)上是增函数．所以当x ＝1时，y 取最小值，即y min ＝3＋a ， 于是当且仅当y min ＝3＋a >0时，函数f (x )>0恒成立， 故a >－3.【反思与感悟】 在解决不等式恒成立问题时，最为常见和重要的方法是从函数最值的角度或别离参数的角度去处理，在别离参数后常使用以下结论：a >f (x )恒成立⇔a >f (x )max ， a <f (x )恒成立⇔a <f (x )min .一、选择题1．以下函数在[1,4]上最大值为3的是( ) A ．y ＝1x＋2 B ．y ＝3x －2C ．y ＝x 2D ．y ＝1－x解析：B ，C 在[1,4]上均为增函数，A ，D 在[1,4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，应选A.答案：A2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋7， x ∈[－1，1)，2x ＋6， x ∈[1，2]，那么f (x )的最大值、最小值分别为( )A ．10,6B ．10,8C ．8,6D ．以上都不对解析：当－1≤x <1时，6≤x ＋7<8， 当1≤x ≤2时，8≤2x ＋6≤10. ∴f (x )min ＝f (－1)＝6，f (x )max ＝f (2)＝10.应选A.答案：A3．函数f (x )的局部图象如下图，那么此函数在[－2,2]上的最小值、最大值分别是( )A ．－1,3B ．0,2C ．－1,2D ．3,2解析：当x ∈[－2,2]时，由题图可知，x ＝－2时，f (x )的最小值为f (－2)＝－1；x ＝1时，f (x )的最大值为2.应选C.答案：C4．函数f (x )＝2x ＋1x －1，x ∈[－8，－4)，那么以下说法正确的选项是( )A ．f (x )有最大值53，无最小值B ．f (x )有最大值53，最小值75C ．f (x )有最大值75，无最小值D ．f (x )有最大值2，最小值75解析：f (x )＝2x ＋1x －1＝2＋3x －1，它在[－8，－4)上单调递减，因此有最大值f (－8)＝53，无最小值．应选A.答案：A 二、填空题5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．解析：当x ≥1时，函数f (x )＝1x为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为ff (x )的最大值为2.答案：26．函数y ＝x ＋x －1的最小值为________． 解析：令x －1＝t ，t ≥0，那么x ＝t 2＋1，所以y ＝t 2＋t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34，当t ≥0时，由二次函数的性质可知，当t ＝0时，y min ＝1. 答案：17．函数f (x )＝1x 在[1，b ](b >1)上的最小值是14，那么b ＝________.解析：因为f (x )在[1，b ]上是减函数，所以f (x )在[1，b ]上的最小值为f (b )＝1b ＝14，所以b ＝4.答案：4 三、解答题8．函数f (x )＝|x |(x ＋1)，试画出函数f (x )的图象，并根据图象解决以下两个问题．(1)写出函数f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12上的最大值． 解析：f (x )＝|x |(x ＋1)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ，x ≤0，x 2＋x ，x >0的图象如下图．(1)f (x )在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12和[0，＋∞) 上是增函数， 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0上是减函数，因此f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12，[0，＋∞)； 单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0 .(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝14，f (12)＝34，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12上的最大值为34. 9．函数f (x )＝2x －1x ＋1，x ∈[3,5]．(1)判断函数在区间[3,5]上的单调性，并给出证明； (2)求该函数的最大值和最小值．解析：(1)函数f (x )在[3,5]上是单调递增的， 证明：设任意x 1，x 2，满足3≤x 1<x 2≤5. 因为f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－1x 1＋1－2x 2－1x 2＋1＝(2x 1－1)(x 2＋1)－(2x 2－1)(x 1＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝3(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1)，因为3≤x 1<x 2≤5，所以x 1＋1>0，x 2＋1>0，x 1－x 2<0. 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．所以f (x )＝2x －1x ＋1在[3,5]上是单调递增的．(2)f (x )min ＝f (3)＝2×3－13＋1＝54，f (x )max ＝f (5)＝2×5－15＋1＝32. [尖子生题库]10．f (x )＝x 2－2ax ＋2，x ∈[－1,1]．求f (x )的最小值．解析：f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，对称轴为x ＝a ，且函数图象开口向上，如以下图所示：当a >1时，f (x )在[－1,1]上单调递减， 故f (x )min ＝f (1)＝3－2a ；当－1≤a ≤1时，f (x )在[－1,1]上先减后增， 故f (x )min ＝f (a )＝2－a 2；当a <－1时，f (x )在[－1,1]上单调递增， 故f (x )min ＝f (－1)＝3＋2a . 综上可知，f (x )的最小值为 f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧3－2a ，(a >1)2－a 2，(－1≤a ≤1)3＋2a .(a <－1)。
2021_2022学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.2.1第2课时函数的最大小值课件新人教
B．无最大值，有最小值0
C．既无最大值，又无最小值
D．以上都不对
[解析] 函数y＝－|x|在(－∞，0]上递增，在(0，＋∞)上递减，∴
当x＝0时，y取最大值0，无最小值．
3．若定义在区间(0,3]上的函数y＝f(x)是减函数，则它的最大值
()
D
A．是f(0)
B．是f(3)
C．是0
D．不存在
[解析] ∵y＝f(x)在区间(0,3]上是减函数，
∵x1，x2∈[3,5]且 x1＜x2， ∴x1－x2＜0，x1＋2＞0，x2＋2＞0， ∴f(x1)－f(x2)＜0，∴f(x1)＜f(x2)， ∴函数 f(x)＝xx－ ＋12在 x∈[3,5]上为增函数． (2)由(1)知，当 x＝3 时，函数 f(x)取得最小值为 f(3)＝52，当 x＝5 时， 函数 f(x)取得最大值为 f(5)＝47．
例 3 已知函数f(x)＝x2－ax＋1， (1)求f(x)在[0,1]上的最大值； (2)当a＝1时，求f(x)在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值．
[解析] (1)因为函数 f(x)＝x2－ax＋1 的图象开口向上，其对称轴为 x ＝a2，
所以区间[0,1]的哪一个端点离对称轴远，则在哪个端点取到最大值， 当a2≤12，即 a≤1 时，f(x)的最大值为 f(1)＝2－a； 当a2＞12，即 a＞1 时，f(x)的最大值为 f(0)＝1．
(3)①当t＞1时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，所以当x＝t时，f(x)取得 最小值，
此时g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3． ②当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，f(x)在[t，t＋1]上先递减后递增， 故当x＝1时，f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(1)＝2．
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因此函数的值域是[0,1].
反思感悟 图象法求最值的基本步骤
1
变式训练1已知函数 f(x)=
(1)画出f(x)的图象;
,0 < < 1,
,1 ≤ ≤ 2.
(2)利用图象写出该函数的最大值和最小值.
解 (1)函数f(x)的图象如图所示.
(2)由图象可知f(x)的最小值为f(1)=1,无最大值.
间[1,3]上的最值.
( 1 - 2 )( 1 2 -4)
解 ∀x1,x2∈[1,3],且 x1<x2,由本例知,f(x1)-f(x2)=
1 2
当1≤x1<x2≤2时,f(x1)>f(x2),f(x)在区间[1,2]上单调递减;
当2<x1<x2≤3时,x1x2>0,4<x1x2<9,即x1x2-4>0,
课前篇 自主预习
[激趣诱思]
科考队对罗布泊“早穿棉袄午穿纱,围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行
科学考察,如图是某天气温随时间的变化曲线.请根据曲线图说说气温的变化情
况.
问题:(1)该天的最高气温和最低气温分别是多少?
(2)设该天某时刻的气温为f(x),则f(x)在哪个范围内变化?
(3)从函数图象上看,气温的最大值(最小值)在什么时刻取得?
减,∴g(t)=f(t+1)=(t+1)2-2(t+1)+2=t2+1.当
< 1,
+ 1 > 1,即0<t<1时,如图2所示,
此时,函数f(x)在区间[t,1]上单调递减,在区间(1,t+1]上单调递增,
∴g(t)=f(1)=1.当t≥1时,如图3所示,此时,函数f(x)在[t,t+1]上单调递
2021_2022学年新教材高中数学第3章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大
第1课时 函数的单调性学 习 目 标核 心 素 养1.理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性．(重点、难点)2．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性．(难点)3．会求一些具体函数的单调区间．(重点)1.借助单调性的证明，培养逻辑推理素养．2．利用求单调区间及应用单调性解题，培养直观想象和数学运算素养．1．增函数与减函数的定义 条件一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I ：如果∀x 1，x 2∈D ，当x 1＜x 2时 都有f (x 1)＜f (x 2)都有f (x 1)＞f (x 2)结论那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图示12提示：定义中的x 1，x 2有以下3个特征：(1)任意性，即“任意取x 1，x 2”中“任意〞二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x 1<x 2； (3)属于同一个单调区间． 2．函数的单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．思考2：函数y ＝1x 在定义域上是减函数吗？提示：不是．y ＝1x在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上也递减，但不能说y ＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减．1．函数y ＝f (x )的图象如下图，其增区间是( ) A ．[－4,4]B ．[－4，－3]∪[1,4]C ．[－3,1]D ．[－3,4]C [由图可知，函数y ＝f (x )的单调递增区间为[－3,1]，选C.] 2．以下函数中，在区间(0，＋∞)上是减函数的是( ) A ．y ＝－1xB ．y ＝xC ．y ＝x 2D ．y ＝1－xD [函数y ＝1－x 在区间(0，＋∞)上是减函数，其余函数在(0，＋∞)上均为增函数，应选D.]3．函数f (x )＝x 2－2x ＋3的单调减区间是________．(－∞，1] [因为f (x )＝x 2－2x ＋3是图象开口向上的二次函数，其对称轴为x ＝1，所以函数f (x )的单调减区间是(－∞，1]．]求函数的单调区间【例1】 求以下函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．(1)f (x )＝－1x ；(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，5－x ，x <1；(3)f (x )＝－x 2＋2|x |＋3.[解] (1)函数f (x )＝－1x的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数．(2)当x ≥1时，f (x )是增函数，当x <1时，f (x )是减函数，所以f (x )的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f (x )在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．(3)因为f (x )＝－x 2＋2|x |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3，x ≥0，－x 2－2x ＋3，x <0.根据解析式可作出函数的图象如下图，由图象可知，函数f (x )的单调区间为(－∞，－1]，(－1,0)，[0,1)，[1，＋∞)．f (x )在(－∞，－1]，[0,1)上是增函数，在(－1,0)，[1，＋∞)上是减函数．求函数单调区间的方法(1)利用根本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解；(2)利用函数的图象，如本例(3)．提醒：假设所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，〞隔开，如本例(3)．1．(1)根据如下图，写出函数在每一单调区间上函数是增函数还是减函数；(2)写出y ＝|x 2－2x －3|的单调区间．[解] (1)函数在[－1,0]，[2,4]上是减函数，在[0,2]，[4,5]上是增函数． (2)先画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3，x <－1或x >3，－(x 2－2x －3)，－1≤x ≤3的图象，如图．所以y ＝|x 2－2x －3|的单调减区间为(－∞，－1]，[1,3]；单调增区间为[－1,1]，[3，＋∞)．函数单调性的判定与证明【例2】 证明函数f (x )＝x ＋1x在(0,1)上是减函数．[思路点拨] 设元0<x 1<x 2<1―→作差：f (x 1)－f (x 2)――→变形判号：f (x 1)>f (x 2)――→结论减函数[证明] 设x 1，x 2是区间(0,1)上的任意两个实数，且x 1<x 2，那么f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋1x1－⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫1－1x 1x2＝(x 1－x 2)(－1＋x 1x 2)x 1x 2∵0<x 1<x 2<1，∴x 1－x 2<0,0<x 1x 2<1，那么－1＋x 1x 2<0， ∴(x 1－x 2)(－1＋x 1x 2)x 1x 2>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )＝x ＋1x在(0,1)上是减函数．利用定义证明函数单调性的步骤(1)取值：设x 1，x 2是该区间内的任意两个值，且x 1<x 2.(2)作差变形：作差f (x 1)－f (x 2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子.(3)定号：确定f (x 1)－f (x 2)的符号.(4)结论：根据f (x 1)－f (x 2)的符号及定义判断单调性.提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式.2．试用函数单调性的定义证明：f (x )＝2xx －1在(1，＋∞)上是减函数． [证明] f (x )＝2＋2x －1， 设x 1>x 2>1， 那么f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－1－2x 2－1＝2(x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)， 因为x 1>x 2>1，所以x 2－x 1<0，x 1－1>0，x 2－1>0， 所以f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(1，＋∞)上是减函数． 函数单调性的应用[探究问题]1．假设函数f (x )是其定义域上的增函数，且f (a )>f (b )，那么a ，b 满足什么关系．如果函数f (x )是减函数呢？提示：假设函数f (x )是其定义域上的增函数，那么当f (a )>f (b )时，a >b ；假设函数f (x )是其定义域上的减函数，那么当f (a )>f (b )时，a <b .2．决定二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 单调性的因素有哪些？ 提示：开口方向和对称轴的位置，即字母a 的符号及－b2a的大小．【例3】 (1)假设函数f (x )＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3在区间(－∞，3]上是增函数，那么实数a 的取值范围是________．(2)函数y ＝f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，且f (2x －3)>f (5x －6)，那么实数x 的取值范围为________．[思路点拨] (1)分析f (x )的对称轴与区间的关系――→数形结合建立关于a 的不等式――→求a 的范围(2)f (2x －3)>f (5x －6)――――――――――――――――→f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数建立关于x 的不等式――→ 求x 的范围(1)(－∞，－4] (2)(－∞，1) [(1)∵f (x )＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3的开口向下，要使f (x )在(－∞，3]上是增函数，只需－(a ＋1)≥3，即a ≤－4. ∴实数a 的取值范围为(－∞，－4]．(2)∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，且f (2x －3)>f (5x －6)， ∴2x －3>5x －6，即x <1.∴实数x 的取值范围为(－∞，1)．]1．(变条件)假设本例(1)的函数f (x )在(1,2)上是单调函数，求a 的取值范围． [解] 由题意可知－(a ＋1)≤1或－(a ＋1)≥2，即a ≤－3或a ≥－2. 所以a 的取值范围为(－∞，－3]∪[－2，＋∞)．2．(变条件)假设本例(2)的函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，求x 的范围． [解] 由题意可知， ⎩⎪⎨⎪⎧2x －3>0，5x －6>0，2x －3<5x －6，解得x >32.∴x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞.函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性〞：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，假设函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.(2)假设一个函数在区间[a ，b ]上是单调的，那么此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.1．定义单调性时应强调x 1，x 2在其定义域内的任意性，其本质是把区间上无限多个函数值的大小比拟转化为两个任意值的大小比拟．2．证明函数的单调性(利用定义)一定要严格遵循设元、作差、变形、 定号、结论的步骤，特别在变形上，一定要注意因式分解、配方等技巧的运用，直到符号判定水到渠成才可．3. 函数单调性求参数的范围时，要树立两种意识：一是等价转化意识， 如f (x )在D 上递增，那么f (x 1)<f (x 2)⇔x 1<x 2.二是数形结合意识，如处理一(二)次函数及反比例函数中的含参数的范围问题.1．思考辨析(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性．( )(2)假设函数y ＝f (x )在区间[1,3]上是减函数，那么函数y ＝f (x )的单调递减区间是[1,3]．( )(3)函数f (x )为R 上的减函数，那么f (－3)>f (3)．( )(4)假设函数y ＝f (x )在定义域上有f (1)<f (2)，那么函数y ＝f (x )是增函数．( ) (5)假设函数f (x )在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，那么f (x )在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×2．如图是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )，那么以下关于函数f (x )的说法错误的选项是( )A ．函数在区间[－5，－3]上单调递增B ．函数在区间[1,4]上单调递增C ．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减D ．函数在区间[－5,5]上没有单调性C [由图可知，f (x )在区间[－3,1]，[4,5]上单调递减，单调区间不可以用并集“∪〞连接，应选C.]3．如果函数f (x )＝x 2－2bx ＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，那么b 的取值范围为( ) A ．b ＝3 B ．b ≥3 C ．b ≤3D ．b ≠3C [函数f (x )＝x 2－2bx ＋2的图象是开口向上，且以直线x ＝b 为对称轴的抛物线， 假设函数f (x )＝x 2－2bx ＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，那么b ≤3，应选C.] 4．证明：函数y ＝xx ＋1在(－1，＋∞)上是增函数．[证明] 设x 1>x 2>－1，那么y 1－y 2＝x 1x 1＋1－x 2x 2＋1＝x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1).∵x 1>x 2>－1，∴x 1－x 2>0，x 1＋1>0，x 2＋1>0， ∴x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1)>0，即y 1－y 2>0，y 1>y 2，∴y ＝x x ＋1在(－1，＋∞)上是增函数．。
高中数学第三章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.1第2课时函数的最大(小)值a
解析:观察函数图象可知,图象上位置最高的点是(3,3),
最低的点是(-1.5,-2),所以函数 y=f(x),当 x=3 时取得最大值,
即 ymax=3;当 x=-1.5 时取得最小值,即 ymin=-2.
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2.作出函数 y=|x-2|(x+1)的图象,说明函数的单调性,并判断是否
所以 f(x1)<f(x2).所以 f(x)在区间[3,5]上是增函数.
所以当 x=3 时,f(x)取得最小值,f(3)=-4;
当 x=5 时,f(x)取得最大值,f(5)=-2.
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探索点三
与最值有关的应用问题
【例 3】 某地要修建一个圆形的喷水池,水流在各个方向
值、最大值分别是 (
)
A.-2,f(2)
B.2,f(2)
C.-2,f(5)
D.2,f(5)
解析:由函数的图象知,当 x=-2 时,有最小值-2;当 x=5
时,有最大值 f(5).
答案(dá àn):C
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(2)已知函数 f(x)=
求 f(x)的最大值、
最小值.
解:作出函数 f(x)的图象(如图).
解答实际问题的一般步骤
(1)审题:审读实际问题,找出已知条件与未知条件,确定自变
量和因变量的条件关系.
(2)建模:建立数学模型,列出函数解析式.
(3)求解:分析函数性质,利用数学知识探究问题解法(一定注
意自变量的取值范围).
(4)回归:数学问题回归实际问题,写出答案.
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课时作业(十四) 函数的最大(小)值
[练基础]
1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋7， x ∈[－1，12x ＋6， x ∈[1，2]
则f (x )的最大值、最小值分别为( ) A ．10,6 B ．10,8
C ．8,6
D ．以上都不对
2．已知函数f (x )＝2x ＋1
x －1，x ∈[－8，－4)，则下列说法正确的是(
) A ．f (x )有最大值53，无最小值
B ．f (x )有最大值53，最小值75
C ．f (x )有最大值 75，无最小值
D ．f (x )有最大值2，最小值75
3．函数f (x )＝x －x ＋1的最小值为( )
A ．－54
B ．－12
C ．－1
D ．0
4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
1x ，x ≥1，
－x 2＋2，x <1的最大值为________．
5．函数f (x )＝1x 在[1，b ](b >1)上的最小值是14，则b ＝________.
6．已知函数f (x )＝2x －1
x ＋1，x ∈[3,5]．
(1)判断函数在区间[3,5]上的单调性，并给出证明；
(2)求该函数的最大值和最小值．
[提能力]
7．(多选)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2，关于f (x )的最大(小)值有如下结论，其中正确的是( )
A ．f (x )在区间[－1,0]上的最小值为1
B ．f (x )在区间[－1,2]上既有最小值，又有最大值
C ．f (x )在区间[2,3]上有最小值2，最大值5
D ．当0<a <1时，f (x )在区间[0，a ]上的最小值为f (a )，当a >1时，f (x )在区间[0，a ]上的最小值为1.
8．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是________．
9．已知函数g (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a >0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.
(1)求a 、b 的值；
(2)设f (x )＝g x x －2
，若不等式f (x )－k >0在x ∈(2,5]上恒成立，求实数k 的取值范围．
[战疑难]
10．已知13
≤a ≤1，若函数f (x )＝ax 2－2x ＋1在区间[1,3]上的最大值为M (a )，最小值为N (a )，令g (a )＝M (a )－N (a )．
(1)求g (a )的函数表达式；
(2)求函数g (a )单调增区间与单调减区间，并求出g (a )的最小值．
课时作业(十四) 函数的最大(小)值
1．解析：当－1≤x <1时，6≤x ＋7<8，
当1≤x ≤2时，8≤2x ＋6≤10.
∴f (x )min ＝f (－1)＝6，
f (x )max ＝f (2)＝10.故选A.
答案：A
2．解析：f (x )＝2x ＋1x －1＝2＋3x －1
，它在[－8，－4)上单调递减，因此有最大值f (－8)＝53
，无最小值．故选A. 答案：A
3．解析：令x ＋1＝t ≥0，则x ＝t 2－1，则f (t )＝t 2－t －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－54
，故函数的最小值在t ＝12取到，f (t )min ＝－54
. 答案：A
4．解析：当x ≥1时，函数f (x )＝1x
为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2
＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.
答案：2
5．解析：因为f (x )在[1，b ]上是减函数，所以f (x )在[1，b ]上的最小值为f (b )＝1b ＝14
，所以b ＝4.
答案：4
6．解析：(1)函数f (x )在[3,5]上是单调递增的，
证明：设任意x 1，x 2，满足3≤x 1<x 2≤5.
因为f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－1x 1＋1－2x 2－1x 2＋1
＝
2x 1－1x 2＋1－2x 2－1x 1＋1x 1＋1x 2＋1 ＝3x 1－x 2x 1＋1x 2＋1
， 因为3≤x 1<x 2≤5，所以x 1＋1>0，x 2＋1>0，x 1－x 2<0.
所以f (x 1)－f (x 2)<0，
即f (x 1)<f (x 2)．
所以f (x )＝2x －1x ＋1
在[3,5]上是单调递增的． (2)f (x )min ＝f (3)＝2×3－13＋1＝54
， f (x )max ＝f (5)＝2×5－15＋1＝32
. 7．解析：函数f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1的图象开口向上，对称轴为直线x ＝1.在
选项A 中，因为f (x )在区间[－1,0]上单调递减，所以f (x )在区间[－1,0]上的最小值为f (0)＝2，A 错误；在选项B 中，因为f (x )在区间[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，所以f (x )在区间[－1,2]上的最小值为f (1)＝1，又因为f (－1)＝5，f (2)＝2，f (－1)>f (2)，所以f (x )在区间[－1,2]上的最大值为f (－1)＝5，B 正确；在选项C 中，因为f (x )在区间[2,3]上单调递增，所以f (x )在区间[2,3]上的最小值为f (2)＝2，最大值为f (3)＝5，C 正确；在选项D 中，当0<a <1时，f (x )在区间[0，a ]上是减函数，f (x )的最小值为f (a )，当a >1时，由图象知f (x )在区间[0，a ]上的最小值为1，D 正确．
答案：BCD
8．解析：∵y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，当x ＝1时，y min ＝2；当y ＝3时，x 2
－2x ＋3＝3，解得x ＝0或x ＝2.由y ＝x 2－2x ＋3的图象知，当m ∈[1,2]时，能保证y 的最大值为3，最小值为2.
答案：[1,2]
9．解析：(1)∵g (x )开口方向向上，且对称轴方程为x ＝1，
∴g (x )在[2,3]上单调递增，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ g x min ＝g 2＝4a －4a ＋1＋b ＝1，g x max ＝g 3＝9a －6a ＋1＋b ＝4，
解得a ＝1且b ＝0.
(2)∵f (x )－k >0在x ∈(2,5]上恒成立．
所以只需k <f (x )min ，
由(1)知f (x )＝x 2－2x ＋1x －2＝x ＋1x －2＝x －2＋1x －2
＋2≥2x －2·1
x －2＋2＝4. 当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时等号成立．∴k <4. 10．解析：(1)∵13
≤a ≤1， ∴f (x )的图象为开口向上的抛物线，且对称轴x ＝1a
∈[1,3]． ∴f (x )有最小值N (a )＝1－1a
. 当2≤1a ≤3时，a ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤13，12，f (x )有最大值M (a )＝f (1)＝a －1； 当1≤1a <2时，a ∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤12，1，f (x )有最大值M (a )＝f (3)＝9a －5. ∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a －2＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤a ≤12，9a －6＋1a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12<a ≤1.
(2)设13≤a 1≤a 2≤12，则 g (a 1)－g (a 2)＝(a 1－a 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫
1－1a 1a 2>0， ∴g (a 1)>g (a 2)，∴g (a )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤13，12上是减函数． 设12<a 1<a 2≤1，则g (a 1)－g (a 2)＝(a 1－a 2)⎝ ⎛⎭
⎪⎫9－1a 1a 2<0， ∴g (a 1)<g (a 2)，∴g (a )在⎝ ⎛⎦
⎥⎤12，1上是增函数． ∴当a ＝12时，g (a )有最小值12
.。