一类二阶半线性时滞微分方程解的振动性质
一类二阶非线性变时滞差分方程解的振动性
本文只讨论方程（ ） １ 的非平凡解．方程（ ） １ 的解 ｛（ ） 称为是最终正解（ ／｝ ２ 或最终负解 ） 如果存在整数 ，
Ⅳ≥ｎ ， 。 使得 当 ≥Ⅳ 时 ， Ｉ ０ 或 （ ）＜ ） 方程 （ ） （， （ １ ）＞ ｎ ０ ； １ 的解 ｛ ／ ｝ 为是 振 动的 ， （， 称 ７ ） 如果 它既 不最 终 为正
（ ： ≤Ｐ（ ） ； （ ） ０； （ ）＞ ， △ （ ） ０； Ｈ ）０ ｎ ≤１ 曰 ｎ ｉ Ａ ｎ ０ 且 Ａ ｎ ＞ ＞ １
（ ： ｎ ０是 整数 ， Ｈ ） （ ）＞ 且 （ ） ，ｌ 丁 ｎ ｎ≤ ｉ （ ）＝＋∞ ； ｍ
（） Ｅ
（ ）ｏ（ ）＞ Ｈ２ ：－ｎ ０是整 数 ， ｎ ≤ｎ ｌ （ ）：＋。 且 △ ｎ ＞ ； （ ） ， ｉ ａ ｒ 凡 。， （ ） ｔ０ （ ： Ｈ ） 存在 常数 ＞０ ＞ ， 得 ， ０ 使 ≥ ， ≤ 且 Ｑ ）一 （ ）＞ 卢， （ 凡 ０最终成 立 ；
ｎ ｎ ／ 、
（） ２
ｚ ） ｘ（ ｎ１ （ ＝ｅ ∑ｌ ＋ ｎ ｐ ［
５ ｎ ＝ ｏ
＼。／
］， ）
（） ３
则 方程 （ ） １ 可写 为
收稿 日期 ： ０ １ｏ ＿ ６ ２ １－ ４ｏ
基金项 目： 湖南省教育厅科研基金重点 资助项 目（０ Ａ ８ ） ９ ０２ ． 作 者简 介 ： 甲山（９ ３ ） 男 ，湖南城步人 ， 杨 １６ 一 ， 副教授 ， 研究方 向为微分差分方程
中 图分类 号 ： １５ Ｏ ７ 文 献标 志码 ： Ａ
随着计算机科学、 数值分析 、 生物数学及边缘科学 的不断发展 ， 在科学研究和社会实践 中提出了很多由
二阶非线性中立型微分方程解的振动准则
方程 的 线 性 化极 限 振 动 理 论 来建 立 它 自 身 的 振 动 准 则
, ,
,
即 通 过一个 非 线 性 时滞微 分 方程 的
12〕
,
。
极限
”
方 程 的 振 动性
“
例如 【 0 一 1
在本 文 中 我 们建 立 了方程 ( 1 ) 的 所 有 有 界解 振 动 的 充 分 条 件 其 条 件 是 h r s a 即 在 系 数 尸 (约
t =
及正 数 M
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使得 0 < 双 卜 叻 ( M
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我 们 也 给 出 了 方程
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,
所 得 这 些 结果都 是 新 的 的 一 个解 为振 动 的
。
称 方程 ( 1 )
、
(
1 1 )两式 应用 歹 y
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于 方程
一类二阶时滞微分方程解的振动性质
（） １
方程 （ ）的不 最 终恒 为 零 的非 常数 解 ， １ 叫做 正 解 ［ ］ 一 个 正 则 解 称 为 振 动 的 ， 果 它 有 任 意 大 的零 点 ； １． 如 最 近 ， ［ ］ ［ ］利 用文 ［ ］的某 些技 巧 ， 究 了方 程 （ ）的 振 动 性并 给 出 了一 些 振 动 性 判 据 ． 别 ， 文 １ 、２ ３ 研 １ 特 文
（ ． 山 高等 专 科 学 校 散 学 系 。 徽 黄 山 １黄 安
摘 要 ： 用 函数 平 均技 巧 ， 进 并 推 广 了有 关论 文 中所 给 出的 二 阶 时滞 微 分 方 程 解 的振 动 性 准 利 改 则 ， 到 了一 类二 阶 时 滞微 分 方程 解 的振 动性 质 的 一 些新 的充 分 判据 ． 得 关键 词 ： 阶 时滞 微 分 方程 ； 动 ； 二 振 正则 解 中图分 类号 ： １ ５ ２ ０ ７ ．５ 文献标 识 码 ： Ａ
厂
㈩ ）一
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（㈩ ）， ｒ ｒ（
改进 并 推广 文 ［ ］ ［ ］的某 些 已知结果 ． １ 、２
２ 主 要 结 果
本 文 中 ， 们 总体 假 设 我
（ ） ∈ Ｃ（ ， ） （ ） 最终 恒 为零 ： Ａ１ Ｊ Ｒ０ ， ￡ 不 ｒ∈ （ Ｊ Ｒ） ｒ ￡ ≤ ￡ 对 ￡ Ｃ（ ， ， （ ） ， ≥ ０且 ｌ ｒ ￡ ， ｉ （ ）＝＋ ｏ ， ｍ ｏ 其 中 Ｊ＝ ［０ ，＋Ｏ ） Ｒ０＝ ［ ， Ｏ ） Ｒ ＝ （ ， ｏ ） ０， ０ ＋ ０， ０ ＋ ｏ； Ａ（）厂， ∈ Ｃ（ Ｒ） 且 （ ２ ｇ Ｒ， ， ｚ）＞ ０ （ ≠ ０ ； Ｙ ≥ Ｃ ＞ ０（ ，ｚ ） ｇ（ ） Ｙ∈ Ｒ） Ｃ为 常 数 ． ，
几类时滞微分方程解的振动性和正解存在性的开题报告
几类时滞微分方程解的振动性和正解存在性的开题报告时滞微分方程（Delay Differential Equations，DDE）是一种具有时滞项的微分方程，其解的振动性和正解存在性是研究时滞微分方程的重要问题之一。
本文将介绍几类时滞微分方程解的振动性和正解存在性的研究情况。
1. 时滞线性微分方程时滞线性微分方程是一种常见的时滞微分方程形式。
对于具有时滞项的线性微分方程，可以通过矩阵指数函数的方法得到其正解存在性，并进一步确定其解的振动性。
研究表明，当时滞项小于一定值时，时滞线性微分方程的解为渐近稳定的；当时滞项在一定范围内时，时滞线性微分方程的解会出现振荡；当时滞项超过一定值时，时滞线性微分方程的解将变得不稳定。
2. Michaelis-Menten型时滞微分方程Michaelis-Menten型时滞微分方程是一种具有广泛应用的时滞微分方程形式。
研究表明，在一定参数范围内，Michaelis-Menten型时滞微分方程的解存在且唯一，并且解的振动性是有限的。
此外，当时滞项的大小超过一定值时，该方程解将趋于无穷大。
3. Hopfield型神经网络模型Hopfield型神经网络模型是模拟神经网络的常用模型之一，也是一种具有时滞项的微分方程。
研究表明，在一定条件下，Hopfield型神经网络模型的解存在唯一，并且解的振动性也是有限的。
此外，当时滞项的大小超过一定值时，该方程解将趋于发散。
4. Logistic型时滞微分方程Logistic型时滞微分方程是一种描述种群生长和传染病传播的时滞微分方程形式。
研究表明，在一定参数范围内，Logistic型时滞微分方程的解存在唯一，并且解的振动性也是有限的。
此外，当时滞项的大小超过一定值时，该方程解将趋于无穷大或消失。
综上所述，时滞微分方程的解的振动性和正解存在性受时滞项大小和模型参数等因素影响。
研究时滞微分方程解的振动性和正解存在性对于深入理解时滞微分方程模型的特性，有助于应用时滞微分方程模型解决实际问题。
二阶差分方程解的振动性与渐近性及一类n阶非线性差分方程解的渐近状态
曲阜师范大学硕士学位论文二阶差分方程解的振动性与渐近性及一类n阶非线性差分方程解的渐近状态姓名：***申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：***2001.3.25二阶差分方程解的振动性与渐近性及一类ｎ阶非线性差分方程解的渐近状态厶（鲰妒ｆ△粕）】＋，（ｎ，。
）：ｏ，ｎ∈Ⅳ（，１０】，ｒ△（陬ＩＰ（△‰））十，（竹，￥（ｈａ（ｎ】），－一，。
ｆ＾ｍｍ）】）＝０，ｍ≥ｌ，竹ＥＮ［ｎｏ）（１，２）；解的塞麴性与塑垫些每中Ⅳ（瑚）＝｛伽，ｎ。
＋１，…），ｎ。
∈，ＴＯ，ｌ，２，…）．当知≠ｏ时·。
量。
Ｉ妒一１（砉）Ｉ＝∞螺研究了—类ｎ阶非线性差分方程矗“９＋，Ｏ，虮…，△“一１０＝０’ｔ∈Ⅳ（伽）解的渐近状态．其中Ⅳ（伽）＝｛伽，瑚＋ｌ，…），竹ｏ∈｛竹，ｎ＋１，…）√．关■调。
拟线性差分方ｇ振动，非振动。
渐近性。
拟线性时精蓥分方程：／差分算子，阶乘幂．专锯镑１引言差分方程理论。
随着科学技术的迅猛发晨，不仅在工程技术，自动控制以及航天卫星等尖端领域中有重要的应用，而且在计算机科学，人口动态学和经济金融辱领域也已成为不可缺少的数学工具．同时由于差分方程表达的离傲系统常常与相应的连续系统具有完全不同的特性，因而使许多研究者对它产生丁更多的关注．作为徽分方程离散化的差分方程的擐动性和渐近性问题也成为近年来的研兜课题．特别是对于二阶差分方程的撅动性及淅近性问题。
得瓢了一系列瀑亮的结果，可参看文献【Ｈ】，［ｔ２－２６］．但是关于二阶拟线性差分方程△‰轳（血ｎ））十，（住，卫ｎ）昌ｏ，ｎ∈Ⅳ‰），ｆＩ．Ｉ）以及二阶拟线性时滞差分方程△‰妒（△‰）】＋，ｋｚ（ｈ１（ｎ）），…，ｚ（ｋ（ｎ））】＝ｏ，ｍ≥ｌ，ｎ∈Ⅳｆｆｌ０），（１．２）△～＋，（ｔ，ｔ『，…，△４—１０＝０’ｔＥⅣ（，ｔ０）（１．３）解的振动性与渐近性的文章，目前还不多见．本文主要研究方程（１．１），（Ｌ２】和（１．３）解的振动性与渐近性，（Ｉ．ｉ）与（１．２】中的Ⅳｎ１０）＝｛ｎｏ，ｎｏ＋１，…），（１．３）中的Ⅳ（伽）＝｛，１０，ｎＤ＋ｌ，…】．△为前向差分算子，即△‰＝函ｌ＋ｌ一翱，△”靠＝△《△“。
几类时滞微分方程的分支分析
几类时滞微分方程的分支分析时滞微分方程作为描述系统动态行为的重要工具，广泛应用于各种领域，如生态系统、神经网络、工程系统等。
对于具有给定初值的时滞微分方程，其稳定性和分支性质是近年来研究的热点问题。
本文将介绍几类时滞微分方程的分支分析，通过理论分析和数值模拟，探讨时滞微分方程的分支机制和复杂性。
时滞微分方程是由微分方程和时滞项组成的数学模型，描述了系统在给定时刻的行为及其过去的历史。
对于时滞微分方程，需要先定义时滞项和微分方程，再通过适当的数学分析，求解方程的解及其性质。
在分支理论中，分支是指系统在某些参数变化时，其动态行为发生本质变化的现象。
分支分析是通过分析方程的解来研究分支现象的性质、类型和产生条件的过程。
对于时滞微分方程，其分支现象通常包括周期解的稳定性和分岔、混沌等非线性现象。
单变量时滞微分方程是一类最基本的时滞微分方程，其形式为：dy(t)dt=f(y(t),y(t-τ))对于这类方程，可以通过适当的变换将其化为常微分方程，再利用经典的分支理论进行分析。
例如，通过线性化方法和中心流形定理，可以研究方程在临界点附近的动态行为和分支现象。
dy1(t)dt=f1(y1(t),y2(t-τ)) dy2(t)dt=f2(y1(t),y2(t-τ))对于这类方程，可以利用相平面分析和奇异性理论来研究其分支现象。
通过分析系统在相平面上的轨迹和奇异点，可以得出方程的动态行为和分支性质。
时滞微分方程组是由多个时滞微分方程组成的系统，形式为：dy1(t)dt=f1(y1(t),y2(t-τ1),…,yn(t-τn))dy2(t)dt=f2(y1(t),y2(t-τ1),…,yn(t-τn)) …dyn(t)dt=fn(y1(t),y2(t-τ1),…,yn(t-τn))对于这类方程组，可以运用多变量分支理论进行分析。
通过研究系统在不同参数下的动态行为和奇异点，可以得出方程组的分支性质和复杂性。
随机时滞微分方程是在时滞微分方程中引入随机因素，形式为：dy(t)=f(y(t),y(t-τ))dt+g(y(t),y(t-τ))dW(t)其中W(t)是布朗运动。
几类二阶时滞微分方程的振动性研究
几类二阶时滞微分方程的振动性研究摘要：时滞微分方程是一类重要的动力系统模型，具有广泛的应用价值。
本文针对几类常见的二阶时滞微分方程，研究其振动性质。
通过对这些方程进行分析和推导，得出了一些重要的结论。
引言：时滞微分方程是描述许多实际系统的重要数学模型，它们在生物学、经济学、工程学等领域中具有广泛的应用。
二阶时滞微分方程是一类特殊的时滞微分方程，其具有更加复杂的动力学行为。
一、周期解的存在性：研究了一类二阶时滞微分方程的周期解存在性。
通过构造合适的Lyapunov函数，得到了周期解的存在性条件。
这些条件为进一步研究方程的稳定性和周期性提供了理论基础。
二、稳定性分析：对另一类二阶时滞微分方程进行了稳定性分析。
通过线性化和特征方程的分析，得到了方程稳定性的判据。
进一步，利用数值方法验证了理论结果。
三、混沌现象：研究了一类非线性二阶时滞微分方程的混沌性质。
通过数值模拟和分析，发现该方程在某些参数范围内表现出混沌行为。
这一研究结果对于深入理解该类时滞微分方程的动力学行为具有重要意义。
四、周期倍增现象：研究了另一类二阶时滞微分方程的周期倍增现象。
通过数值模拟和分析，发现随着参数的变化，方程的周期解会逐渐倍增，最终进入混沌状态。
这一研究结果对于预测和控制该类方程的振动行为具有重要意义。
结论：通过对几类常见的二阶时滞微分方程的振动性质进行研究，我们得出了一些重要的结论。
这些研究结果对于深入理解时滞微分方程的动力学行为以及在实际应用中的应用具有重要意义。
进一步的研究可以将这些结论应用于更广泛的领域，并对相关领域的实际问题提供有价值的解决方案。
关键词：时滞微分方程；二阶；振动性质；周期解；稳定性；混沌现象；周期倍增。
一类二阶非线性时滞脉冲微分方程解的振动性质
振 动性 的研究 成 为一个热 门课 题 ， 有不少关 于 二阶脉 冲微 分方 程 的 文献 问 世 ， 文献 ［ 如 １—５ ． 文在 文 献 ］本 ［ ］的基础上 ， ４ 考虑 如 下二 阶非线 性时 滞脉 冲微分 方程
ｆｒ ｚ （） ＋ ｆ ｔｘ ｔ ｒ ）一 ０ ≥ ｔ， ≠ ｔ； （ （）ｌ （）Ｉ ￡ ） ｚ （， （ — ） ，ｔ ｏ ｔ
第２ ６卷第 ３期
Ｖｏ ． ６ Ｎｏ ３ Ｉ２ ， ．
２１ ０ ０年 ６月
Ｊ ｎ ２ １ ｕ ．， ０ ０
【 分 方程 与 动 力 系统 研 究 】 微
一
类 二 阶 非 线 性 时 滞 脉 冲 微 分 方 程 解 的 振 动 性 质
徐 化 忠
（ 州 学院 数学 与信 息科学 系 ， 滨 山东 滨州 ２ ６ ０ ） ５ ６ ３
—
（ （ ）ｈ （ ）∈ Ｃ Ｒ， ）存在 正数 ， ， ， ， Ａ ） ｚ ，ｋｚ （ Ｒ ， ｂ ｂ 满足 ｚ≠ ０时 ， ≤ ｋ 瓦
ｋ．
函数 ｚ：ｔ ～ ｒｔ ＋ ） Ｒ， ≥ ０ ｈ＞ ０ 为方 程 （ ）的解 ， Ｅ。 ， 。 一 ｔ 。 ， 称 １ 如果 满足 ：
（ ）一 ｇ （ ） ｚ （ Ｉ ＾ ， ￡）： ｈ （ ） ｊ ；
（） １
Ｉ（ 一 ，∈ Ｅ —ｒｔ ，（ ） ｏｚ（ 一 － ￡ （ ｔ ｔ ， ］ｚ￡ 一ｚ ， ） ｚ ｚ） ） ｏ ｏ ０
的＞ ， ，，
一
二 非 脉 振 报 关 键 词 ： 阶 ； 线 性 ； 冲 微 分 方 程 ； 动 性
中 图 分 类 号 ： ７ ０ １５
ｉ ２
文献标 识码 ： Ａ
文 章 编 号 ：６ ３ ６ ８ ２ １ ） ３—０ １ Ｏ １ ７ —２ １ （ ０ ０ ０ ０ １一 ５
一类二阶脉冲时滞微分方程的振动性
一
（
： ｌｍ ｉ
…
…
定 义 函数 （）： ｔ ｒ ＋ ｏ ） Ｒ 称 为 方 程 （ ）的解 ， ｆ Ｉ。 ， ｏ 一 １ 如果 满 足
１ （）一 ｐ ｆ ， ∈ Ｉ。 ｒｔ］ ） ｆ （）ｔ ｔ … ；
２ ）当 ｔ ｔ、 ≠ ｆ（ ≠ ｔ ＾∈ Ｎ） ， （） 乎 处处 满 足 （） － （） － （ （ — ｒ 时 ｆ几 ， ｆ ４ 户 ｔｘ４ ｑ ） ｔ ）一 ０ 且 （ ） ｃ （ ， ］ Ｒ （ ， ￡ ∈ ［ ｔ ｔ ， ］ ＾∈ Ｎ） … ，
ｒ＋ ｃ 。 ｒ＋ ∞
定理 １ 设 引理 的条件（ 、Ａ）且 “ ＞ １ ０ ｂ １ ∈ Ｎ）并且 Ｉ ｔ （）ｔ Ｈ）（ ， 女 ，＜ 女 （ ， ｐ ｆｄ 一＋ｏ Ｉ ｔ（）ｔ ｏ或 ｑ ｆｄ 一＋ｏ 则方程（ ） ｏ， １
Ｊ Ｊ
的 任 意 有 界 解 是振 动 的 。 证 设 方 程 （ ） 一 非振 动有 界 解 （ ） 不 妨 设 存 在 Ｔ＞ ｔ， ｔ Ｔ时 ， （ — ｒ ＞ ０ 由引 理 知 存 在 Ｔ ＞ Ｔ， ｔ 三 １ 有 ｔ， 。当 ＞ 有 ｔ ） ， 。 当 三 二
（ ）一 ｎ ｔ一 （） ｔ
（ ）
（ ｔ∈ ［ｏ— ｒ ｔＪ ｔ ，０ ）
解 的 振 动性 ， 中 ０ ｔ ｔ ＜ … ＜ ｔ ＜ … ， 其 。＜ １ 女 ０＜ ｒ ｔ 一 ｔ ＜＋ ， ｉ ｔ 一＋ （ ∈ Ｎ） ａ 、女 为 大 于 零 的 常数 ， … 女 ｌ 女 ｍ ；女ｂ 均 且
一一 ａ ａ＞ ０ 。 ｐ（） 三 ０ ｑ ｔ 三＝ 、 ｆ ＞ ０、 ｔ ｒ （ ）由 ｆ 三＝ 、 （） 三 ０ （ ） （ — ）＞ ０ ｔ Ｔ）以及 （）一一 ｐ（） ｆ 一ｑ ｆ ｔ ｒ （ ． ． ， 有 （ ） （＞ ｆ ｔ （ ） （ ） — ） ａ ｅ ） 就 （ ｆ
二阶非线性延滞微分方程解的振动性
、
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朴 其中 矛盾
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第 九卷
1
第 二期
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西 藏大 学 学 报 ) T . I ET U
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236
数 学 的 实 践 与 认 识
40 卷
+ 1
= - q ( t) -
f′ ( x ( g ( t) ) ) g ′ ( t) N ( ( x ( t) ) f ( x ( g ( t) ) )
+ 1 - 1 1
)
W ( t)
- q ( t) - K W ( t ) 两边乘以 H ( t , s ) , 再在 [ t0 , t] 上积分, 可以得到
- 1
的解的振动性质, 文[ 2] 研究了二阶半线性微分方程 ( a ( t) ( x ( t) x ′ ( t) x′ ( t) ) ′ + q ( t) f ( x ( t ) ) = 0, > 0 的解的振动性质, 分别建立了上述方程的若干个振动性定理. 在此基础上 , 本文讨论了一类 较为广泛的二阶半线性时滞微分方程 : ( ( x( t) ) x ′ ( t) x′ ( t) ) ′ + q ( t) f ( x ( g ( t ) ) ) = 0, > 0 (E) 的解的振动性质, 在一定条件下 , 建立了两个新的振动性定理 , 推广和改进了已知的结果. 对于方程 ( E ) , 约定: i) q : [ t0 , ∞ ) → R , q ( t ) > 0; ii) , f : R → R 连续, 且 ( x ) =
+ 1
于是 1 H ( t , t 0)
∫
t
0
t
q ( s) H ( t, s ) -
h + 1( t , s ) ds H ( t , s)
W ( t0) , t
t0
ห้องสมุดไป่ตู้
令 t → ∞ , 两边取极限 , 即可推出矛盾, 于是定理得证. 推论 1 若方程 ( E ) 条件变为 : i) q : [ t0 , ∞ ) → R , q ( t ) > 0; ii) , f : R → R 连续 , 且 ′ ( x) 个常数 ; iii ) g ( t) ∈ C [ t 0, ∞) , t 0 ∈ R , g ′ ( t) > 0, 当 t → ∞ 时 , g ( t) → ∞ , 并且对任意大的 t , 有 g( t ) t. 并且条件 ( C 1) 和( C 2 ) 成立 , 则方程( E ) 振动 . 例 对于上面定理 , 可以考虑下面例子 : ( x ( t)
第 40 卷第 1 期 2010 年 1 月
数学的实践与认识 M AT HEM A T ICS IN PRACT ICE AND T HEORY
V ol. 40 N o. 1 Jan. , 2010
教学园地
一类二阶半线性时滞微分方程解的振动性质
窦向凯, 张全信 , 徐振民
( 滨州学院 数学与信息科学系 , 山东 滨州 256603)
3+
0, f ( x ) ∈ C ( - ∞, ∞ ) , x f ( x ) > 0, x ≠ 0, > 0 是一
x′ ( t)
- 1
x′ ( t) ) + t
′
2 - co s t 3 t + sin t x 2 = 0 t
q( t ) = t
2 - cos t + sin t t
1期
窦向凯 , 等 : 一类二阶半线性时滞微分方程解的振动性质
0
t
q( s ) d s =
d( s ( 2 ∫
t
0
t
cos t) ) = t ( 2 - cos t ) - t0 ( 2 + cos t ) t - k0
= t ( 2 - co s t ) - k 0 令 H ( t , s) = ( t - s ) , t 1 t2
2 t t t t t
0
2
t0 , 则
2 + 1
[ ( t - s ) q( s ) - 2 ∫ 1 q ( u ) du = ∫2( t - s) ∫ t 2 ( t - s) ( s - k ) d s t∫
s t
0 0
( t - s) -
1-
] ds ds
2 + 1 ( t - s ) 12+2 (t ∫
t0 t
2
0
t0
t
( x ( t) ) x ′ ( t) x′ ( t) 2 f′ ( x ( g ( t) ) ) x ′ ( g( t ) ) g′ ( t) f ( x ( g ( t) ) ) f′ ( x ( g ( t) ) ) g ′ ( t ) N ( x ( t) ) x ′ ( t) 2 f ( x ( g( t ) ) )
收稿日期 : 2009-03-20 基金项目 : 滨州学院“ 青年人才创新工程” 科研基金 ( BZX Y Q N LG 200725)
i+ l ( i) ( i)
t, g ′ ( t ) > 0, g ( t) → ∞, y ( t ) ∈ C n, y ( t ) 常号, y ( n) ( t) ≠ 0, y ( n) ( t ) y ( t ) t1 T;
t
0
t
H ( t, s) ds s
+ 1
于是有
∫
t
0
t
q ( s ) H ( t , s ) ds
W ( t 0 ) H ( t , t 0) +
( h( t , s ) ∫
t
0
t
W ( s ) - kH ( t , s ) W ( s )
) ds
令 X = ( K H ( t , s) ) Y = q= 由引理 3 知 W ( s ) h ( t, s ) - K H ( t, s ) { W ( s ) 因此对于任意 t t0 有
+ 1
证明 假设 x ( t ) 是方程( E) 的非振动解 , 不失一般性, 假设 x ( t ) > 0, t W ( t) = 由于 ( ( x ( t) ) x ′ ( t) 于是 ( x′ ( t) 因此有 x ″ ( t) 0. 0, 从而 x ′ ( t ) > 0. 又由引理 2 知 x ″ ( t) x′ ( t) x′ ( t) > N t 于是 x′ ( g ( t) ) > N g ( t) 由上面引理 1 和引理 2 知 W′ ( t) = - q ( t) - q ( t) n- 2 n- 2 2 - 1
+ 1 + 1
W ( t)
2
h ( t , s) + 1 + 1 ( K H ( t, s ) )
+ 1
h ( t , s) H ( t, s )
t
+ 1
∫
t0
t
q ( s) H ( t, s ) ds
W ( t 0) H ( t , t 0 ) +
∫
t0
h ( t , s) d s H ( t, s )
( x ( t) ) x ′ ( t) x′ ( t) f ( x ( g ( t) ) )
- 1
- 1
x′ ( t) ) ′ = ( ( x ( t ) ) sg n( x ( t ) ) = ( x( t)
- 1
( x′ ( t) ) sg n( x ′ ( t) ) ( x′ ( t) 0
2
- 1
0 0 + - 1
x
- 1
x , x f ( x ) > 0, x ≠ 0, > 0 是一个常数 ;
iii ) g ( t) ∈ C [ t , ∞) , t ∈ R , g ′ ( t) > 0, 当 t → ∞ 时 , g ( t) → ∞ , 并且对任意大的 t , 有 g( t ) t. 在进行新的定理证明之前, 我们首先建立几个引理[ 3-6] 引理 1 对半线性时滞微分方程 d ( y ( n- 1) ( t ) ) + c( t ) ( y ( g ( t ) ) ) = 0 dt 其中 c ( t) 0, t i) ii) 0, g ( t ) T 则 t1 T t0 , 使得 y ( t ) 常号 , i = 1, 2, …, n - 1, t l ∈ { 1, 2, … , n - 1} , n + l 是奇数 , 使得 y ( i) ( t ) > 0, t ( - 1)
( t) y
( n)
( t) y
0
n- 1
y′ ( t) > N t 引理 3 若 X , Y 为非负实数 , 有
q q
n- 2
( t) 0, q > 1
X + ( 1 - q ) Y - qX Y 其中等号成立当且仅当 X = Y . 定理 1 假设( C 1 ) : f′ ( x ( g( t ) ) ) g ′ ( t) N 1 ( ( x ( t ) f ( x ( g ( t ) ) ) - 1) 定义 = 又假设存在平均函数 H 1: D = { ( t , s ) t s ) > 0. H 2: h ( t , s) = 并且条件 ( C 2) : lim sup t →+ ∞ 成立, 则方程 ( E ) 振动. 1 H ( t , t0 ) s t 0 → R , 使得当 t 1 K
∫
t
0
t
W′ ( s ) H ( t , s) d s
-
∫
t
0
t
q ( s ) H ( t , s ) ds - K
H ( t, s ) ∫
t
0
t
+ 1
W ( s)
ds
又因为
∫
t