1.3.1 量词(教学案)
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.3 全称量词与存在量词 1.3.1 全称量词与全称命题 1.3.
2.特称命题 “有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等都有表示个别或一部分 的含义,这样的词叫作存在量词,含有存在量词的命题,叫作特称命 题. 【做一做2】 下列命题不是特称命题的是( ) A.有些实数没有平方根 B.能被5整除的数也能被2整除 C.存在x∈{x|x>3},使x2-5x+6<0 D.有一个m,使2-m与|m|-3异号 答案:B
题型一 题型二 题型三 题型四
解:(1)不等式m+f(x)>0可化为m>-f(x),即m>-x2+2x-5=-(x-1)2-4. 要使m>-(x-1)2-4对于任意x∈R恒成立,只需m>-4即可. 故存在实数m,使不等式m+f(x)>0对于任意x∈R恒成立,此时,只 需m>-4. (2)不等式m-f(x)>0可化为m>f(x),若存在一个实数x,使不等式 m>f(x)成立,只需m>f(x)min.
【做一做 3】 给出下列命题:
①任意 x∈R, ������是无理数; ②任意������, ������∈R,若 xy≠0,则 x,y 中至少
有一个不为 0;③存在实数既能被 3 整除又能被 19 整除.
其中真命题为
.(填序号)
解析:①是假命题,例如 4是有理数;②是假命题,若 xy≠0,则 x,y
题型一 题型二 题型三 题型四
题型三 利用全称命题、特称命题求参数范围
【例3】 已知函数f(x)=x2-2x+5. (1)是否存在实数m,使不等式m+f(x)>0对于任意x∈R恒成立?并 说明理由. (2)若存在一个实数x,使不等式m-f(x)>0成立,求实数m的取值范围. 分析:可考虑用分离参数法,转化为m>-f(x)对任意x∈R恒成立和 存在一个实数x,使m>f(x)成立.
幼儿园大班语言教案认识量词
幼儿园大班语言教案认识量词
教案主题：认识量词
教案目标：
1.认识数量词的概念；
2.掌握常见的数量词，并能正确运用；
3.进一步发展幼儿的口语表达能力。
教学准备：
图片或实物，如苹果、书、球等。
教学过程：
1.导入新知识（5分钟）
教师问学生一些与数量有关的问题，如“你们有几个手指头？”“你们有几个眼睛？”等，引导幼儿关注数量，并引出“数量词”这个概念。
2.学习常见的数量词（10分钟）
教师出示一些图片或实物，如苹果、书、球等，然后问学生“有几个？”学生回答后，教师介绍并板书相应的数量词，如“一个”、“两个”、“三个”等，并引导学生跟读。
3.练习数量词的运用（15分钟）
教师出示一些图片或实物，让学生用适当的数量词进行描述，如“这是一个苹果”，“那是三本书”，通过实际操作巩固学生对数量词的理解和运用。
4.拓展思维（10分钟）
教师出示一些图片或实物，让学生发散思维，想象可以用什么数量词来描述，如“有一箱苹果”、“有很多鸟”等，鼓励学生创造性地运用数量词。
5.小结（5分钟）
教师对本节课的内容进行小结，回顾所学的数量词，并帮助学生巩固记忆。
6.课堂延伸（5分钟）
教师鼓励学生在日常生活中观察和使用数量词，如数一数教室里的物品，用数量词描述自己的衣服等。
教学反思：
本节课通过图片和实物的展示，引导幼儿认识数量词，并进行了实际的练习，帮助幼儿巩固了对数量词的认识和运用。
不过，教师在教学过程中可以加入一些趣味性的活动，以激发幼儿的学习兴趣。
另外，还可以通过配合手势和表情，让幼儿更好地理解和记忆数量词。
一年级量词教案
一年级量词教案教案标题：一年级量词教案教学目标：1. 学生能够理解量词的概念，并能正确运用常见的量词。
2. 学生能够在实际生活中运用量词描述物体的数量。
3. 学生能够通过练习巩固和强化所学的量词知识。
教学准备：1. 教师准备好量词相关的教学素材，如图片、卡片等。
2. 学生准备好练习册和铅笔。
教学过程：引入活动：1. 教师出示一些图片，如一只猫、一本书、一张纸等，引导学生观察并描述图片中物体的数量。
2. 教师问学生：“你们注意到每张图片中有什么共同点吗？”引导学生发现每张图片中都有物体的数量。
3. 教师解释量词的概念：“量词是用来表示物体的数量的词语，比如一只、一本、一张等。
”4. 教师举例说明不同的量词可以用来描述不同的物体，比如一只猫、一本书、一张纸等。
探究活动：1. 教师出示一些物体，如一本书、一支笔、一张纸等，让学生观察并用正确的量词描述物体的数量。
2. 学生与教师一起讨论每个物体应该使用哪个量词，教师引导学生正确使用量词。
3. 教师逐步增加难度，出示一些复数物体，如两本书、三支笔等，让学生用正确的量词描述数量。
拓展活动：1. 教师出示一些图片，让学生用正确的量词描述图片中物体的数量。
2. 学生分组进行小组活动，每组选择一张图片，用不同的量词描述图片中物体的数量，并向全班展示。
3. 教师提供练习册，让学生完成相关的练习，巩固所学的量词知识。
总结活动：1. 教师与学生一起回顾所学的内容，强调量词的重要性和正确运用的方法。
2. 学生分享自己在实际生活中使用量词的经验和感受。
3. 教师对学生的学习成果给予肯定和鼓励。
教学延伸：1. 学生可以通过观察周围环境，寻找并记录不同物体的数量，并用正确的量词进行描述。
2. 学生可以设计自己的量词游戏，与同学们一起进行分享和交流。
教学评估：1. 教师观察学生在活动中的表现，包括正确使用量词描述物体数量的能力和参与度。
2. 教师检查学生完成的练习册，评估学生对量词的理解和运用能力。
《量词》课程设计教案：教学步骤详解
本次教学课程设计的主题是《量词》，旨在帮助学生掌握汉语中的量词用法，提高其语言表达能力。
本文将详细介绍本次课程的教学步骤和教学内容。
一、教学目标通过本次课程的教学，学生能够：1.掌握汉语中常用的量词及其用法；2.学会运用量词进行数词的组合；3.提高听说能力和语言表达能力；4.培养学生的语言思维能力和创造力。
二、教学重难点1.教学重点常用量词及其用法的掌握。
2.教学难点运用量词组合数词的能力。
三、教学内容和步骤1.导入先给学生讲解什么是量词，让学生知道量词的作用是表示数量或数量大小关系，人们用它来修饰名词，表示前面名词的数量多少的语法成分。
例如：“三个苹果”中的“个”就是量词。
2.教学重点1）量词一般是和数词配合使用，主要有：个、只、条、头、把、张、本、位等。
2）同一类物品使用不同的量词，如量体积的物品使用升、毫升等。
3）不同种类物品使用不同的量词。
3.教学难点上述知识点都是基础知识，难点则是需要学生通过练习灵活运用。
4.课堂练习教师可以给学生出几个练习在课堂上练习，让学生通过练习灵活掌握。
例如：1）一位顾客要求买5个馒头，请问店员应该说什么？2）小明一周要吃掉8个苹果，请问应该用什么量词？3）我买了一本新书，请问应该用什么量词？4）昨天我去了一趟超市，买了两条毛巾和三个苹果，请问应该用什么量词？以上几个练习都是比较简单的，能帮助学生巩固量词的用法。
5.课后练习为了加深学生对量词的记忆，教师可以布置一些家庭作业，学生可以在家里进行练习。
例如：1）请先阅读以下物品清单（10-15分钟），然后在纸上写出正确的量词。
a.一支笔、一口水、一段香肠、一片蛋糕b.一头猪、一根白菜、一棵树、一袋米c.一斤西瓜、一把芹菜、一包火腿、一张纸2）编写一首小诗（6-8行），要求加入至少3个量词，并使用合适的汉字表达出物品特性。
例如：天空中的星星,闪烁的亮光真美。
其中，有几颗是你的？是不是一颗、两颗、五颗？。
通过这样的练习，学生可以巩固量词的重要性，变得更加熟练。
1.1.量词-人教B版选修2-1教案
1.1 量词-人教B版选修2-1教案一、课程概述1.1 量词是人教B版选修二中的第一节课，本节课教学内容主要包括：认识量词、了解量词的分类以及量词的用法等。
通过本节课的学习，旨在使学生能够掌握量词的基本概念和分类方法，进一步认识量词在语言使用中的作用。
二、教学目标1.了解量词的概念、分类、用法及其在汉语中的作用。
2.熟练并准确掌握手头的量词，正确运用量词。
3.能够在不同的语境中使用恰当的量词，加深对量词的理解与感知。
4.注重培养学生的语感，提高学生的语言运用能力。
三、教学重难点重点1.了解量词的概念、分类。
2.掌握量词的用法。
3.了解量词在语言使用中的作用。
难点1.理解量词的具体应用与语义翻译。
2.在实践中正确运用量词。
四、教学内容与步骤教学内容1.量词的概念及分类2.量词的用法与意义3.量词在语境中的应用教学步骤步骤一1.教师介绍和解释量词的概念。
2.授课并讲解量词的分类，并逐一对各类量词进行解释和举例。
步骤二1.学生与教师一同完成量词的习题练习，加强学生对量词的理解。
2.学生观看相关视频资料，了解量词在中文语言中的应用。
步骤三1.学生在老师的指导下，课堂上进行语言实践练习，对所学到的量词进行语境运用与语义翻译。
2.学生进行语境对话练习，以加深对量词的理解与感受。
五、教学资料1.量词教学板书。
2.相关视频资料与练习资料。
六、教学评价学生学习评价1.学生能够正确理解量词的概念、分类和应用方法。
2.学生能够在实践中熟练使用所学习的量词，并理解量词在语言中的作用意义。
3.学生对量词的运用和理解能力有明显提升。
教学效果评价学生掌握程度：★★★★☆教学效果：★★★★☆七、教学反思1.教学中需要用一些生动有趣的教学方法，以增强学生的学习兴趣。
2.通过实践让学生在实践中理解量词的用法及作用是比较有效的教学方式。
3.需要注意加强对学生的语言运用能力的培养和训练。
数量词优秀教案设计
数量词优秀教案设计一、教学目标1.让学生掌握基本的数量词，能够正确运用数量词表达物品的数量。
2.培养学生运用数量词进行数学计算的能力。
3.激发学生学习数量词的兴趣，提高学生的语言表达能力。
二、教学内容1.数量词的基本概念及分类2.常见数量词的用法3.数量词在实际生活中的应用三、教学重点与难点1.重点：掌握基本数量词的用法，能够正确运用数量词表达物品的数量。
2.难点：数量词的灵活运用，以及在实际生活中的应用。
四、教学过程（一）导入1.老师拿出一些物品，如：苹果、书本、笔等，让学生观察并说出这些物品的数量。
（二）基本概念讲解1.老师讲解数量词的定义、分类及作用。
2.学生跟随老师一起朗读数量词的定义、分类及作用。
（三）数量词用法讲解1.老师讲解常见的数量词，如：个、只、条、辆等，并举例说明用法。
2.学生跟随老师一起朗读数量词的用法，并尝试自己造句。
（四）数量词实际应用1.老师设计一些生活场景，让学生运用数量词进行描述。
2.学生分组讨论，每组选一个代表进行分享。
示例场景：（1）小明在文具店买了5支笔，2个本子，1块橡皮。
（2）小华家里有3只狗，4只猫，1只鸟。
（五）巩固练习1.老师给出一些数量词，让学生用这些数量词造句。
2.学生分组讨论，每组选一个代表进行分享。
示例数量词：个、只、条、辆（六）拓展延伸1.老师讲解数量词在数学计算中的应用，如：加法、减法、乘法、除法等。
2.学生跟随老师一起进行数学计算练习。
示例题目：（1）小明的铅笔比小华多3支，小明有多少支铅笔？（2）小华家里有5只鸡，每天下3个蛋，5天后有多少个蛋？2.学生自由发言，分享自己的学习心得。
五、课后作业1.复习本节课所学的数量词，掌握其用法。
2.家长协助孩子进行数学计算练习。
六、教学反思本节课通过讲解数量词的定义、分类、用法及实际应用，让学生掌握了基本数量词的用法。
在教学过程中，老师注重启发式教学，让学生在生活场景中运用数量词，提高了学生的语言表达能力。
第1章 量词
§1.3 全称量词与存在量词1.3.1 量 词学习目标 1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和存在性命题的概念.3.能判定全称命题和存在性命题的真假并掌握其判断方法.知识点一 全称量词与全称命题思考 观察下列命题：①每一个三角形都有内切圆；②所有实数都有算术平方根；③对一切有理数x,5x＋2还是有理数.以上三个命题中分别使用了什么量词？根据命题的实际含义能否判断命题的真假.答案 命题①②③分别使用量词“每一个”“所有”“一切”.命题①③是真命题，命题②是假命题.三个命题中的“每一个”“所有”“一切”都有全部、所有的意义，要求命题对某个集合的所有元素都成立，而负实数没有算术平方根，故命题②为假命题.梳理 (1)(2)判断全称命题真假性的方法：对于全称命题“∀x∈M，p(x)”，要判断它为真，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判断它为假，只需在M中找到一个x，使p(x)不成立，即“∃x∈M，p(x)不成立”.知识点二 存在量词与存在性命题思考 观察下列命题：①有些矩形是正方形；②存在实数x，使x>5；③至少有一个实数x，使x2－2x＋2<0.以上三个命题分别使用了什么量词？根据命题的实际含义能否判断命题的真假.答案 命题①②③分别使用了量词“有些”“存在”“至少有一个”.命题①②是真命题，命题③是假命题.三个命题中的“有些”“存在”“至少有一个”等词都是对某个集合内的个别元素而言，要说明这些命题是真命题，只要举出一个例子即可.所以命题①②是真命题，而对任意实数x，x2－2x＋2都大于0，所以命题③为假命题.梳理 (1)(2)判断存在性命题真假性的方法：要判断一个存在性命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则，这一存在性命题是假命题.1.“某些”“有个”“有的”等短语不是存在量词.( × )2.全称命题一定含有全称量词，存在性命题一定含有存在量词.( × )3.全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”.( √ )类型一 全称命题与存在性命题的识别例1 判断下列语句是全称命题还是存在性命题：(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有的向量方向不定；(3)对任意角±，都有sin2±＋cos2±＝1；(4)有一个函数，既是奇函数又是偶函数；(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直.考点 全称量词及全称命题、存在量词及存在性命题题点 识别全称命题和存在性命题解 (1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和都等于360°”，故为全称命题.(2)含有存在量词“有的”，故是存在性命题.(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题.(4)含有存在量词“有一个”，故为存在性命题.(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题.反思与感悟 判断一个语句是全称命题还是存在性命题的思路跟踪训练1 判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题：(1)自然数的平方大于或等于零；(2)对每一个无理数x，x2也是无理数；(3)有的函数既是奇函数又是增函数；(4)对于数列{}nn＋1，总存在正整数n，使得a n与1之差的绝对值小于0.01.考点 全称量词及全称命题、存在量词及存在性命题题点 识别全称命题和存在性命题解 (1)是全称命题，表示为∀x∈N，x2≥0.(2)是全称命题，∀x∈{x|x是无理数}，x2是无理数.(3)是存在性命题，∃f(x)∈{函数}，f(x)既是奇函数又是增函数.(4)是存在性命题，∃n∈N*，|a n－1|＜0.01，其中a n＝nn＋1.类型二 全称命题与存在性命题的真假判断例2 判断下列命题的真假，并给出证明：(1)任意两向量a，b，若a·b>0，则a，b的夹角为锐角；(2)∃x，y为正实数，使x2＋y2＝0；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；(4)∀x∈N，x2>0.考点 全称量词及全称命题、存在量词及存在性命题题点 全称命题和存在性命题真假判断解 (1)∵a·b＝|a||b|·cos 〈a，b〉>0，∴cos 〈a，b〉>0.又0≤〈a，b〉≤À，∴0≤〈a，b〉<π2，即a，b的夹角为零或锐角.故它是假命题.(2)∵当x2＋y2＝0时，x＝y＝0，∴不存在x，y为正实数，使x2＋y2＝0，故它是假命题.(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题.(4)∵0∈N,02＝0，∴命题“∀x∈N，x2>0”是假命题.反思与感悟 要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).跟踪训练2 有下列四个命题：①∀x∈R,2x2－3x＋4>0；②∀x∈{1，－1,0},2x＋1>0；③∃x∈N，x2≤x；④∃x∈N*，x为29的约数，其中真命题的个数为________.考点 全称量词及全称命题、存在量词及存在性命题题点 全称命题和存在性命题真假判断答案 3解析 ①中，2x2－3x＋4＝2(x－342＋238>0，故①正确；②中，当x＝－1时，2x＋1<0，故②不正确；③中，当x＝0或1时，x2≤x，故③正确；④中，∃29∈N*,29为29的约数，故④正确.∴真命题的个数为3.类型三 全称命题、存在性命题的应用例3 ∀x∈[－1,2]，使4x－2x＋1＋2－a<0恒成立，求实数a的取值范围.考点 全称量词及全称命题、存在量词及存在性命题题点 由全称命题和存在性命题求参数范围解 已知不等式化为22x－2·2x＋2－a<0，①令t＝2x，∵x∈[－1,2]，∴t∈[]12，4，则不等式①化为t2－2t＋2－a<0，即a>t2－2t＋2，原命题等价于∀t∈[]12，4，a>t2－2t＋2恒成立，令y＝t2－2t＋2＝(t－1)2＋1，当t∈[]12，4时，y max＝10.∴只需a>10即可.即所求实数a的取值范围是(10，＋∞).引申探究本例改为：∃x∈[－1,2]，使4x－2x＋1＋2－a<0成立，求实数a的取值范围.解 已知不等式化为22x－2·2x＋2－a<0，①令t＝2x，∵x∈[－1,2]，∴t∈[]12，4，则不等式①化为t2－2t＋2－a<0，即a>t2－2t＋2，原命题等价于∃t∈[]12，4，使a>t2－2t＋2成立.令y＝t2－2t＋2＝(t－1)2＋1，当t∈[]12，4时，y min＝1.∴只需a>1即可.∴a的取值范围为(1，＋∞).反思与感悟 有解和恒成立问题是存在性命题和全称命题的应用，注意二者的区别.跟踪训练3 (1)已知关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，求实数a的取值范围；(2)令p(x)：ax2＋2x＋1>0，若对∀x∈R，p(x)是真命题，求实数a的取值范围.考点 全称量词及全称命题、存在量词及存在性命题题点 由全称命题和存在性命题求参数范围解 (1)∵关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，∴”＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，解得a≥74，∴实数a的取值范围为[74，＋∞.(2)∵对∀x∈R，p(x)是真命题，∴对∀x∈R，ax2＋2x＋1>0恒成立，当a＝0时，不等式为2x＋1>0不恒成立，当a≠0时，若不等式恒成立，则{a>0，Δ＝4－4a<0，∴a>1，即a的取值范围为(1，＋∞).1.下列命题是“∃x∈R，x2>3”的表述方法的有________.①有一个x∈R，使得x2>3；②对有些x∈R，使得x2>3；③任选一个x∈R，使得x2>3；④至少有一个x∈R，使得x2>3.考点 存在量词与存在性命题题点 识别存在性命题答案 ①②④2.下列命题中全称命题的个数是________.①任意一个自然数都是正整数；②有的等差数列也是等比数列；③三角形的内角和是180°.考点 全称量词及全称命题题点 识别全称命题答案 2解析 ①③是全称命题.3.下列存在性命题是假命题的是________.①存在x∈Q，使得2x－x3＝0；②存在x∈R，使得x2＋x＋1＝0；③有的素数是偶数；④有的有理数没有倒数.考点 存在量词与存在性命题题点 存在性命题真假的判断答案 ②解析 对于任意的x∈R，x2＋x＋1＝(x＋122＋34>0恒成立，因此，使x2＋x＋1＝0的实数不存在，所以②为假命题.4.对任意的x>3，x>a都成立，则a的取值范围为________.考点 全称量词及全称命题题点 恒成立求参数的范围答案 (－∞，3]解析 只有当a≤3时，对任意的x>3，x>a都成立.5.用量词符号“∀”“∃”表述下列命题：(1)凸n边形的外角和等于2 À.(2)有一个有理数x满足x2＝3.考点 全称量词及全称命题、存在量词及存在性命题题点 识别全称命题和存在性命题解 (1)∀x∈{x|x是凸n边形}，x的外角和是2 À.(2)∃x∈Q，x2＝3.1.判断命题是全称命题还是存在性命题，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断.2.要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题.3.要确定一个存在性命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在性命题是假命题.一、填空题1.下列命题中，是全称命题且是真命题的是________.(填序号)①对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0；②菱形的两条对角线相等；③∀x∈R，x2＝x；④对数函数在定义域上是单调函数.考点 全称量词及全称命题题点 全称命题真假的判断答案 ④解析 ①中的命题是全称命题，但a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故是假命题；②中的命题是全称命题，但是假命题；③中的命题是全称命题，但x2＝|x|，故是假命题；很明显④中的命题是全称命题且是真命题.2.下列命题中，既是真命题又是存在性命题的是________.(填序号)①存在一个角±，使得tan(90°－±)＝tan ±；②存在实数x，使得sin x＝π2；③对一切±，sin(180°－±)＝sin ±；④sin(±－²)＝sin ±cos ²－cos ±sin ².考点 存在量词与存在性命题题点 存在性命题真假的判断答案 ①解析 ∵当±＝45°时，tan(90°－45°)＝tan 45°，∴①为真命题，且为存在性命题；②中对∀x∈R，有sin x≤1<π2，∴②为假命题；③④都是全称命题.3.下列命题中的假命题是________.(填序号)①∃x∈R，lg x＝0；②∃x∈R，tan x＝1；③∀x∈R，x3>0；④∀x∈R,2x>0.考点 全称量词及全称命题、存在量词及存在性命题题点 全称命题和存在性命题真假判断答案 ③解析 对于①，当x＝1时，lg x＝0，正确；对于②，当x＝π4时，tan x＝1，正确；对于③，当x＜0时，x3＜0，错误；对于④，∀x∈R,2x＞0，正确.4.已知命题：“∃x∈{x|－1<x<1}，使等式x2－x－m＝0成立”是真命题，则实数m的取值范围为________.考点 存在量词与存在性命题题点 存在性命题求参数的范围答案 [－14，2解析 已知命题：“∃x∈{x|－1<x<1}，使等式x2－x－m＝0成立”是真命题，得f(x)＝x2－x－m＝0在(－1,1)有解，由图象对称轴x＝12，则 {Δ＝1＋4m≥0， f－1＝1＋1－m>0，得m∈[－14，2.5.若命题“∃x∈[1,2]，使x2＋2x＋a≥0”为真命题，则实数a的取值范围为____________.考点 存在量词与存在性命题题点 存在性命题求参数的范围答案 [－8，＋∞)解析 令f(x)＝x2＋2x＋a，x∈[1,2].∵f(x)在[1,2]上为增函数，∴f(x)max＝f(2)＝8＋a，由题意知，8＋a≥0，得a≥－8.6.若“∀x∈[]0，π4，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________.考点 全称量词及全称命题题点 恒成立求参数的范围答案 1解析 “∀x∈[]0，π4，tan x≤m”是真命题，当x∈[]0，π4时，tan x≤1，所以m≥1.故实数m的最小值为1.7.设∀x∈R，函数y＝lg(mx2－4mx＋m＋3)有意义，则实数m的取值范围为__________.考点 全称量词及全称命题题点 恒成立求参数的范围答案 [0,1)解析 由题意，得mx2－4mx＋m＋3>0对任意x∈R都成立，当m＝0时，显然成立；当 {m>0，－4m2－4mm＋3<0，即0<m<1时，不等式也成立；当m<0时不符合题意.所以实数m的取值范围为[0,1).8.已知命题p：∀x∈R,2x2－2x＋1≤0，命题q：∃x∈R，sin x＋cos x＝2，则下列判断正确的是________.(填序号)①“p且q”是真命题；②“p或q”是真命题；③q是假命题；④“非p”是真命题.考点 全称量词及全称命题、存在量词及存在性命题题点 全称命题和存在性命题真假判断答案 ②④解析 由题意知，p假q真，故②④正确.9.在R上定义运算⊙：x⊙y＝x(1－y).∀x∈R，不等式(x－a)⊙(x＋a)＜1恒成立，则实数a的取值范围为________.考点 全称量词及全称命题题点 恒成立求参数的范围答案 (－12，32解析 由题意，知(x－a)⊙(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)＝x－x2＋a2－a＜1，即x2－x＋1＞a2－a.∴对∀x∈R，不等式x2－x＋1＞a2－a恒成立，即(x2－x＋1)min＞a2－a恒成立.又x2－x＋1＝(x－122＋34≥34，∴a2－a＜(x2－x＋1)min＝34，解得－12＜a＜32，∴a的取值范围为(－12，32.10.已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥e x”，命题q：“∃x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为________.考点 全称量词及全称命题、存在量词及存在性命题题点 由全称命题和存在性命题真假求参数范围答案 [e,4]解析 由命题“p∧q”是真命题，得命题p，q都是真命题.因为x∈[0,1]，所以e x∈[1，e]，所以a≥e；∃x∈R，x2＋4x＋a＝0，即方程x2＋4x＋a＝0有实数根，所以”＝42－4a≥0，解得a≤4，取交集得a∈[e,4].二、解答题11.判断下列命题是不是全称命题或存在性命题，若是，用符号表示，并判断其真假：(1)有一个实数±，使sin2±＋cos2±≠1；(2)任何一条直线都存在斜率；(3)所有的实数a，b，方程ax＋b＝0恰有唯一解；(4)存在实数x，使得1x2－x＋1＝2.考点 全称量词及全称命题、存在量词及存在性命题题点 由全称命题和存在性命题真假求参数范围解 (1)是一个存在性命题，用符号表示为“∃±∈R，sin2±＋cos2±≠1”，是一个假命题.(2)是一个全称命题，用符号表示为“∀直线l，l都存在斜率”，是一个假命题.(3)是一个全称命题，用符号表示为“∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有唯一解”，是一个假命题.(4)是一个存在性命题，用符号表示为“∃x∈R，1x2－x＋1＝2”，是一个假命题.12.已知命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题“p∧q”是真命题，求实数a的取值范围.考点 全称量词及全称命题、存在量词及存在性命题题点 由全称命题和存在性命题真假求参数范围解 对于p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，即a≤x2，当x∈[1,2]时恒成立，∴a≤1，∴p：a≤1.对于q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，即方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，∴”＝4a2－4(2－a)≥0，∴a≤－2或a≥1.∴q：a≤－2或a≥1.又p∧q为真，故p，q都为真，∴{a≤1，a≤－2或a≥1，∴a≤－2或a＝1，∴实数a的取值范围为{a|a≤－2或a＝1}.13.已知函数f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立？并说明理由；(2)若存在实数x，使不等式m－f(x)>0成立，求实数m的取值范围.考点 全称量词及全称命题、存在量词及存在性命题题点 由全称命题和存在性命题真假求参数范围解 (1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可.故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时m>－4.(2)不等式m－f(x)>0可化为m>f(x).若存在实数x，使不等式m>f(x)成立，只需m>f(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，所以f(x)min＝4，故m>4.故所求实数m的取值范围是(4，＋∞).三、探究与拓展14.已知命题p：f(x)＝1－t·3x对∀x∈(－∞，0]有意义；命题q：数列{a n}中，a n＝n，且对∀n∈N*，均有1a1a2＋1a2a3＋…＋1an－1an＋1anan＋1<log21＋t1－t恒成立.若命题p与q有且仅有一个正确，试求实数t的取值范围.考点 全称量词及全称命题题点 恒成立求参数的范围解 (1)对于命题p，由f(x)＝1－t·3x在x∈(－∞，0]上有意义，知1－t·3x≥0，x∈(－∞，0]恒成立，即t≤(13x，x∈(－∞，0]恒成立，解得t≤1，所以，若命题p成立，则t≤1.(2)对于命题q，因为a n＝n，所以1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＝(1－12＋(12－13＋…＋(1n－1n＋1＝1－1n＋1<1，所以log21＋t1－t≥1，解得13≤t<1.因为命题p与q有且仅有一个正确，所以，若命题p成立，q不成立，则{t≤1，t<13或t≥1，所以t＝1或t<13，若命题p不成立，q成立，{t>1，13≤t<1，解得t∈∅.综上可知，t的取值范围是{}t|t＝1或t<13.15.是否存在k和等差数列{a n}，使ka2n－1＝S2n－S n＋1，其中S2n，S n＋1分别是等差数列{a n}的前2n项，前n＋1项的和.若存在，试求出常数k和数列{a n}的通项；若不存在，请说明理由.考点 存在量词与存在性命题题点 存在性命题求参数的范围解 假设存在.设a n＝pn＋q(p，q为常数)，则ka2n－1＝kp2n2＋2kpqn＋kq2－1，S n＝12pn(n＋1)＋qn.S2n－S n＋1＝32pn2＋(q－p2n－(p＋q)，则kp2n2＋2kpqn＋kq2－1＝32pn2＋(q－p2n－(p＋q).故有 {kp2＝32p， ①2kpq＝q－p2，②kq2－1＝－p＋q，③由①，得p＝0或kp＝32.当p＝0时，由②，得q＝0，而p＝q＝0不适合③，故p≠0.把kp＝32代入②，得q＝－p4；把q＝－p4代入③，由kp＝32，得p＝3227.从而q＝－827，k＝8164.故存在常数k＝8164及等差数列a n＝3227n－827，满足题意.。
2019_2020学年高中数学第1章常用逻辑用语的命题的否定讲义苏教版选修2_1
1.2 简单的逻辑联结词(不作要求)1.3 全称量词与存在量词1.3.1 量词1.3.2 含有一个量词的命题的否定学习目标核心素养1.理解全称量词与存在量词的意义，能准确地利用全称量词和存在量词叙述简单的数学内容．(重点)2.能判定全称命题和存在性命题的真假．(难点)3.了解对含有一个量词的命题的否定的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(易错点)1.通过对含有量词的命题的否定，培养逻辑推理素养．2.借助含量词的命题的真假求参数问题，提升数学运算素养.1．全称量词和全称命题全称量词“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词符号表示∀全称命题含有全称量词的命题称为全称命题符号表示∀x∈M，p(x)存在量词“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词符号表示∃存在性命题含有存在量词的命题称为存在性命题符号表示∃x∈M，p(x)写成相应命题的形式．(2)“不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任意实数x恒成立”是存在性命题还是全称命题？请改写成相应命题的形式．[提示] (1)是存在性命题，可改写为“∃x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”(2)是全称命题，可改写成：“∀x∈R，(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0”．3．全称命题和存在性命题的否定1．下列命题中为全称命题的是( ) A ．至少有一个自然数是2的倍数 B ．存在小于零的整数 C ．方程3x ＝2有实数根 D ．无理数是小数D [D 中“无理数”指的是所有的无理数．] 2．下列语句是存在性命题的是( ) A ．整数n 是2和7的倍数 B ．存在整数n ，使n 能被11整除 C ．x ＞7D ．∀x ∈M ，p (x )成立B [B 选项中有存在量词“存在”，故B 项是存在性命题，A 和C 不是命题，D 是全称命题．]3．下列四个命题中的真命题为( ) A ．∃x ∈Z,1<4x <3 B ．∃x ∈Z,5x ＋1＝0 C ．∀x ∈R ，x 2－1＝0 D ．∀x ∈R ，x 2＋x ＋2>0D [当x ∈R 时，x 2＋x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋74>0，故选D.]4．已知命题p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，则命题p 的否定是________．∃x ∈R ，sin x ＞1 [命题p 是全称命题，其否定应为存在性命题，即綈p ：∃x ∈R ，sinx ＞1.]两种命题的概念及真假判断【例1(1)∀x ∈N,2x ＋1是奇数；(2)存在一个x ∈R ，使1x －1＝0； (3)能被5整除的整数末位数是0； (4)有一个角α，使sin α>1[解] (1)是全称命题，因为∀x ∈N,2x ＋1都是奇数，所以该命题是真命题． (2)是存在性命题．因为不存在x ∈R ，使1x －1＝0成立，所以该命题是假命题． (3)是全称命题．因为25能被5整除，但末位数不是0，因此该命题是假命题． (4)是存在性命题，因为∀α∈R ，sin α∈[－1,1]，所以该命题是假命题．1．判断命题是全称命题还是存在性命题的方法 (1)分析命题中是否含有量词； (2)分析量词是全称量词还是存在量词；(3)若命题中不含量词，要根据命题的意义去判断． 2．全称命题与存在性命题真假的判断方法(1)要判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中每个元素x ，证明p (x )都成立；如果在集合M 中找到一个元素x ，使得p (x )不成立，那么这个全称命题就是假命题．(2)要判定存在性命题“∃x ∈M ，p (x )”是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x ，使p (x )成立即可；如果在集合M 中，使p (x )成立的元素x 不存在，那么这个存在性命题就是假命题．1．(1)以下四个命题既是存在性命题又是真命题的是( ) A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x ，使1x>2B [A 中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B 中x ＝0时，x 2＝0，所以B 既是存在性命题又是真命题；C 中因为3＋(－3)＝0，所以C 是假命题；D 中对于任一个负数x ，都有1x<0，所以D 是假命题．](2)下列命题中，真命题是( ) A ．∃x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin x ＋cos x ≥2B ．∀x ∈(3，＋∞)，x 2>2x ＋1 C ．∃x ∈R ，x 2＋x ＝－1D ．∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan x >sin x B [(1)对于选项A ，sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，∴此命题不成立；对于选项B ，x 2－2x －1＝(x －1)2－2，当x >3时，(x －1)2－2>0，∴此命题成立；对于选项C ，x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0，∴x 2＋x ＝－1对任意实数x 都不成立，∴此命题不成立；对于选项D ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，tan x <0，sin x >0，命题显然不成立．故选B.]含有一个量词的命题的否定x x 2x A ．∀x ∉R ，x 2≠x B ．∀x ∈R ，x 2＝x C ．∃x ∉R ，x 2≠x D ．∃x ∈R ，x 2＝x(2)写出下列命题的否定，并判断其真假： ①p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0；②p ：所有的正方形都是菱形； ③p ：至少有一个实数x ，使x 3＋1＝0.[思路探究] 先判定命题是全称命题还是存在性命题，再针对不同的形式加以否定． (1)D [原命题的否定为∃x ∈R ，x 2＝x ，故选D.] (2)[解] ①綈p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋14<0，假命题．因为∀x ∈R ，x 2－x ＋14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≥0恒成立．②綈p ：至少存在一个正方形不是菱形，假命题． ③綈p ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，假命题． 因为x ＝－1时，x 3＋1＝0.对全称命题和存在性命题进行否定的步骤与方法1．确定类型：是存在性命题还是全称命题．2．改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；把存在量词换为恰当的全称量词． 3．否定结论：原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．提醒：无量词的全称命题要先补回量词再否定．2．(1)命题“∃x ∈(0，＋∞)，ln x ＝x －1”的否定是( ) A ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1 B ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1 C ．∃x ∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1 D ．∃x ∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1A [存在性命题的否定是全称命题，故原命题的否定是∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1.] (2)写出下列命题的否定，并判断其真假．①p ：不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根； ②q: 存在一个实数x ，使得x 2＋x ＋1≤0； ③r ：等圆的面积相等，周长相等； ④s ：对任意角α，都有sin 2α＋cos 2α＝1.[解] ①这一命题可以表述为p ：“对所有的实数m ，方程x 2＋x －m ＝0有 实数根”，其否定形式是綈p ：“存在实数m ，使得x 2＋x －m ＝0没有实数根”．注意到当Δ＝1＋4m ＜0时，即m ＜－14时，一元二次方程没有实数根，所以綈p 是真命题．②这一命题的否定形式是綈q ：“对所有的实数x ，都有x 2＋x ＋1＞0”，利用配方法可以证得綈q 是真命题．③这一命题的否定形式是綈r ：“存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等”，由平面几何知识知綈r 是假命题．④这一命题的否定形式是綈s ：“存在α∈R ，sin 2α＋cos 2α≠1”，由于命题s 是真命题，所以綈s 是假命题.由命题的真假确定参数的范围1．若含参数的命题p 是假命题，如何求参数的取值范围？ 提示：先求綈p ，再求参数的取值范围．2．全称命题和存在性命题与恒成立问题和存在性问题有怎样的对应关系？提示：全称命题与恒成立问题对应，存在性命题与存在性问题对应．【例3】 (1)若命题p “∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．(2)已知命题p ：∃x ∈R,9x －3x－a ＝0，若命题p 是真命题，求实数a 的取值范围． [思路探究] (1)先求綈p ，再求参数的取值范围． (2)令3x＝t ，看作一元二次方程有解问题．(1) [－22，22] [綈p ：∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0为真命题． 则Δ＝9a 2－72≤0，解得－22≤a ≤22] (2)解：设3x＝t ，由于x ∈R ，则t ∈(0，＋∞)，则9x－3x－a ＝0⇔a ＝(3x )2－3x⇔a ＝t 2－t ，t ∈(0，＋∞)，设f (t )＝t 2－t ，t ∈(0，＋∞)，则f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－14，当t ＝12时，f (t )min ＝－14，则函数f (t )的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞.母题探究：1.若将本例题(2)条件“∃x ∈R ”，改为“∃x ∈[0,1]”，其他不变，试求实数a 的取值范围．[解] 设3x＝t ，x ∈[0,1]，∴t ∈[1,3]．a ＝t 2－t ，∵t 2－t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－14，∴a ＝t 2－t 在t ∈[1,3]上单调递增．∴t 2－t ∈[]0，6.即a 的取值范围是[]0，6.2．将本例题(2)换为“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m 是真命题”，试求m 的最小值．[解] 由已知可得m ≥tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4恒成立．设f (x )＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，显然该函数为增函数，故f (x )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝tan π4＝1，由不等式恒成立可得m ≥1，即实数m的最小值为1.应用两种命题求参数范围的两类题型1．全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以利用代入体现集合中相应元素的具体性质中求解；也可以根据函数等数学知识来解决．2．存在性命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．1．判断命题是全称命题还是存在性命题，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词，有些全称命题不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断．2．要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题．3．要确定一个存在性命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在性命题是假命题．4．对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：(1)确定命题类型，是全称命题还是存在性命题．(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词．(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等分别改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题“对数函数都是单调函数”是全称命题．( )(2)命题“有些菱形是正方形”是全称命题．( )(3)命题：∀x∈R，x2－3x＋3>0的否定是∀x∉R，x2－3x＋3≤0.()[答案] (1)√(2)×(3)×2．命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是( )A．所有不能被2整除的数都是偶数B．所有能被2整除的数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的数是偶数D．存在一个能被2整除的数不是偶数D[全称命题的否定为相应的存在性命题，即将“所有”变为“存在”，并且将结论进行否定．]3．命题p：∃x∈R，x2＋2x＋5＜0是________(填“全称命题”或“存在性命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定为綈p：________.存在性命题假∀x∈R，x2＋2x＋5≥0[命题p：∃x∈R，x2＋2x＋5＜0是存在性命题．因为x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4＞0恒成立，所以命题p为假命题．命题p的否定为：∀x∈R，x2＋2x＋5≥0.]4．判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断其真假；(1)对某些实数x，有2x＋1>0；(2)∀x∈{3,5,7},3x＋1是偶函数；(3)∃x∈Q，x2＝3[解] (1)命题中含有存在量词“某些”，因此是存在性命题，真命题．(2)命题中含有全称量词的符号“∀”，因此是全称命题．把3,5,7分别代入3x＋1，得10,16,22，都是偶数，因此，该命题是真命题．(3)命题中含有存在量词的符号“∃”，因此是存在性命题．由于使x2＝3成立的实数只有±3，且它们都不是有理数，因此，没有一个有理数的平方等于3，所以该命题是假命题．。
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1.3.1量词
教学目标：
1．通过实例理解全称量词和存在量词的意义；
2．掌握全称命题和存在性命题的定义,并能判断其真假．
教学重点：
对全称命题和存在性命题的理解．
教学难点：
如何判断命题的真假．
教学方法：
问题链导学，讲练结合．
教学过程：
一、问题情境
在日常生活和学习中，我们经常遇到这样的命题：
（1）所有中国公民的合法权利都受到中华人民共和国宪法的保护；
（2）对任意实数x，都有x2≥0；
（3）存在有理数x，使x2－2＝0．
思考上述命题有什么不同？
二、学生活动
1．讨论老师提出的问题，举手发言；
2．列举数学中的类似实例；
3．分析、概括各种实例的共同特征．
三、建构数学
1．“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，通常用符号“∀x”表示“对任意x”．
2．“有一个”、“有些”、“存在”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，通常用符号“∃x”表示“存在x”．
3．含有全称量词的命题称为全称命题；含有存在量词的命题称为存在性命题．它们的一般形式可以表示为：全称命题：∀x∈M，p（x）；存在性命题：∃x ∈M，p（x）；其中，M为给定的集合，p（x）是一个含有x的语句．4．要判定一个存在性命题为真，只要在给定的集合中，找到一个元素x，使p（x）为真，否则命题为假；要判定一个全称命题为真，必须对给定的集合的每一个元素x，p（x）都为真，但要判定一个全称命题为假，只要在给定的集合内找出一个x0，使p（x0）为假．
四、数学运用
例1判断下列命题的真假．
（1）∃x∈R，x2≥x；
（2）∀x∈R，x2≥x；
（3）∃x∈Q，x2－8＝0；
（4）∀x∈R，x2＋2＞0．
例2判断下列命题是全称命题还是存在性命题：
（1）任何实数的平方都是非负数；
（2）任何数与0相乘，都等于0；
（3）任何一个实数都有相反数；
（4）有些三角形的三个内角都是锐角．
例3判断下列命题的真假：
（1）中国所有的江河都流入太平洋；
（2）有的四边形既是矩形，又是菱形；
（3）实系数方程都有实数解；
（4）有的数比它的倒数小．
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．如何理解全称命题和存在性命题；
2．怎样判断全称命题和存在性命题的真假．。