第六章 直线回归与相关分析
直线回归与相关
应用直线回归的注意事项
进行回归分析时，应先绘制散点图。若提示有直 线趋势存在时，可作直线回归分析；若提示无明 显线性趋势，则应根据散点分布类型，选择合适 的曲线模型，或经数据变换后，化为线性回归来 解决。 绘制散点图后，若出现一些特大特小的离群值 （异常点），则应及时复核检查，对由于测定、 记录或计算机录入的错误数据，应予以修正和剔 除。否则，异常点的存在会对回归方程中的系数 a、b的估计产生较大影响。
a>0表示回归直线与y轴的交点在X轴的上方； a<0表示回归直线与y轴的交点在x轴的下方； a=0表示回归直线通过原点。
b ：回归系数 (coefficient of regression)
回归系数即直线的斜率。
b>0，表示随x增加，y亦增加； b<0，表示随x增加，y值减少； b=0，表示回归直线与x轴平行，意为y与x无关。
直线回归分析的一般步骤
1、将 n 个观察单位的变量对(x，y)在直角坐标系中 绘制散点图，若呈直线趋势，则可拟合直线回归 方程。 2 2、求回归方程的回归系数和截矩 3、写出回归方程 Yˆ = a + bX ，画出回归直线 4、对回归方程进行假设检验
a ：截距(intercept)
截距是指x=0时，回归直线与y轴交点到原点的 距离。
lxx = ∑ ( x − x) = ∑ x −
2 2
(∑ x ) 2 n
(∑ x )(∑ y ) n
lyy = ∑ ( y − y ) = ∑ y −
2 2
(∑ y ) 2 n
lxy = ∑ ( x − x)( y − y ) = ∑ xy −
求回归系数b和截距a
∑ ( x − x )( y − y ) = l b= l ∑ ( x − x)
第六章相关及回归分析方式
第六章 相关与回归分析方式第一部份 习题一、单项选择题1.单位产品本钱与其产量的相关；单位产品本钱与单位产品原材料消耗量的相关 ( )。
A.前者是正相关，后者是负相关 B.前者是负相关，后者是正相关2.样本相关系数r 的取值范围( )。
∞＜r ＜+∞≤r ≤1 C. -l ＜r ＜1 D. 0≤r ≤101y x ββ=+上，那么x 与y 之间的相关系数( )。
A.r ＝0B.r ＝1C.r ＝-1D.|r|＝14.相关分析与回归分析，在是不是需要确信自变量和因变量的问题上( )。
A.前者无需确信，后者需要确信 B.前者需要确信，后者无需确信5.直线相关系数的绝对值接近1时，说明两变量相关关系的紧密程度是( )。
6.年劳动生产率x(千元)和工人工资y(元)之间的回归方程为y=10+70x ，这意味着年劳动生产率每提高1千元时，工人工资平均( )。
7.下面的几个式子中，错误的选项是( )。
8.以下关系中，属于正相关关系的有( )。
9.直线相关分析与直线回归分析的联系表现为( )。
10.进行相关分析，要求相关的两个变量( )。
A.都是随机的B.都不是随机的11.相关关系的要紧特点是( )。
B.某一现象的标志与另外的标志之间存在着必然的关系，但它们不是确信的关系12.相关分析是研究( )。
13.现象之间彼此依存关系的程度越低，那么相关系数( )。
01y x ββ=+中，假设10β<，那么x 与y 之间的相关系数( )。
A. r=0B. r=1C. 0＜r ＜1D. —l ＜r ＜0 15.当相关系数r=0时，说明( )。
A.现象之间完全无关B.相关程度较小16.已知x 与y 两变量间存在线性相关关系，且210,8,7,100xy xy n σσσ===-=，那么x 与y 之间存在着( )。
17.计算估量标准误差的依据是( )。
A.因变量的数列B.因变量的总变差18.两个变量间的相关关系称为( )。
线性回归与相关性分析综述
内容：生物统计学（第四版）138页第七章习题7.4和习题7.6
实验方法步骤
（一）、习题7.4
1、启动spss软件：开始→所有程序→SPSS→spss for windows→spss 18.0 for windows，直接进入SPSS数据编辑窗口进行相关操作；
2、定义变量，输入数据。点击“变量视图”定义变量工作表，用“name”命令定义变量“X”（小数点零位），标签：“4月下旬平均气温/℃”；变量“Y”（小数点零位），标签：“5月上旬50株棉蚜虫数/头”,点击“变量视图工作表”，一一对应将不同“X”气温与“Y”棉蚜虫数的数据依次输入到单元格中；
56.64
49.014
11
残差
-49.122
52.705
.000
29.317
11
标准预测值
-.729
2.888
.000
1.000
11
标准残差
-1.590
1.706
.000
.949
11
a.因变量: 5月上旬棉蚜虫数
表8
案例诊断a
案例数目
标准残差
5月上旬棉蚜虫数
预测值
残差
1
.Hale Waihona Puke 878664.78
21.223
统计量（S）…
选项（O）…（默认）
绘制（T）…
保存（S）…（默认）
（二）、习题7.6
1、启动spss软件：开始→所有程序→SPSS→spss for windows→spss 18.0 for windows，直接进入SPSS数据编辑窗口进行相关操作；
2、定义变量，输入数据。点击“变量视图”定义变量工作表，用“name”命令定义变量“维生素C的含量”（小数点两位）；变量“受冻情况”（小数点零位），“未受冻”赋值为“1”，“受冻”赋值为“2”,点击“变量视图工作表”，一一对应将不同“未受冻”与“受冻”的维生素C的含量数据依次输入到单元格中；
相关
2. 应用的情况不同 相关分析用于说明两 变量间的相互关系，描述两变量 X，Y 相互 之间呈线性关系的密切程度和方向；回归分 析用于说明两变量间的依存关系，可以用一 个变量的数值推算另一个变量的数值。
（二）联系 1. 正负符号相同： 在同一资料中，计算 r与 正负符号相同： b值的符号应该相同。 2. 假设检验等价： 在同一资料中，r与 b值 假设检验等价： 的假设检验的统计量 t值相等，即 t r=t b。 3. 对于不同组资料来说，相关系数 r 与 回归 系数 b 二者的数值大小之间无直接联系，且 二者含义不同。 4. r与 b换算关系： 换算关系： 与 换算关系
（三）个体Y值的容许区间 个体 值的容许区间 给定X=X0时，个体Y值的（1－α）容许区间为：
ˆ Y ± tα / 2,v SY −Yˆ
SY −Yˆ = SY ⋅ X 1 (X0 − X ) 1+ + 2 n ∑( X − X )
2
例7-6：X0=1.5时，个体Y值的95%容许区间为： （3.69，5.29）
第七章
回归与相关
回归与相关是用来研究两个变量(或多个变量) 之间数量变化关系的的一种统计分析方法。 本章主要介绍直线回归与直线相关。
第一节
直线回归
一、直线回归的概念
我们以例7-1母婴TSH之间的关系予以说明：
由散点图可以看出，Y 随着 X 的增大而增 大且呈直线变化趋势，但各点并非完全在一条 直线上，这与严格的直线函数关系不同，将X和 Y之间的这类数量变化关系称直线回归。
3. 在回归分析时应正确选定自变量和应 变量。 变量。 若两变量间有明显的依存关系，该问
题很易解决；若两变量间无明显的依存关系， 一般以较易测定者或变异较小者作为自变量 X， 否则可能加大误差。而在相关分析时，不存在 自变量与应变量的关系，它所分析的两个变量 之地位是完全等价的，一般称为第一变量和第 二变量。
统计学06第六章相关与回归分析
-5.3339 -21.2729 -20.0669
0.02111209 -58.5559
0.0675121 -201.421
2019/11/7
第六章 相关与回归分析
20
2.2 相关系数的特征及判别标准
解法 1
n x y
Lxx
L yy
Lxy
2
xx
2
y y
xx
3559.59
22
2.2 相关系数的特征及判别标准
解法 2
n x y x2 y2 x y
10 6470 5.813 4814300 3.446609 3559.59
r
10 3559.59 6471 5.813
10 4814300 64702 10 3.446609 5.8132
第六章 相关与回归分析
第二节 简单线性相关分析
2.1 相关系数的计算公式 2.2 相关系数的特征及判别标准 2.3 相关系数的检验
2.1 相关系数的计算公式
相关系r数与计ρ算公式： X 、Y 的协方差
相总关样 系体数本：相关 系V数Caor是 vXX一，Va个 YrY统
计量。可以证明，样本相
y y
10 6470 5.813 628210 0.0675121 -201.421
r
201 .421
628210 0 .0675121
0 .978051034 0.9781
2019/11/7
第六章 相关与回归分析
21
2.2 相关系数的特征及判别标准
x
280 320 390 530 650 670 790 880 910 1050
相关分析及回归分析的异同
问：请详细说明相关分析与回归分析的相同与不同的地方相关分析与回归分析都是研究变量彼此关系的分析方式，相关分析是回归分析的基础，而回归分析则是熟悉变量之间相关程度的具体形式。
下面分为三个部份详细描述两种分析方式的异同：第一部份：相关分析一、相关的含义与种类（一）相关的含义相关是指自然与社会现象等客观现象数量关系的一种表现。
相关关系是指现象之间确实存在的必然的联系，但数量关系表现为不严格彼此依存关系。
即对一个变量或几个变量定必然值时，另一变量值表现为在必然范围内随机波动，具有非肯定性。
如：产品销售收入与广告费用之间的关系。
（二）相关的种类1. 按照自变量的多少划分，可分为单相关和复相关2. 按照有关关系的方向划分，可分为正相关和负相关3. 按照变量间彼此关系的表现形式划分，线性相关和非线性相关4.按照有关关系的程度划分，可分为不相关、完全相关和不完全相关二、相关分析的意义与内容(一)相关分析的意义相关分析是研究变量之间关系的紧密程度，并用相关系数或指数来表示。
其目的是揭露现象之间是不是存在相关关系，肯定相关关系的表现形式和肯定现象变量间相关关系的密切程度和方向。
(二)相关分析的内容1. 明确客观事物之间是不是存在相关关系2. 肯定相关关系的性质、方向与密切程度三、直线相关的测定（一）相关表与相关图1. 相关表在定性判断的基础上，把具有相关关系的两个量的具体数值依照必然顺序平行排列在一张表上，以观察它们之间的彼此关系，这种表就称为相关表。
2. 相关图把相关表上一一对应的具体数值在直角坐标系顶用点标出来而形成的散点图则称为相关图。
利用相关图和相关表，可以更直观、更形象地表现变量之间的彼此关系。
（二）相关系数1. 相关系数的含义与计算相关系数是直线相关条件下说明两个变量之间相关关系密切程度的统计分析指标。
相关系数的理论公式为：y x xy r δδδ2= （1）xy 2δ 协方差 x δ x 的标准差 y δ y 的标准差（2）xy 2δ 协方差对相关系数r 的影响，决定：⎩⎨⎧<>数值的大小正、负）或r r r (00简化式()()2222∑∑∑∑∑∑∑-⋅--=y y n x x n y x xy n r变形：分子分母同时除以2n 得 r =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-∑∑∑∑∑∑∑2222n y n y n x n x n y n x n xy =()[]()[]2222y y x xy x xy -*-⨯-=y x y x xy δδ-⨯-nx x x ∑-=2)(δ=()[]n x x x x ∑+⋅-222=()222x n x x n x +⋅⋅-∑∑ =()22x x -2. 相关系数的性质（1）r取值范围：r≤1 -1≤r≤1（2）r=1 r=±1 表明x与y之间存在着肯定的函数关系。
第六章相关与回归分析
• 总体相关系数ρ——根据总体数据计算的，
• 样本相关系数 r ——根据样本数据计算的。
6 - 12
统
计
相关关系的计算பைடு நூலகம்式
学
rSxy
(xx)y (y)
SxSy
(xx)2 (yy)2
或化简为
r
nx yxy
nx2x2 ny2y2
6 - 13
统
计
相关系数取值及其意义
相关图——也称为散点图。一对数据对应坐标图 上一个点，将成对的观察数据表现为坐标图 的散点而形成的图。
编制相关表、图的意义——有助于分析者判断 相关的有无、方向、形态、密切程度。
6 - 10
统
计
相关关系的图示
学
完全正线性相关
正线性相关
完全负线性相关
负线性相关
非线性相关
不相关
2. 一元线性（总体）回归方程的形式如下：
3.
E( y ) = α + b x
▪ 方程的图示是一条直线，因此也称为直线回归方程
▪ α 是回归直线在 y 轴上的截距，是当 x=0 时 y 的期 望值，是回归直线是起始值；
▪ b 是直线的斜率，表示当 x 每变动一个单位时，y
的平均变动值。
6 - 22
统
6 - 11
统
计 学
（二）相关系数和判定系数
1. 都是对变量之间关系密切程度的度量； 2. 判定系数=相关系数的平方； 3. 不同类型的相关,相关系数的计算方法也不同.
对两个变量之间线性相关程度的度量称为简单相 关系数（也称直线相关系数）,常简称相关系数.
此外还有复相关系数、非线性相关系数、偏相关系 数
第六章-相关与回归
间相关程度的比较。
（2）1≤r≤1，0≤|r|≤1。 |r|越接近于1，说明两变量的相关程度越强； |r|越接近于0，两变量的相关程度越差。
（3）r=0表示x与y无相关， r＜0表示负相关， r＞0表示正相关， |r|=1为完全相关。
二、样本相关系数的计算
（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）。
前面已经指出，要研究两种变量间的关系，最简单的方 法是把一系列观测数据在坐标中用散点图表示，如果散点 大致分布在一条直线附件，就可以判断两者为直线回归关 系。这种关系可用直线回归方程表示。则总体直线回归方 程为：
yi xi i （i=1，2，…，n） i服 N 0 从 ，2，且相互独
相关变量间的关系一般分为两种: 一种是平行关系，是研究变量间关系的强弱程度，此
时我们不关心在它们之间是谁影响了谁，谁是因，谁是果， 变量间的地位是平等的。如黄牛的体长和胸围之间的关系， 猪的背膘厚度和眼肌面积之间的关系等都属于平行关系。
另一种是因果关系，即一个变量的变化受另一个或几 个变量的影响。如仔猪的生长速度受遗传特性、营养水平、 饲养管理条件等因素的影响，子代的体高受亲本体高的影 响。
N 1N 1 (XX X)Y ( Y Y)
(XX)Y (Y) (XX)2 (YY)2
r SP xy
xy(x)n(y)
SSxSSy
x2(nx)2y2(ny)2
其中：
SPxy— 变量x和变量y的离均差乘积和简称乘积和 SSx — 变量x 的离均差平方和 SSy — 变量y 的离均差平方和
相关系数r 的特点:
变量。
例如，进行药物疗效试验 时，应用不同的剂量 （x），分析疗效（y）如 何受到药物剂量的影响及 其变化规律。这里规定的
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2
F t
2
t值（两尾）（df=n-2）
b 2 b t ( ) 2 sb sb
2
2 2 2
2
sb
sy/ x SS x
x
b SSx b t 2 2 s y / x / SSx sy / x
2
U t F Q /(n 2)
2 PS P S b xS S 2 b U SS
353.6628 353.6628 89.89** 5.99 13.74
23.6060 3.9343
总变异
7
377.2688
(三）t检验
P193
检验线性回归系数的显著性，也可采用t检 验法进行。
检验样本回归系数b是否来自β=0的双变 量总体，以推断线性回归的显著性。
假设
H0:β =0 HA:β ≠0
17.3
16.7 13.6
y 115 .3
y 2 2039 .03
17.1
18.8 19.5 20.4
11.9
10.7 8.3 6.7
n 8
x 16 .8375 x n
y y 14 .4125 n
SSx x 2 SS y y 2
( x) 2 n ( y ) 2 n
第二节：直线回归
Linear Regression
简单回归(Simple Regression) 一、直线回归方程的建立
二、直线回归的数学模型和基本假定
三、直线回归的假设检验
四、直线回归的区间估计
一、直线回归方程的建立
直线回归就是用来描述一个 变量如何依赖于另一个变量
温度 天数
直线回归方程(linear regression equation)
y ( x x)
总体回归截踞 总体回归系数 随机误差
α：它是y的本底水平，即x对y没有任何作用时，y的数量 表现。
βx：它描述了因变量y的取值改变中，由y与自变量x的线 性关系所引起的部分，即可以由x直接估计的部分。 误差：它描述了因变量y的取值改变由x以外的可能与y有 关的随机和非随机因素共同引起的部分，即不能由x直接 估计的部分。
ˆ y a bx
最小二乘法
(method of least square)
n
y
最小
n
ˆ )2 (y y
1
n
ˆ ) 2 ( y a bx) 2 Q (y y
1 1
ˆ ) 2 ( y a bx) 2 Q (y y
1 1
nnΒιβλιοθήκη 根据微积分中的极值原理，必 须使Q对a、b的一阶偏导数值 为0 Q 2 ( y a bx) 0 a
散点图(scatter diagram)
两个变量间关系的性质（正向协同变化或 负向协同变化）和程度（关系是否密切）
两个变量间关系的类型（直线型或曲线型） 是否有异常观测值的干扰
4
3 2 1 1 4 3 2 3 4 5 6
正向直线关系
2
1 1 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6
基本假定
ˆ y a bx
y
y x
x是没有误差的固定变量，或其误差可以忽 略，而y是随机变量，且有随机误差。 x是的任一值对应着一个y总体，且作正态 分布，其平均数μ＝α+βx，方差受偶然 因素的影响，不因x的变化而改变。 随机误差ε是相互独立的，呈正态分布。
三、直线回归的假设检验
在无效假设存在下，回归方差与离回归 方差的比值服从F分布。
U /1 U df1= 1 F (n 2) Q/n2 Q df2= n-2
H0:黏虫孵化历期平均温度x与历期天数y之间 不存在线性关系 HA:两变量间有线性关系
变异来源 df SS s2 F F0.05 F0.01
回归
离回归
1
6
两个变量是否存在线性关系，可采用F检验 法进行。
y ( x x)
总体回归截踞 总体回归系数 随机误差
若x与y间不存在直线关系，则总体回归系数β =0;
若x与y间存在直线关系，则总体回归系数β ≠0
(二）F检验
P193
假设
H0:两变量间无线性关系 HA:两变量间有线性关系
ˆ y 57.0400 2.5317 x
40 30 20
ˆ y 57.0400 2.5317 x
11.8-----20.4
天数（天）
10 0 10 12 14 16 18 20 22 温度 （℃）
用x估计y，存在随机误差，必须根据回归的数 学模型对随机误差进行估计，并对回归方程进 行检验。
( x x) 2 55.1788 ( y y ) 2 377 .2688 ( x x)( y y ) 139 .6937
SPxy xy
( x )( y ) n
b
SP xy SSx
2.5317
a y b x 57.0400
19.0 112
y,5 月上旬 50 株 棉蚜虫数
(1) 建立直线回归方程； (2)对回归系数作假设检验；
【答案】 (1)
= － 283.6799+18.0836x
(2)s y/x =29.4143,F=28.510**;
在研究代乳粉营养价值时，用大白鼠做实验，得大白 鼠进食量和体重增加的关系如下表：
年份
x,4 月下旬平均气 温(℃)
1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980
19.3 86
26.6 197
18.1 8
17.4 29
17.5 28
16.9 29
16.9 23
19.1 12
17.9 14
17.9 64
18.1 50
依变量 y的平方和，总平方和，SSy,SS总
回归平方和 U
离回归平方和 Q
b
SPxy SS x
直线回归分析中，回归自由度等于自变量 的个数，只涉及到1个自变量
df回归＝1 df总＝n-1 df离回归＝n-2
离回归方差
Q/n-2
sy / x
Q n2
离回归标准差
回归估计标准误
剩余标准差
自变量
Y=a+bx
斜率(slope) 回归系数(regerssion coefficient) 截距(intercept) 回归截距 与x值相对应的依变量y的点估计值
^
ˆ y a bx
y
b=0 a>0,b>0 a>0,b<0 a<0,b>0 a=0
0
x
变量1 温度
X
平均温度（℃） 11.8 14.7 15.6 16.8
鼠号 进食量/g 增重量/g
1 800 185
2 3 4 5 6 780 720 867 690 787 158 130 180 134 167
7 8 934 750 186 133
1、建立直线回归方程 2、对回归系数做显著性检验 3、大白鼠进食量若为900g时，体重增加多少？
负向直线关系
曲线关系
定性研究
定量研究
回归(regerssion)
相关(correlation)
直线型
曲线
非直线型
二元
变量
多元
第七章
直线相关与 回归分析
直线回归与相关分析
第九章
第一节
回归与相关的概念 直线回归
第二节
第三节
直线相关(自学)
第一节：回归与相关的概念
一个变量的变化受另一个 变量或几个变量的制约
为了研究父亲与成年儿子 身高之间的关系，卡尔.皮 尔逊测量了1078对父子的 身高。把1078对数字表示 在坐标上，如图。用水平 轴X上的数代表父亲身高， 垂直轴Y上的数代表儿子 的身高，1078个点所形成 的图形是一个散点图。它 的形状象一块橄榄状的云， 中间的点密集，边沿的点 稀少，其主要部分是一个 椭圆。
离回归平方和 误差平方和，剩余平方和 (residual sum of squares) Q
误差因素引起的平方和，反映了除去x与y的直线 回归关系以外的其余因素使y引起变化的大小。 反映x对y的线性影响之外的一切因素对y的变 异的作用，也就是在总平方和中无法用x解释 的部分。 在散点图上，各实测点离回归直线越近，Q值 越小，说明直线回归的估计误差越小。
ˆ y a bx
误差
y
二、数学模型和基本假定
y的总体平均数
y 因x引起y的变异 y的随机误差
y
(x x )
直线回归的数学模型 (model of linear regression)
y y ( x x)
或
y x
总体回归截踞
总体回归系数 随机误差
因果关系
相 关 变 量
回归分析（regression analysis）
平行关系
两个以上变量之间共同受 到另外因素的影响
相关分析（correlation analysis）
在生物学中，研究两个变量间的关系， 主要是为了探求两变量的内在联系， 或从一个变量X（可以是随机变量，也 可以是一般的变量），去推测另一个 随机变量Y。
t 9.48
t 0.01( 6) 3.707
否定H0:β=0，接受HA:β≠0，认为黏虫孵 化历期平均温度与历期天数间有真实直线 回归关系。
b U /1 t 9.48 F 89.89 sb Q/n2