高等数学第九章多元函数极值典型问题

1 设函数2

2(,)22f x y x

ax xy y =+++在(1,1)-处取得极值，试求常

数a ，并确定极值的类型．

2 求函数2

2

z x

xy y =-+在区域1x y +≤上的最大值和最小

值．

3（04研） 设(,)z z x y =是由2

226102180x

xy y yz z -+--+=确定的函

数，求(,)z z x y =的极值点和极值．

4 求函数23

u xy z =在条件x y z a ++=（其中,,,a x y z R +

∈）下的条

件极值．

1 设函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在(1,1)-处取得极值，试求常数a ，并确定极值的类型．

分析 这是二元函数求极值的反问题， 即知道(,)f x y 取得极值，只需要根据可导函数取得极值的必要条件和充分条件即可求解本题．

解 因为(,)f x y 在(,)x y 处的偏导数均存在，因此点(1,1)-必为驻点， 则有 2(1,1)

(1,1)

(1,1)(1,1)

40220f

x a y x f xy y ----⎧∂=++=⎪∂⎪⎨∂⎪=+=⎪∂⎩，

因此有410a ++=，即5a =-． 因为

22

(1,1)

4f A x

-∂==∂，2(1,1)

(1,1)

22f

B y x y

--∂=

==-∂∂， 22

(1,1)(1,1)

22f

C x y

--∂===∂，

2242(2)40AC B ∆=-=⨯--=>，40A =>，

所以，函数(,)f x y 在(1,1)-处取得极小值．

2 求函数22z x xy y =-+在区域1x y +≤上的最大值和最小值．

分析 这是多元函数求最值的问题．只需要求出函数在区域内可能的极值点及在区域边界上的最大值和最小值点，比较其函数值即可．

解 由

20z

x y x

∂=-=∂，20z y x y ∂=-=∂解得0x =，0y =，且(0,0)0z =． 在边界1,0,0x y x y +=≥≥上，

22()313(1)133z x y xy x x x x =+-=--=-+，

它在[0,1]上最大值和最小值分别为1和

1

4

； 同理，在边界1,0,0x y x y +=-≤≤上有相同的结果． 在边界1,0,0x y x y -=-≤≥上，

22()1(1)1z x y xy x x x x =-+=++=++，

在[0,1]上最大值和最小值为1和3

；

4

同理，在边界1,0,0x y x y -=≥≤上有相同的结果．

综上所述，函数22z x xy y =-+在区域1x y +≤上的最大值和最小值分别为 max 13max 0,,,1144z ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭， min 13min 0,,,1044z ⎧⎫

==⎨⎬⎩⎭

．

注 求多元连续函数在有界闭区域上的最大值和最小值时，求出可能的极值点后，并不需要判别它是否为极值点．另外，求函数在边界上的最大值和最小值时，一般是将问题化为一元函数的最值问题或用其他方法，比如用条件极值的方法或不等式的技巧．

3（04研） 设(,)z z x y =是由2226102180x xy y yz z -+--+=确定的函数，求(,)z z x y =的极值点和极值．

分析 本题考查由方程确定的隐函数的极值问题，应先求出驻点．再求出二阶偏导数，利用充分条件判定是否为极值点．

解 因为2226102180x xy y yz z -+--+=，所以方程两边分别对x 与y 求偏导，得

26220(1)

6202220

(2)

z z

x y y

z x x

z z

x y z y z y y

∂∂---=∂∂∂∂-+---=∂∂ 令 303100

z x y

x y z z x y z y

y z ∂-⎧==⎪∂+⎪⎨∂-+-⎪==⎪∂+⎩，解之得303100x y x y z -=⎧⎨-+-=⎩ 即

3x y

z y =⎧⎨=⎩

． 将3x y =，z y =代入2226102180x xy y yz z -+--+=可得933x y z =⎧⎪

=⎨⎪=⎩ 或

933x y z =-⎧⎪

=-⎨⎪=-⎩

， 即点(9,3)与点(9,3)--是可能的极值点，下面判定是否为极值点．

在（1）式两边对x 求偏导，得

2

222222220z z z y z x x x ∂∂∂⎛⎫

---= ⎪∂∂∂⎝⎭

，

在（1）式两边对y 求偏导，得

22622220z z z z z

y z x x y y x x y

∂∂∂∂∂-----=∂∂∂∂∂∂∂，

在（2）式两边对y 求偏导，得

2

222220222220z z z z z

y z y y y y y ⎛⎫∂∂∂∂∂-----= ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭

，

所以

2222

2

(9,3,3)(9,3,3)(9,3,3)115

,,623

z

z z

A B C x

x y

y

∂∂∂====-==∂∂∂∂． 故21036AC B -=>，又1

06

A =>，从而点(9,3)是(,)z x y 的极小值点，且极小值为 (9,3)3z =．

类似地由

2222

2

(9,3,3)(9,3,3)(9,3,3)115

,,.623

z z z

A B C x

x y

y

---------∂∂∂==-=

===-∂∂∂∂．

故21036AC B -=

>，又1

06

A =-<，所以点(9,3)--是(,)z x y 的极大值点，且极大值为(9,3)3z --=-．

综上所述，点(9,3)是(,)z x y 的极小值点，且极小值为(9,3)3z =；点(9,3)--是(,)z x y 的极大值点，且极大值为(9,3)3z --=-．

4 求函数23u xy z =在条件x y z a ++=（其中,,,a x y z R +∈）下的条件极值． 分析 条件极值问题可考虑将其转化为无条件极值，或用拉格朗日乘法来求． 解法1 将x a y z =--代入函数23u xy z =，得23()u a y z y z =--， 于是由

322(232)0(334)0u

yz a y z y

u y z a y z z

∂⎧=--=⎪∂⎪⎨

∂⎪=--=⎪∂⎩ 解得32

a y a z ⎧

=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则

243

2

,32,322(3)8a a a a u a A z a y z y ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭

⎪

⎝⎭

∂==--=-∂， 242

,32,32(698)12a a a a u a B yz a y z y z ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭

⎪

⎝⎭

∂=

=--=-∂∂，