多元函数的极值与最值
第八节 多元函数的极值及其求法
一、多元函数极值及最大、最小值
1.定义：若函数z=f (x, y)在(x0, y0)的某邻域内有 f (x, y)≤f(x0, y0)（或f (x, y)≥f(x0, y0)）
则称函数z=f (x, y)在(x0, y0)有极大值f(x0, y0) （极小值f(x0, y0)）， (x0, y0)称为函数z=f (x, y) 的极大值点（极小值点）。
)?
0
sin? ? 0 , x ? 0
?12 ? 2x ? x cos? ? 0
?
? ?
24cos
?
?
2x cos?
?
x(2cos 2 ?
? 1) ?
0
（1） （2）
(2)－(1)2cos? ，得： 2xcos? －x = 0
? ? ? ? 60 , x ? 8 (cm)
3
解得:
2019年3月9日星期六
A ? 1 (24 ? 2x ? 2x cos? ? 24 ? 2x ) ?x sin ?
2
? 24x sin? ? 2x 2 sin? ? x2 cos? sin? ( D : 0 ? x ? 12, 0 ? ? ? π )
2
?x
x?Байду номын сангаас
24 ? 2x
2019年3月9日星期六
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高等数学（下）主讲杨益民
xy z ? ? ex2? y2
极大值与极小值统称为极值；极大值点 与极小值点统称为极值点；
注意：极大值(或极 小值)是局部的最大 值(或最小值)。
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1
高等数学（下）主讲杨益民
例1 函数 z ? 3 x 2 ? 4 y2 在 (0,0) 处有极小值．
例2 函数 z ? ? x 2 ? y2 在 (0,0) 处有极大值．
解: 1. 利用隐方程组求偏导及必要条件zx=zy=0得驻点(1,-1)； 2. 带入原方程求得相应的z=-2, z=6；
3. 隐方程组再求偏导得A,B,C； 4. 判断并求出极值。
注：偏导数不存在的点，也是极值可疑点。如：z ? x 2 ? y2 , (0,0)
2019年3月9日星期六
5
高等数学（下）主讲杨益民
2019年3月9日星期六
6
高等数学（下）主讲杨益民
3.多元函数的最值
f 在有界闭域上连续 依 据 f 在有界闭域上可达到最值
最 值
驻点；
可 偏导不存在的点；
疑 点
边界上的最值点。
求最值的一般方法： 比较最值可疑点的函数值的大小，其中最大者即为最大
值，最小者即为最小值。
特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时, 则 f (P)就是最值。
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例6 求函数z=x + y-x2 – xy –y2在由直线 x + y = 1与x轴和y轴所 围成的闭区域上的最大值与最小值。
例7 有一宽为 24cm 的长方形铁板，把它两边折起来做成一个 断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面面积最大。
解： 设折起来的边长为 x cm，倾角为? , 则断面面积为
例3 函数 z ? xy 在 (0,0) 处无极值．
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(1) (2) (3)
2
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2.多元函数取得极值的条件
定理1（必要条件）设函数z=f(x0, y0) 在点(x0, y0)具有偏 导数，且在点(x0, y0)处取得极值，则
fx (x0, y0) = 0， fy (x0, y0) = 0 证明：( 略 )
4
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例4 求函数
的极值。
解: 1. 求驻点(1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) ；
2. 求相应的A,B,C； 3. 判断并求出极值。 例5 求由方程 x 2 ? y2 ? z2 ? 2x ? 2 y ? 4z ? 10 ? 0 确定的 函数z=f (x, y)的极值。
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由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有唯
一驻点, 故此点即为所求。
例8
求
z?
x
2
x ?
?y y2 ?
1
的最大值和最小值。
解
? ? zx 令：??
? ??
z
y
? ?
(x2 (x2
? y2 ? 1) ? 2 x( x ( x 2 ? y 2 ? 1)2
? y2 ? 1) ? 2 y( x ( x 2 ? y2 ? 1)2
注意: 使偏导数都为 0 的点称为 驻点。但驻点不一 定是极值点。
例如：z = xy 有驻点(0, 0)，但(0, 0)不是极值点。
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问题： 如何判定一个驻点是否为极值点？
定理2（充分条件） 设函数z=f (x, y)在(x0, y0)的某邻域内具有 一阶及二阶连续偏导数，且 fx (x0, y0) = 0， fy (x0, y0) = 0，令
A( x,? ) ? 24x sin? ? 2x 2 sin? ? x 2 cos? sin?
( D : 0 ? x ? 12, 0 ? ? ? π )
2
令：??? Ax ? A?
? ?
24sin ? ? 24x cos?
4x sin ? ? 2x sin ? cos? ? 0 ? 2x 2 cos? ? x 2 (cos2 ? ? sin 2 ?
求函数 z=f (x, y)极值的一般步骤：
第一步 解方程组 f x ( x , y) ? 0, f y ( x , y) ? 0
求得驻点。
第二步 对于每一个驻点 ( x0 , y0 )，
求出二阶偏导数的值 A、B、C。
第三步 由 AC ? B 2的符号判定是否是极值， 并求出相应的极大值或极小值。
? ?
y) y)
? ?
0 0
得驻点( 1 , 1 )和(? 1 ,? 1 )，
22
22
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x? y
lim
x ??
x2
?
y2 ? 1 ? 0
即边界上的值为零。
y ??
z( 1 , 1 ) ?
A= fxx (x0, y0) ，B= fxy (x0, y0) ，C= fyy (x0, y0) 则： （1）当AC-B2<0时，没有极值； （2）当AC-B2>0时，具有极值；
当A<0时，有极大值；当A>0时，有极小值； （3）当AC-B2=0时，不能确定，需另行讨论。
证明：( 略 )
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多元函数的极值及最大值
例5 求表面积为 a 而体积为最大的长方体 的体积 .
2
三、最小二乘法
作业：P70 1 5 8
要找函数z f ( x, y)在附加条件 ( x, y) 0 下的可能极值点，可以 先构成辅助函数 F ( x, y) f ( x, y) ( x, y) f x ( x, y ) x ( x, y ) 0 由： f y ( x, y ) y ( x, y ) 0 ( x, y ) 0
例3：某厂要用铁板做成一 个体积为2m 的有盖 长方形水箱 .问长、宽、高各取怎样 的尺 寸时，才能使用料最省 ？
例4：有一宽为 24cm的长方形铁板，把它两 边 折起来做成一个断面为 等腰梯形的水槽 . 问怎样折法才能使断面 的面积最大？
3
二、条件极值 拉格郎日乘数法
无条件极值 条件极值 拉格郎日乘数法
(1) AC B 2 0时具有极值，且当 A 0时有极大 值，当A 0时有极小值；
(2) AC B2 0时没有极值；
(3) AC B 2 0时可能有极值，也可能 没有极值， 还需另作讨论 . 3 3 2 2 例2：求函数f ( x, y) x y 3x 3 y 9x的极值 .
驻点：能使 f x ( x, y) 0, f y ( x, y) 0同时成立的点 .
可导：极值点 驻点. 驻点 ？极值点.
定理2(充分条件)：设函数z f ( x, y )在点( x0 , y0 )的 某邻域内连续且有一阶 及二阶连续偏导数，又 f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0.令 f xx ( x0 , y0 ) A, f xy ( x0 , y0 ) B, f yy ( x0 , y0 ) C , 则f ( x, y )在( x0 , y0 )处是否取得极值的条件 如下：
多元函数的极值与最值
关系，极值和最值可以帮助确定最优的生产要素组合，使得生产成本最
小化。
02
物流优化
在物流领域，多元函数可以用来描述运输成本、时间等与运输路线、方
式之间的关系，极值和最值可以帮助确定最优的运输方案，提高物流效
率。
03
金融优化
在金融领域，多元函数可以用来描述投资组合的风险和回报，极值和最
值可以帮助确定最优的投资组合，实现风险和回报的平衡。
单调性
最值点处的函数值是该区间上的最大或最小值，即函数在此点处单调增加或单调减少。
最值的判定条件
连续性
函数在闭区间[a, b] × [a, b]上连续，这是最值存 在的必要条件。
边界值
在闭区间的边界点上，函数值可能取到最值，因 此需要检查边界点的函数值。
一阶导数
如果函数在某点处的导数为零，且该点两侧的导 数符号发生变化，则该点可能是最值点。
THANKS
感谢观看
主题的重要性
在实际应用中，极值与最值的概念具 有广泛的应用，例如在经济学、物理 学、工程学等领域中，经常需要找到 某个函数的最优解或最小化某个目标 函数。
极值与最值的概念也是数学研究的重 要分支，对于理解函数的性质、函数 的图像以及解决一些数学问题具有重 要的作用。
02
多元函数的基本概念
多元函数的定义
投影图
将三维空间的图形投影到 二维平面上，以便更直观 地观察函数的形状和变化 趋势。
切线图
通过绘制函数在某一点的 切线，来表示函数在该点 的斜率和方向。
03
多元函数的极值
极值的定义
极值
在函数定义域内某点附近，函数值大于或小于其邻域内其他点的函 数值，则称该点为函数的极值点，函数在该点的值为极值。
极值与最值
极大值点与极小值点统称为极值点
极大值与极小值统称为极值
如：⑴ z 3x2 4y2在 (0,0)处有极小值（如下图） ⑵ z x2 y2 在 (0,0) 处有极大值（如下图） ⑶ z xy 在 (0,0) 处既无极大值也无极小值
M max{ f (x1, y1),, f (xn , yn )} m min{ f (x1, y1),, f (xn , yn )}
例2：求函数 f (x, y) x2 2xy 2 y在矩形闭区域
D {(x, y) 0 x 4,0 y 3}上的最值.
对于实际问题求最值
Lxx 4 A Lxx (40, 24) 4 0 Lxy 4 B Lxy (40, 24) 4
Lyy 8 C Lyy (40, 24) 8
B2 AC 16 0
A 0
Байду номын сангаас
(x0,y0)=(40,24)为极大值点，就 是最大值点。
最大值点与最小值点统称为最值点
最大值与最小值统称为最值
2、最值的求法
设函数 z f (x, y) 在有界的闭区域 D上连续可微，
则求最值的步骤为：
⑴求函数 z 的所有驻点(xi, yi ), i 1,, n ； ⑵求函数 z 在边界上的最大值点和最小值点 (xm, ym) ⑶求最大值与最小值
解此方程有：
x y
x0
a(ax0 a
多元函数的极值与最值
多元函数的极值与最值多元函数是在多个自变量的基础上建立起来的函数，其中每个自变量可以取不同的取值范围。
函数中的每个自变量都有可能对因变量产生影响，因此在寻找该类函数的极值和最值时，需要使用二元函数求导以及极值的方法进行研究分析。
本文将详细阐述多元函数的极值与最值的相关概念和定理，并探讨如何应用这些方法进行问题解决。
一、多元函数的极值和最值1. 极值极值是指一个函数在可定义范围内的自变量取值中，使得该函数取得最大值或者最小值的某个特定点。
当函数在该点处的导数为0时，这个点被称为函数的驻点；如果在该点处导数变号，那么该点就是函数的极值点。
因此，求多元函数的极值就需要用到多元函数求导的技巧，从而找到导函数为0的点。
2. 最值最值是指一种特殊的极值，它是多元函数在所有可定义自变量取值范围内所取得的最大值或最小值。
一般来说，函数的最值不一定是在驻点处取得，而是可能在该函数的可定义区间的极点或边界处取得。
二、多元函数的求导方法多元函数的求导方法一般可以通过偏函数求导的方式实现。
即，将多元函数转化为一组由每个自变量为变量的一元函数，再对每个一元函数分别求导。
由于多元函数的求导方法较为复杂，因此需要有以下几个步骤：1. 将多元函数转化为一系列一元函数可以将多元函数按照自变量分别取值范围确定的函数写成形如f(x1,x2,...,xn) = y的形式。
其中，x1,x2,...,xn表示自变量，y为因变量。
2. 对每一个自变量求偏导数在多元函数中，并不是所有自变量对函数的影响都是一样的。
因此，我们必须分别计算每个自变量的导数，即偏导数。
在对每个自变量求偏导数时，其他变量都被视为常量，只对当前变量进行求导操作。
3. 求出最终导数表达式在求出所有的偏导数之后，需要根据求导规则求出最终的导数表达式。
为了求出多元函数的驻点，需要将各个偏导数求出的结果联立，并得到所有自变量为未知数的方程组。
4. 解方程组求得极值或最值最后，我们可以使用解线性方程组的方法，从而求得多元函数的极值或最值点。
多元函数的极值点与最值问题
多元函数的极值点与最值问题一、引言在数学中，多元函数的极值点与最值问题是一个重要且常见的研究课题。
通过寻找函数取得极值的点以及确定函数的最值，可以帮助我们更好地理解和分析多元函数的特性。
本文将介绍多元函数的极值点与最值问题的基本概念和方法。
二、多元函数的极值点1. 极值点的定义对于一个多元函数而言，极值点是指在定义域内存在的局部极大值或局部极小值点。
具体地说，设函数f(x₁, x₂,..., xₙ)在点(a₁, a₂,..., aₙ)处有定义，如果存在一个邻域N(a₁, a₂,..., aₙ)，对于任意点(x₁, x₂,..., xₙ)∈N(a₁, a₂,..., aₙ)，有f(x₁, x₂,..., xₙ)≤f(a₁, a₂,..., aₙ)或f(x₁, x₂,..., xₙ)≥f(a₁, a₂,..., aₙ)，则称点(a₁, a₂,..., aₙ)是函数f(x₁, x₂,..., xₙ)的一个极值点。
2. 寻找极值点的方法（1）求偏导数为了确定函数的极值点，我们可以先求出函数的偏导数。
对于一个具有n个自变量的函数，可以分别对每个自变量求偏导数，将得到的偏导数方程组称为梯度向量。
（2）解偏导数方程组接下来，我们需要解偏导数方程组，即找到梯度向量的零点。
这些零点就是函数可能的极值点。
3. 极值点的分类根据二阶偏导数的符号，可以将极值点分为以下几种情况：（1）二阶偏导数恒正：该点为局部极小值点；（2）二阶偏导数恒负：该点为局部极大值点；（3）二阶偏导数存在正负交替：该点即可能为局部极小值点，也可能为局部极大值点；（4）二阶偏导数不存在：需要通过额外的分析判断。
三、多元函数的最值问题1. 最值的定义对于一个多元函数而言，最大值和最小值是函数在定义域内取得的极值中的特殊点。
具体地说，设函数f(x₁, x₂,..., xₙ)在定义域D内有定义，如果对于任意(x₁, x₂,..., xₙ)∈D，有f(x₁, x₂,..., xₙ)≤f(a₁,a₂,..., aₙ)，则称函数f(x₁, x₂,..., xₙ)在点(a₁, a₂,..., aₙ)处取得最大值。
多元函数极值与最值
多元函数极值与最值在微积分中，我们学习了一元函数的极值与最值问题。
而在现实生活中，很多问题涉及到多个变量的函数，即多元函数。
对于多元函数来说，我们也需要研究其极值与最值问题。
本文将介绍多元函数的极值与最值的求解方法，并通过几个例子进行说明。
1. 极值与最值的定义在进行多元函数的极值与最值问题的求解之前，首先需要了解各种极值与最值的定义。
（这里插入合适的图表和示意图）1.1 局部极值：若对于一个给定的多元函数，存在某个点使得在该点的某个邻域内，函数值在该点之上或之下都小于等于（或大于等于）该点的函数值，那么称该点是该函数的一个局部极值点。
1.2 全局极大值与极小值：若对于一个给定的多元函数，如果函数的取值在定义域上的每个点上都大于等于（或小于等于）其它点，那么称该函数在该定义域上有全局极大值或极小值。
1.3 最大值与最小值：若对于一个给定的多元函数，对于其定义域上的每个点，函数值都小于等于（或大于等于）某个常数，那么称该常数为该函数在定义域上的最小值或最大值。
2. 求解方法接下来，我们将介绍两种常用的方法来求解多元函数的极值与最值问题。
2.1 梯度法梯度法是一种常用的用于求解多元函数极值的方法。
它利用函数在某个点的梯度方向可以指示函数值增大或减小的趋势。
具体步骤如下：（这里插入梯度法求解极值的算法步骤）2.2 拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法是另一种常用的求解多元函数极值与最值的方法。
它适用于含有约束条件的优化问题，即在满足一定条件下求取函数的极值或最值。
具体步骤如下：（这里插入拉格朗日乘子法求解极值的算法步骤）3. 实例分析为了更好地理解多元函数的极值与最值问题的求解方法，我们将通过几个实例来进行分析。
3.1 示例一：二元函数我们考虑一个二元函数示例，如下所示：（这里插入具体示例的函数表达式和图形展示）通过梯度法和拉格朗日乘子法，我们可以求解该函数的极值与最值，并得出结果。
3.2 示例二：三元函数我们再考虑一个三元函数示例，如下所示：（这里插入具体示例的函数表达式和图形展示）同样地，我们可以利用梯度法和拉格朗日乘子法来求解该函数的极值与最值。
多元函数的极值与最值
（2） B AC
2
B C 0 时没有极值；
正定
B 2 AC 0 时可能有极值,也可能没有极值， （3）
还需另作讨论．
13
例4 求函数 f ( x, y) x 3 y 3 3 x2 3 y2 9 x 的极值.
f x 3 x 2 6 x 9 0 x 3, 1 解 令 f y 3 y 2 6 y 0 y 0, 2 求得驻点： (3,0), (1,0), (3,2), (1,2) ,
其中 为参数， Fx f x ( x , y ) ( x , y ) 0 x 令 F y f y ( x , y ) ( x , y ) 0 , y F ( x , y ) 0 解出 x , y , ，其中 x, y 就是可能的极值点的坐标.
在实际问题中,经常要求某多元函数在已知区 域D内的最大值和最小值.根据实际情况,我们往往
可以判断最大值或最小值在区域D的内部达到，若
函数在D内仅有一个驻点，则可以断定，该驻点就 是最大值点或最小值点.
26
例9 在周长为2 p 的一切三角形中,求出面积最大的三角形. 解 设三角形的三条边长分别为 x , y, z ,
注意到 x 0, sin 0 ,化简后解得 x 8, , 3
由实际问题可知,S 必有最大值,且内部唯一驻点,故当
x 8,
3
时,槽的截面积最大, S最大 48 3 .
18
例7
已知某产品的需求函数为 Q 200000 1.5 x 0.1 y 0.3 ， p
解出 x , y , z ，就是可能的极值点的坐标 .
多元函数极值和最值知乎
多元函数极值和最值
多元函数的极值和最值是在数学中研究多元函数的重要概念。
在多元函数中，有多个自变量，因此需要使用多元微积分的方法来求解极值和最值。
以下是对多元函数极值和最值的基本概念和求解方法的解释：
1.极值：在多元函数中，极值是指函数取得的最大值或最小
值。
极大值是函数取得的最大值，极小值是函数取得的最
小值。
极值点是函数极值所对应的自变量的取值。
在数学
中，通过求解函数的偏导数或海森矩阵，可以找到函数的
极值点。
2.最值：最大值是函数取得的最大值，最小值是函数取得的
最小值。
最值点是函数最值所对应的自变量的取值。
在多
元函数中，求解最值需要考虑函数的取值范围和约束条件。
求解多元函数的极值和最值通常需要以下步骤：
a. 求解函数的偏导数：对于多变量函数，需要求取每个自变量的偏导数，然后令其等于零，得到极值点的一组可能解。
b. 检查偏导数的零点：对于求得的极值点，需要检查哪些是临界点，即是否是真正的极值点。
这可以通过进行二阶偏导数测试或观察局部整体性质进行判断。
c. 检查边界条件：如果多元函数的定义域是有界的，需要检查定义域的边界上是否存在可能的极值点。
d. 比较和确定最大值和最小值：通过比较各个候选的极值
点的函数值，确定多元函数的最大值和最小值。
需要注意的是，求解多元函数的极值和最值是一个复杂的过程，并且在实践中可能会遇到各种难题。
合理使用数学工具和技巧，以及仔细分析问题的特性和约束条件，能够有效地求解多元函数的极值和最值。
大学数学多元函数的极值与最值
大学数学多元函数的极值与最值多元函数是数学领域中的重要概念之一，研究多元函数的极值与最值对于优化问题的解决具有重要作用。
在本文中，将介绍多元函数的极值与最值的概念、计算方法以及应用。
一、多元函数的极值与最值概念多元函数是指涉及多个自变量和依赖变量的函数。
对于多元函数而言，极值即为函数在某个特定点上取得的最大值或最小值。
最值则是指函数在整个定义域上取得的最大值和最小值。
二、求多元函数的极值与最值的方法1. 隐函数求导法当函数无法直接表示为显式解析式时，可以通过隐函数求导的方法来求解极值。
该方法主要依靠链式法则来计算导数，进而确定极值的位置。
2. 梯度法梯度法是一种常用的优化算法，可以用来求解多元函数的极值问题。
其基本思想是沿着函数值下降最快的方向进行搜索，直到找到极值点。
3. 条件极值对于多元函数在一定条件下的极值问题，可以利用拉格朗日乘数法求解。
该方法通过引入约束条件，将多元函数的极值问题转化为带约束条件的无条件极值问题。
三、多元函数极值与最值的应用1. 经济学中的应用多元函数的极值与最值在经济学中有着广泛的应用。
以生产成本函数为例，通过求取其极小值可以得到最低成本的生产方案，帮助企业提高效益。
2. 工程优化问题在工程领域中，多元函数的极值与最值的求解能够帮助工程师找到最优设计方案，减少资源的浪费，提高整体效益。
3. 金融学中的投资问题在金融学中，多元函数的极值与最值的计算可以被应用于投资组合方面。
通过求取最大收益或最小风险的投资组合，可以帮助投资者制定合理的投资策略。
四、总结通过本文对大学数学多元函数的极值与最值的介绍，我们了解了多元函数极值的概念以及求解方法。
多元函数的极值与最值在实际问题中有着广泛应用，对于优化问题的解决具有重大意义。
因此，学好多元函数的极值与最值的相关知识，对于我们深入理解数学的应用和发展具有重要意义。
多元函数的极值与最值
2
2
Ax 24 sin 4 x sin 2 x sin cos 0 A 24 x cos 2 x 2 cos x 2 (cos2 sin2 ) 0
sin 0 , x 0 12 2 x x cos 0 24 cos 2 x cos x(cos2 sin2 ) 0 60 , x 8 (cm) 解得: 3 由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有
第六节
多元函数的极值与最值
第六节 多元函数的极值与最值
第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
一 多元函数的极值
二 多元函数的最值 三 条件极值
-1-
第六节
多元函数的极值与最值
一、 多元函数的极值
第 八 章
定义: 若函数
的某邻域内有
多 则称函数在该点取得极大值(极小值). 极大值和极小值 元 函 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 数 例如 : 微 分 在点 (0,0) 有极小值; 法 及 在点 (0,0) 有极大值; 其 应 用 在点 (0,0) 无极值.
正
负 , 因此 z(0,0) 不是极值. 0
当 x y 0 时, z ( x y ) z ( 0,0 ) 0
2 2
2
2 2
因此
-7-
为极小值.
第六节
多元函数的极值与最值
二 多元函数的最值
依据
第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
函数 f 在闭域上连续 函数 f 在闭域上可达到最值
( D : 0 x 12 , 0 2)
x
x