数学史概论 第四讲ppt课件

的正弦函数表，给出下面的插值公式：
sin( xh) sin x sin sin( h) x2 2 sin( h)
2
2
9
（其中h = 15, x 1，sin(h)与2sin(h)分别表示一、二阶差分）
婆罗摩笈多正弦差分表
角度 0 15 30 45 60 75 90
正弦线 0 39 75 106 130 145 150
5
“悉檀多”时期的印度数学
阿耶波多(AryabhataI,476-约550） 婆罗摩笈多(Brahmagupta,598-665） 马哈维拉(Mahavira,9世纪) 婆什迦罗(BhaskaraⅡ，1114-约1185)等。 A
(一）阿耶波多
现今所知有确切生年的印度最早数学家 天文数学著作:《阿耶波多历数书》(499) 贡献：对希腊三角学的改进；
印度人以“0”表示“无”概念与佛教的“空”(梵文Sūnya)有关. 用圆圈符号“0”表示零也是印度人的一项伟大发明,最早出现于9世纪的瓜廖尔 (Gwalior)地方的一块石碑上,大约在11世纪,10个完整印度数码臻于成熟.印度人不 仅把“0”视作记数法中的空位,而且也视其为可施行运算的一个特殊的数.公元773 年,印度数码传入阿拉伯国家,后来通过阿拉伯人传到欧洲,成为今天国际通用的所谓 阿拉伯数码。
整数解，首先对
a，b使用辗转相除法得到系列商{ q1 , q2 , q3 , …, qn }, 以及相应的余数系列：{
ax by m r1 , r2 , r3 , …, rn = 0 },依法则：
ec11
q1 1
,
ec22
q1q2 q2
1 ,
a
计算, 得到 的b 渐近分数序列：
ecii
ci1qi ei1qi
第 4 讲. 古代与中世纪的东方数学
印度数学 1 印度文明概述
2 古代《绳法经》中的数学
3 “巴克沙利手稿”与零号
4 “悉檀多”时期的印度数学
(一）阿耶波多
（二）婆罗摩笈多
（三）马哈维拉
（四）婆什迦罗
1
印度数学（公元5－12世纪）
古印度简况
▪ 史前时期：公元前2300年前 ▪ 哈拉帕文化：前2300-前1750年，印度河流域出现早期国家 ▪ 早期吠陀时代：前1500-前900年，雅利安人侵入印度 ▪ 后期吠陀时代：前900-前600年，雅利安人的国家形成，婆罗门教形成 ▪ 列国时代：前6-前4世纪，摩揭陀国在恒河流域中部称霸，开始走上统一
一次不定方程的解法。 半弦与全弦所对弧的一半相对应
以半径的1/3438作为度量弧的单位给出了第一象限内间 隔为345‘的正弦差值表。
印度ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ一个正弦表:天文著作《苏利耶历数全书》 (约5世纪)
C B
6
阿耶波多最大贡献是建立了丢番图方程求解的所谓“库塔卡”方法，采用辗转
相除法的演算程序，接近于连分数算法。为求方程
印度数学 吠陀时期(公元前10-前3世纪)
悉檀多时期(公元5-12世纪)
3
古代《绳法经》中的数学
《吠陀》 《测绳的法规》：几何内容和建筑中的代数计算问题。如勾股定理、矩形对角线 的性质、相似直线形的性质，以及一些作图法等，在作一个正方形与已知圆等积的 问题中，使用了圆周率的以下近似值：
41 1 1 1
x 2
y
2
a
2
于是
a
2
k
2
1
2
a
k
2
2
这样就得到a x 2 + 1 = y 2的解： x 2
k
y 2 a 2
k
婆罗摩笈多进一步指出，只要在k = 1，2，4 的条件下，求得
a x2 + k = y 2的一组解( , )，就可得出a x2 + 1 = y 2无穷组解。
婆罗摩笈多在《肯德卡迪亚格》中利用二次插值法构造了间隔为15
ci2 ei2
i 2
c1 e1
,
c2 , e2
c3 , e3
,
cn en
有
cn a / d ， en b / d
cn1b en1a 1 ，
于是不定方程的特解为
x cn1m
y
en1m
7
（二）婆罗摩笈多
著作:《婆罗摩修正体系》(628)《肯德卡迪亚格》(约665)
贡献:把0作为一个数来处理 对负数有明确的认识，提出了正负数的乘除法则 给出二次方程的求根公式 给出佩尔(Pell)方程的一种特殊解法:“瓦格布拉蒂”
1
2
3.0883
8 8 29 8 29 6 8 29 68
用到 = 3.004和
4 8 2 3.16049
9
关于正方形祭坛的计算中取
2 1 1 1 1 1.414215686 3 3 4 3 434
圆周长 C 10 r
4
弧长 l a2 6h2
“巴克沙利手稿”与零号
巴克沙利(Bakhshali)手稿:数学内容涉及到分数,平方根,数列,收支与利润计 算,比例算法,级数求和,代数方程等,其代数方程包括一次方程,联立方程组,二次方程. 该书使用了一些数学符号,如减号,将“12 7” 记成“12 7”,出现了10个完整 的十进制数码,用点表示0：
一阶差 39 36 31 24 15 5
二阶差 -3 -5 -7 -9 -10
几何方面: 获得边长为a，b，c，d的四边形的面积公式：
S ( p a)(p b)(p c)(p d) [ p = (a + b + c + d )/2 ].
实际上，这一公式仅适合于圆内接四边形，婆罗摩笈多并未认识到这一 点，后来马哈维拉由这一公式出发，将三角形视为有一边为0的四边形，从 而获得海伦公式。12世纪的婆什迦罗曾经对婆罗摩笈多的四边形公式提出10 过质疑。
方法:首先选择适当的整数k与k‘，分别找出ax2 + k = y2和 ax2 + k ’ = y2的解( , )与(‘, ’ ),再做所谓“瑟马萨”
的组合,得到:
x ' '
y ' a ' , 为ax2 + k k' = y2的解.
取 k = k’ , 若a 2 + k = 2，则是a x 2 + k 2 = y 2的解. 8
北印度的道路，佛教产生
▪ 帝国时代：前4-公元4世纪，从孔雀王朝到贵霜帝国
强盛独立的王朝[孔雀王朝（前324－前187），笈多王朝（公 元320－540）]、外族几乎不断的侵扰、文化受到宗教的影响
2
印度数学
《吠陀》手稿 （毛里求斯，1980）
《吠陀》印度雅利安人的作品， 婆罗门教的经典
《绳法经》（前8－前2世纪）： 庙宇、祭坛的设计与测量，包含 几何、代数知识，如毕达哥拉斯 定理等