因式分解知识点总结

因式分解知识点总结
一、 知识梳理 1.因式分解
定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。

即：多项式→几个整式的积 例：111
()333
ax bx x a b +=
+ 因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。

2.因式分解的方法： （1）提公因式法：
①定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。

公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。

公因式可以是一个数字或
字母，也可以是一个单项式或多项式。

⎧⎪
⎨⎪⎩
系数——取各项系数的最大公约数字母——取各项都含有的字母
指数——取相同字母的最低次幂 例：33
323
422
1286a b c a b c a b c -+的公因式是 ．
解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、-8、6，它们
的最大公约数为2；字母部分33323422
,,a b c a b c a b c 都含有因式32
a b c ，故
多项式的公因式是232
a b c . ②提公因式的步骤 第一步：找出公因式；
第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，
所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。

注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。

多项
式中第一项有负号的，要先提取符号。

例1：把
2233121824a b ab a b --分解因式. 解析：本题的各项系数的最大公约数是6，相同字母的最低次幂是ab ，故公因式为6ab 。

解：
2233
121824a b ab a b
--
226(234)ab a b a b =--
例2：把多项式3(4)(4)x x x -+-分解因式
解析：由于4(4)x
x -=--，多项式3(4)(4)x x x -+-可以
变形为3(4)(4)x x x ---,我们可以发现多项式各项都含有公因
式（
4x -）,所以我们可以提取公因式（4x -）后,再将多项式写成
积的形式. 解：3(4)(4)x x x -+-
=
3(4)(4)x x x ---
=
(3)(4)x x --
例3：把多项式2
2x x -+分解因式
解：
22x x -+=2(2)(2)x x x x --=--
（2）运用公式法
定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。

22222
33223322.()().2().()()
.()()
a a
b a b a b b ab b a b
c a b a b a ab b
d a b a b a ab b -=+-±+=±+=+-+-=-++逆用平方差公式：逆用完全平方公式：a 逆用立方和公式：（拓展）逆用立方差公式：（拓展）
注意：①公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。

②选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式可考虑平方
差公式；若多项式是三项式，可考虑完全平方公式。

例1：因式分解
2
1449a a -+
解：
2
1449a a -+=2
(7)
a -
例2：因式分解222()()a a b c b c ++++
解：2
2
2()()a a b c b c ++++=2
()a b c ++
（3）分组分解法（拓展）
①将多项式分组后能提公因式进行因式分解； 例：把多项式1ab a b -+-分解因式
解
：
1
ab a b -+-=
()(1)
ab a b -+-=
(1)(1)(1)(1)a b b a b -+-=+-
②将多项式分组后能运用公式进行因式分解. 例：将多项式2
221a
ab b --+因式分解
解：
2
2
21a ab b
--+
=2
22(2)1()1(1)(1)a
ab b a b a b a b -+-=--=-+--
（4）十字相乘法（形如
2()()()x p q x pq x p x q +++=++形式的多项
式，可以考虑运用此种方法）
方法：常数项拆成两个因数p q 和，这两数的和p q +为一次项系数
2
()x p q x pq +++
2
()()()x p q x pq x p x q +++=++
例：分解因式230x x -- 分解因式2
52100x x ++ 补充点详解 补充点详解
我们可以将-30分解成p ×q 的形式， 我们可以将100分解成p ×q 的形式， 使p+q=-1, p ×q=-30,我们就有p=-6, 使p+q=52, p ×q=100,我们就有p=2,
q=5或q=-6,p=5。

q=50或q=2,p=50。

所以将多项式2()x p q x pq +++可以分 所以将多项式
2()x p q x pq +++可以分
解为()()x p x q ++ 解为()()x p x q ++
x
5
x
2
x
-6
x
50
230
x x --(6)(5)
x x =-+
252100x x ++(50)(2)x x =++
3.因式分解的一般步骤：
如果多项式有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式就考虑运用公式法；若是四项或四项以上的多项式，
通常采用分组分解法，最后运用十字相乘法分解因式。

因此，可以概括为：“一提”、“二套”、“三分组”、“四十字”。

注意：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否则就是不完全的
因式分解，若题目没有明确指出在哪个范围内因式分解，应该是指在有理数范围内因式分解，因此分解因式的结果，必须是几个整式的积的形式。

二、 例题解析 提公因式法
提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面. 确定公因式的方法：
系数——取多项式各项系数的最大公约数；
字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂. 【例 1】 分解因式：
⑴()
()21
21510n n
a
a b ab b a +---(n 为正整数)
⑵212146n m n m a b a b ++--(m 、n 为大于1的自然数)
【巩固】 分解因式： 2122()()()2()()n n n x y x z x y y x y z +----+--，n 为正整数.
【例 2】 先化简再求值，()()()2y x y x y x y x +++--，其中2x =-，1
2
y =．
【巩固】 求代数式的值：22(32)(21)(32)(21)(21)(23)x x x x x x x -+--+++-，其
中2
3x =-.
【例 3】 已
知
：
2
b c a +-=-，求
22221
()()(222)33333
a a
b
c b c a b c b c a --+-+++-的值.
【巩固】分解因式：322
x x y z y z a x z z x y x y z x y x z a
+-+-+--+----.
()()()()()
公式法
平方差公式：22()()
-=+-
a b a b a b
①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；
②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；
③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积.
完全平方公式：222
++=+
a a
b b a b
2()
222
-+=-
2()
a a
b b a b
①左边相当于一个二次三项式；
②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；
③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；
④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定.
一些需要了解的公式：
3322
()()
+=+-+
a b a b a ab b
3322
-=-++
()()
a b a b a ab b
33223
a b a a b ab b
+=+++
()33
33223
-=-+-
()33
a b a a b ab b。