第6讲 平行线分线段成比例
平行线分线段成比例定理
3、如图梯形ABCD中点E、F分别在 AB、CD上EF∥AD假设EF作上下平 行移动
一、平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线所得的线段对应成比例. 关键要能熟练地找出对应线段
小结
二、要熟悉该定理的几种基本图形
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
a
（平行线分线段成 比例定理）。
三 练习
！
证明：因为
（平行线分线段成 比例定理）。
因为
已知：如图， ， 求证： 。
E
B
A
D
C
F
（平行线分线段 成比例定理）。
设AB=X则BC=8—X
即：
（平行线分线段成 比例定理）。
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平行线分线段成比例定理
l1
l2
l3
平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线所得的线段对应成比例 如图
已知l1∥l2∥l3 求证
或
或
定理的证明过A点作AN ∥ DF交l2于M交l3于N 点连接 BN 、CM如图1-2
∵l1∥l2∥l3 ∴AM =DE MN=EF 在△ACN中有
.
∵BM∥CN ∴S△BCN= S△BMN ∴
亦即
平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线所得的线段对应成比例
“对应”是数学的基本概念 图1-1中 在l1∥l2∥l3的条件下可分别推出如下结论之一： 1简称“上比下”等于“上比下” 2简称“上比全”等于“上比全” 3 简称“下比下”等于“下比下” 把这个定理运用于三角形中就得到它的重要推论
平行线分线段成比例教案
平行线分线段成比例教案
教案：平行线分线段成比例
教学目标：
1. 了解平行线的定义；
2. 掌握利用平行线分线段成比例的方法。
教学准备：
1. 板书：平行线的定义；
2. 构建平行线的示意图；
3. 一些练习题。
教学过程：
一、导入（5分钟）
1. 打开学生的思维，提问：你们知道什么是平行线吗？请举例说明。
2. 引导学生回答，然后板书平行线的定义。
二、讲解（10分钟）
1. 准备一个平行线的示意图，让学生观察图中的平行线，并请他们描
述平行线的性质。
2. 引导学生总结，平行线之间的性质是什么？
3. 说明平行线分线段成比例的方法：如果一条直线与两条平行线相交，那么这条直线所分割的平行线段与这两条平行线的相应线段成比例。
三、练习（25分钟）
1. 学生独立完成练习题。
2. 收作业并进行讲解。
四、拓展（5分钟）
1. 引导学生思考：如何应用平行线分线段成比例的方法解决生活中的
实际问题？
2. 引导学生举例说明，并进行讨论。
五、总结归纳（5分钟）
1. 总结平行线的定义和性质。
2. 总结平行线分线段成比例的方法。
六、作业布置（5分钟）
1. 布置练习题作业，要求学生运用平行线分线段成比例的方法解答问题。
教学反思：
通过上述教学过程，学生可以积极参与讨论，理解了平行线的定义和性质，并掌握了平行线分线段成比例的方法。
希望学生能够通过课后的练习巩固所学内容，并能运用到实际问题中。
《平行线分线段成比例》教案
《平行线分线段成比例》教案一、教学目标：知识与技能：1. 理解平行线分线段成比例的概念。
2. 学会使用直尺和圆规作图，证明平行线分线段成比例。
3. 能够运用平行线分线段成比例的性质解决实际问题。
过程与方法：1. 通过观察、操作、猜想、验证等活动，培养学生的空间想象能力和推理能力。
2. 学会与他人合作交流，发展学生的表达能力和概括能力。
情感态度价值观：1. 培养学生对数学的兴趣和自信心。
2. 培养学生勇于探究、积极思考的科学精神。
二、教学重点与难点：重点：1. 平行线分线段成比例的概念。
2. 平行线分线段成比例的证明方法。
难点：1. 理解平行线分线段成比例的内在联系。
2. 运用平行线分线段成比例解决实际问题。
三、教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、合作交流法、实践操作法等。
四、教学准备：直尺、圆规、多媒体设备等。
五、教学过程：1. 导入新课：创设生活情境，展示两组直线平行时线段的比例关系，引发学生思考。
2. 自主探究：学生分组讨论，观察、操作、猜想、验证平行线分线段成比例的性质。
3. 合作交流：各小组汇报探究成果，师生共同总结平行线分线段成比例的证明方法。
4. 实践操作：学生运用所学知识，利用直尺和圆规作图，证明平行线分线段成比例。
5. 巩固提高：出示练习题，学生独立完成，检验对平行线分线段成比例的理解和掌握程度。
6. 总结反思：学生总结本节课所学内容，分享自己的收获和感悟。
7. 课后作业：布置相关作业，巩固所学知识，提高运用能力。
8. 教学反思：教师在课后对教学过程进行反思，总结成功经验和不足之处，为下一步教学做好准备。
六、教学评价：本节课结束后，将通过课堂表现、练习完成情况、课后作业和小组合作交流等方面对学生的学习情况进行评价。
重点关注学生对平行线分线段成比例概念的理解、证明方法的掌握以及实际应用能力的提升。
七、教学拓展：1. 让学生尝试证明其他图形中线段的比例关系。
2. 组织学生参观现实生活中的平行线分线段成比例的实例，如建筑物的布局、道路的设计等。
平行线分线段成比例定理 课件
[证明] 作 EH∥AB 交 AC 于点 H， 则AAHC＝BBCE，∴ABCC＝ABHE. 同理：AAHF＝DDFE，∴DAFF＝ADHE. ∵△BDC 为直角三角形， 且 E 为 BC 边中点， ∴BE＝CE＝DE. ∴ABHE＝ADHE.∴ABCC＝DAFF.
证明比例式成立，往往会将比例式中各线段放到一组 平行线中进行研究．有时图形中没有平行线，要添加辅助 线，构造相关图形，创造可以形成比例式的条件，达到证 明的目的．
Hale Waihona Puke 5．如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，点 E，F 分别在 AB，CD 上，且 EF∥ BC，若AEEB＝23，AD＝8 cm，BC＝18 cm，求 EF 长．
解：作 AG∥DC 分别交 BC，EF 于 G，H， ∴AD＝HF＝GC＝8 cm. BG＝18－8＝10(cm)． ∵AEEB＝23，∴AAEB＝25. ∴EBHG＝AAEB＝25. ∴EH＝25×BG＝25×10＝4(cm)． ∴EF＝EH＋HF＝4＋8＝12(cm)．
平行线分线段成比例定理
1．平行线分线段成比例定理 (1)文字语言：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成 比例．
(2)图形语言：
如图 l1∥l2∥l3， 则有：ABBC＝__DE_F_E__， AABC＝__DD_EF___，
EF BACC＝__D__F___.
变式有：DABE＝BECF，DABE＝DACF，BECF＝DACF.
则有：AADB＝__AA__EC__，ADDB＝___AE_EC__，DABB＝__CA__EC__.
3．平行线分线段成比例定理的作用 平行线分线段成比例定理及推论是研究下一节相似三角 形的理论基础，它可以判定线段成比例．另外，当不能直接 证明要证的比例成立时，常用该定理借助“中间比”转化成 另两条线段的比，来得出正确结论．合理添加平行线，运用 定理及推论列比例式，再经过线段间的转换可以求线段的比 值或证明线段间倍数关系．
平行线分线段成比例及证明
平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线所得的 线段对应成比例 如图
A
D
l1
已知l1∥l2∥l3 AB DE 求证 BC EF
或
或
AB DE AC DF
BC EF AC DF
B
E
l2
C
F
l3
定理的证明过A点作AN ∥ DF，交l2于M，交l3
于N 点，连接 BN 、CM（如图(1-2） ∵l1∥l2∥l3 ∴AM =DE MN=EF AB S ABM 在△ACN中，有
三
练习
l1 l2 l3
AB BC AC DE EF DF
！
上
下
全
已知：如图， l1 // l2 // l3 求AB。 A B C D E F
，AC=8，DE=2，EF=3， 方法一 解：因为 l1 // l2 // l3
l1
l2
AB DE （平行线分线段 BC EF 成比例定理）。
பைடு நூலகம்
例1 已知：如图 EF=4。求BC。
B C A D E F
l1 // l2 // l3 ，AB=3 ，DE=2 ，
l1 l2
l3
练习：已知：如图， l // l 1 2 EF=c. 求DE。
A B C D E F
// l3
，AB= a, BC= b,
l1 l2 l3
例 2 如图,△ABC中,DF//AC,DE//BC,AE=4,EC=2, BC=8.求BF和CF的长. 分析:运用平行线分线段成比例定理的推论分 A 别列出比例式求解. 解 ∵DE//BC
其实，世上最温暖的语言，“ 不是我爱你，而是在一起。” 所以懂得才是最美的相遇！只有彼此以诚相待，彼此尊重 ，相互包容，相互懂得，才能走的更远。 相遇是缘，相守是爱。缘是多么的妙不可言，而懂得又是多么的难能可贵。否则就会错过一时，错过一世！ 择一人深爱，陪一人到老。一路相扶相持，一路心手相牵，一路笑对风雨。在平凡的世界，不求爱的轰轰烈烈；不求誓 言多么美丽；唯愿简单的相处，真心地付出，平淡地相守，才不负最美的人生；不负善良的自己。 人海茫茫，不求人人都能刻骨铭心，但求对人对己问心无愧，无怨无悔足矣。大千世界，与万千人中遇见，只是相识的 开始，只有彼此真心付出，以心交心，以情换情，相知相惜，才能相伴美好的一生，一路同行。 然而，生活不仅是诗和远方，更要面对现实。如果曾经的拥有，不能天长地久，那么就要学会华丽地转身，学会忘记。 忘记该忘记的人，忘记该忘记的事儿，忘记苦乐年华的悲喜交集。 人有悲欢离合，月有阴晴圆缺。对于离开的人，不必折磨自己脆弱的生命，虚度了美好的朝夕；不必让心灵痛苦不堪， 弄丢了快乐的自己。擦汗眼泪，告诉自己，日子还得继续，谁都不是谁的唯一，相信最美的风景一直在路上。 人生，就是一场修行。你路过我，我忘记你；你有情，他无意。谁都希望在正确的时间遇见对的人，然而事与愿违时， 你越渴望的东西，也许越是无情无义地弃你而去。所以美好的愿望，就会像肥皂泡一样破灭，只能在错误的时间遇到错的人 。 岁月匆匆像一阵风，有多少故事留下感动。愿曾经的相遇，无论是锦上添花，还是追悔莫及；无论是青涩年华的懵懂赏 识，还是成长岁月无法躲避的经历……愿曾经的过往，依然如花芬芳四溢，永远无悔岁月赐予的美好相遇。 其实，人生之路的每一段相遇，都是一笔财富，尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上，他们都会丰富你的生命，使 你的生命更充实，更真实；丰盈你的内心，使你的内心更慈悲，更善良。所以生活的美好，缘于一颗善良的心，愿我们都能 善待自己和他人。 一路走来，愿相亲相爱的人，相濡以沫，同甘共苦，百年好合。愿有情有意的人，不离不弃，相惜相守，共度人生的每 一个朝夕……直到老得哪也去不了，依然是彼此手心里的宝，感恩一路有你！
平行线分线段成比例结论
平行线分线段成比例结论
平行线分线段成比例的结论可以用以下两个定理来描述：
1. 三角形法则：如果在两条平行线上有两个相交线段，那么这两条线段被平行线切分的部分成比例。
具体表述为：如果AB和CD是两条平行线，并且有两个交叉
线段EF和GH，那么EF/GH = AB/CD。
2. 价恩斯定理：两条平行线被一组相交线段切割所形成的任意两条线段之间的比值，等于这两条线段所在平行线之间的比值。
具体表述为：如果AB和CD是两条平行线，其中EF和GH
是这两条平行线上的两个交叉线段，那么EF/GH = AB/CD。
这些定理指出，在平行线上切割的线段之间存在比例关系，这使得我们可以通过已知线段的比例来推导未知线段的长度。
平行线分线段成比例教学课件
掌握情况
学生能够熟练掌握平行线分线段 成比例定理及其推论，能够运用 定理证明三角形相似，并了解相
似三角形的性质。
学习难点
部分学生在运用平行线分线段成 比例定理证明三角形相似时存在 困难，需要加强对定理的理解和
应用。
学习收获
通过学习，学生掌握了平行线分 线段成比例定理及其推论，提高 了证明三角形相似的能力，对相 似三角形的性质有了更深入的了
方法二
利用相似三角形的性质，通过计算得 到对应边之间的比例关系，从而判定 是否存在平行线。
实际问题中运用平行线分线
04
段成比例
实际问题背景介绍
01 建筑设计
在设计建筑时，需要利用平行线分线段成比例的 原理来确保建筑物的稳定性和美观性。
02 地理测绘
在地理测绘中，可以通过平行线分线段成比例的 方法来计算地图上的距离和面积。
利用面积证明
通过计算平行四边形的面积，利用面积法证明平行线分线段成比例定理。
定理应用举例
01 解决线段比例问题
利用平行线分线段成比例定理，可以解决一些涉 及线段比例的问题，如计算两条线段的比例、证 明两条线段成比例等。
02 解决角度问题
平行线分线段成比例定理也可以用于解决一些角 度问题，如证明两个角相等或互补等。
平行线分线段成比例 教学课件
目录
• 平行线与线段基本概念 • 平行线分线段成比例定理 • 相似三角形与平行线关系探讨 • 实际问题中运用平行线分线段成比
例 • 课堂互动环节 • 总结回顾与作业布置
01
平行线与线段基本概念
平行线定义及性质
01
平行线定义
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
02
平行线段分线段成比例证明
平行线段分线段成比例证明平行线段分线段成比例，这个听起来挺复杂的吧？咱们可以把它想象成一场友谊赛，参与者是两条平行线，还有一条小线段在中间起着分割的作用。
想象一下，两个好朋友在操场上玩耍，两个平行的线段就像这两个朋友，永远保持着同样的距离，绝不会走得太近，也不会远离彼此。
而那个小线段，就是他们之间的小桥梁，连接着这段友情。
这个道理特别简单。
就好比你跟朋友一起分享零食，你们每人分到的数量是一样的。
这时候，假设你们有两种零食，巧克力和薯片。
你把巧克力分给自己和朋友，结果每个人都有一份，而薯片也是如此。
这不就形成了一种比例吗？对了，平行线段之间的比例关系就像你们分享零食一样，永远保持着一致，谁都不会吃亏。
再想象一下，咱们画一条横线，把它放在两条平行线之间。
就像把一个巧克力棒横着放在两块巧克力之间，哈哈，想想就让人馋了。
这个横线就把两条平行线分成了几个小部分。
每个部分就像小朋友们分到的零食，分得公平，分得合理。
我们可以用简单的数学公式来表示这几个部分的关系，像是把一根长棍子折成几段，折得越整齐，比例就越好。
所以，当我们把这个概念再深入一点，可以发现，平行线段的比例关系不仅仅是数学题，它其实和我们生活中的很多事情都息息相关。
就像在一个团队里，大家分工合作，每个人的贡献都很重要。
如果某个人的工作量比另一个人多，那可能就不太公平了。
就像你吃巧克力的时候，朋友却只得到了几片薯片，这样的情况谁都不想看到，对吧？我们可以用一个简单的例子来说明这个原理。
假设我们有一条长长的公路，两旁都是平行的绿树。
你在公路中间跑步，想象一下，左边的树和右边的树永远保持着相同的距离。
然后，你在中间画一条线，标记一下你跑过的距离，结果你发现，无论你怎么跑，这两侧的树之间的距离始终都是一致的。
这就是平行线段分线段成比例的最佳体现，真的是让人感到神奇呢。
想想生活中那些有趣的事情吧！每当你看到平行线，就像看到朋友们齐心协力，分享快乐一样。
这种简单而又美好的关系，正是让我们的生活充满乐趣的源泉。
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第六讲 4.2平行线分线段成比例
【课前小练】 1.(1)若
._____,32=+=y
x y
y x 则 (2)若._____,0654=+≠==a c b a b c 则
2.解下列一元二次方程
(1)3(x-1)2-27=0; (2)4x 2-8x-3=0.
【新课讲解】
1.平行线分线段成比例定理 ：
两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例 “
右
左
右上左上右右上左左上右下右上左下左上===,,……” （3）由下面的定理的基本图形（1）和（2）得出推论
例1.如图1，已知直线l 1∥l 2∥l 3， 如果AC ＝6，CE ＝8，BF ＝21，则BD 的长为_______．
图1 变式1 推论图
变式1．如图2，直线l 1∥l 2∥l 3，已知AG ＝0.6，BG ＝1.2，CD ＝1.5 ，则CH ＝__ _.
2．推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例 几何语言：在△ABC 中，
∵ ，∴
定理的基本图形和结论：
A 型基本图形
X 型基本图形 （4）
（2） （3）
3.例题精讲
例2.如图：在△ABC 中E,F 分别是AB 和AC 上的两点且EF//BC, （1）如果AE=7，EB=5，FC=4那么AF 的长是多少？ （2）如果AB=10,AE=6,AF=5那么CF 的长是多少？
变式2.如图，已知AB ∥CD ，下列结论不成立的是( ) A.AO OD ＝BO OC B.AO AD ＝OB BC C.OA OB ＝OD OC D.OA OB ＝BC AD 变式3、(易错题)如图3，在三角形ABC 中，点E ，F 分别是AB ，AC 边上的点，且有EF ∥BC ，
如果EB AB ＝45，则AC FC ＝( ) A.94 B.59 C.54 D.95
图2 例3图 图4 例3.如图，已知在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ∶DB ＝3∶5，那么CF ∶CB 等于( )
A ．5∶8
B ．3∶8
C ．3∶5
D ．2∶5
变式4．如图4，AD 是△ABC 的中线，AE ＝EF ＝FC ，BE 交AD 于点G ，则AG
AD
＝__ __．
例4.如图，在△ABC 中，点D 是AB 上的点，过D 作DE//BC 交AC 于点E ，过E 作EF//DC 交AD 于点F.已知AD=62，AB=8，求(1)
.)2(;AB
AF
AC AE
练习5.如图，BD=CD ，AE ：DE=1：2，延长BE 交AC 于F ，且AF=4cm ，求AC 的长.
A B
【课后作业】
1．如图1，AD ∥BE ∥CF ，直线l 1、l 2这与三条平行线分别交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．已知AB =1，BC =3，DE =2，则EF 的长为（ ）
A ． 4
B ． 5
C ．
6 D ． 8
图1 图2 图3 2．如图2，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ，直线DF 分别交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F ，AC 与DF 相交于点G ，且AG =2，GB
=1，BC =5，则为（ ）
A ．
B ． 2
C
．
D ．
3．（2015•潍坊）如图5，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，按如下步骤作图：第一步，分别以点A 、D 为圆心，以大于AD 的长为半径在AD 两侧作弧，交于两点M 、N ； 第二步，连接MN 分别交AB 、AC 于点E 、F ；
第三步，连接DE 、DF ．若BD =6，AF =4，CD =3，则BE 的长是（ ） A ．2 B ． 4 C .6 D ． 8
4．如图4，已知直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 和DF 分别与l 1，l 2，l 3相交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ，如果AB ＝1，EF ＝3，那么下列各式中，正确的是( )
A ．BC ∶DE ＝3
B ．B
C ∶DE ＝1∶3 C ．BC ·DE ＝3
D ．BC ·D
E ＝1
3
5．如图5，l 1∥l 2∥l 3，AB BC ＝2
3
，DF ＝15，则DE ＝__ __，EF ＝__ __．
图4 图5 图8
6如图6，在△ABC 中，已知MN ∥BC ，DN ∥MC .小红同学由此得出了以下四个结论： ①AN CN ＝AM AB ；②AD DM ＝AM MB ；③AM MB ＝AN NC ；④AD AM ＝AN AC .其中正确结论的个数为 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
7. 如图，点E 是▱ABCD 的边AB 延长线上的一点，DE 交BC 于点F .若BE AB ＝1
3
，EF ＝2，BF
＝1.5.求DF ，BC 的长；
8.如图，点F 在边AB 上，且AF ：BF=1：2，D 是BC 延长线上的一点BC ：CD=2：1，连接FD ，与边AC 交于点N ，求FN ：ND 的值.。