离散傅里叶变换DFT
离散傅里叶变换(DFT)
尾补L－M个零后，再形成第一行的循环倒相序列。
（2） 第1行以后的各行均是前一行向右循环移1位 形成的。 （3） 矩阵的各主对角线上的序列值均相等。
x( L 1) x( L 2) y (0)c x(0) y (1) x(1) x(0) x( L 1) c y (2)c ＝ x(2) x(1) x(0) y ( L 1)c x( L 1) x( L 2) x( L 3) x(1) h(0) x(2) h(1) x(3) h(2) x (0) h( L 1)
主值序列 x(n)
DFT变换对
x(n)的长度为M点，N≥M
N点DFT 变换对
DFT [ x(n)] X (k ) x(n)WNkn
n 0 N 1
WN e
j
2 N
k 0,1,..., N 1 n 0,1,..., N 1
1 N 1 IDFT [ X (k )] x(n) X (k )WN kn N k 0
1 IDFT[ X (k )]N N
N 1
[ x(m)WNmk ]WN kn
k 0 m 0
N 1 N 1
1 x ( m) N m 0
1 N
WNk ( m n )
k 0
N 1
W
k 0
N 1
k ( mn ) N
1 N
e
k 0
N 1 j 2 k ( m n ) N
x(n)
L称为循环卷积区间长度，L≥max［N，M］。
用矩阵计算循环卷积的公式
L 1 yc (n) h(m) x((n m)) L RL (n) m0
离散傅里叶变换(DFT)
~
将 x(n)以N为周期进行周期延拓得到 x(n) = x(( n)) N 将
~
x(n) = x((n)) N 左移m位得到 x(n + m)
(3.2.4)
例： ( n) = 3e n , o ≤ n ≤ 15 ，求 f ( n) = x(( n + 5))15 R15 (n) x
的16点离散傅立叶变换DFT。
N=16; n=0:N-1; xn=3*exp(n); m=5; fn=xn(mod((n+m),N)+1); XK=fft(xn, N); subplot(2, 2, 1); stem(n,xn); subplot(2, 2, 2); stem(n,abs(XK)); FK=fft(fn,N); subplot(2, 2, 3); stem(n,fn); subplot(2, 2, 4); stem(n,abs(FK));
x(n)为长度为N的有限长序列
x(n) 是长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列
x (n ) =
~
~
m =∞
∑
∞
x ( n + mN )
(3.1.5) (3.1.6)
x (n ) = x ( n ) RN (n )
~
~
主值区间：周期序列 x( n) 从n=0到N-1的第一个周期。
~
主值序列：而主值区间上的序列称为 x( n) 的主值序列。
m
~2 m )) N) R x 2 (( (( m )) N ( n ) x (m x
2
离散傅里叶变换 DFT
数字信号处理第五章离散傅里叶变换授课教师：胡双红联系QQ：79274544长沙理工大学计算机与通信工程学院DFT:离散傅里叶变换引言DFSDFTDFT性质DFT应用快速算法：FFT引言DTFT对绝对可加序列给出了频域（ω）表示 Z变换对任意序列给出了广义频域（z）表示 特点：变换都是对无限长序列定义的；变换都是连续变量（ω或z ）的函数；用MATLAB实现时必须将序列截断然后在有限点上求表达式。
即DTFT和ZT都不是数值可计算的变换数值可计算的变换DFT方法：通过在频域对DTFT采样获得。
步骤：通过分析周期序列来建立傅里叶级数(DFS)将DFS推广到有限长序列得DFT优点：适合计算机实现的数值可计算的变换缺点：对长序列的数值计算费时多改进方法：快速傅里叶变换（FFT）第一次课5.1 离散傅里叶级数定义MATLAB实例与Z变换和DTFT的关系Z域采样与重建~式中：x解：由题设可得基波周期~~令x周期，⎪⎧±±==−,2,,02N Lk j N N k L π"作出L=5和N=20的周期序列图>> x=[1,1,1,1,1,zeros(1,15)];>> xtilde=x'*ones(1,3);>> xtilde=xtilde(:);>> xtilde=xtilde';>> n=[-20:39];>> stem(n,xtilde)>> axis([-20,39,-0.5,1.5]);>> xlabel('n');ylabel('x(n)');title('周期方波序列')2）对L=5和N=20的MATLAB脚本如下------------------------MATLAB脚本--------------------->> L=5;N=20;k=[-N/2:N/2];% 方波参数>> xn=[ones(1,L),zeros(1,N-L)];% 方波序列x(n) >> Xk=dfs(xn,N);% DFS>> magXk=abs([Xk(N/2+1:N) Xk(1:N/2+1)]);% DFS幅度>> subplot(2,2,1);stem(k,magXk);>> axis([-N/2,N/2,-0.5,0.5]);>> subplot(2,2,1);stem(k,magXk);>> axis([-N/2,N/2,-0.5,5.5]);>> xlabel('k');ylabel('Xtilde(k)');>> title('L=5,N=20 的方波的DFS');3）结论：方波DFS的DFT包络为抽样函数"sinc"函数k=0时幅度为L，函数的零点在N/L的整数倍点 方波持续时间相同时，周期越大，其频谱越密设x(n)是一有限长的序列，长度为N,即：那么它的z 变换和DTFT 为：,01()0,n N x n n ≤≤−⎧=⎨⎩非零其余()()()()∑∑−=−−=−==1010N n jwnjw N n n e n x e X zn x z X 与Z 变换和DTFT 的关系（了解）~现在以周期3）在4）在解：序列x(n)不是周期的，但是有限长的在设x(n)任意序列N−∞1上式表明：单位圆上对X(z)采样，时域将得到一个周期序列，是原序列x(n)和它的无穷多个移位±rN 的副本的线性组合。
dft与离散傅里叶变换
dft与离散傅里叶变换DFT与离散傅里叶变换引言：数字信号处理中，频域分析是一项重要的技术。
DFT（离散傅里叶变换）和离散傅里叶变换（DFT）是两种常用的频域分析方法。
本文将介绍DFT和离散傅里叶变换的基本原理、应用领域以及它们之间的区别。
一、DFT的基本原理离散傅里叶变换（DFT）是一种将时域信号转换为频域信号的方法。
它的基本原理是将信号分解为不同频率的正弦和余弦波的叠加。
DFT 可以将信号从时域转换到频域，帮助我们分析信号的频谱特征。
DFT的计算公式是通过对信号的采样点进行离散计算得到的。
它将信号分解为一系列复数，表示不同频率的正弦和余弦波的振幅和相位信息。
通常情况下，DFT的输入信号是离散时间的有限长度序列，输出信号也是离散时间的有限长度序列。
二、DFT的应用领域DFT在信号处理领域有着广泛的应用。
以下是几个典型的应用领域：1. 音频信号处理：DFT可以用于音频信号的频谱分析，帮助我们了解音频信号的频率组成以及频谱特征。
它在音频编码、音频效果处理等方面有着重要作用。
2. 图像处理：DFT可以用于图像的频域分析，帮助我们了解图像的频率特征，如边缘、纹理等。
它在图像压缩、图像增强等方面有着广泛的应用。
3. 通信系统：DFT可以用于通信信号的频谱分析，帮助我们了解信号在频域上的特征，如信号的带宽、频率偏移等。
它在调制解调、信道估计等方面有着重要作用。
三、离散傅里叶变换（DFT）与傅里叶变换（FT）的区别离散傅里叶变换（DFT）是傅里叶变换（FT）在离散时间上的应用。
它们之间的区别主要体现在以下几个方面：1. 定义域：傅里叶变换是定义在连续时间上的，而离散傅里叶变换是定义在离散时间上的。
2. 输入信号类型：傅里叶变换可以处理连续时间的信号，而离散傅里叶变换可以处理离散时间的信号。
3. 计算方法：傅里叶变换通过积分计算得到频域信号，而离散傅里叶变换通过对输入信号的采样点进行离散计算得到频域信号。
4. 结果表示：傅里叶变换的结果是连续的频域信号，而离散傅里叶变换的结果是离散的频域信号。
离散傅里叶变换(DFT)
尾补L－M
（2） 第1行以后的各行均是前一行向右循环移1位
（3） 矩阵的各主对角线上的序列值均相等。
y(0)c x(0) x(L1) x(L2)
y(1)c
x(1)
x(0) x(L1)
y(2)c
＝ x(2)
x(1)
x(0)
y(L1)c x(L1) x(L2) x(L3)
m0
n'm
精选课件
N1
N1
X(k) x1(m)WN km x2(n')WN kn '
m0
n'0
X1(k)X2(k)， 0kN1
由于 X ( k ) D F T [ x ( n ) ] X 1 ( k ) X 2 ( k ) X 2 ( k ) X 1 ( k )， 因此
x (n ) ID F T [X (k)] x 1 (n ) x2(n)x2(n) x 1 ( n )
精选课件
若 则
且
D[F x(n)T ]X (k) D [ x ( F n (m T )N R )N ( n ) ] W N m X ( k k ) ID [X (k F ( l)T N ) R N ( k ) ] W N n x ( ln )
证明：
N 1
N 1
Y ( k ) D F T [ y ( n ) ] N x ( ( n m ) ) N R N ( n ) W N k n x ( ( n m ) ) N W N k n
m0
（3.2.5）
yc(n)=h(n) x(n)
L称为循环卷积区间长度，L≥max［N，M］。
精选课件
离散傅里叶变换（DFT）
离散傅⾥叶变换（DFT） 对于第⼀幅图来说，它侧重展⽰傅⾥叶变换的本质之⼀：叠加性，每个圆代表⼀个谐波分量。
第⼆幅图直观的表⽰了⼀个周期信号在时域与频域的分解。
周期信号的三⾓函数表⽰ 周期信号是每隔⼀定时间间隔，按相同规律⽆始⽆终重复变化的信号。
任何周期函数在满⾜狄利克雷条件下（连续或只有有限个间断点，且都是第⼀类间断点；只有有限个极值点），都可以展开成⼀组正交函数的⽆穷级数之和。
使⽤三⾓函数集的周期函数展开就是傅⾥叶级数。
对于周期为T 的信号f(t)，可以⽤三⾓函数集的线性组合来表⽰，即f(t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty }(a_n\cos n\omega t+b_n\sin n \omega t) 式中\omega=\frac{2\pi}{T}是周期信号的⾓频率，也成基波频率，n\omega称为n次谐波频率；a_0为信号的直流分量，a_n和b_n分别是余弦分量和正弦分量幅度。
根据级数理论，傅⾥叶系数a_0、a_n、b_n的计算公式为：\left\{\begin{matrix}a_0=\frac{1}{T}\int _{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)dt \\ a_n=\frac{2}{T}\int _{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\cos{n\omegat}dt,n=1,2,3,... \\ b_n=\frac{2}{T}\int _{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\sin{n\omega t}dt,n=1,2,3,... \end{matrix}\right. 若将式⼦中同频率的正弦项和余弦项合并，得到另⼀种形式的周期信号的傅⾥叶级数，即f(t)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty}A_n\cos(n\omega t+\varphi_n) 其中，A_0为信号的直流分量；A_1\cos(\omega t+\varphi_1)为信号的基频分量，简称基波；A_n\cos(n\omega t+\varphi_n)为信号的n次谐波，n ⽐较⼤的谐波，称为⾼次谐波。
离散傅里叶变换DFT的性质
讨论DFT的性质有何意义呢？
1.加深对离散傅里叶变换的理解，更好的掌握DFT 的特性，便于体会出时域和频谱表达存在的内在 联系。
2.这些重要的性质有助于简化变换与反变换的求取， 降低计算的复杂性。例如后面重点学习的FFT算法 就利用了DFT的周期性和对称性。
仔细看书中的性质列表，与DTFT性质表进行对比
N1
[XR(k)cos
k0
2kn
N
Xl
(k)sin
2kn]
N
(2)实偶序列
x(n)x(Nn) 0nN1XI(k)0
N1
2kn
X(k) x(n)cos
n0
N
0kN1
XI(k)0x(n)N 1N k01X(k)cos2Nkn
0nN1
DFT: XR(k)Nn01xR(n)cos2NknxI(n)sin2Nkn XI (k)Nn01xR(n)sin2NknxI(n)cos2Nkn
x'(n)=x(nk,对N求余) x((nk))N
当 k 2和 N 4 x (n ) x ((n 2 )) 4 x (0 ) x (( 2 )) 4 x (2 ) x (1 ) x (( 1 )) 4 x (3 ) x (2 ) x ((0 )) 4 x (0 ) x (3 ) x ((1 )) 4 x (1 )
加深对离散傅里叶变换的理解，更好的掌握DFT的特性，便于体会出时域和频谱表达存在的内在联系。
1 7、序列的圆周时域移位
j
x[n] X (e )e d 这些重要的性质有助于简化变换与反变换的求取，降低计算的复杂性。
jn
3 DFT的隐含周期性、线性、对称性
2
2 加深对离散傅里叶变换的理解，更好的掌握DFT的特性，便于体会出时域和频谱表达存在的内在联系。
DFT(离散傅里叶变换).
X(k)
X(k)
0 123 456 k N=6
0 123 45 N=5
k
17
在0 ~N 范围内，对于N/2点X(k)呈半周期偶对称
分布。 arg[X(k)]呈半周期奇对称分布。
但对于长度为N的X(k)有值的区间是0 ~N 1，因此对
称性并不是很严格。
2）复数序列
若x*(n)是有限长序列x(n)的共轭复数序列，并设
----- k的奇函数
16
N 1
N 1
X (k) x(n)W nk [ x(n)W nk ]*
n0
n0
N 1
[ x(n)W n( N k ) ]*
n0
= X*(N k)
X(k) =X*(N k) =X(N k)
arg[X(k)] = arg[X*(N k)] = arg[X(N k)]
1 j 1
j
1
0
1 1 1 1 1 0
1 j 1 j 1 0
7
x4(n) 1
n 0123
X4(k) 1
k 0123
x(0) W 0
x(1)
1
W
0
x(2) 4 W 0
x(3)
W
0
W0 W 1 W 2 W 3
W0 W 2 W 4 W 6
W 0 X (0)
W
3
X
(1)
N
1)
W
0
W ( N 1)1
W ( N 1)2
W
(
N
1)( N
1)
x(
N
1)
简写作
X (k ) W nk x(n) x(n) 1 W nk X (k )
N
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（2）可写为： TFn
f (t )e
jn0t
F n 0 F n 0 dt 1T f
令 T 则： n 0
单位频带上的频谱值
TFn
T
f (t )e
j t
dt F ( j )
f(t)的频谱密度函数，简称频谱函数。
1 jn0t 0 （1）可写为： f (t ) TFn e TFn e jn t T 2 n n
(3) (4) x3 (n) a nu (n), 0 a 1 x4 (n) u (n 3) u (n 4)
(3) X 3 (e )
j n
解
a u(n)e
n
j n
a n e jn
n 0
1 1 ae j
n 3
(4)
X ( k ) x ( n )e , k 0,1, n 0 2 N 1 j nk 1 N x ( n) X ( k )e , n 0,1, N k 0
N 1 j 2 nk N
, N 1 , N 1
3.4离散时间周期序列的傅里叶级数（DFS）
周期连续信号傅里叶级数展开
周期信号f(t)=f(t+nT) ，满足狄氏条件（有限区间逐 段光滑）时，可展成：
f (t )
其中：
n
F e
n
jnt
2 ( ) T
jnt
1 Fn T
T
0
f (t )e
dt
周期信号可分解为直流，基波和各次谐波 （基波角频率的整数倍）的线性组合。
要求低通滤波器： m c s m
理想冲激抽样时
H ( j) Ts
c
() t0
3.3连续时间信号的抽样 结论：
3.4离散时间周期序列的傅里叶级数（DFS）
~ ~ x ( n ) x (n kN ) 一个周期为N的周期序列，即 其中，k为任意整数，N为周期； 周期序列不能进行Z变换，因为其在 n=-到+都 周而复始永不衰减，即z平面上没有收敛域。但是， 正象连续时间周期信号可用傅氏级数表达，周期序列 也可用离散的傅氏级数来表示，也即用周期为 N的正 弦序列来表示。
a、b为常数
线性 时移 频移
e j0 n x(n)
x*(n) x(-n)
X (e j ( 0 ) n )
X (e j )
X (e j )
X (e j ) Y (e j )
x(n)* y(n)
时域卷积定理
3.2离散时间序列的傅里叶变换
DTFT对称性
3.2离散时间序列的傅里叶变换
jk nT X ( k ) e 0 jk 2 nTs NTs
k
X ( k )e
0 j 2 nk N
jk
2 nTs T
k
X ( k )e
0
k
X ( k )e
0
(T NTs )
2 2 N X (k 0 )是周期的，周期为s N 0 Ts T N点的周期序列，取一个周期，并简记作X (k )
DTFT对称性
3.2离散时间序列的傅里叶变换
DTFT对称性
3.2离散时间序列的傅里叶变换
DTFT对称性
3.2离散时间序列的傅里叶变换
实序列DTFT奇、偶、虚、实对称性质
3.3连续时间信号的抽样
抽样原理（采样、sample）
周期 序列
3.3连续时间信号的抽样
需要解决的问题
f s (t ) f (t ) s(t )
(1) (2)
解
(1) (2) X 1 (e )
j j n j n j 3 ( n 3) e e
X 2 (e )
n
x2 (n)e j n
1 j 1 e 1 e j 2 2
1 cos
3.2离散时间序列的傅里叶变换
EG (t )
e U t , 0
t
E Sa 2
E j
1
2
2 j
sgnt
U t
1 j
t
1
3.2离散时间序列的傅里叶变换
离散序列的傅里叶变换（DTFT）
3.2离散时间序列的傅里叶变换
周期信号的频谱图（双边频谱）
f (t ) 1 sin t 2 cost cos 2t 4
n 2
jnt F e n
2
1 jt 1 j j 2 t 1 j 4 j 2 t [1 1 ]e jt 1 [1 ]e e 4 e e e 2j 2j 2 2 1 j 4 1 j 0.15 F2 e F0 1 F1 1 1 . 12 e 2j 2
x ( n )e
n 0
N 1
j
2 ln N
NX (l )
j 2 nk N
1 X (k ) N
x ( n )e
n0
N 1
(3)
3.4离散时间周期序列的傅里叶级数 （DFS）
习惯上将以上的式（2），（3）中的定标因子移 到反变换中，得到离散傅里叶变换（ DFT ）：
3.4离散时间周期序列的傅里叶级数 （DFS）
又因为：e
j 2 nk N
e
j
2 n ( k lN ) N
, l为任意整数
N 1 j 2 nk N k 0
所以前面的求和可以写成： x(nTs ) X (k )e
N 1 2 nk N
上式只能计算出N 个独立的值，也就是 x(nTs ) 的一个周期，记作x(n) 则：x(n) X (k )e
j 4
j
7 2
j
7 2
j
7 2
7 ) 2 1 sin( ) 2 sin(
3.2离散时间序列的傅里叶变换
DTFT基本性质
傅里叶变换
X (e j ) Y (e j )
aX (e j ) bY (e j ) e jn0 X (e j )
序列
x(n) y(n) ax(n)+by(n) x(n-n0 )
f (t ) F ( j)
S ( j) s ( ns )
1 Fs ( j) F j * S j 2
1 TS
n
F[ j( n )]
s
讨论：采样周期变化对频谱的影 响
1)
s 2m
2 s Ts
该变换存在的充分条件：
f t dt
频谱密度函数 周期信号的傅氏级数： f (t ) 周期信号的频谱：
n
jn 0t F e n
2 ( 0 ) T
(1)
1 Fn T
T 2 T 2
T 2 T 2
f (t )e jn0t dt
(2)
1 j 0.15 F1 1 1 . 12 e 2j
1 j 4 F2 e 2
3.1连续时间信号的傅里叶变换
非周期连续信号傅里叶变换
F j
f (t )e j t dt
j t F j e d
1 f (t ) 2
3.4离散时间周期序列的傅里叶级数 （DFS）
3.4离散时间周期序列的傅里叶级数 （DFS）
2. 时域频域各取一个周期,得到DFT
x(t )
k
jk t X ( k ) e (1) 0
0
2 ( 0 ) T
0 s
x(nTs ) x(t )
t nTs
k
2)
s 2m
结论： 1) 当Ωs 2Ωm时，Fs(j Ω)是F(j Ω)在不 同Ωs倍数上的重复与再现，幅值为原值
3)
s 2m
的1/Ts 。
2) 当Ωs<2Ωm时，Fs(j Ω)中出现F(j Ω) 的
叠加与混合（混迭现象） 。
信号f(t)的恢复
即：从 fs(t)中恢复f(t) 实现：低通滤波器
第三章 离散傅里叶变换DFT（一）
Chapter 3 Discrete Fourier-Transform （Part Ⅰ）
主要内容
3.1连续时间信号的傅里叶变换 3.2离散时间序列的傅里叶变换
（DTFT） 3.3连续时间信号的抽样 3.4离散时间周期序列的傅里叶级数 （DFS）
3.1连续时间信号的傅里叶变换
总结：DFT与周期延拓
1 e j 4 1 e j 3 e j 3 e j 4 1 e j 7 j 3 e j j j j 1 e 1 e 1 e 1 e
1 e e (e e ) j 3 e 1 1 1 j j j 1 e j e 2 (e 2 e 2 )
k 0 j
(2)
j 2 ln N N 1
2 2 2 N 1 N 1 j nk j ln j ( k l ) n N 1 N N N 求反变换作如下运算： x ( n ) e X ( k ) e e X ( k ) e n0 n0 k 0 k 0 n 0 2 N 1 j ( k l ) n N k l 0, N , 2 N , N 由于 e n0 0 其它 N 1