3等差数列Ⅰ

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等差数列与等比数列的基本量运算

等差数列与等比数列运算知识点：一．等差数列 1．等差数列基本概念⑴等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d 表示．即等差数列有递推公式：1(1)n n a a d n +-=≥． ⑵等差数列的通项公式为：1(1)n a a n d =+-．⑶等差中项：如果三个数,,x A y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，即2x yA +=． ⑷等差数列的前n 项和公式：211()(1)22n n n a a n n S na d An Bn +-==+=+． 1．等差数列通项公式的推导：2132121n n n n a a d a a da a d a a d----=-=-=-=，将这1n -个式子的等号两边分别相加得：1(1)n a a n d -=-，即1(1)n a a n d =+-．由等差数列的通项公式易知：()n m a a n m d -=-． 2．等差数列前n 项和公式的推导：1111()(2)[(1)]n S a a d a d a n d =+++++++-，把项的顺序反过来，可将n S 写成：()(2)[(1)]n n n n n S a a d a d a n d =+-+-++--，将这两式相加得：11112()()()()n n n n n S a a a a a a n a a =++++++=+，从而得到等差数列的前n 项和公式1()2n n n a a S +=，又1(1)n a a n d =+-，得11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+．二．等比数列1. 等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，常用字母(0)q q ≠表示．2. 等比数列的通项公式为：11n n a a q -=．3. 等比中项：如果三个数,,x G y 组成等比数列，那么G 叫做x 和y 的等比中项，即2G xy =．两个正数（或两个负数）的等比中项有两个，它们互为相反数；一个正数与一个负数没有等比中项．1．等比数列通项公式的推导：由等比数列的定义知：312412321,,,,,n n n n a a aa aq q q q q a a a a a ---===== 将这1n -个式子的等号两边分别相乘得：11n na q a -=，即11n n a a q -=．由等比数列的通项公式易知：n m nma q a -=．一、等差数列中基本量的运算:a 1,a n ,n ,d ,S n 知三求二 ①基本量运算{}28454565651.,6,6,....n a a a A S S B S S C S S D S S =-=<=<=（一星）是等差数列且则（）解：1994500a a S S S +=⇒=⇒=.选B.{}18451845184518452.,0,....n a d A a a a a B a a a a C a a a a D a a a a ≠><+>+=（一星）如果是正项等差数列公差则（）答案：B.3,4,3,2550,,.k .a a k S a k =（一星）等差数列前三项为前项和求的值答案：2,50a k ==7.（二星）（2015年全国1）已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（）（A ） 172 （B ）192（C ）10 （D ）12 答案：B7.（三星）（全国1理科）设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==，则m = ( )A.3B.4C.5D.6 解：有题意知==0，∴=－=－（-）=－2，=-=3，∴公差=-=1，∴3==－，∴=5，故选C.2.将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行(3)n ≥从左向右的第3个数为．4.（二星）已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若，，成等比数列，则（） A.B.B.C. D.（3）（2016全国1卷理）已知等差数列}{n a 前9项的和为27，810=a ，则=100a（A ）100（B ）99（C ）98 （D ）97解：由等差数列性质可知：()1959599292722a a a S a +⨯====，故53a =，而108a =，因此公差1051105a a d -==- ∴100109098a a d =+=．故选C ．4.（2017全国1卷理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4562448a a S +==，，则{}n a 的公差为（） A ．1B ．2C ．4D ．8解：45113424a a a d a d +=+++=61656482S a d ⨯=+= 联立求得11272461548a d a d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩①② 3⨯-①②得()211524-=d624d = 4d =∴.选C3．（2018广州市调研理）在等差数列{}n a 中，已知22a =，前7项和756S =，则公差d =( )BA ．2B ．3C ．2-D ．3-4．（2018广州一模文）等差数列{}n a 的各项均不为零，其前n 项和为n S ，若212n n n a a a ++=+，则21=n S +（A ）A ．42n +B ．4nC ．21n +D ．2n4．（2018全国1理）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a B A ．12- B ．10- C ．10 D ．129. （2019全国1卷理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A. 25n a n =- B.310n a n =-C. 228n S n n =-D. 2122n S n n =- 解：由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ．18．（2019全国1卷文）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=－a 5．（1）若a 3=4，求{a n }的通项公式；（2）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．解：（1）设{}n a 的公差为d ．由95S a =-得140a d +=．由a 3=4得124a d +=．于是18,2a d ==-．因此{}n a 的通项公式为102n a n =-．（2）由（1）得14a d =-，故(9)(5),2n n n n da n d S -=-=. 由10a >知0d <，故n n S a 等价于211100n n -+，解得1≤n ≤10．所以n 的取值范围是{|110,}n n n ∈N ．14．（2019全国高考3卷理）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =________.414．（2019全国3卷文）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________.15. （2018广东一模文）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23122n S n n =+，则5a = ．146. （2018广东一模文）等差数列()()()333log 2,log 3,log 42,x x x +的第四项等于（ A ）A ．3B ．4 C. 3log 18 D ．3log 24 ②创新题1.（2016全国2卷文）等差数列{}n a 中，且344a a +=，576a a +=．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记[]n n a b =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]09.0=，[]26.2=．解：(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，由题意有11254,53a d a d -=-=，解得121,5a d ==，所以{}n a 的通项公式为235n n a +=.（Ⅱ）由(Ⅰ)知235n n b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n=1,2,3时，2312,15n n b +≤<=；当n=4,5时，2323,25n n b +≤<=；当n=6,7,8时，2334,35n n b +≤<=；当n=9,10时，2345,45n n b +≤<=，所以数列{}n b 的前10项和为1322334224⨯+⨯+⨯+⨯=.17.(2016全国2卷理)n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =．记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]lg991=．（Ⅰ）求1b ，11b ，101b ；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和．解： ⑴设的公差为，，∴，∴，∴． ∴，，． ⑵记的前项和为，则．当时，；当时，；当时，；当时，．∴．（17）（2017届广州市调研文）等差数列}{n a 中，1243=+a a ，749S =. （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅰ）记][x 表示不超过x 的最大整数，如0]9.0[=，2]6.2[= . 令][lg n n a b =，求数列}{n b 的前2000项和.解：（Ⅰ）由1243=+a a ，749S =，得112512,72149.a d a d +=⎧⎨+=⎩{}n a d 74728S a ==44a =4113a a d -==1(1)n a a n d n =+-=[][]11lg lg10b a ===[][]1111lg lg111b a ===[][]101101101lg lg 2b a ==={}n b n n T 1000121000T b b b =++⋅⋅⋅+[][][]121000lg lg lg a a a =++⋅⋅⋅+0lg 1n a <≤129n =⋅⋅⋅，，，1lg 2n a <≤101199n =⋅⋅⋅，，，2lg 3n a <≤100101999n =⋅⋅⋅，，，lg 3n a =1000n =1000091902900311893T =⨯+⨯+⨯+⨯=解得11=a ，2=d ，所以12-=n a n .（Ⅰ）)]12[lg(][lg -==n a b n n ，当51≤≤n 时, 0)]12[lg(=-=n b n ;当506≤≤n 时, 1)]12[lg(=-=n b n ; 当50051≤≤n 时, 2)]12[lg(=-=n b n ; 当5012000n ≤≤时, 3)]12[lg(=-=n b n .所以数列}{n b 的前2000项和为544515003450245150=⨯+⨯+⨯+⨯.③与其他内容结合4546.(){},10,15,___.n n a n S S S a ≥≤四星设等差数列的前项和为若则的最大值为4141115110235:3(23)3(2) 4. 4.1523S a d a a d a d a d S a d ≥+≥⎧⎧⇒⇒=+=-+++≤⎨⎨≤+≤⎩⎩解答案为二、等比数列中基本量的运算 ①基本量运算1.1,,,,9,.3,9.3,9.3,9.3,9a b c Ab ac B b ac C b ac D b ac --===-===-=-=-（一星）若成等比数列则（）答案：B3102.,3,384,______a a ==（一星）等比数列中则通项公式为答案：332n n a -=⋅364714.,36,18,,____2n a a a a a n +=+===（一星）等比数列中答案：9n =13、（一星）（2015全国1）数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = .答案：67.（一星）(2015全国2理)等比数列｛a n ｝满足a 1=3，135a a a ++=21，则357a a a ++=（）A ．21B ．42C ．63D ．84 答案：B12.（一星）(2015全国2文)已知等比数列满足，，则（） A. 2 B. 1 C. D. 答案：C5．（二星）（全国理）已知{}n a 为等比数列，47562,8a a a a +==-，则110a a +=A ．7B ．5C ．-5D ．-7 解：因为{}n a 是等比数列，所以56478a a a a ==-，所以47,a a 是方程2280x x --=的两根，解得4x =或2x =-。

新高考数学(理)之数列专题03 等差数列(等差数列的和与性质)(解析版)

新高考数学（理）数列03 等差数列（等差数列的和与性质）一、具体目标：等差数列（1）理解等差数列的概念.（2）掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.（3）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系关系，并能用有关知识解决相应的问题. （4）了解等差数列与一次函数的关系.等差数列的和与二次函数的关系及最值问题. 二、知识概述：一）等差数列的有关概念1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.用递推公式表示为或.2.等差数列的通项公式：；()d m n a a m n-+=.说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列，为递减数列.3.等差中项的概念：定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项,其中 . ，，成等差数列. 4.等差数列的前和的求和公式：. 5.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与2d 1(2)n n a a d n --=≥1(1)n n a a d n +-=≥1(1)n a a n d =+-A P d 0>0d =0d <a A b A a b 2a bA +=a Ab ⇔2a bA +=n 11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+【考点讲解】它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列． 6.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．二）方法规律：1．等差数列的四种判断方法(1) 定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1()n N ∈*(常数)，则数列{}n a 是等差数列； (2) 等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ()n N ∈*，则数列{}n a 是等差数列; (3)通项公式：n a pn q =+(,p q 为常数,n N ∈*)⇔是等差数列;(4)前n 项和公式：2n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)⇔是等差数列;(5)是等差数列⇔n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列. 2．活用方程思想和化归思想在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为1a 和d 等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量1,,,,n n a d n a S ，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量1a 、d ，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算． 3.特殊设法:三个数成等差数列，一般设为,,a d a a d -+；四个数成等差数列，一般设为3,,,3a d a d a d a d --++. 这对已知和,求数列各项,运算很方便.4．若判断一个数列既不是等差数列又不是等比数列，只需用123,,a a a 验证即可． 5.等差数列的前n 项和公式：若已知首项1a 和末项n a ，则1()2n n n a a S +=，或等差数列{a n }的首项是1a ，公差是d ，则其前n 项和公式为1(1)2n n n S na d -=+. 三）等差数列的性质： 1.等差数列的性质：（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；1(1)n a a n d =+-11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+{}n a（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列，如：，，，，……；，，，，……；（3）在等差数列中，对任意，，，；（4）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等差中项.（5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列.（6）两个等差数列{}n a 与{}n b 的和差的数列{}n n a b ±仍为等差数列．（7）若数列{}n a 是等差数列,则{}n ka 仍为等差数列．2．设数列是等差数列，且公差为，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有项，则①-S S nd =奇偶； ②；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则①S S -偶奇(中间项)；②. 3.(),p q a q a p p q ==≠,则0p q a +=,m n m n S S S mnd +=++.4.如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．5.若与{}n b 为等差数列，且前n 项和分别为n S 与'n S ，则2121'm m m m a S b S --=. 四）方法规律：1. 等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n 项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题．2.等差数列的性质多与其下标有关，解题需多注意观察，发现其联系，加以应用, 故应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系．3.应用等差数列的性质要注意结合其通项公式、前n 项和公式．4.解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向、形成解题策略. 五）等差数列的和1. 等差数列的前n 项和公式{}n a 1a 3a 5a 7a 3a 8a 13a 18a {}n a m n N +∈()n m a a n m d =+-n ma a d n m-=-()m n ≠{}n a m n p q N +∈m n p q +=+m n p q a a a a +=+{}n a d 2n 1n n S a S a +=奇偶21n -n a a ==中1S nS n =-奇偶{}n a若已知首项1a 和末项n a ，则1()2n n n a a S +=，或等差数列{a n }的首项是1a ，公差是d ，则其前n 项和公式为1(1)2n n n S na d -=+. 2．等差数列的增减性：0d >时为递增数列，且当10a <时前n 项和n S 有最小值．0d <时为递减数列，且当10a >时前n 项和n S 有最大值．六）求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：1.利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）则当10a >，0d <，满足100n n a a +≥⎧⎨≤⎩的项数n 使得n S 取最大值，(2)当10a <，0d >时，满足100n n a a +≤⎧⎨≥⎩的项数n 使得n S 取最小值.2.利用等差数列的前n 项和：2n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（0d >,递增；0d <，递减）；3. 利用数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设为最大项，则有11n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩；求最小项的方法：设为最小项，则有11n n nn a a a a -+≤⎧⎨≤⎩.只需将等差数列的前n 项和1,2,3,n =L 依次看成数列{}n S ，利用数列中最大项和最小项的求法即可.4.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用.1．【2019年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则（） A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =- D ．2122n S n n =- n a n a 【真题分析】【解析】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，24n S n n =-,故选A ．【答案】A2.【2018年高考全国I 卷理数】设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则5a =（）A ．12-B ．10-C ．10D ．12【解析】设等差数列的公差为d ，根据题中的条件可得3243332224222d d d ⨯⨯⎛⎫⨯+⋅=⨯++⨯+⋅ ⎪⎝⎭，整理解得3d =-，所以51421210a a d =+=-=-，故选B ．【答案】B3.【2017年高考全国III 卷理数】等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为（） A ．24-B ．3-C ．3D ．8【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由a 2，a 3，a 6成等比数列可得2326a a a =，即()()()212115d d d +=++，整理可得220d d +=，又公差不为0，则2d =-，故{}n a 前6项的和为()()()6166166166122422S a d ⨯-⨯-=+=⨯+⨯-=-.故选A ．【答案】A4.【2017年高考浙江卷】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】由46511210212(510)S S S a d a d d +-=+-+=，可知当0d >时，有46520S S S +->，即4652S S S +>，反之，若4652S S S +>，则0d >，所以“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的充要条件，选C ．【答案】C5.【2019年高考全国III 卷文数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________. 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意可得317125,613a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩得11,2a d =⎧⎨=⎩101109109101012100.22S a d ⨯⨯∴=+=⨯+⨯= 【答案】1006.【2019年高考全国III 卷理数】记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________．【解析】设等差数列{a n }的公差为d ,因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =，所以105S S =11111091010024542552a d a a a d ⨯+==⨯+．【答案】47.【2019年高考北京卷理数】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=−3，S 5=−10，则a 5=__________，S n的最小值为___________．【解析】法一：等差数列{}n a 中,53510S a ==-,得32,a =-又23a =-,所以公差321d a a =-=,5320a a d =+=,由等差数列{}n a 的性质得5n ≤时,0n a ≤,6n ≥时,n a 大于0,所以n S 的最小值为4S 或5S ,即为10-.法二：等差数列{}n a 中,53510S a ==-,得32,a =-又23a =-,所以公差321d a a =-=,5320a a d =+=,可得()()22224n a a n d n n =+-=-+-=-，()()()12818222n n a a n n n S n n +-===-，所以结合题意可知，n S 的最小值为4S 或5S ,即为10-. 【答案】 0，10-.8.【2019年高考江苏卷】已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是___________．【解析】由题意可得：()()()25811191470989272a a a a d a d a d S a d ⎧+=++++=⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得：152a d =-⎧⎨=⎩，则8187840282162S a d ⨯=+=-+⨯=. 【答案】169.【2017课标II ，理15】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑ 。

等差数列

数列专题（一）——等差数列1．等差数列定义：⇔∈=-+为常数d N n d a a n n ),(*1数列}{n a 为等差数列。

2．等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-； 3．等差数列的前n 项和：公式1：2)(1n n a a n S +=；公式2：1(1)2n n n S na d -=+； 4．等差数列的性质公式：（1）()n m a a n m d =+-；n ma a d n m-=-，如：855(85),(5)n a a d a a n d =+-=+-等；（2）若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+，如11038a a a a +=+；（3）若2m n p +=，则2m n p a a a +=，如11162a a a +=；（4）n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，则数列,...,,232m m m m m S S S S S --也是等差数列. 基础题1.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若12,261=-=S a ，则6a 的值为（） A.4 B.5 C.6 D.82.（15年安徽文科）已知数列}{n a 中，11=a ，211+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前 9项和等于。

3.设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2,11952-=+-=a a a ，则当n S 取最小值时，n 等于（） A. 9 B. 8 C. 7 D. 64.（15年广东理科）在等差数列{}n a 中，若2576543=++++a a a a a ，则82a a +=5.（15年新课标2文科）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =（） A ．5 B ．7 C ．9 D ．116.已知等差数列}{n a 中，其前n 项和为n S ，36,963==S S ，则._______987=++a a a 提高题1.（15年新课标2理科）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________．2.已知等差数列}{n a 中，若,0,031110119<⋅<+a a a a 且数列}{n a 的前n 项和n S 有最大值，那么n S 取得最小正值时n 等于（） A. 20 B. 17 C. 19 D. 213.已知等差数列}{n a 中，其前n 项和为n S ，且满足35124,2a a a a a n n n -=-=++，则7S =（） A. 7 B. 12 C. 14 D. 214.在等差数列}{n a 中，前四项之和为20，最后四项之和为60，前n 项之和是100，则项数n 为（） A. 9 B. 10 C. 11 D. 125.设n n T S ,分别是等差数列}{},{n n b a 的前n 项和，且5959=T S ，则35b a的值为_________.6.（15年福建文科）等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．7.【2015高考山东，文19】已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬∙⎩⎭的前n 项和为21nn +. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设()12n an n b a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .一、等差数列3．等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-； 2．等差数列的前n 项和：公式1：2)(1n n a a n S +=；公式2：1(1)2n n n S na d -=+； 3．等差数列的性质公式：（1）()n m a a n m d =+-；n ma a d n m-=-，如：855(85),(5)n a a d a a n d =+-=+-等；（2）若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+，如11038a a a a +=+；（3）若2m n p +=，则2m n p a a a +=，如11162a a a +=. 基础题2.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若12,261=-=S a ，则6a 的值为（） A.4 B.5 C.6 D.8 答案：C5.（15年安徽文科）已知数列}{n a 中，11=a ，211+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前 9项和等于。

高三数列总复习

高三数学总复习讲义——等差数列1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。

用递推公式表示为或。

2、等差数列的通项公式：；说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列，为递减数列。

3、等差中项的概念：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项。

其中4、等差数列的前和的求和公式：。

5、等差数列的性质：（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是，如：，，，，……；，，，，……；（3）在等差数列中，对任意，，，；（4）在等差数列中，若，，，且，则；说明：设数列是等差数列，且公差为，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有项，则①奇偶；②；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则①偶奇；②。

6、数列最值（1），时，有最大值；，时，有最小值；（2）最值的求法：①若已知，可用二次函数最值的求法（）；②若已知，则最值时的值（）可如下确定或。

练习1．（01天津理，2）设S n是数列{a n}的前n项和，且S n=n2，则{a n}是（）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列2．（06全国I）设是公差为正数的等差数列，若，，则（）A． B． C． D．3．（02京）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）A.13项B.12项C.11项D.10项4．（01全国理）设数列{a n}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（）A.1B.2C.4D.65．（06全国II）设S n是等差数列｛a n｝的前n项和，若＝，则＝A． B． C． D．6．（00全国）设｛a n｝为等差数列，S n为数列｛a n｝的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，T n为数列｛｝的前n项和，求T n。

第3讲等差数列及其前n项和

在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则 Sn 存在最____值；若 a1<0，d>0，则 Sn 存在最____值. 8 等差数列的判定
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(1)定义法：an－an－1＝d (n≥2)； (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2. 9.等差数列与等差数列各项和的有关性质
(1)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为 kd. (2)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列. (3)S2n－1＝(2n－1)an.
第三讲等差数列及其前 n 项和
【考情解读】
1.理解等差数列的概念； 2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式； 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题； 4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．
【自主归纳，自我查验】
一.自主归纳
1.等差数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项和它前一项的____等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的________，通常用字母______表示. 2.等差数列的通项公式
A．58
B．88
C．143
D．176
3.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足S33－S22＝1，则数列{an}的公差是(
)
A.1
B．1
C．2
D．3
2
4. （ 2012 江西数学）设数列 {an} ， {bn} 都是等差数列，若 a1+b1=7 ， a3+b3=21 ，则
7.（2014 泰州模拟）数列{an}是公差不为 0 的等差数列，且 a2+a6=a8，则 S5 等于_________. a5

2022高考数学满分讲义：第三章数列第1讲等差数列与等比数列

2022高考数学满分讲义：第三章数列第1讲等差数列与等比数列[考情分析] 1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.数列求和及数列的综合问题是高考考查的重点．考点一等差数列、等比数列的基本运算核心提炼等差数列、等比数列的基本公式(n ∈N *) (1)等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ； (2)等比数列的通项公式：a n ＝a 1·q n －1.(3)等差数列的求和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d ；(4)等比数列的求和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n)1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1，na 1，q ＝1.例1 (1)《周髀算经》中有一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影长的和为37.5尺，芒种的日影长为4.5尺，则冬至的日影长为( ) A ．15.5尺 B ．12.5尺 C ．10.5尺 D ．9.5尺答案 A解析从冬至起，十二个节气的日影长依次记为a 1，a 2，a 3，…，a 12，由题意，有a 1＋a 4＋a 7＝37.5，根据等差数列的性质，得a 4＝12.5，而a 12＝4.5，设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝12.5，a 1＋11d ＝4.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝15.5，d ＝－1，所以冬至的日影长为15.5尺．(2)已知点(n ，a n )在函数f (x )＝2x－1的图象上(n ∈N *)．数列{a n }的前n 项和为S n ，设b n ＝2164n s +，数列{b n }的前n 项和为T n .则T n 的最小值为________．答案－30解析 ∵点(n ，a n )在函数f (x )＝2x －1的图象上，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)，∴{a n }是首项为a 1＝1，公比q ＝2的等比数列，∴S n ＝1×(1－2n )1－2＝2n－1，则b n ＝264n＝2n －12(n ∈N *)， ∴{b n }是首项为－10，公差为2的等差数列， ∴T n ＝－10n ＋n (n －1)2×2＝n 2－11n ＝⎝⎛⎭⎫n －1122－1214. 又n ∈N *，∴T n 的最小值为T 5＝T 6＝⎝⎛⎭⎫122－1214＝－30. 规律方法等差数列、等比数列问题的求解策略 (1)抓住基本量，首项a 1、公差d 或公比q .(2)熟悉一些结构特征，如前n 项和为S n ＝an 2＋bn (a ，b 是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为a n ＝p ·q n －1(p ，q ≠0)的形式的数列为等比数列．(3)由于等比数列的通项公式、前n 项和公式中变量n 在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算．跟踪演练1 (1)(2020·全国Ⅱ)数列{a n }中，a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ，若a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，则k 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 C解析 ∵a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ，令m ＝1，则a n ＋1＝a 1a n ＝2a n ，∴{a n }是以a 1＝2为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＝2×2n －1＝2n .又∵a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25， ∴2k ＋1(1－210)1－2＝215－25，即2k ＋1(210－1)＝25(210－1)， ∴2k ＋1＝25，∴k ＋1＝5，∴k ＝4.(2)(多选)(2020·威海模拟)等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 1>0，S 10＝S 20，则( ) A ．d <0 B ．a 16<0 C ．S n ≤S 15D ．当且仅当n ≥32时，S n <0 答案 ABC解析设等差数列{a n }的公差为d ，由S 10＝S 20，得10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，化简得a 1＝－292d .因为a 1>0，所以d <0，故A 正确；因为a 16＝a 1＋15d ＝－292d ＋15d ＝12d ，又d <0，所以a 16<0，故B 正确；因为a 15＝a 1＋14d ＝－292d ＋14d ＝－12d >0，a 16<0，所以S 15最大，即S n ≤S 15，故C 正确；S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (n －30)2d ，若S n <0，又d <0，则n >30，故当且仅当n ≥31时，S n <0，故D 错误．考点二等差数列、等比数列的性质核心提炼1．通项性质：若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则对于等差数列，有a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k ，对于等比数列有a m a n ＝a p a q ＝a 2k . 2．前n 项和的性质：(1)对于等差数列有S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等差数列；对于等比数列有S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等比数列(q ＝－1且m 为偶数情况除外)． (2)对于等差数列，有S 2n －1＝(2n －1)a n .例2 (1)已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，若a 5＋a 7－a 26＝0，则S 11的值为( ) A ．11 B ．12 C ．20 D ．22 答案 D解析结合等差数列的性质，可得a 5＋a 7＝2a 6＝a 26，又该数列为正项数列，可得a 6＝2，所以由S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1，可得S 11＝S 2×5＋1＝11a 6＝22.(2)已知函数f (x )＝21＋x 2(x ∈R )，若等比数列{a n }满足a 1a 2 020＝1，则f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋…＋f (a 2 020)等于( )A ．2 020B ．1 010C ．2 D.12答案 A解析 ∵a 1a 2 020＝1， ∴f (a 1)＋f (a 2 020)＝21＋a 21＋21＋a 22 020＝21＋a 21＋21＋1a 21＝21＋a 21＋2a 211＋a 21＝2， ∵{a n }为等比数列，则a 1a 2 020＝a 2a 2 019＝…＝a 1 010a 1 011＝1， ∴f (a 2)＋f (a 2 019)＝2，…，f (a 1 010)＋f (a 1 011)＝2，即f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋…＋f (a 2 020)＝2×1 010＝2 020. 规律方法等差、等比数列的性质问题的求解策略(1)抓关系，抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的性质进行求解．(2)用性质，数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题．跟踪演练2 (1)(2020·全国Ⅰ)设{a n }是等比数列，且a 1＋a 2＋a 3＝1，a 2＋a 3＋a 4＝2，则a 6＋a 7＋a 8等于( )A ．12B ．24C ．30D ．32 答案 D解析设等比数列{a n }的公比为q ，则q ＝a 2＋a 3＋a 4a 1＋a 2＋a 3＝21＝2，所以a 6＋a 7＋a 8＝(a 1＋a 2＋a 3)·q 5＝1×25＝32.(2)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 30＝130，则S 40等于( ) A ．－510 B ．400 C ．400或－510 D ．30或40答案 B解析 ∵正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ， ∴S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也成等比数列， ∴10×(130－S 20)＝(S 20－10)2，解得S 20＝40或S 20＝－30(舍)，故S 40－S 30＝270，∴S 40＝400.考点三等差数列、等比数列的探索与证明核心提炼等差数列等比数列定义法 a n ＋1－a n ＝d a n ＋1a n＝q (q ≠0) 通项法 a n ＝a 1＋(n －1)d a n ＝a 1·q n －1 中项法2a n ＝a n －1＋a n ＋1a 2n ＝a n －1a n ＋1证明数列为等差(比)数列一般使用定义法．例3 (2019·全国Ⅱ)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0,4a n ＋1＝3a n －b n ＋4,4b n ＋1＝3b n －a n －4.(1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列； (2)求{a n }和{b n }的通项公式．(1)证明由题设得4(a n ＋1＋b n ＋1)＝2(a n ＋b n )，即a n ＋1＋b n ＋1＝12(a n ＋b n )．因为a 1＋b 1＝1，所以{a n ＋b n }是首项为1，公比为12的等比数列．由题设得4(a n ＋1－b n ＋1)＝4(a n －b n )＋8，即a n ＋1－b n ＋1＝a n －b n ＋2. 又a 1－b 1＝1，所以{a n －b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)解由(1)知，a n ＋b n ＝12n －1，a n －b n ＝2n －1.所以a n ＝12[(a n ＋b n )＋(a n －b n )]＝12n ＋n －12(n ∈N *)，b n ＝12[(a n ＋b n )－(a n －b n )]＝12n －n ＋12(n ∈N *)．易错提醒 a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)是{a n }为等比数列的必要不充分条件，也就是判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0.跟踪演练3 已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a n n .(1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是不是等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式．解 (1)由条件可得a n ＋1＝2(n ＋1)na n .将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以a 2＝4. 将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列．理由如下：由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得a n n＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1(n ∈N *)．专题强化练一、单项选择题1．在等比数列{a n }中，若a 3＝2，a 7＝8，则a 5等于( ) A ．4 B ．－4 C ．±4 D ．5 答案 A解析 ∵数列{a n }为等比数列，且a 3＝2，a 7＝8， ∴a 25＝a 3·a 7＝2×8＝16，则a 5＝±4， ∵等比数列奇数项的符号相同，∴a 5＝4.2．(2020·全国Ⅱ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则S n a n 等于( )A ．2n －1B ．2－21－n C ．2－2n －1 D ．21－n －1答案 B解析方法一设等比数列{a n }的公比为q ，则q ＝a 6－a 4a 5－a 3＝2412＝2.由a 5－a 3＝a 1q 4－a 1q 2＝12a 1＝12得a 1＝1. 所以a n ＝a 1qn －1＝2n －1，S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n－1，所以S n a n ＝2n －12n －1＝2－21－n .方法二设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 3q 2－a 3＝12， ①a 4q 2－a 4＝24， ② ②①得a 4a 3＝q ＝2. 将q ＝2代入①，解得a 3＝4. 所以a 1＝a 3q2＝1，下同方法一．3．已知等差数列{a n }和等比数列{b n }的各项都是正数，且a 1＝b 1，a 11＝b 11.那么一定有( ) A ．a 6≤b 6 B ．a 6≥b 6 C ．a 12≤b 12 D ．a 12≥b 12 答案 B解析因为等差数列{a n }和等比数列{b n }的各项都是正数，且a 1＝b 1，a 11＝b 11，所以a 1＋a 11＝b 1＋b 11＝2a 6，所以a 6＝a 1＋a 112＝b 1＋b 112≥b 1b 11＝b 6.当且仅当b 1＝b 11时，取等号，此时数列{b n }的公比为1. 4．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1n ＋1＝a n n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 等于( ) A ．2＋n ln n B ．2n ＋(n －1)ln n C ．2n ＋n ln n D ．1＋n ＋n ln n答案 C解析由题意得a n ＋1n ＋1－a nn ＝ln(n ＋1)－ln n ，n 分别用1,2,3，…，n －1(n ≥2)取代，累加得a n n －a 11＝ln n －ln 1，即a nn ＝2＋ln n ，即a n ＝2n ＋n ln n (n ≥2)，又a 1＝2符合上式，故a n ＝2n ＋n ln n .5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，且对于任意n >1，n ∈N *，满足S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)，则( )A ．a 9＝17B ．a 10＝19C ．S 9＝81D ．S 10＝91 答案 D解析 ∵对于任意n >1，n ∈N *，满足S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)， ∴S n ＋1－S n ＝S n －S n －1＋2， ∴a n ＋1－a n ＝2.∴数列{a n }在n >1，n ∈N *时是等差数列，公差为2，又a 1＝1，a 2＝2，a n ＝2＋(n －2)×2＝2n －2(n >1，n ∈N *)，∴a 9＝2×9－2＝16，a 10＝2×10－2＝18，S 9＝1＋8×2＋8×72×2＝73，S 10＝1＋9×2＋9×82×2＝91.故选D.6.侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，设外围第1个正方形的边长是m ，侏罗纪蜘蛛网的长度(蜘蛛网中正方形的周长之和)为S n ，则( )A ．S n 无限大B ．S n <3(3＋5)mC ．S n ＝3(3＋5)mD ．S n 可以取100m答案 B解析由题意可得，外围第2个正方形的边长为⎝⎛⎭⎫13m 2＋⎝⎛⎭⎫23m 2＝53m ；外围第3个正方形的边长为⎝⎛⎭⎫13×53m 2＋⎝⎛⎭⎫23×53m 2＝59m ； ……外围第n 个正方形的边长为⎝⎛⎭⎫53n －1m .所以蜘蛛网的长度 S n ＝4m ⎣⎡⎦⎤1＋53＋59＋…＋⎝⎛⎭⎫53n －1 ＝4m ×1－⎝⎛⎭⎫53n1－53<4m ×11－53＝3(3＋5)m .故选B. 二、多项选择题7．(2020·厦门模拟)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋3a 5＝S 7，则以下结论一定正确的是( ) A ．a 4＝0 B ．S n 的最大值为S 3 C ．S 1＝S 6 D ．|a 3|<|a 5|答案 AC解析设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋3(a 1＋4d )＝7a 1＋21d ，解得a 1＝－3d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －4)d ，所以a 4＝0，故A 正确；因为S 6－S 1＝5a 4＝0，所以S 1＝S 6，故C 正确；由于d 的取值情况不清楚，故S 3可能为最大值也可能为最小值，故B 不正确；因为a 3＋a 5＝2a 4＝0，所以a 3＝－a 5，即|a 3|＝|a 5|，故D 错误．8．已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比为q ，且a 1>1，a 6＋a 7>a 6a 7＋1>2，记{a n }的前n 项积为T n ，则下列选项中正确的是( )A ．0<q <1B ．a 6>1C ．T 12>1D ．T 13>1答案 ABC解析由于等比数列{a n }的各项均为正数，公比为q ，且a 1>1，a 6＋a 7>a 6a 7＋1>2，所以(a 6－1)(a 7－1)<0，由题意得a 6>1，a 7<1，所以0<q <1，A ，B 正确；因为a 6a 7＋1>2，所以a 6a 7>1，T 12＝a 1·a 2·…·a 11·a 12＝(a 6a 7)6>1，T 13＝a 137<1，所以满足T n >1的最大正整数n 的值为12，C 正确，D 错误．三、填空题9．(2020·江苏)设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n ＋b n }的前n 项和S n ＝n 2－n ＋2n －1(n ∈N *)，则d ＋q 的值是________．答案 4解析由题意知q ≠1，所以S n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )＋(b 1＋b 2＋…＋b n ) ＝na 1＋n (n －1)2d ＋b 1(1－q n )1－q＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ＋b 11－q －b 1q n1－q ＝n 2－n ＋2n －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧d2＝1，a 1－d 2＝－1，b11－q ＝－1，－b11－q q n＝2n，解得d ＝2，q ＝2，所以d ＋q ＝4.10．(2020·北京市顺义区质检)设S n 为公比q ≠1的等比数列{a n }的前n 项和，且3a 1，2a 2，a 3成等差数列，则q ＝________，S 4S 2＝________.答案 3 10解析设等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －1，又因为3a 1,2a 2，a 3成等差数列，所以2×2a 2＝3a 1＋a 3，即4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，解得q ＝3或q ＝1(舍)，S 4S 2＝a 1(1－34)1－3a 1(1－32)1－3＝1－341－32＝10.11．(2020·潍坊模拟)九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏．在某种玩法中，用a n表示解下n (n ≤9，n ∈N *)个圆环所需移动的最少次数，{a n }满足a 1＝1，且a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n －1－1(n 为偶数)，2a n －1＋2(n 为奇数)，则解下5个圆环需最少移动________次．答案 16解析因为a 5＝2a 4＋2＝2(2a 3－1)＋2＝4a 3，所以a 5＝4a 3＝4(2a 2＋2)＝8a 2＋8＝8(2a 1－1)＋8＝16a 1＝16，所以解下5个圆环需最少移动的次数为16.12．已知等比数列{a n }的首项为32，公比为－12，前n 项和为S n ，且对任意的n ∈N *，都有A ≤2S n－1S n ≤B 恒成立，则B －A 的最小值为________．答案136解析 ∵等比数列{a n }的首项为32，公比为－12，∴S n ＝32⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n 1＋12＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ，令t ＝⎝⎛⎭⎫－12n ，则－12≤t ≤14，S n ＝1－t ， ∴34≤S n ≤32， ∴2S n －1S n 的最小值为16，最大值为73，又A ≤2S n －1S n ≤B 对任意n ∈N *恒成立，∴B －A 的最小值为73－16＝136.四、解答题13．(2020·聊城模拟)在①a 5＝b 3＋b 5，②S 3＝87，③a 9－a 10＝b 1＋b 2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，________，a 1＝b 6，若对于任意n ∈N *都有T n ＝2b n －1，且S n ≤S k (k 为常数)，求正整数k 的值．解由T n ＝2b n －1，n ∈N *得，当n ＝1时，b 1＝1；当n ≥2时，T n －1＝2b n －1－1，从而b n ＝2b n －2b n －1，即b n ＝2b n －1，由此可知，数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列，故b n ＝2n －1.①当a 5＝b 3＋b 5时，a 1＝32，a 5＝20，设数列{a n }的公差为d ，则a 5＝a 1＋4d ，即20＝32＋4d ，解得d ＝－3，所以a n ＝32－3(n －1)＝35－3n ，因为当n ≤11时，a n >0，当n >11时，a n <0，所以当n ＝11时，S n 取得最大值．因此，正整数k 的值为11.②当S 3＝87时，a 1＝32,3a 2＝87，设数列{a n }的公差为d ，则3(32＋d )＝87，解得d ＝－3，所以a n ＝32－3(n －1)＝35－3n ，因为当n ≤11时，a n >0，当n >11时，a n <0，所以当n ＝11时，S n 取得最大值，因此，正整数k 的值为11.③当a 9－a 10＝b 1＋b 2时，a 1＝32，a 9－a 10＝3，设数列{a n }的公差为d ，则－d ＝3，解得d ＝－3，所以a n ＝32－3(n －1)＝35－3n ，因为当n ≤11时，a n >0，当n >11时，a n <0，所以当n ＝11时，S n 取得最大值，因此，正整数k 的值为11.14．已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列，数列{a n b n }的前n项和为(2n －1)·3n ＋12. (1)分别求出数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，任意n ∈N *，S n ≤m 恒成立，求实数m 的最小值．解 (1)因为a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列，所以2a 2＝a 1＋a 3－8，即2a 1q ＝a 1＋a 1q 2－8，所以q 2－2q －3＝0，所以q ＝3或q ＝－1，又q >1，所以q ＝3，所以a n ＝2·3n －1(n ∈N *)．因为a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝(2n －1)·3n ＋12，所以a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝(2n －3)·3n －1＋12(n ≥2)，两式相减，得a n b n ＝2n ·3n －1(n ≥2)，因为a n ＝2·3n －1，所以b n ＝n (n ≥2)，当n ＝1时，由a 1b 1＝2及a 1＝2，得b 1＝1(符合上式)，所以b n ＝n (n ∈N *)．(2)因为数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公比为13的等比数列，所以S n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13＝34⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n <34. 因为任意n ∈N *，S n ≤m 恒成立，所以m ≥34，即实数m 的最小值为34.。

高一高中等差数列专题

等差数列1.等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差.2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差. ⑵前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=. 3.等差中项如果b A a ,,成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.即：A 是a 与b 的等差中项⇔b a A +=2⇔a ，A ，b 成等差数列.4.等差数列的判定方法⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列； ⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列. 5.等差数列的常用性质⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列； ⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .⑶d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+； ⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列； ⑹当项数为)(2+∈N n n ，则nn a a S S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；当项数为)(12+∈-N n n ，则nn S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇. 6.判断或证明数列是等差数列的方法有：⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列； ⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列； ⑶通项公式法：b kn a n +=（b k ,是常数）⇔{}n a 是等差数列；⑷前n 项和公式法：Bn An S n +=2（B A ,是常数，0≠A ）⇔{}n a 是等差数列.1.重点：理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式、前n 项和公式并能解决实际问题；理解等差中项的概念,掌握等差数列的性质.2.难点：利用等差数列的性质解决实际问题.3.重难点：正确理解等差数列的概念，灵活运用等差数列的性质解题.例题1已知n m ≠,且n a a a m ,,,,321和n b b b b m ,,,,,4321都是等差数列，则=--2313b b a a练习1已知函数.424)(x x x f +=则 ①=+)32()31(f f ；②=+++)20092008()20092()20091(f f f .例题2 ⑴已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，63,6,994=-==n S a a ，求n ； ⑵若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数列的项数n .练习2 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(+∈=N n nS b nn . 求证：数列{}n b 是等差数列.例题3 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，n n S n 211212+=；数列{}n b 满足：113=b ， n n n b b b -=++122，其前9项和为.153⑴求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； ⑵设n T 为数列{}n c 的前n 项和，)12)(112(6--=n n n b a c ，求使不等式57kT n >对+∈∀N n 都成立的最大正整数k 的值.练习3.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，31=a ，)2(21≥=-n a S S n n n . ⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵数列{}n a 中是否存在正整数k ，使得不等式1+>k k a a 对任意不小于k 的正整数都成立？若存在，求最小的正整数k ，若不存在，说明理由.例题4 已知等差数列{}n a 中，21920,28a a a =-+=-. ⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵若数列{}n b 满足2log n n a b =，设12n n T b b b =，且1n T =，求n 的值.练习4已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，.16,2541==a a⑴当n 为何值时，n S 取得最大值； ⑵求208642a a a a a +++++ 的值； ⑶求数列{}n a 的前n 项和.n T例题5已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈⑴证明：数列{}1n n a a +-是等比数列； ⑵求数列{}n a 的通项公式； ⑶若数列{}n b 满足12111*44...4(1)(),n n b b b b n a n N ---=+∈证明{}n b 是等差数列.练习5.设数列{}n a 中，112,1n n a a a n +==++，则通项n a = .家庭作业一、选择题：1．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 2＋a 4＋a 15的值是一个确定的常数，则数列{a n }中也为常数的项是( )A ．S 7B ．S 8C ．S 13D ．S 152．等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 为( ) A ．48 B ．49 C ．50 D ．513．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．54．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 5＝3(a 2＋a 8)，则a 5a 3的值为( )A.16B.13C.35D.565．等差数列{an}中，a1＝8，a5＝2，若在每相邻两项间各插入一个数，使之成等差数列，那么新的等差数列的公差是( ) A.34 B ．－34C ．－67 D ．－16．设数列{an}、{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么数列{an ＋bn}的第37项为( )A ．0B ．37C ．100D ．－377．已知数列{an}满足a1＝2，an ＋1－an ＝an ＋1•an ，那么a31等于( ) A ．－358 B ．－259 C ．－130 D ．－261 8．若数列{an}的通项公式an ＝2n ＋5，则此数列是( ) A ．公差为2的等差数列 B ．公差为5的等差数列 C ．首项为5的等差数列 D ．公差为n 的等差数列9．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是( )A ．15B ．30C ．31D ．64二、填空题：10．在等差数列{an}中，a3＋a5＝24，a2＝3，则a6＝________.11．已知等差数列{an}中，a2与a6的等差中项为5，a3与a7的等差中项为7，则an ＝________.12．在等差数列中，am ＝n ，an ＝m(m ≠n)，则am ＋n ＝________.13．若关于x 的方程x2－x ＋a ＝0和x2－x ＋b ＝0(a ≠b)的四个根可组成首项为14的等差数列，则a ＋b 的值是________．15．设Sn 是等差数列{an}的前n 项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝________. 16．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n 项和分别为An 和Bn ，且An Bn ＝7n ＋45n ＋3，则a6b6＝________. 三、解答题：17、等差数列{}n a 中，已知33,4,31521==+=n a a a a ，试求n 的值18、已知：等差数列{n a }中，4a =14，前10项和18510=S ．（1）求n a ；（2）将{n a }中的第2项，第4项，…，第n 2项按原来的顺序排成一个新数列，求此数列的前n 项和n G ．19、已知各项均为正数的数列{}n a 的首项11=a ，且1log log 212+=+n n a a ，数列{}n n a b -是等差数列，首项为1，公差为2,其中*∈N n .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和n S.20、已知等差数列{}n a 的前n 项和为nS ，a2=4，S5=35．（Ⅰ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅱ）若数列{}n b 满足n a n b e =，求数列{}n b 的前n 项和nT21．已知：f(x)＝－4＋1x2，数列{an}的前n 项和为Sn ，点Pn ⎝⎛⎭⎪⎫an ，－1an ＋1在曲线y ＝f(x)上(n∈N*)，且a1＝1，an>0.(1)求数列{an}的通项公式；(2)数列{bn}的前n 项和为Tn ，且满足Tn ＋1a2n ＝Tna2n ＋1＋16n2－8n －3，问：当b1为何值时，数列{bn}是等差数列．22．数列{an}满足an ＝3an －1＋3n －1(n∈N *，n≥2)，已知a3＝95. (1)求a1，a2；(2)是否存在一个实数t ，使得bn ＝13n(an ＋t)(n∈N*)，且{bn}为等差数列？若存在，则求出t 的值；若不存在，请说明理由．23．设f(x)＝axx ＋a(a≠0)，令a1＝1，an ＋1＝f(an)，又bn ＝an·an＋1，n∈N*. (1)证明数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1an 是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式；(3)求数列{bn}的前n项和．。

(完整版)等差数列知识点总结及练习(精华版)

等差数列的性质总结1.等差数列的定义：（d 为常数）（）；d a a n n =--12≥n 2．等差数列通项公式：，首项:，公差:d ，末项:*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈1a n a 推广：．从而；d m n a a m n )(-+=mn a a d mn --=3．等差中项（1）如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项．即：或a A b A a b 2ba A +=b a A +=2（2）等差中项：数列是等差数列{}n a )2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+特别地，当项数为奇数时，是项数为2n+1的等差数列的中间项21n +1n a +5．等差数列的判定方法（1）定义法：若或(常数) 是等差数列． d a a n n =--1d a a n n =-+1*∈N n ⇔{}n a （2）等差中项：数列是等差数列． {}n a )2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a （3）数列是等差数列（其中是常数）。

{}n a ⇔b kn a n +=b k ,（4）数列是等差数列,（其中A 、B 是常数）。

{}n a ⇔2n S An Bn =+6．等差数列的证明方法定义法：若或(常数) 是等差数列．d a a n n =--1d a a n n =-+1*∈N n ⇔{}n a 7.提醒：等差数列的通项公式及前n 项和公式中，涉及到5个元素：，其中n a n S n n S a n d a 及、、、1称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2.d a 、18. 等差数列的性质：（1）当公差时，0d ≠等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；11(1)n a a n d dn a d =+-=+-n d 前和是关于的二次函数且常数项为0.n 211(1)(222n n n d dS na d n a n -=+=+-n （2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。

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教学方法：发现式教学．教学手段：多媒体辅助教学．
一、引入
2，8，，，，， 5，1114 17 ① 1 1 1 1 3 ，，，，，， ② 0， 2 4 4 2 4 7， 5， 3， 1，3，． ③ 1，
数列①从第2项起，每一项与它前一项的差都等于3； 1 数列②从第2项起，每一项与它前一项的差都等于； 4 数列③从第2项起，每一项与它前一项的差都等于2．
等差数列的递推公式： an an 1 d (n 2)
a1 a
2
x1 x2 3 解：由题意得A 2 4
如何表示等差数列的通项公式an? a 由等差数列的定义式：n an1 d (n 2) a2 a1 d a3 a2 d (a1 d ) d a1 2d a4 a3 d (a1 2d ) d a1 3d
a1 7
2、等差数列的递推公式：
等差数列a n 的递推公式．当d 说明：＞0时，等差数列是递增数列；
当d＜0时，等差数列是递减数列；当d=0时，等差数列是常数列．
a n a n1 d (n 2)是以a1为首项、以为公差的 d
3、等差中项的定义：
设a，A，b成等差数列，用，b表示A a ab A叫做a与b的等差中项 A 2
ex2、已知数列 an 为等差数列，公差 2a1， d
a1 an 10，a10 19，求a1、n、an、d．
解： a10 a1 9d a1 18a1 19 a1 1 d 2a1 2 又a1 an 10 an 9 a1 (n 1)d 9
n 5 a1 1，n 5，an 9，d 2
四、课堂小结
1、等差数列和等差中项的概念； 2、掌握等差数列的通项公式和递推公式，能运用方程思想解决等差数列的有关问题．
等差数列的定义式：an an1 d (n 2)
a 等差数列的通项公式： n
a1 (n 1)d
教学目标：
1、理解等差数列和等差中项的概念； 2、体验运用归纳方法探索等差数列通项公式的过程 3、掌握等差数列的通项公式和递推公式，能运用方程思想解决等差数列的有关问题． 4、领悟类比的数学思想方法，通过积极思维培养探索能力．
教学重点与难点：
教学重点：等差数列的通项公式和递推公式．教学难点：等差数列的通项公式和递推公式的应用．

a 4、等差数列的通项公式： n a1 (n 1)d 等差数列的递推公式： an an 1 d (n 2) a1 a
三、例题举隅
例、)求等差数列 5，的第20项． 1 (1 8， 2， ) 401 (2 是不是等差数列 5， 9， 13 的项? ，如果是，是第几项 ? 解题关键是求出数列的通项公式！解(1) d 5 8 3 an 8 (n 1) (3) 11 3n a20 11 3 20 49 (2) d 9 (5) 4 an 5 (n 1) (4) 1 4n n 100 401 1 4n 401是这个数列的第100项
(D 口答：下列数列中成等差数列的是： ) 1 1 1 1 (A) ， 3， 7；(B ) 1，，，，； 0 1， 5， 3 5 7 9 (C) 1 2，， 5；， 3 2， 2 1 1 5 d ( D) 1，，， 1，． 3 3 3 3
an an1 1.6 an 22.2 (n 1) 1.6 1.6n 20.6 n9 1.6n 20.6 35.0
到第10年年底该区的绿化覆盖率可以超过35.0%
ex1、填空： 3 (1)若x与5的等差中项是，则x等于 ______ 4
(2)已知数列的首项为 1 1 an an1 2，则a5 ____ a ， -7
如果三个数成等差数列,那么等差中项(arithmetic mean)等于另两项的算术平均数．
ex2、已知a 1，a，a 2 1成等差数列，求a的值．
解：由题意得2a (a 1) (a 2 1) a2 a 0
a 0或1
ex3、求方程2 x 3x 1 0两根的等差中项．
练习1、求下列等差数列的公差和递推公式． 2，8，，，，， 5，1114 17 ① 1 1 1 1 3 ，，，，，， ② 0， 2 4 4 2 4 7， 5， 3， 1，3，． ③ 1， a n a n 1 3 n 2 数列①： 3 d a1 2 1 1 a n a n1 4 n 2 数列②： d 4 a 1 1 2 a n a n 1 2 n 2 数列③：d 2
从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数．
我们把这样的数列叫做等差数列(arithmetic sequence)
二、等差数列及其有关概念
1、等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这样的数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差(common difference) ，公差通常用小写字母d表示．即：等差数列{an}满足an-an-1=d (n 2，d是常数)
例2、已知某区的绿化覆盖率的统计数据如下表所示
年份
绿化覆盖率 (单位：%)
第1年年底第2年年底第3年年底第4年年底 22.2 23.8 25.4 27.0
如果以后的几年继续依此速度发展绿化，那么到第几年年底该区的绿化覆盖率可超过 .0% ? 35
解(1)：设第n年底的绿化覆盖率为an (单位： %) 由题意得：a2 a1 a3 a2 a4 a3 1.6