离散数学
离散数学
3、：N×NN，N是自然数集 (0∈N)，(<x,y>)=|x2-y2|
解: 取<1,1>,<2,2>∈ N×N (<1,1>)=|12－12|=0 (<2,2>)=|22－22|=0 故不是单射. 又取2∈N, 因不存在自然数x,y∈N 满足: |x2－y2|=2 故不是满射. ∴ 既不是单射也不是满射.
2019/3/2
离散数学
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§3.2 映射的运算
• 逆映射的概念
定义3.2.1 设：AB，定义关系RBA为： R={<y,x> | y∈B , x∈A,且(x)=y}；如果R是B 到A的映射，则称R为的逆映射。记为– 1。
• 例如：设：N E，N 是自然数集合，E是 自然数中所有偶数的集合，(n) = 2n，n∈N。 则的逆映射-1为： -1 ：E N，-1(m)=m/2，m∈E。
§3.1 基本概念
定义3.1.1： 设A，B是两个集合，是A到B的二 元关系，若对A中每个元素a，有唯一的 b∈B， 使得<a,b>∈ ，则称为A到B的映射，记为： : AB 或 A B
• 所谓从A到B的映射就是A中的每个人都向B中 的人射了一箭，并且都射中了B中的一个人。 既没有人偷懒不射，也没有人一箭双雕。 • 这时，B中的人，有的可能身中数箭，有的可 能一箭未中。当然也可能刚好每人中了一箭。
• 充分性：设是双射，考虑的逆关系，易知，对于B 中的每个元素y，都对应着A中唯一的一个在下以y 为映象的元素x，因此， 的逆关系是B到A的映射。
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满射、单射和双射的例子
• 设：N N，N 是自然数集，(n)= 2n， n∈N。则是 单射，但不是满射。
离散数学简介
数理逻辑
非欧几何的产生和集合论的悖论的发现， 说明数学本身还存在许多问题，为了研 究数学系统的无矛盾性问题，产生了证 明论
数理逻辑
证明论（proof theory）
– 证明论是数学家D.希尔伯特于20世纪初期建立的，目的是要
证明公理系统的无矛盾性 – 1931年，K.哥德尔证明：一个包含公理化的算术的系统中不 能证明它自身的无矛盾性。这就是著名的哥德尔不完备性定 理 – 1936年，G.根岑证明了算术公理系统的无矛盾性 – 20世纪60年代以后，证明论不再局限于无矛盾性的证明
数理逻辑
现代数理逻辑可分为
– 命题逻辑演算 – 谓词逻辑演算 – 证明论 – 模型论
– 递归函数论
– 公理化集合论等
数理逻辑
命题逻辑和一阶谓词逻辑是数理逻辑中 最成熟的部分，在计算机科学中应用最 为广泛
– 命题逻辑是数理逻辑的最基础部分 – 谓词逻辑在命题逻辑的基础上发展起来
数理逻辑
在数理逻辑的历史上，哥德尔的工作起着承前 启后的作用 他的不完全性定理，把人们引向一种完全不同 的境界 第一不完全性定理：一个包括初等数论的形式 系统，如果是协调的，那就是不完全的。
欧氏几何
欧氏几何的五条公理是：
– 1、任意两个点可以通过一条直线连接。 – 2、任意线段能无限延伸成一条直线。 – 3、给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作
离散数学是后继课程的基础 离散数学是实际应用的基础工具 计算机科学和离散数学处理问题的方法、思维 方式有相似之处 离散数学可提供所需的思维训练，培养所需的 分析问题和解决问题的能力
简介
离散数学是学习数据结构与算法、数据库、编 译原理、算法设计与分析、计算机网络等课程 的主要基础，对开发大型软件、研究信息安全 和密码学、开展计算机理论研究以及开发新型 计算机都提供了不可缺少的基础知识
离散数学 经典教材
离散数学是计算机科学中的一门核心课程，它涉及到数学中的许多概念和方法。
以下是一些离散数学的经典教材：
1.《离散数学》（作者：Kozen）
这是一本非常经典的离散数学教材，涵盖了离散数学中的许多基本概念和方法，包括集合论、图论、数理逻辑、组合数学等。
这本书的内容非常丰富，而且语言通俗易懂，是学习离散数学的好教材。
2.《离散数学及其应用》（作者：Rosen）
这是一本非常经典的离散数学教材，涵盖了离散数学中的许多基本概念和方法，包括集合论、图论、数理逻辑、组合数学等。
这本书的内容非常详细，而且有很多例子和练习题，可以帮助读者更好地掌握离散数学的知识。
3.《离散数学教程》（作者：Kleitman）
这是一本非常经典的离散数学教材，涵盖了离散数学中的许多基本概念和方法，包括集合论、图论、数理逻辑、组合数学等。
这本书的内容非常详细，而且有很多例子和练习题，可以帮助读者更好地掌握离散数学的知识。
4.《离散数学精讲》（作者：Sipser）
这是一本非常经典的离散数学教材，涵盖了离散数学中的许多基本概念和方法，包括集合论、图论、数理逻辑、组合数学等。
这本书的内容非常详细，而且有很多例子和练习题，可以帮助读者更好地掌握离散数学的知识。
以上是一些离散数学的经典教材，每本书都有其独特的风格和特点，读者可以根据自己的需求和兴趣选择适合自己的教材。
02324离散数学知识点
02324离散数学知识点
离散数学是研究离散对象和离散结构的数学分支，其知识点包括但不限于集合论、图论、逻辑学、组合数学等。
以下是其中一些重要的知识点：
1. 集合论：集合论是离散数学的基石，它研究集合、集合之间的关系和集合的性质。
2. 图论：图论是离散数学的重要组成部分，它研究图（由节点和边构成的结构）的性质和分类。
3. 逻辑学：逻辑学是离散数学的另一个重要组成部分，它研究推理的规则和形式。
在离散数学中，逻辑通常用于描述和证明一些结构或系统的性质。
4. 组合数学：组合数学是离散数学的一个分支，它研究计数、排列和组合问题。
5. 离散概率论：离散概率论是离散数学的另一个分支，它研究离散随机事件的数学模型。
6. 离散概率分布：离散概率分布是描述离散随机事件发生概率的数学模型。
7. 离散随机变量：离散随机变量是能够取到可数无穷多个值的随机变量。
8. 离散概率空间：离散概率空间是一个集合，它包含一个可数无穷多的元素，每个元素都有一个与之相关的概率值。
9. 离散随机过程：离散随机过程是离散随机事件在时间或空间上的序列。
这些知识点都是离散数学的重要组成部分，它们在计算机科学、数学、物理学等领域都有广泛的应用。
离散数学定义(必须背)
命题逻辑▪令狐采学▪(论域)定义：论域是一个数学系统，记为D。
它由三部分组成：•(1)一个非空对象集合S，每个对象也称为个体；•(2) 一个关于D的函数集合F；•(3)一个关于D的关系集合R。
▪（逻辑连接词）定义•设n>0,称为{0,1}n到{0,1}的函数为n元函数，真值函数也称为联结词。
•若n =0，则称为0元函数。
▪（命题合式公式）定义：•(1).常元0和1是合式公式；•(2).命题变元是合式公式；•(3).若Q,R是合式公式，则(Q)、(Q R) 、(Q R) 、(Q R) 、(Q R) 、(Q R)是合式公式；•(4).只有有限次应用(1)—(3)构成的公式是合式公式。
▪（生成公式）定义1.5 设S是联结词的集合。
由S生成的公式定义如下：•⑴若c是S中的0元联结词，则c是由S生成的公式。
•⑵原子公式是由S生成的公式。
•⑶若n≥1，F是S中的n元联结词，A1,…,An是由S生成的公式，则FA1…An是由S生成的公式。
▪（复杂度）公式A的复杂度表示为FC(A)•常元复杂度为0。
•命题变元复杂度为0，如果P是命题变元，则FC (P)=0。
•如果公式A=B，则FC (A)=FC(B)+1。
•如果公式A=B1 B2，或A=B1 B2，或A=B1B2，或A=B1 B2，或A=B1 B2，或则FC (A)=max{FC(B1), FC(B2)}+1。
▪命题合式公式语义•论域：研究对象的集合。
•解释：用论域的对象对应变元。
•结构：论域和解释称为结构。
•语义：符号指称的对象。
公式所指称对象。
合式公式的语义是其对应的逻辑真值。
▪（合式公式语义）设S是联结词的集合是{，，，，，}。
由S生成的合式公式Q在真值赋值v下的真值指派v(Q)定义如下：•⑴v(0)=0, v(1)=1。
•⑵若Q是命题变元p，则v(A)= pv。
•⑶若Q1,Q2是合式公式▪若Q= Q1，则v(Q)= v(Q1)▪若Q=Q1 Q2，则v(Q)=v(Q1)v(Q2)▪若Q=Q1∨Q2，则v(Q)=v(Q1)∨v(Q2)▪若Q=Q1Q2，则v(Q)=v(Q1)v(Q2)▪若Q=Q1 Q2，则v(Q)=v(Q1) v(Q2)▪若Q=Q1Q2，则v(Q)=v(Q1)v(Q2)▪（真值赋值）由S生成的公式Q在真值赋值v下的真值v(Q)定义如下：•⑴若Q是S中的0元联结词c，则v(Q)=c。
推理 离散数学
推理离散数学
推理和离散数学是两个不同的概念，但它们之间存在一定的联系。
推理是一种逻辑过程，通过已知的事实或假设来得出新的结论。
在推理过程中，需要使用一些逻辑推理规则和方法，如演绎推理、归纳推理、类比推理等。
推理在数学、哲学、法律、医学等领域都有广泛的应用。
离散数学则是一门研究离散结构和离散量的数学学科，它主要研究离散对象（如集合、图、树、逻辑等）及其相互之间的关系和性质。
离散数学在现代数学、计算机科学、信息科学等领域都有重要的应用。
在离散数学中，逻辑推理是一个重要的工具，用于证明离散对象的性质和定理。
例如，在集合论中，可以使用逻辑推理来证明集合的一些基本性质，如并集、交集、补集等的性质。
在图论中，可以使用逻辑推理来证明图的一些基本性质，如连通性、欧拉路径等。
因此，可以说推理和离散数学之间存在一定的联系，推理是离散数学中的一个重要工具和方法，而离散数学则是推理在数学领域的一个重要应用领域。
离散数学群的概念
离散数学群的概念嘿，朋友！咱们今天来聊聊离散数学里那个有点神秘又挺有趣的“群”的概念。
你知道吗？群就像是一个小小的魔法世界。
在这个世界里，元素们有着自己独特的规则和玩法。
比如说，一群小伙伴一起玩游戏，规定了某些特定的动作和顺序，这就有点像群的规则啦。
群中的元素之间也有类似的“默契”。
群得满足几个条件呢。
首先，得有个封闭性。
这啥意思？就好比你在一个封闭的房间里，不管怎么折腾，都跑不出去，在群里，元素之间运算的结果还得在这个群里才行。
你想想，如果每次运算结果都跑群外面去了，那不乱套啦？还有结合律得成立。
这就像搭积木，先搭左边再搭右边，或者先搭右边再搭左边，最后搭出来的样子应该是一样的。
要是不一样，那不就抓狂啦？另外，得有个单位元。
这就好比玩游戏里的起点，从这出发，不管怎么折腾，跟其他元素运算，都能保持自己的“身份”。
逆元也不能少。
这就像有去有回，去了还能原路返回。
要是只能去不能回，那不就被困住啦？群这个概念在生活中也有不少影子呢。
比如说，时钟上的数字，12 个数字构成了一个群。
为啥？因为时针转一圈又回到原来的位置，这就是封闭性呀。
再比如，我们常见的正多边形的旋转对称，这也是群。
你说，这离散数学里的群是不是挺有意思？它就像一个隐藏在数学世界里的神秘组织，有着自己独特的规矩和秩序。
咱们学了群的概念，就能更好地理解很多数学问题，就像有了一把神奇的钥匙，能打开更多知识的大门。
总之，离散数学中的群概念，虽然有点抽象，但只要咱们多琢磨，多联系实际，就能发现它的魅力和用处。
别觉得它难，只要用心，咱们都能玩转这个小世界！。
离散数学知识点归纳
离散数学知识点归纳
本文档旨在归纳和总结离散数学中的主要知识点。
离散数学是
一门关于离散结构和离散对象的数学学科，主要用于计算机科学、
信息技术和其他相关领域。
以下是一些常见的离散数学知识点：
1. 集合论：集合的定义、运算、子集、并集、交集和差集等。
2. 命题逻辑：命题、命题的合取、析取和否定、简介真值表和
命题等价性。
3. 谓词逻辑：量词、谓词、论域、量化和解释等。
4. 图论：图的定义、图的表示方法、连通性、树、图的着色问
题等。
5. 计数和组合：排列、组合、二项式系数、鸽笼原理等。
6. 关系论：关系的定义、关系的性质、等价关系和偏序关系等。
7. 有限自动机：状态、转移函数、状态转移图和正则表达式等。
8. 布尔代数：布尔运算、逻辑电路的设计和卡诺图等。
以上只是离散数学中的一部分知识点，这些知识点在计算机科学、信息技术和其他领域中有着广泛的应用。
深入理解和掌握离散数学的知识对于解决实际问题和进行科学研究具有重要意义。
希望本文档能够帮助您系统地了解离散数学的主要知识点，为您的研究和研究提供参考和指导。
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《离散数学》习题答案一、单选题1、(0,1),(1,2)A,则A（ C ）A、(1,2 )B、(0,3 )C、[1,2 ]D、[0,3 ]2、下列各式中，错误的是（ D ）A、若A B A B，则A BB、若A B A C，则B CC、若A B且C D，则A D B CD、若A B A C，则B C3、(())()A B B A B的化简结果为（ D ）A、AB、BC、A BD、4、集合{1,2,,10}R x y x y x A y A，则R的性质A上的关系{(,)|10,,}为（ B ）A、自反的B、对称的C、传递的，对称的D、反自反的，传递的5、设集合A中有4个元素，则A上的不同的等价关系的个数为（ C ）A、11 个B、14个C、15 个D、17个6、设集合{,,}A a b c，2A上的包含关系是（ A ）A、自反的、反对称的、传递的B、自反的、对称的、传递的C、反自反的、对称的、传递的D、反自反的、对称的、非传递的7、设{,,}B，令:f A B，则不同的函数的个数为（ B ）A a b c，{1,2}A、2＋3个B、32个C、23个D、23个8、函数的复合满足（ B ）A、交换率B、结合率C、幂等率D、分配率9、若f g是满射，则（ A ）A、f必是满射B、f必是单射C、g必是满射D、g必是单射10、R为实数集，运算*定义为：,,||R*是（ A ）∈*=，则代数系统(,)a b R a b a bA、半群B、环C、群D、阿贝尔群11、任何一个有限群在同构的意义下可以看作是（ B ）A 、循环群B 、置换群C 、变换群D 、阿贝尔群12、设Z 是整数集，+，分别是普通加法和乘法，则(,,)Z +是（ C ）A 、域B 、整环和域C 、整环D 、含零因子环13、设A 为一集合，((),)P A ⊆为有补格，()P A 中的每个元素的补元（ A ）A 、存在且唯一B 、不存在C 、存在但不唯一D 、可能存在14、设B 是有限布尔代数，,a b 是B 的原子。
若0a b *≠，则a 和b 的关系是（ A ）A 、 相等B 、不相等C 、a b ≥D 、b a ≥15、设(,)G V E =是无向图，则奇结点的个数为（ B ）A ． 奇数B 、偶数C 、大于2的自然数D 、1－100之间的自然数16、若图1G 与2G 同构，则它们相对应的邻接矩阵1()A G 与2()A G （ A ）A 、相同或者其中一个通过行与列变换能转换成另一个B 、一定相同C 、行列式相同D 、没什么关系17、凸多面体的顶点数为n 、棱数为m 、面数为r ，则Euler 公式为（ C ）。
A 、2n m r ++=B 、2n m r +-=C 、2n r m +-=D 、2m r n +-=18、设A B -=∅，则有（ C ）A 、B =∅ B 、B ≠∅C 、A B ⊆D 、A B ⊇19、在0__∅之间填上正确的符号（ D ）A 、=B 、∈C 、⊆D 、∉20、设集合{,,}A a b c =，R 是A 上的二元关系，{,,,,,,,}R a a a b a c c a =<><><><>，那么R 是（ D ）A 、反自反的B 、反对称的C 、可传递的D 、不可传递的21、设R 和S 是集合A 上的等价关系，则R S 的对称性（ A ）A 、一定成立B 、一定不成立C 、不一定成立D 、不可能成立22、设{,,,,},{0,1}A a b c d e B ==，那么可定义（ D ）种不同的A 到B 的函数A、29B、30C、31D、3223、具有如下定义的代数系统(,)G*，哪个不构成群？（ D ）A、{1,10}G=，*是模11乘法G=，*是模11乘法B、{1,3,4,5,9}C、G Q=，*是普通乘法=，*是普通加法D、G Q24、＋，为一般的加法和乘法，则下述代数系统,,S<+>中哪一个是整环？（ A ）A、{|3,,}==+∈B、{|S x x a b a b Q=∈且||x有非1因子}{1}S x x ZC、{|2,}S x x n n Z==+∈==∈D、{|21,}S x x n n Z25、下面四个格所对应的哈斯图，哪个是分配格？（ D ）A B C D26、下列各式中，不正确的是（ A ）A、(\)\\()A B A BA B C A B C B、()'''C、''A B A BA B A B D、''27、下列哪种说法与其它三个不相等（ D ）A、A BB、A B BC、A B AD、B A28、设R和S是集合A上的任意关系，则下列命题为真的是（ A ）A、若R和S是自反的，则R S也是自反的B、若R和S是反自反的，则R S也是反自反的C、若R和S是对称的，则R S也是对称的D、若R和S是传递的，则R S也是传递的29、若f，g是满射，则复合函数f g必是（ C ）A、映射B、单射C、满射D、双射30、Z 是整数集合，函数f 定义为：Z Z ，()||2f x x x ，则f 是（ A ） A 、单射 B 、满射 C 、双射D 、非单射也非满射 31、在代数系统中，整环和域的关系为（ C ）A 、整环一定是域B 、域不一定是整环C 、域一定是整环D 、域一定不是整环32、下面哪些集合关于指定的运算构成环？（ C ）A 、{,}a a b Z +∈，关于数的加法和乘法B 、{n 阶实数矩阵}，关于矩阵的加法和乘法C 、{,}a a b Z +∈，关于数的加法和乘法D 、,a b a b Z b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，关于矩阵的加法和乘法 33、N 是自然数集，≤是小于等于关系，则(,)N ≤是（ C ）A 、有界格B 、有补格C 、分配格D 、有补分配格34、下面哪个偏序集构成有界格（ D ）A 、(,)N ≤B 、(,)Z ≥C 、({2,3,4,6,12},|)D 、((),)P A ⊆ 其中 | 为整除关系，(,,)A a b c =。
35、设p ，q 的真值为0，r 的真值为1，下列各公式中，真值为0的是（ A ）（A ） ⌝r ∨q（B ） p →⌝q（C ） （p ∧⌝q ）→r（D ） （p ↔q ）↔r36、下列公式中，（ D ）是可满足式。
（A ） p →（p ∨q ∨r ）（B ）⌝（⌝q ∨p ）∧p（C ）（p →q ）→（⌝q →⌝p ）（D ）（p ∧r ）↔⌝（p ∨q ）37、在公式∀xF (x , y )→∃yG (x , y ) 中，变元x 是（ C ）（A ）自由变元（B ）约束变元（C）既是自由变元，又是约束变元（D）既不是自由变元，又不是约束变元38、设A, B, C是集合，则下述论断正确的是（C ）（A）若A⊆B, B∈C，则A∈C（B）若A⊆B, B∈C，则A⊆C（C）若A∈B, B⊆C，则A∈C（D）若A∈B, B⊆C，则A⊆C39、下述论断不正确的是（B ）（A）∅⊆∅（B）∅∈∅（C）∅⊆ {∅}（D）∅∈ {∅}40、设全集E＝{0, 1，2，3，…，9, 10}，A={2，4}，B={4, 5, 6, 7}，则（A∪B）∩～A=（A ）（A）{5，6，7} （B）{2，5，6，7}（C）{2，4，5} （D）{6，7，8}41、设集合A={1, 2, 3, 4, 5}上的关系R={<x, y>| x, y∈A且x+y=6}，则R的性质是（ B ）（A）自反的（B）对称的（C）对称的、传递的（D）反自反的、传递的42、函数的复合运算“ο”满足（B ）（A）交换律（B）结合律（C）幂等律（D）消去律43、下列关系中哪一个能构成函数，其中N是自然数集，R是实数集。
（B ）（A）{<x, y>| x, y∈N, x+y< 10 }（B）{<x, y>| x, y∈R, y= x2 }（C）{<x, y>| x, y∈R, x= y2 }（D）{<x, y>| x, y∈N, x=小于y的素数个数}44、数集，Z是整数集，对于任意x∈Z，令f: Z→N, f(x)=|x|, 则f （ A ）（A）仅是满射（B）仅是单射（C）是双射（D）不是函数45、设V=<R*, ο>是代数系统，其中R*为非零实数的集合，下述运算中，可交换且可结合的是（ C ）（A）∀a, b∈R*，aοb=12(a+b)（B）∀a, b∈R*，aοb=a b（C）∀a, b∈R*，aοb=ab（D）以上运算都不满足。
46、设G={0, 1, 2, 3},⊕为模4加法，则<G, ⊕>是（ B ）（A）Klein—4群（B）循环群（C）置换群（D）半群，不是群47、设<G, *>是6阶群，H≤G，则<H, *>的阶数不可能是（ D ）（A）1 （B）3（C）2 （D）448、整数集合Z关于数的加法“+”和乘法“·”构成的代数系统<Z, +，·>是（ C ）（A）域（B）域和整环（C）整环（D）有零因子环49、域和整环的关系为（ B ）（A）整环是域（B）域是整环（C）整环不是域（D）域不是整环50、在任意n阶连通图中，其边数（ B ）。
（A）至多n-1条（B）至少n-1条（C）至多n条（D）至少n条51、下列无向图中，哪个是欧拉图或半欧拉图？（ B ）（A）（B）（C）（D）52、下列各命题中。
哪个是真命题？（ C ）（A）若一个有向图是强连通图，则是有向欧拉图。
（B）n（n ≥ 1）阶无向完全图K n都是欧拉图。
（C）n（n ≥ 1）阶有向完全图都是有向欧拉图。
（D）二分图G=〈V1, V2, E〉必不是欧拉图。
53、如下语句中，真命题是（ B ）(A) 10能被2整除，3是偶数(B) 如果2+2=6，则5是奇数(C) 下午到办公室来开会(D) 15是素数54、下列公式中，可满足式是（ D ）。
（A）p→（p∨q∨r）（B）⌝（⌝q∨p）∧p（C）（p→q）→（⌝q→⌝p）（D）（p∧r）↔⌝（p∨q）55、对以下定义的集合和运算，哪个不构成代数系统？（ B ）（A）实数集R和数的加法运算“＋”（B）自然数集N和数的减法运算“-”（C）集合A的幂集P(A)和集合的并、交运算（D）n×n实矩阵的全体组成的集合和矩阵的加法运算“＋”56、无向图G有6条边，各有一个3度和5度顶点，其余均为2度顶点，则G 的阶数是（ C ）。
（A） 2 （B） 3 （C） 4 （D） 557、设<G, *>是6阶群，H是G的非平凡子群，则<H,*>的阶数可能是（ B ）（A） 1 （B） 3（C） 4 （D）558、如下哈斯图所对应的偏序集中，哪个不是格？（ C ）（A）（B）（C）（D）59、设T是一棵树，有两个顶点度数为2，一个顶点度数为3，三个顶点度数为4，则T有（ A ）片树叶。