离散数学第十四讲
2006-5-24
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例7.4 观察下列图，试分别给出一条通路、简单通路、 初级通路和圈？
e1 v2
e5 v4
v1 e3 e2
e4 e6 e8
通路：v1e2v3e3 v2e3v3e4v2e6v5e7v3 简单通路： v1e2v3e4v2e6v5e7v3 v3 初级通路：v1e2v3 e7 圈：v3e4v2e6v5e7v3
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7.3.1 无向图的关联矩阵
定义7.21 设G=<V,E>，V={v1,v2,…vn}， E={e1,e2,…em}，令mij为顶点vi 与边 ej 的关联次数，则称
(mij)n×m为图G的关联矩阵，记为M(G)
v1
v6
⎡1 0 1 0 1 0 1 0⎤
e1
e7 e8
⎢⎢1
1
0
0
0
0
0
0
⎥ ⎥
v2 e3 e2
e5
v5
e6
M
(G
)
=
⎢0 ⎢⎢0
⎢0
1 0 0
1 0 0
1 1 0
0 1 0
0 1 1
0 0 1
0⎥
0
⎥ ⎥
1⎥
v3 e4 v4
⎢
⎥
⎣0 0 0 0 0 0 0 1⎦
(a)
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无向图的关联矩阵的性质：
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eΓ定和度l∈，义v=Elv分当7，0e.别11v其v40称1=中e给v2为l…e时定i通是，e图l路关v称lG称Γ联=此为<的顶通V顶起点,路E点点v>为i-，v1和,0回v到设j终的路vv点l边0的。, ，，v通1…l则路称交v，为l∈替简通V序，称路列e为Γ1,路的e2。…长v0 若路Γ的所有边e1,e2… el互不相同，则称Γ为简单
通路或一条迹；若回路中的所有边互不相同，则称回路
为简单回路。
定不相若同Γ）的，所则有称顶Γ点为v0初,v1级…通vl路互或不一相条同路（径此；时若所回有路边中一 除v0=vl外，其余顶点各不相同（所有边也各不相同）， 则称此回路为初级回路或圈。
由以上定义可知：初级通路（回路）一定是简单通
路（回路），但反之不成立。
n×n
v1
v2
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v4
⎡1 2 1 0⎤
A(D) = ⎢⎢0 0 1 0⎥⎥
⎢0 0 0 1⎥
v3
⎢⎣0 0 1 0⎥⎦
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A( D)有如下性质：
n
nn
n
∑ ∑ ∑ ∑ (1) ( ) ai(j1) = d + νi ， ( ) ai(j1) = d + νi = m
j =1
i=1 j=1
i =1
n
nn
n
∑ ∑ ∑ ∑ (2) ( ) ai(j1) = d − νi ， ( ) ai(j1) = d − νi = m
i =1
j=1 i=1
j =1
(
3)
有
(1)
,
(
2
)
n
可知，∑
n
∑
ai(j1)为D中边的总数，也
i=1 j=1
∑ 是D中长度为1的通路总数； n ai(i1)为D中环的个 i =1
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m
∑ (4) mij = 0 ⇔ νi是孤立。 j =1
(5) 若第j列与第k列相同，ej与ek平行。
7.3.2 有向图的关联矩阵
定义7.22 设D=<V,E>中无环存在，V={v1,v2,…vn}， E={e1,e2,…em}，令
mij
=
⎧ ⎪ ⎨
1 0
最小割点集）。若某一个顶点构成点割集，则称该顶
点为割点。
a
f
a
e
f 左边的图，点e
b
eb
即是割点，但 其余顶点均不
是割点。
c
d
c
d
(a)
(b)
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定义7.18 设无向图G=<V,E>为连通图，若有边集 E1⊂E，使图G删除了E1的所有边后，所得的子图是不 连通的，而删除了E1的任何真子集后，所得到的子图 仍是连通图，则称E1是G的边割集（使得V不连通的最 小割边集）。若某一条边构成一个边割集，则称该顶 点为割边（或桥）。
6 03 )
a1(34 )
= = =
3，ν 4，ν 6，ν
1到ν 1到ν 1到ν
3长度为 3长度为 3长度为
2的通路有 3的通路有 4的通路有
3条 4条 6条
a1(12) = 1，ν 1到ν 1长度为 2的通路有 1条 a1(13) = 1，ν 1到ν 1长度为 3的通路有 1条 a1(14) = 1，ν 1到ν 1长度为 4的通路有 1条
n
(1) ∑ mij = 2 ( j = 1, 2, , m ) i =1
这说明每条边关联2个顶点（环关联的两个顶点重合）。
n
(2) ∑ mij = d (νi ) j =1
第 i 行元素之和为顶点vi的度数。
nn
n
(3) 2m = ∑ ∑ mij = ∑ d (νi )
i=1 i=1
i =1
这正是握手定理的结论。
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⎡1 2 3 1⎤
⎡1 2 4 3⎤
A2 (D) = ⎢⎢0 0 0 1⎥⎥, A3 (D) = ⎢⎢0 0 1 0⎥⎥
⎢0 0 1 0⎥
⎢0 0 0 1⎥
⎢⎣0 0 0 1⎥⎦
⎢⎣0 0 1 0⎥⎦
⎡1
A4 (D) = ⎢⎢0
⎢0 ⎢⎣0
2 0 0 0
d(vi,vj)满足下列性质： （1） d(vi,vj)≥0，若vi=vj，则等号成立。 （2）满足三角不等式，即：
d(vi,vj)+ d(vj,vk)≥ d(vi,vk) 无向图中，还有对称性，即：d(vi,vj)= d(vj,vi)
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定义7.20 若D是一个有向图，如果略去D中各有向边的 方向后所得无向图G是连通的，则称D是弱连通图；若D 中任意两个顶点至少一个可达另一个，则称D为单向连 通图；若D中任意两个顶点都是相互可达的，则称D是强
讨论的是连通性，而状态空间的分解讨论的是可达
性）
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定义7.16 若图G只有一个连通分支，则称G是连通图 （类似于马氏链的不可约性）。
对于连通图，常常因删除了图中的点或边，而影响
了图的连通性。所谓在图中删除顶点v，即是把v及与v关
联的边全部删除，如在下图（a）中删除顶点e得
mn
⇒ ∑ ∑ mij = 0(M (D)中所有元素的代数和为 0) j=1 i=1
( ) ( ) m
m
∑ ∑ (2) mij = 1 = d + (ν i ), mij = −1 = −d − (ν i )
j=1
j=1
( ) ( ) n m
n
nm
⇒ ∑ ∑ mij = 1 = ∑ d + (ν i ) = m = −∑ ∑ mij = −1
ν
i为e
的始点
j
ν i与e j不关联
⎪⎩− 1
ν
i为e
的终点
j
则：称 (mij)n×m为图D的关联矩阵。
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v1 e1
v6
e7 e8
e9
v2
e3
e5
v5
e2
e6
e4 v3
v4 ⎡ 1 0 1 0 1 0 1 0 0 ⎤
(a)
M(D)
=
⎢⎢−1
⎢0
⎢ ⎢
v5
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图中的通路和回路有如下性质：
定理7.3 在一个n阶图中，若从顶点vi到vj （vi ≠ vj）存 在一条通路，则从vi到vj 存在长度小于等于n-1的通 路。
证明：若从顶点vi到vj （vi ≠ vj）存在一条通路，该路 上的顶点序列是：vi, … vk… vj，如果这条路有l条边， 则序列中必有l+1个顶点。若l+1>n，即 l>n-1，则必有 顶点vs 在序列中不止出现一次，即必有顶点序列vi, … vs… vs… vj，那么在路上去掉从vs到vs的这些边，仍是 vi到vj 的一条路；若此路的长度仍然大于n-1，则重复 进行以上过程，直到找到vi到vj 的一条长度小于等于n1的路为止。
0
1 −1 0
0 −1 0
0 1 −1
0 0 −1
0 0 −1
0 0 0
0 0 0
0
⎥ ⎥
0⎥
0
⎥ ⎥
⎢ 0 0 0 0 0 1 −1 1 −1⎥
⎢
⎥
⎢⎣ 0 0 0 0 0 0 0 −1 −1⎥⎦
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有向图的关联矩阵的性质：
n
(1)∑ mij = 0, j = 1,2, m, i =1
7.2 通路、回路、图的连通性
深刻理解通路与回路、简单通路、简单回路、初级 通路、初级回路、无向图顶点间的连通、有向图顶点 间的可达等概念
离散数学关系-PPT
基本要求和重难点:
• 基本要求
了解序偶与笛卡尔积,掌握关系得性质和运算,重 点掌握关系闭包运算得求法和偏序关系及哈斯图 得正确画法。
• 重难点
关系5种性质得判断,关系得闭包运算和偏序关系 得性质及特殊元素得判断。
引言
日常生活中,大家熟知一些常见关系, 例:家庭集合,有父子关系、夫妻关系等。 全校同学作为一个集合,有同班关系,同组关系。 在计算机科学中,在计算机逻辑设计中,应用了等 价关系,相容关系。 在编译原理、关系数据库、数据结构、数学中也有 关系。
例题
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五、传递性例题
例: A={1,2,3,4} R={<1,4>,<4,3>,<1,3>,<3,1>,<1,2>,<3,2>,<2,3>, <4,2>,<1,1>,<3,3>} R不就是传递得
返回传递性
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六、举 例
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
任何集合上得
返回总目录
一、自反性
自反性
定义: 若xA,均有xRx,那么称R就是自反得。
A上关系R就是自反得x(xA xRx)
在关系矩阵中,反映为主对角线元素均为1 在关系图中,反映为每结点都有自回路 例1: A＝{1,2,3},R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}
1 23
例2:“＝”关系和“≤”关系就是自反得吗？
S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>}
《离散数学》,屈婉玲、耿素云-KefeiChen陈克非
离散数学课程介绍
• 研究对象：离散量（自然数、真假值、字母 表等）
• 研究内容：离散量的结构与关系（数理逻
辑、集合论、图论、代数系统、组合计数、初 等数论、离散概率、有限自动机、图灵机等）
• 预修课程：线性代数（高等代数） • 后继课程：数据结构、数据库等
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教材与参考书
• 教材：《离散数学》,屈婉玲、耿素云、张立昂 编,清华大学出版社, 2013年第三版；
12
包含与相等
包含(子集) A B x (xA xB) 不包含 A ⊈ B x (xA xB) 相等 A=BABBA 不相等 ABA⊈BB⊈A 真包含(真子集) A B A B A B 例如, A={1,2,3}, B={ x | xR|x|1 }, C={ x | xRx2=1 }, D={-1,1}, C B, C B, C ⊈ A, A ⊈ B, B ⊈ A, C = D 性质 (1) A A (2) A B B C A C
离 散 数 学
Discrete Mathematics
陈克非 杭州师范大学理学院 kfchen@
https:///s/1mXVWVKfYtUnjaiZUhmNulQ
为什么要离散数学
不离散化就无法 跟上时代步伐
• 工业革命时代以微积分为代表的连续数学占主流的地 位已经发生了变化 • 信息时代离散数学的重要性逐渐被人们认识。离散数 学的思想和方法，广泛地体现在计算机科学技术及相 关专业的诸领域
3
四色问题
计算机的作用不仅 仅是计算，还有逻 辑推演、决策、AI
• 离散数学也可以说是计算机科学的基础核心学科 • 离散数学中的有一个著名的典型例子-四色定理又称四 色猜想，这是世界近代三大数学难题之一，它是在 1852年，由英国的一名绘图员弗南西斯· 格思里提出的
考试必备离散数学定理总结
2.8、C1∧C2≈Res(C1,C2)2.10、（消解的完全性）一个合取范式是不可满足的当且仅当它有否证.3.1、由命题公式A1, A2, …, Ak推B的推理正确当且仅当A1∧A2∧…∧Ak→B为重言式.（推理正确不能保证结论一定正确）4.1、闭式在任何解释下都是命题5.1、（前束范式存在定理）一阶逻辑中的任何公式都存在与之等值的前束范式6.1、空集是任何集合的子集。
（推论：空集是唯一的）6.2、（包含排斥原理）设集合S上定义了n条性质，其中具有第i 条性质的元素构成子集Ai, 那么集合中不具有任何性质的元素数为：6.3、德摩根律：A-(B⋃C)=(A-B)⋂(A-C)A-(B⋂C)=(A-B)⋃(A-C)~(B⋃C)=~B~⋂C~(B⋂C)=~B~⋃C7.9、设R为A上的关系, 则(1) R 在A上自反当且仅当IA ⊆R(2) R 在A上对称当且仅当R=R^(-1)(3) R 在A上传递当且仅当R︒R ⊆R7.10、设R为A上的关系, 则有(1) r(R)=R∪R^0(2) s(R)=R∪R^(-1)(3) t(R)=R∪R^2∪R^3∪…9.1、设◦为S上的二元运算，el和er分别为S中关于运算的左和右单位元，则el = er = e为S上关于◦运算的惟一的单位元.9.2、设◦为S上的二元运算，θl和θr分别为S中关于运算的左和右单位元，则θl = θr = θ为S上关于◦运算的惟一的零元.9.3、设◦为S上的二元运算，e和θ分别为◦运算的单位元和零元，如果S至少有两个元素，则e≠θ.9.4、设◦为S上可结合的二元运算, e为该运算的单位元, 对于x∈S 如果存在左逆元yl 和右逆元yr, 则有yl = yr= y, 且y是x 的惟一的逆元.10.2、G为群，∀a,b∈G，方程ax=b和ya=b在G中有解且仅有惟一解. （G中适合消去律）10.3、G为群，a∈G且|a| = r. 设k是整数，则(1) a^k = e当且仅当r | k(r整除k)(2 )|a^-1| = |a|10.4、（子群判定定理一）设G为群，H是G的非空子集，则H是G的子群当且仅当(1) ∀a,b∈H有ab∈H(2) ∀a∈H有a^-1∈H.10.5、（子群判定定理二）设G为群，H是G的非空子集. H是G的子群当且仅当∀a,b∈H有ab^-1∈H.10.6、（子群判定定理三）设G为群，H是G的非空有穷子集，则H是G的子群当且仅当∀a,b∈H有ab∈H.10.7、设H是群G的子群，则He=H，∀a∈G有a∈Ha10.8、设H是群G的子群，则∀a,b∈G有：a∈Hb ⇔ab-1∈H ⇔Ha=Hb10.9、设H是群G的子群，在G上定义二元关系R：∀a,b∈G, <a,b>∈R ⇔ab-1∈H则R是G上的等价关系，且[a]R = Ha.推论：设H是群G的子群, 则(1) ∀a,b∈G，Ha = Hb或Ha∩Hb = ∅(2) ∪{Ha | a∈G} = G10.10、（Lagrange）设G是有限群，H是G的子群，则：|G| = |H|·[G:H]其中[G:H] 是H在G中的不同右陪集(或左陪集) 数，称为H在G 中的指数.推论1：设G是n阶群，则∀a∈G，|a|是n的因子.推论2：对阶为素数的群G，必存在a∈G使得G = <a>.10.11、（循环群的生成元）设G=<a>是循环群. ：(1) 若G是无限循环群，则G只有两个生成元，即a和a-1.(2) 若G是n 阶循环群，则G含有φ(n)个生成元. 对于任何小于n且与n 互质的数r∈{0,1,…,n-1}, ar是G的生成元.10.12、（循环群的子群）设G=<a>是循环群.(1) 设G=<a>是循环群，则G的子群仍是循环群.(2) 若G=<a>是无限循环群，则G的子群除{e}以外都是无限循环群.(3) 若G=<a>是n阶循环群，则对n的每个正因子d，G恰好含有一个d 阶子群.14.1、（握手定理）在任何无向图中，所有顶点的度数之和等于边数的2倍.14.2、（握手定理）在任何有向图中，所有顶点的度数之和等于边数的2倍；所有顶点的入度之和等于所有顶点的出度之和，都等于边数.推论：任何图(无向或有向) 中，奇度顶点的个数是偶数.14.5、在n 阶图G中，若从顶点vi 到vj（vi≠vj）存在通路，则从vi 到vj 存在长度小于或等于n-1 的通路.推论：在n 阶图G中，若从顶点vi 到vj（vi≠vj）存在通路，则从vi 到vj 存在长度小于或等于n-1的初级通路（路径）.14.7、对任意无向图G中，有：κ(G)λ≤(G)δ≤(G)14.8、D强连通当且仅当D中存在经过每个顶点至少一次的回路14.9、D单向连通当且仅当D中存在经过每个顶点至少一次的通路14.10、无向图G=<V,E>是二部图当且仅当G中无奇圈15.1、无向图G是欧拉图当且仅当G连通且无奇度数顶点.15.2、无向图G是半欧拉图当且仅当G 连通且恰有两个奇度顶点.15.5、G是非平凡的欧拉图当且仅当G是连通的且是若干个边不重的圈的并.15.6、设无向图G=<V,E>是哈密顿图，对于任意V1⊂V且V1∅≠，均有p(G-V1) ≤ |V1|设无向图G=<V,E>是半哈密顿图，对于任意的V1⊂V且V1∅≠均有p(G-V1) ≤ |V1|+1 15.7、设G是n阶无向简单图，若对于任意不相邻的顶点vi,vj，均有d(vi)+d(vj) ≥n-1则G 中存在哈密顿通路.推论：设G为n(n≥3) 阶无向简单图，若对于G中任意两个不相邻的顶点vi,vj，均有d(vi)+d(vj) ≥n则G中存在哈密顿回路，从而G为哈密顿图.16.1、设G=<V,E>是n阶m条边的无向图，则下面各命题是等价的：(1) G 是树(2) G 中任意两个顶点之间存在惟一的路径.(3) G 中无回路且m=n-1.(4) G 是连通的且m=n-1.(5) G 是连通的且G 中任何边均为桥.(6) G 中没有回路，但在任何两个不同的顶点之间加一条新边，在所得图中得到惟一的一个含新边的圈.16.2、设T是n阶非平凡的无向树，则T 中至少有两片树叶.16.3、无向图G具有生成树当且仅当G连通.推论1 ：G为n阶m条边的无向连通图，则m≥n-1.推论2 ：余树的边数为m-n+1.推论3 ：余树为G的生成树T的余树，C为G中任意一个圈，则C与余树一定有公共边17.3、平面图各面次数之和等于边数的两倍.17.4、极大平面图是连通的，并且n（n≥3）阶极大平面图中不可能有割点和桥.17.5、设G为n（n≥3）阶极大平面图，则G的每个面的次数均为3.17.6、（欧拉公式）设G为n阶m条边r个面的连通平面图，则n-m+r=217.7、（欧拉公式的推广）设G是具有k（k≥2）个连通分支的平面图，则n-m+r=k+117.8、设G为连通的平面图，且deg(Ri)≥l, l≥3，则m≤ l(n-2)/( l-2)推论：K5，K3,3不是平面图17.10、设G为n（n≥3）阶m条边的简单平面图，则m≤3n-6.17.11、设G为n（n≥3）阶m条边的极大平面图，则m=3n-6.17.12、设G 为简单平面图，则δ(G)≤5.17.13、G是平面图⇔G中不含与K5或K3,3同胚的子图.17.14、G是平面图⇔G中无可收缩为K5或K3,3的子图18.3、设n阶图G中无孤立顶点.(1) 设M为G中一个最大匹配，对于G中每个M非饱和点均取一条与其关联的边，组成边集N，则W=M⋃N为G中最小边覆盖.(2) 设W1为G中一个最小边覆盖；若W1中存在相邻的边就移去其中的一条，设移去的边集为N1，则M1=W1-N1为G中一个最大匹配.(3) G中边覆盖数α1与匹配数β1满足α1+β1=n.推论：设G是n阶无孤立顶点的图. M为G中的匹配，W是G中的边覆盖，则|M| ≤ |W|，等号成立时，M为G中完美匹配，W为G中最小边覆盖.18.4、M为G中最大匹配当且仅当G中不含M的可增广交错路径.18.5、（Hall定理）设二部图G=<V1,V2,E>中，|V1|≤|V2|. G中存在从V1到V2的完备匹配当且仅当V1中任意k(k=1,2,…,|V1|)个顶点至少与V2中的k个顶点相邻.本定理中的条件常称为“相异性条件”.18.6、设二部图G=<V1,V2,E>中，V1中每个顶点至少关联t (t≥1)条边，而V2中每个顶点至多关联t 条边，则G 中存在V1到V2的完备匹配.18.7、对于任意无向图G，均有χ(G) ≤∆(G)+1几个相关性质:χ(G)=1当且仅当G为零图χ(Kn)=n若G为奇圈或奇阶轮图，则χ(G)=3，若G为偶阶轮图，则χ(G)=4.若G的边集非空，则χ(G)=2当且仅当G为二部图18.8、（Brooks定理）若连通无向图G不是Kn,（n≥3），也不是奇数阶的圈，则χ(G) ≤∆(G) 18.10、（四色定理）任何平面图都是4-可着色的。
NNG_教师教案离散数学_48课时_黄海华
（第三讲） 2.3、联结词 的完备性
2.4、可满足 性问题与消解 法
1. 真值函数 2. 联结词完备集
1. 消解法
南宁学院教师教案
二级学院（部门）：高博软件学院 专业：13计算机科学与技术 课 程：离散数学 主讲教师：付林林
课题 章节 第三章 命题逻
授课班级
14计 算机 科学 与技 术 （互 联网 会计 审计
划分
第七节、偏序关系
习题课
重 点、 难点 及突 破措 施
重点、难点： 1、二元关系的运算 2、关系的闭包 3、等价关系与划分 4、偏序关系
课堂作业：无
教学场所 及教具
教学方法
普通教室 （√）多媒 体（） 实验室 （） 音 像（） 图 片（） 实 物（） 模 型（） 其 他：
讲授（√） 讨论（） 实践（） 案例（） 演示（） 主题活动 （） 其他：
1. 命题真值与赋值 命题，命题的真值，真命题，假命题，简单命题，复合命题
2. 命题与真值的符号化 用p,q,r等表示命题，成为命题的符号化
3. 基本复合命题 否定式 合取式 析取式 蕴涵式
4. 复合命题 基本复合命题以及多次使用常用联结词
1.2、命题公 式及其赋值
1. 命题常项与命题变项 命题常项，命题变项
反、对称、反对称、传递性给出证明。 6、熟练掌握等价关系、等价类、商集、划分的概念，以及
等价关系与划分的对应性质。 7、熟练掌握偏序关系、偏序集、哈斯图等概念。
内容提要及教学过程
学时分配
第一节、有序对与笛 1
卡儿积
1
第二节、二元关系 1
第三节、关系的运算 第四节、关系的性质
1 1
第五节、关系的闭包
第六节、等价关系与
离散数学PPT课件
20
例2.1判断下面两个公式是否等值： (pq), pq 例2.2判断下面各组公式是否等值： （1）p(qr) 与 (pq)r （2） ( pq)r与 (pq)r
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置换规则 ： 设（A）是含公式A的命题公式， （B） 是用公式B置换了（A）中所有的A以后得到的命题公式， 若BA，则（B） （A）。
定义1.2 设p，q为两命题，复合命题“p并且q”称为p与 q的合取式，记作“pq”。 pq为真当且仅当 p， q同 时为真。
定义1.3 设p，q为两命题，复合命题“p或q”称为p与q的 析取式，记作“pq”。 p q为假当且仅当 p， q同时为 假。
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例1.3将下列命题符号化 （1）吴影既用功又聪明。 （2）吴影不仅用功而且聪明。 （3）吴影虽然聪明，但不用功。 （4）张辉与王丽都是三好学生。 （5）张辉与王丽是同学
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例1.8求下列公式的真值表，并求成真赋值。 (1) (pq)r (2) (pp)(qq) (3) (p q) q r
定义1.10设A为一命题公式 （1）若A在它的各种赋值下取值均为真，则称A是重 言式或永真式。 （2）若A在它的各种赋值下取值均为假，则称A是矛 盾式或永假式。 （3）若A不是矛盾式，则称A是可满足式。
离散数学
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离散数学课件
离散数学是计算机科学的核心理论课程， 是计算机专业的专业基础课。
第一部分 数理逻辑 第二部分 集合与关系代数 第三部分 图论
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第一部分数理逻辑
第一章 命题逻辑基本概念 第二章 命题逻辑等值演算 第三章 命题逻辑推理理论 第四章 一阶逻辑基本概念 第五章 一阶逻辑等值演算与推理
离散数学第二版最全课后习题答案详解
离散数学第二版最全课后习题答案详解离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、电气工程等领域都有着广泛的应用。
对于学习离散数学的同学们来说，课后习题的解答是巩固知识、加深理解的重要环节。
本文将为您提供离散数学第二版的最全课后习题答案详解，希望能对您的学习有所帮助。
在开始讲解具体的习题答案之前，让我们先简要回顾一下离散数学的主要内容。
离散数学包括集合论、数理逻辑、图论、代数结构等几个部分。
集合论是离散数学的基础，它研究集合的性质、运算和关系。
在集合论的习题中，常见的问题包括集合的表示、集合的运算（并集、交集、补集等）、集合的包含关系以及集合的基数等。
例如，有这样一道习题：设集合 A ＝｛1, 2, 3}，B ＝｛2, 3, 4}，求 A ∪ B 和A ∩ B。
答案是：A ∪ B ＝｛1, 2, 3, 4}，A ∩ B ＝｛2, 3}。
这是因为并集是包含两个集合中所有元素的集合，而交集是同时属于两个集合的元素组成的集合。
数理逻辑是研究推理和证明的工具，它包括命题逻辑和谓词逻辑。
在数理逻辑的习题中，需要掌握命题的符号化、逻辑公式的等价变换、推理规则的应用等。
比如，给出这样一个命题：“如果今天下雨，那么我就不去公园”，将其符号化。
我们可以设“今天下雨”为 P，“我去公园”为 Q，那么这个命题可以符号化为P → ¬Q。
图论是研究图的性质和应用的分支。
图的概念在计算机网络、交通运输等领域有着重要的应用。
图论的习题常常涉及图的表示、顶点的度、路径、连通性、图的着色等问题。
假设有这样一道题：一个无向图有 10 个顶点，每个顶点的度都为 6，求这个图的边数。
根据顶点度数之和等于边数的两倍这个定理，我们可以计算出边数为 30。
代数结构则包括群、环、域等概念，在这部分的习题中，需要理解和运用代数结构的定义和性质来解决问题。
接下来，我们具体来看一些习题的详细解答。
例 1：设集合 A ＝｛x ｜ x 是小于 10 的正奇数}，B ＝｛x ｜ x 是小于 10 的正偶数}，求 A B。
离散数学讲义
NO.1 说谎者悖论(1iar paradox or Epimenides’ paradox) 最古老的语义悖论。公元前6世纪古希腊哲学家伊壁孟德 所创的四个悖论之一。是关于“我正在撒谎”的悖论。具 体为：如果他的确正在撒谎，那么这句话是真的，所以伊 壁孟德不在撤谎，如果他不在撒谎，那么这句话是假的， 因而伊壁孟德正在撒谎。
其内容较广，主要包括数理逻辑、 集合 论、图论、代数结构等四个基本部分。
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什么是离散数学？
离散数学将日常的概念、判断、 推理用数学符号来表示，用数学方法 进行思维。其目标是掌握严密的思维 方法、严格证明的推理能力和演算能 力，掌握处理各种具有离散结构的事 物的描述工具与方法，适应学习其他 专业课程的各种需要，为学习其它计 算机课程提供必要的数学工具。
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1-1 命题及其表示法
命题：能够判断真假的陈述语句。
例：‘中国是一个国家’， ‘9为素数’。
原子命题：不能分解成更简单的陈述语 句的命题。
复合命题：由连结词、标点符号和原子 命题复合构成的命题。
一般用字母“T”表示“真”，“F”表示 “假”。也经常用“1”表示“真”， “0”表示“假”。
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课程概况
选修课/必修课：选修 周学时：3（学时） 上课周：1－16周 总学时 数理逻辑（14学时）
第一章 命题逻辑（8） 第二章 谓词逻辑（6）
第二篇 集合论（12学时）
第三章 集合（4） 第四章 二元关系与函数（8）
第四篇 图论（14学时）
第七章 图论（8） 第八章 一些特殊图（4） 第九章 树 （2）
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NO.2 伊勒克特拉悖论(Eletra paradox) 逻辑史上最早的内涵悖 论。由古希腊斯多亚学派提出。它的基本内容是：伊勒克 特拉有位哥哥奥列斯特回家了．尽管伊勒支持拉知道奥列 斯特是她的哥哥．但她并不认识站在她面前的这个男人。 写成一个推理．即： 伊勒克持拉不知道站在她面前的这个人是她的哥哥。 伊勒克持拉知道奥列期特是她的哥哥。 站在她面前的人是奥列期特。
《离散数学(二)》讨论课内容
第九周 第 14 章 代数系统 14.3.2 群（剩余部分）
1. 设<G, ◦>是群，f 和 g 是两个 G 上的自同态，令 H = { x | f (x) = g (x), x G }, 证明：H 是 G 的子群。 2. 设<G, ◦>是交换群，n 是任意给定的整数，令 Gn = { x | x = an, a G }, 证明：Gn 是 G 的子群。 3. 写出群<Z42, ⊕>的所有生成元和子群，并画出子群格。
第四周 6.4 几种特殊图 6.4.3 哈密顿图 6.4.4 平面图
1. 证明所示图不是汉密尔顿图。
2. 证明: 足球是由几个五边形和六边形组成的。 （提示：先用多面体的缺角和为 720˚求出 顶点数。 ） 3. 证明: 6 个结点 12 条边的连通简单平面图中，每个面均有 3 条边组成。
第五周 第 7 章 7.1 无向树
第七周 第 14 章 代数系统 14.2 代数系统
1. 设 f 和 g 是两个<S, ◦>到<V, *>的同态，其中二元运算 *满足交换律和结合率，证明： h ( x ) = f ( x ) * g ( x ), 也是<S, ◦>到<V, *>的同态。 2. 请写出代数系统<N, × >的所有子代数系统。那么代数系统<N, +, × >的子代数系统有 哪些。(注：考虑代数常数) 3. 设 V1 和 V2 都是一个代数系统 V 的子代数系统， 那么 V1 V2 和 V1 V2 也是 V 的子 代数系统吗？若是证明之，若不是请举一例。
左孝凌离散数学PPT课件
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.2逻辑
联结词(Logical Connectives)
例3. 将下列命题符号化.
(1) 李平既聪明又用功.
(2) 李平虽然聪明, 但不用功.
(3)李平不但聪明,而且用功.
(4)李平不是不聪明,而是不用功.
解: 设 P:李平聪明. Q:李平用功.
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.1 命题及其表示方法
• 1.1.1 命题（Proposition) • 1.1.2 命题的表示方法 • 1.1.3 命题的分类
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.1 命题及其表示方法
1.1.1 命题
数理逻辑研究的中心问题是推理（inference),而 推理的前提和结论都是表达判断的陈述句，因而表达
第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
❖1931年Godel不完全性定理的提出，以及递 归 函 数 可 计 算 性 的 引 入 ， 促 使 了 1936 年 Turing 机 的 产 生 ， 十 年 后 ， 第 一 台 电 子 计 算机问世。
❖从 广 义 上 讲 ， 数 理 逻 辑 包 括 四 论 、 两 演 算——即集合论、模型论、递归论、证明 论和命题演算、谓词演算，但现在提到数 理逻辑，一般是指命题演算和谓词演算。 本书也只研究这两个演算。
逻辑可分为：1. 形式逻辑（通过数学方法） 数理逻辑 2. 辩证逻辑 指引进一套符号体系的方法。
辩证逻辑是研究反映客观世界辩证发展过程的人类思 维的形态的。
第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
❖ 形式逻辑是研究思维的形式结构和规律的科学，它撇 开具体的、个别的思维内容，从形式结构方面研究概 念、判断和推理及其正确联系的规律。
离散数学-详解
离散数学-详解离散数学（Discrete Mathematics）目录• 1 什么是离散数学• 2 离散数学的发展• 3 离散数学与现代信息技术• 4 参考文献什么是离散数学离散数学是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，离散数学是数学几个分支的总称，研究基于离散空间而不是连续的数学结构。
更一般地，离散数学被视为处理可数集合（与整数子集基数相同的集合，包括有理数集但不包括整数集）的数学分支。
与光滑变化的实数不同，离散数学的研究对象———例如整数、图和数学逻辑中的命题———不是光滑变化的，而是拥有不等、分立的值。
离散数学中的对象集合可以是有限或者是无限的。
特别是，有限数学一词通常指代离散数学处理有限集合的那些部分，特别是在与商业相关的领域。
包括基本的概率论、线性规划、矩阵和行列式的理论。
离散数学的应用遍及现代科学技术的诸多领域，它在各学科领域，特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时离散数学也是程序设计语言、数据结构、操作系统、编译技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、理论计算机科学等必不可少的科研基础。
离散数学的发展历史上，离散数学涉及各个领域的一系列挑战性问题。
在图论中，大量研究的动机是企图证明四色定理。
这些研究虽然从1852年开始，但是直至1976年四色理论才得到证明，是由肯尼斯·阿佩尔和沃尔夫冈·哈肯大量使用计算机辅助来完成的。
在逻辑领域，大卫·希尔伯特于1900年提出的公开问题清单的第二个问题是要证明算术公理是一致的。
1931年，库尔特·哥德尔的第二不完备定理证明这是不可能的———至少算术本身不可能。
大卫·希尔伯特的第十个问题是要确定某一整系数多项式丢番图方程是否有一个整数解。
1970年，尤里·马季亚谢维奇证明这不可能做到。
第二次世界大战时盟军基于破解纳粹德军密码的需要，带动了密码学和理论计算机科学的发展。
英国的布莱切利园因而发明出第一部数字电子计算器———巨像计算机。