高一数学 平面向量练习题
高一数学第二章 平面向量练习题及答案全套
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
1.下列各量中不是向量的是
【】
A.浮力 B.风速
C.位移
D.密度
2.下列说法中错．误．的是
【】
A.零向量是没有方向的
B.零向量的长度为 0
C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的
3.把平面上一切单位向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是
【】
A.若 a b 0 ，则 a 0 或 b 0
C.若 a2
2
b
，则 a
b
或a
b
5.下列命题中，正确的命题是
A. a b a 且. a b b
C.若
a
b
c
,
则
a
b
b c
B.若 a 0 ，则 0 或 a 0
D.若 a b a c ，则 b c
【】
B. a b a 或. a b b
A．a＋a
B．b+b
C．0
D．a＋b
【】
3.若 a + b + c = 0 ，则 a 、 b 、 c
【】
A.一定可以构成一个三角形；
B.一定不可能构成一个三角形；
C.都是非零向量时能构成一个三角形； D.都是非零向量时也可能无法构成一个三角形
4.一船从某河的一岸驶向另一岸船速为 v1 ，水速为 v2 ，已知船可垂直到达对岸则
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
1. 已知平面向量 a (1, 2) ， b (2, m) ，且 a // b ，则 2a 3b ＝
. 【】
A. (5, 10) B. (4, 8) C. (3, 6) D. (2, 4)
高一数学平面向量专项练习题
高一数学平面向量专项练习题1．已知平面向量a ，b 的夹角为23π，2a =，1b =，则a b ⋅=（ ）A ．1B ．1-CD ．2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB AC ⋅uu u r uu u r等于( )A ．－16B ．－8C ．8D ．16 3．已知,a b 是不共线的向量，且5,28,3()AB a b BC a b CD a b =+=-+=-，则（ ）. A ．A ，B ，D 三点共线B ．A ，B ，C 三点共线 C ．B ，C ，D 三点共线 D ．A ，C ，D 三点共线4．已知圆心为O ，半径为1的圆上有不同的三个点,,A B C ，其中0OA OB ⋅=，存在实数,λμ满足0OC OA uOB λ++=，则实数,λμ的关系为A ．221λμ+=B ．111λμ+= C ．1λμ= D ．1λμ+=5．已知向量(1,2),(1,3)a b =-=，则||a b -=（ ）A B ．2 C D 6．若1a b ==r r ，(2)a b a +⊥，则向量a 与b 的夹角为（ ）A ．30B ．60C ．120D ．1507．在△ABC 中，若AB 2BC -2=AB AC ⋅，则△ABC 是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形8．在ABC ∆中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM AB AC λμ=+，则λμ+等于（ ）A ．12B ．23C ．16D ．139．若()2,4,a b a b a ==+⊥,则a 与b 的夹角为( )A ．23πB ．3πC ．43πD ．π10．已知非零向量a ，b 的夹角是60°，a b =，a ⊥(λa -b )，则λ=A ．12B ．1C ．32D ．211．如图，在ABC 中，AD AB ⊥，3BC BD =，||1AD =，则AC AD ⋅=（ ）A ．B ．2C ．3D 12．已知12,e e 是两个单位向量，且夹角为3π，则12e te +与12te e +数量积的最小值为（ ）A ．32-B ．6-C ．12D ．313．已知向量a,b r r 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a bA ．4B ．3C ．2D ．014．在ABC 中，点D 是线段BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得BM AB AC λμ=+uuu r uu u r uuu r ，则λμ+=A ．2B ．2-C ．12D ．12- 15．在边长为2的正ABC ∆中，设2BC BD =，3CA CE =，则AD BE ⋅=（ ） A ．-2 B ．-1 C ．23- D ．83- 16．已知20a b =≠，且关于x 的方程20x a x a b ++⋅=有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( )A ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦17．两个非零向量,a b 满足||||2||a b a b a +=-=，则向量b 与a b -夹角为（ ） A ．56π B ．6π C ．23π D ．3π 18．AB 是半径为1的圆O 的直径，P 是圆O 上一点，Q 为平面内一点，且1233BQ BP AB =-，1AQ AB ⋅=，则BQ BP ⋅的值为（ ） A ．12 B ．1 CD ．5219．已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且•••PA PB PB PC PC PA ==，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的( )（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）A ．重心外心垂心B ．重心外心内心C ．外心重心垂心D ．外心重心内心20．已知1e ，2e 是不平行的向量，设12a e ke =+，12b ke e =+，则a 与b 共线的充要条件是实数k 等于________．21．已知平面向量a ，b 的夹角为3π，且1a =，12b ⎛= ⎝⎭r ，则(2)a b b +⋅=________． 22．已知正方形ABCD 的边长为4，2AE AB =，则AC DE ⋅=__________． 23．已知平面向量,a b 满足3a =，2b =，3a b ⋅=-，则2a b += . 24．已知||1a =，()a b a +⊥，则⋅=a b _________.25．在等腰梯形ABCD 中，2DC AB =，E 为BC 的中点，F 为DE 的中点，记DA a =，DC b =，若用,a b 表示DF ，则DF =________.26．在ABC ∆中，4AC =，3BC =，30ACB ∠=︒，点E 为边AC 的中点，2133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，则CA CB ⋅=______；CD BE ⋅=______.27．在ABC ∆中，D 为AB 的中点，点O 满足2CO OD =，OA OB ⊥，若10AB =，则AC BC ⋅=___________。
(完整版)高一数学必修4平面向量练习题及答案(完整版)
平面向量练习题一、选择题1、若向量a= (1,1), b= (1,－1), c =(－1,2),则 c等于( )A 、21 a +23bB 、21a 23 bC 、23a 21 bD 、23 a + 21b2、已知，A （2，3），B （－4，5），则与AB 共线的单位向量是（ ）A 、)1010,10103(e B 、)1010,10103()1010,10103(或e C 、)2,6( eD 、)2,6()2,6(或 e3、已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1( 与垂直时k 值为 （ ）A 、17B 、18C 、19D 、204、已知向量OP =(2，1)，OA =(1，7)，OB =(5，1)，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，那么XB XA 的最小值是 ( )A 、-16B 、-8C 、0D 、45、若向量)1,2(),2,1( n m 分别是直线ax+(b －a)y －a=0和ax+4by+b=0的方向向量，则 a, b 的值分别可以是 （ ）A 、 －1 ，2B 、 －2 ，1C 、 1 ，2D 、 2，1 6、若向量a =(cos ,sin )，b =(cos,sin)，则a 与b 一定满足 （ ）A 、a 与b 的夹角等于 －B 、(a ＋b )⊥(a －b )C 、a ∥bD 、a ⊥b7、设j i ,分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量，j i OP sin 3cos 3 ，i OQ ),2,0(。
若用来表示OP与OQ 的夹角，则等于 （ ） A 、B 、2C 、2D 、8、设 20 ，已知两个向量 sin ,cos 1 OP ， cos 2,sin 22 OP ，则向量21P P 长度的最大值是（ ） A 、2B 、3C 、23D 、二、填空题9、已知点A(2，0)，B(4，0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 运动，则使BP AP 取得最小值的点P 的坐标是 、10、把函数sin y x x的图象，按向量 ,a m n v（m>0）平移后所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小正值为__________________、11、已知向量 m m 则若,),,3(),2,1( 、 三、解答题12、求点A （－3，5）关于点P （－1，2）的对称点/A 、13、平面直角坐标系有点].4,4[),1,(cos ),cos ,1(x x Q x P （1）求向量和的夹角 的余弦用x 表示的函数)(x f ； （2）求 的最值、14、设，)2cos ,sin 2(x x ，x ，)1cos ( 其中x ∈[0，2]、 (1)求f(x)=·的最大值和最小值； (2)当 OA u u u r ⊥OB uuu r ，求|AB u u u r|、15、已知定点)1,0(A 、)1,0( B 、)0,1(C ，动点P 满足：2||PC k BP AP 、（1）求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的图形； （2）当2 k 时，求||BP AP 的最大值和最小值、参考答案一、选择题1、B ；2、B ；3、C ；4、B ；5、D ；6、B ；7、D ；8、C 二、填空题9、(0，0) 10、56m 11、4 三、解答题12、解：设/A （ｘ，ｙ），则有312522xy ，解得11x y 、所以/A （1，－1）。
(word版)高一数学平面向量练习题(含答案)
平面向量练习题一、单选题（本大题共7小题，共35.0分） 1. 已知向量a ⃗ =(m,1)，b ⃗ =(−1,2)，若，则a ⃗ 与b ⃗ 夹角的余弦值为( )A. −2√1313B. 2√1313C. −6√1365D. 6√13652. 已知向量a ⃗ =(x 2,x +2),b ⃗ =(−√3,−1),c ⃗ =(1,√3)，若a ⃗ //b ⃗ ，则a⃗ 与c ⃗ 夹角为( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π63. 下列命题中正确的是( )A. 若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 是共线向量，则A,B,C,D 四点共线；B. 若a ⃗ //b ⃗ ，b ⃗ //c ⃗ ，则a⃗ //c ⃗ ； C. 不相等的两个向量一定不平行； D. 两个相等向量的模相等．4. 已知|b ⃗ |=3，a ⃗ 在b ⃗ 上的投影向量为12b ⃗ ，则a ⃗ ·b ⃗ 的值为( )A. 3B. 92C. 2D. 125. 在等腰三角形ABC 中，AB =AC =√5，BC =2，若P 为边BC 上的动点，则AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )=( ) A. 2 B. 4 C. 8D. 06. 非零向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 满足(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12，则ΔABC 为( ) A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 底边和腰不相等的等腰三角形D. 等边三角形7. 如图所示，在ΔABC 中，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点P 是BN 上一点，若m AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数m 的值为( ) A. 13 B. 19 C. 1 D. 2二、多选题（本大题共6小题，共30.0分）8. 下列命题中，正确的是( )A. 对于任意向量a ⃗ ，b ⃗ 有||a ⃗ +b ⃗ |≤|a ⃗ |+|b ⃗ |B. 若a ⃗ ·b ⃗ =0，则a ⃗ =0或b ⃗ =0C. 对于任意向量a ⃗ ，b ⃗ 有|a ⃗ ·b ⃗ |≤|a ⃗ ||b ⃗ |D. 若a ⃗ ，b ⃗ 共线，则a⃗ ⋅b ⃗ =±|a ⃗ ||b ⃗ | 9. 设向量a ⃗ =(k,2),b⃗ =(1,−1)，则下列叙述错误的是( ) A. 若k <−2，则a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为钝角 B. |a⃗ |的最小值为2 C. 与b ⃗ 垂直的单位向量为(√22,√22)D. 若|a ⃗ |=2|b ⃗ |，则k =2√2或−2√210. 设向量a ⃗ =(2,0),b ⃗ =(1,1)，则( )A. |a ⃗ |=|b⃗ | B. 与b ⃗ 同向的单位向量是(12,12) C. (a ⃗ −b ⃗ )⊥b ⃗D. a ⃗ 与b ⃗ 的夹角是π4．11. 已知向量m⃗⃗⃗ =(1,0)，n ⃗ =(12,12)，则( ) A. |m ⃗⃗⃗ |=√2|n ⃗ | B. (m⃗⃗⃗ −n ⃗ )// n ⃗ C.D. m⃗⃗⃗ 与n ⃗ 的夹角为π4 12. 下列说法错误的是( )A. 若a ⃗ //b ⃗ ，b ⃗ //c ⃗ ，则a⃗ //c ⃗ B. 若a ⃗ //b ⃗ ，则存在唯一实数λ使得a ⃗ =λb ⃗C. 两个非零向量a ⃗ ，b ⃗ ，若|a ⃗ −b ⃗ |=|a ⃗ |+|b ⃗ |，则a ⃗ 与b ⃗ 共线且反向D. 已知a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(1,1)，且a ⃗ 与a ⃗ +λb ⃗ 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是(−53,+∞)13. 已知点O 为△ABC 所在平面内一点，且AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则下列选项正确的是A. AO ⃗⃗⃗⃗⃗=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 直线AO 必过BC 边的中点 C. S △AOB ︰S △AOC =3︰2D. |OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，且OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√13第II 卷（非选择题）三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）14. 在四边形ABCD 中，已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(7,4)，AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,6)，则四边形ABCD 的面积是________．15. 已知a ⃗ ，b ⃗ 是两个不共线的向量，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ +k b ⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +3b ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ −b ⃗ ，若A ，B ，D 三点共线，则实数k = .16. 已知非零向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=|b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |，则|a ⃗ +b ⃗||a ⃗ −b ⃗ |= ．17. 设向量m ⃗⃗⃗ =2a ⃗ −3b ⃗ ，n ⃗ =4a ⃗ −2b ⃗ ，p ⃗ =3a ⃗ +2b⃗ ，试用m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ 表示p ⃗ ，p⃗ = ． 四、解答题（本大题共9小题，共108.0分）18. 已知向量a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ 是同一平面内的三个向量，其中a⃗ =(1,−1) (Ⅰ)若|c ⃗ |=3√2，且c ⃗ //a ⃗ ，求向量c ⃗ 的坐标； (Ⅱ)若b ⃗ 是单位向量，且，求a ⃗ 与b ⃗ 的夹角θ．19. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=1，(a ⃗ +b ⃗ )⋅(2a ⃗ −b ⃗ )=8．(1)求a ⃗ 与b ⃗ 的夹角θ; (2)求|a ⃗ +b ⃗ |.20. 在直角梯形ABCD 中，已知AB //CD ，∠DAB =90°，AB =6，AD =CD =3，对角线AC 交BD 于点O ，点M 在AB 上，且OM ⊥BD ．(1)求AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗ 的值； (2)若N 为线段AC 上任意一点，求AN ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．21. 已知a ，b ，c 是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且△ABC 的面积S =14c 2．(Ⅰ)记m ⃗⃗⃗ =(2c,1)，n ⃗ =(2a −√2b,cosB)，若m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ． (i)求角C ，(ii)求ab 的值；(Ⅱ)求ab 的取值范围．22. 已知a ⃗ =(1,0)，b ⃗ =(2,1)．(1)当k 为何值时，k a ⃗ −b ⃗ 与a ⃗ +2b ⃗ 共线⋅ (2)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ +3b ⃗ ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．23. 已知向量a ⃗ =(−3,2)，b ⃗ =(2,1)，c⃗ =(3,−1)，t ∈R ． (1)求|a ⃗ +t b ⃗ |的最小值； (2)若a ⃗ −t b ⃗ 与c⃗ 共线，求t 的值．24. 设e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ 是不共线的非零向量，且，b ⃗ =e 1⃗⃗⃗ +3e 2⃗⃗⃗(1)若，求λ,μ的值；(2)若e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ 是互相垂直的单位向量，求a⃗ 与b ⃗ 的夹角θ．25. 如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，BM =23BC ，AN =14AB ．(1)试用向量a ⃗ ，b ⃗ 来表示DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)AM 交DN 于O 点，求AO ∶OM 的值．26. 已知O 为直线AB 外一点，(1)若OC ⃗⃗⃗⃗⃗=34OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求证：A 、B 、C 三点共线；(2)若O 为坐标原点，A(2,−3)，B(8,1)，判断△OAB 的形状，并给予证明．答案和解析1.【答案】B【解答】解：设a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为θ 依题意，a ⃗ −2b ⃗ =(m +2,−3)， 由，则(a ⃗ −2b ⃗ )·b ⃗ =0，即−m −2−6=0，解得m =−8，则a ⃗ =(−8,1)，a ⃗ ·b ⃗ =−8×(−1)+1×2=10， |a ⃗ |=√(−8)2+12=√65，|b ⃗ |=√(−1)2+22=√5． 所以cosθ=a ⃗ ·b ⃗ |a ⃗ |·|b⃗ |=10√65×√5=2√1313， 故选B ．2.【答案】A本题主要考查用数量积表示两个向量的夹角，两个向量的夹角公式，属于基础题． 由题意可得a →与 b →反向，故a →与c →的夹角即为−b →与c →的夹角，利用两个向量的夹角公式求解即可． 【解答】解：∵向量a →=(x 2,x +2)，b →=(−√3,−1)，c →=(1,√3)，若a →//b →，则a →与b →反向， ∴a →与c →的夹角即为−b →与c →的夹角，设为θ， ∴cosθ=−b ⃗ ·c ⃗|b ⃗ |·|c ⃗ |=−−√3−√32×2=√32， ，∴θ=π6，即a →与c →的夹角为π6．故选A ．3.【答案】D【解答】A 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 是共线时，A ，B ，C ，D 四点不一定共线，判定A 错误， B 中，a ⃗ //b ⃗ ，b ⃗ //c ⃗ 中，若b ⃗ =0⃗ ，则不成立，B 错误， C 中，零向量的方向不确定，因此人们规定它可以与任何向量平行，则C 错误， D 中，两个相等向量的模是一定相等的，D 正确．4.【答案】B本题主要考查向量的数量积，投影向量，向量的模，属于基础题．根据题意得到|a ⃗ |cos⟨a ⃗⃗⃗ ,b ⃗ ⟩=12|b ⃗ |即可． 【解答】解：因为a ⃗ 在b ⃗ 上的投影向量为12b ⃗ ， 所以|a⃗ |cos⟨a ⃗⃗⃗ ,b ⃗ ⟩=12|b ⃗ |， 又因为|b ⃗ |=3所以a ⃗ ·b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cos⟨a ⃗ ,b ⃗ ⟩=12|b⃗ |2=12×32=92， 故选B ．5.【答案】C解题的关键设AD 是等腰三角形ABC 的高，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DP ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2，利用勾股定理求出AD 的长即可． 【解答】解：设AD 是等腰三角形ABC 的高，则AD =√5−1=2， 故AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DP ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=8， 故选C ．6.【答案】D本题考查向量的数量积的应用，考查三角形的判断，属于基础题．利用向量的数量积为0可得到等腰三角形，利用向量的数量积求出∠BAC =60°，得到等边三角形． 【解答】解：∵非零向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 满足(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=0， ∴|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，三角形是等腰三角形． 又因为cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12，且0°⩽<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >⩽180°， 所以∠BAC =60°， 所以三角形是等边三角形． 故选D ．本题考查了平面向量基本定理，属于基础题．根据向量的加法以及三点共线的向量表示列式即可解答． 【解答】解：因为AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以3m AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3m AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因为B ，P ，N 三点共线，所以3m +23=1，解得m =19． 故选B ．8.【答案】ACD本题主要考查向量的三角不等式，向量的数量积概念及运算，属于基础题． 根据向量的三角不等式，向量的数量积概念及运算，结合选项依次分析判断即可． 【解答】解：对于A ，对任意向量a ⃗ ，b ⃗ ，有|a ⃗ +b ⃗ |≤|a ⃗ |+|b ⃗ |， 当且仅当a⃗ 与b ⃗ 共线时取等号，故A 正确； 对于B ，若a ⃗ ·b ⃗ =0，则a ⃗ =0⃗ 或b ⃗ =0⃗ 或a ⃗ ⊥b ⃗ ，故B 错误； 对于C ，对任意向量a ⃗ ，b ⃗ ，因为a ⃗ ·b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cos <a ⃗ ,b ⃗ >≤|a ⃗ ||b ⃗ |， 当且仅当a ⃗ 、b ⃗ 同向共线时取等号，故C 正确； 对于D ，若向量a ⃗ ，b ⃗ 共线，则a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为0°或180°， 有a ⃗ ·b ⃗ =±|a ⃗ |·|b ⃗ |，故D 正确． 故选ACD ．9.【答案】CD本题考查了单位、零、共线、相反、相等向量的概念，向量的模，向量的夹角，平面向量共线的充要条件，向量的数量积和平面向量的坐标运算，属于中档题．利用向量的夹角，结合向量数量积的坐标运算和平面向量共线的充要条件，对A 进行判断，利用向量模的坐标运算，对B 与D 进行判断，利用共线、单位向量和向量模的坐标运算对C 进行判断，从而得结论． 【解答】解：对于A 、因为向量a ⃗ =(k,2),b ⃗ =(1,−1)， 所以当k <−2时，a ⃗ ·b ⃗ =k −2<0且−k −2≠0， 即a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为钝角 ，因此A 正确；对于B 、因为|a ⃗ |=2+4≥2，所以|a ⃗ |的的最小值为2，因此B 正确； 对于C 、设与b ⃗ 垂直的单位向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y )且|m ⃗⃗⃗ |=1， 所以x −y =0且√x 2+y 2=1，解得{x =√22y =√22或{x =−√22y =−√22, 因此与b ⃗ 垂直的单位向量为(√22,√22)或(−√22,−√22)，所以C 不正确；对于D 、因为|a ⃗ |=2|b ⃗ |，所以√k 2+4=2√2，解得k =2或−2，所以D 不正确； 故选CD ．10.【答案】CD本题考查向量的坐标计算，关键是掌握向量模长公式，夹角公式，垂直的判定方法以及单位向量的概念，属于基础题．根据题意由向量的坐标计算公式依次分析选项，验证选项中结论是否成立，即可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A ，∵a ⃗ =(2,0)，b ⃗ =(1,1)，∴|a ⃗ |=√22+02=2，|b ⃗ |=√12+12=√2． |a ⃗ |≠|b ⃗ |． 故选项A 错误;对于B ，令c ⃗ =(12,12)，则|c ⃗ |=√(12)2+(12)2=√22， 由单位向量的定义知与b ⃗ 同向的单位向量不可能是(12,12)．故选项B 错误;对于C ，∵a ⃗ =(2,0)，b ⃗ =(1,1)， ∴a ⃗ −b ⃗ =(1,−1)，故(a ⃗ −b⃗ )·b ⃗ =1×1+(−1)×1=0，．故选项C 正确;对于D ，∵a ⃗ =(2,0)，b ⃗ =(1,1)， ∴cos <a ⃗ ，b ⃗ >=√22+0√12+12=√22， 又∵<a ⃗ ，，∴a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为．故选项D 正确． 所以选CD ．11.【答案】ACD本题主要考查向量的模、向量的坐标运算、向量的夹角、向量平行的判断及向量垂直的判断，根据题意逐项进行判断即可得到结果． 【解答】解：A ．|m ⃗⃗⃗ |=√12+02=1,|n ⃗ |=√(12)2+(12)2=√22，因此|m ⃗⃗⃗ |=√2|n ⃗ |，所以A 正确；B .m ⃗⃗⃗ −n ⃗ =(12,−12)，因此12×12−(−12)×12=1≠0，所以m ⃗⃗⃗ −n ⃗ 与n ⃗ 不平行，所以B 错误；C .(m ⃗⃗⃗ −n ⃗ )·n ⃗ =12×12+(−12)×12=0，所以(m ⃗⃗⃗ −n ⃗ )⊥n ⃗ ，所以C 正确； D .m ⃗⃗⃗ ·n ⃗ =1×12+0×12=12，则cos <m⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ·n⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=121×√22=√22， 因此，所以D 正确．故选ACD ．12.【答案】ABD本题考查了共线向量及零向量，考查向量的坐标运算，属于基础题． 对各选项逐一判定正误，即可得到答案． 【解答】解：对于A ：两个向量a ⃗ ，b ⃗ ，如果b ⃗ =0⃗ ，则a ⃗ //b ⃗ ，b ⃗ //c ⃗ ， 则a⃗ ，c ⃗ 不一定为共线向量，故错误； 对于B ：若a ⃗ //b ⃗ ，则a ⃗ =λb ⃗ ，如果a ⃗ =b ⃗ =0⃗ ，则实数λ不唯一，故错误； 对于C ：两个非零向量a ⃗ ，b ⃗ ，若|a ⃗ −b ⃗ |=|a ⃗ |+|b ⃗ |，可得(a ⃗ −b ⃗ )2=(|a ⃗ |+|b ⃗ |)2，即−2a ⃗ ·b ⃗ =2|a ⃗ ||b ⃗ |，cosθ=−1，则两个向量的夹角为π，则a ⃗ 与b ⃗ 共线且反向，故正确；对于D ：已知a⃗ =(1,2)，b ⃗ =(1,1)， 所以a ⃗ +λb ⃗ =(1+λ,2+λ)， 因为a ⃗ 与a ⃗ +λb ⃗ 的夹角为锐角，可得且a ⃗ 与a ⃗ +λb⃗ 不同向， 即{1+λ+2(2+λ)>0,2(1+λ)≠2+λ，解得且λ≠0，故错误，故说法错误的是ABD ． 故选ABD ．13.【答案】ACD本题考查平面向量的线性运算及相关知识，属于难题．A 项直接由平面向量的线性运算即可，其余选项由AO⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 得AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，取BC 的中点为M ，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，再取AB 的中点N ，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则2NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +4OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，即NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则N ，M ，O 三点共线，连接AO ，交BC 于点Q ，结合图像依次判断即可． 【解答】解：对于A 项，由AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 得， AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +2(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AO ⃗⃗⃗⃗⃗ )+3(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AO ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0⃗ ， 得AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故A 项正确; 再由AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 得 AO⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， 取BC 的中点为M ， 则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， 再取AB 的中点N ，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则2NM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +4OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，即NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则N ，M ，O 三点共线，连接AO ，交BC 于点Q ，如图所示：则直线AO 必过BC 边的中点，是错误，故B 项错误;对于C 项，因为△OMQ ∽△ACQ ， 得MQCQ =OM AC =14，又因为BM =CM ， 则BQ CQ =64=32， 则S △AOBS△AOC=12AO×ℎ112AO×ℎ2=ℎ1ℎ2=BQ CQ=32.故C 项正确;对于D 项，若|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，且，则OM ⊥BC ，即AC ⊥BC ，如图所示：则OM =√22，得AC =4OM =2√2， 在中，QC =45MC =2√25，得AQ =√AC 2+QC 2=√8+825=4√135， 在中，MQ =15MC =√210，得OQ =√OM 2+MQ 2=√12+2100=√135， 则AO =AQ +OQ =4√135+√135=√13，即|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√13.故D 项正确．故答案为ACD ．14.【答案】30本题考查了向量的坐标运算和向量的数量积以及向量的模，属于基础题．根据向量的加减运算和向量的数量积的运算，得到四边形ABCD 为矩形，再根据向量的模的计算得到，矩形的长和宽，即可求出面积． 【解答】解：∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(7,4)，AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,6)， ∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4×3−2×6=0，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,6)=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−2)=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ //AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴四边形ABCD 为矩形，∵|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√42+(−2)2=√20，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√32+62=√45， ∴四边形ABCD 的面积为√20×√45=30， 故答案为：30．15.【答案】−8本题考查向量共线、平面向量的基本定理以及向量的加减运算，A ，B ，D 三点共线，可得存在实数λ，使得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用平面向量的基本定理即可得出． 【解答】解：∵CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +3b ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ −b ⃗ ，∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a ⃗ −3b ⃗ +2a ⃗ −b ⃗ =a ⃗ −4b ⃗ ． 又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ +k b ⃗ ，且A ，B ，D 三点共线， ∴一定存在实数λ，使AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴2a ⃗ +k b ⃗ =λ(a ⃗ −4b ⃗ )，∴{λ=2,k =−4λ,∴k =−8． 故答案为−8．16.【答案】√3本题考查向量的概念及几何表示，向量的模，向量的线性运算，属于中档题． 设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ ，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −b ⃗ ，由|a ⃗ |=|b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |，得△OAB 为正三角形，设其边长为1，计算可得． 【解答】解：如图，设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ ，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −b ⃗ ． ∵|a ⃗ |=|b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |， ∴BA =OA =OB ．∴△OAB 为正三角形，设其边长为1，则|a ⃗ −b ⃗ |=|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，|a ⃗ +b ⃗ |=2×√32=√3． ∴|a ⃗ +b⃗ ||a ⃗ −b⃗ |=√31=√3．故答案为√3．17.【答案】−74m⃗⃗⃗ +138n⃗ 设p ⃗ =x m ⃗⃗⃗ +y n ⃗ ，则3a ⃗ +2b ⃗ =x(2a ⃗ −3b ⃗ )+y(4a ⃗ −2b ⃗ )=(2x +4y)a ⃗ +(−3x −2y)b ⃗根据向量相等求出x ，y ，这样可以求出p ⃗ ． 【解答】解：设p⃗ =x m ⃗⃗⃗ +y n ⃗ ， 则3a ⃗ +2b ⃗ =x(2a ⃗ −3b ⃗ )+y(4a ⃗ −2b ⃗ )=(2x +4y)a ⃗ +(−3x −2y)b ⃗ ， 得{2x +4y =3,−3x −2y =2,解得{x =−74,y =138.所以p⃗ =−74m ⃗⃗⃗ +138n⃗ ． 18.【答案】解：(1)设c ⃗ =(x,y)，由|c ⃗ |=3√2，且c ⃗ //a ⃗ ， 得{y +x =0x 2+y 2=18, 所以{x =−3y =3或{x =3y =−3, 故c⃗ =(−3,3)，或c ⃗ =(3,−3)． (2)因为|b ⃗ |=1，且a ⃗ ⊥(a ⃗ −2b ⃗ )，所以a ⃗ ⋅(a ⃗ −2b ⃗ )=0，即a ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ =0，所以2−2a ⃗ ⋅b ⃗ =0，a ⃗ ⋅b ⃗ =1， cosθ=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |⋅|b⃗ |=√22， 因为夹角所以a ⃗ 与b ⃗ 的夹角θ=π4．【解析】本题考查向量的坐标的求法，考查向量的夹角的求法，考查向量平行、向量垂直、向量的数量积等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．(1)设c ⃗ =(x,y)，由|c ⃗ |=3√2，且c ⃗ //a ⃗ ，列出方程组，能求出向量c ⃗ 的坐标； (2)由|b ⃗ |=1，且a ⃗ ⊥(a ⃗ −2b ⃗ )，得2−2a ⃗ ⋅b ⃗ =0，a ⃗ ⋅b ⃗ =1，由此能求出a ⃗ 与b ⃗ 的夹角．19.【答案】解：(1)因为(a ⃗ +b ⃗ )⋅(2a ⃗ −b ⃗ )=8，所以7+2cosθ=8， 所以cosθ=12． 因为0∘≤θ≤180∘， 所以θ=60∘．(2)|a ⃗ +b ⃗ |2=(a ⃗ +b ⃗ )2=a ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2，因为|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=1，a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cos60∘=2×1×12=1， 所以|a ⃗ +b ⃗ |2=4+2+1=7， 所以|a ⃗ +b ⃗ |=√7．20.【答案】解：(1)因为∠DAB =90°，所以以A 为坐标原点，AB 、AD 分别为x 、y 轴，建立平面直角坐标系如下图：因为AB //CD ，AB =6，AD =CD =3， 所以A (0,0)，B (6,0)，C (3,3)，D (0,3)． 又因为对角线AC 交BD 于点O ， 所以由AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =t AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 得AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3t,3t )，即O (3t,3t )，因此DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3t,3t −3)，DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,−3)， 而DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以−3×3t −6×(3t −3)=0，解得t =23， 因此O (2,2)．又因为点M 在AB 上，所以设M (m,0)， 因此OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(m −2,−2)，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−6,3)， 而OM ⊥BD ，所以OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−6(m −2)−6=0， 解得m =1，即M (1,0)，因此AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，而BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−6,3)， 所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−6， 即AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为−6； (2)因为N 为线段AC 上任意一点，所以由(1)知：可设N (n,n )(0⩽n ⩽3)(包括端点)， 因此AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(n,n )，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(n −1,n )， 所以AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =n (n −1)+n 2=2n 2−n ． 因为函数y =2n 2−n 的图象开口上，对称轴为n =14， 而0⩽n ⩽3，所以函数y =2n 2−n 的值域为[−18,15]，即AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[−18,15]．21.【答案】解：(Ⅰ)(i)由m⃗⃗⃗ //n ⃗ 得：，，，，∵B ∈(0,π)，所以sinB ≠0， 得：，∴C =π4; (ii)由S =14c 2，得：，∴√2ab =c 2，又由余弦定理得：a 2+b 2−√2ab =c 2，联立得：a 2+b 2−2√2ab =0， 得：a 2b2−2√2ab+1=0，∴ab =√2±1， 故：ab 的值为√2−1或√2+1； (Ⅱ)由a 2+b 2−2abcosC =c 2，；得：，当且仅当C =π4时取等；∴a 2+b 2−2√2ab ⩽0，∴a 2b2−2√2ab+1⩽0，得：√2−1⩽ab ⩽√2+1． 故：ab 的取值范围为[√2−1,√2+1]．22.【答案】解：(1)k a ⃗ −b ⃗ =k(1,0)−(2,1)=(k −2,−1)，a ⃗ +2b ⃗ =(1,0)+2(2,1)=(5,2)．因为k a ⃗ −b ⃗ 与a ⃗ +2b ⃗ 共线， 所以2(k −2)−(−1)×5=0， 解得k =−12．(2)因为A ，B ，C 三点共线，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)，即2a ⃗ +3b ⃗ =λ(a ⃗ +m b ⃗ )， 所以{2=λ,3=mλ, 解得m =32．23.【答案】解：(1)∵a ⃗ =(−3,2)，b ⃗ =(2,1)， ∴a ⃗ +t b⃗ =(2t −3,t +2)， ∴|a ⃗ +t b ⃗ |=√(2t −3)2+(t +2)2=√5t 2−8t +13(t ∈R)，∴当t =45时，|a ⃗ +t b ⃗ |的最小值为7√55，(2)∵a ⃗ −t b ⃗ =(−3−2t,2−t)，c ⃗ =(3,−1)，a ⃗ −t b ⃗ 与c ⃗ 共线， ∴(−3−2t)×(−1)=3(2−t)， ∴t =35．24.【答案】解：(1)λa ⃗ +μb ⃗ =λ(e 1⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗ )+μ(e 1⃗⃗⃗ +3e 2⃗⃗⃗ )=(λ+μ)e 1⃗⃗⃗ +(3μ−2λ)e 2⃗⃗⃗ ，∵4e 1⃗⃗⃗ −3e 2⃗⃗⃗ =λa⃗ +μb ⃗ ， ∴{λ+μ=4,3μ−2λ=−3,∴λ=3，μ=1．(2)a ⃗ ⋅b ⃗ =(e 1⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗ )⋅(e 1⃗⃗⃗ +3e 2⃗⃗⃗ )=e 1⃗⃗⃗ 2+e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ −6e 2⃗⃗⃗ 2=−5，l a ⃗ l =√(e 1⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗ )2=√e 1⃗⃗⃗ 2−4e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +4e 2⃗⃗⃗ 2=√5， |b ⃗ |=√(e 1⃗⃗⃗ +3e 2⃗⃗⃗ )2=√e 1⃗⃗⃗ 2+6e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +9e 2⃗⃗⃗ 2=√10， ∴cosθ=a ⃗ ⋅b⃗ |a|⃗⃗⃗⃗ |b ⃗ |=5×10=−√22， 又∵θ∈[0,π]， ∴θ=3π4．25.【答案】解：(1)∵AN =14AB ，∴AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =14a ⃗ ，∴DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14a ⃗ −b ⃗ ；∵BM =23BC ，∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23b ⃗ ，∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +23b ⃗ ； (2)D ，O ，N 三点共线，则DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，存在实数λ，使DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λDN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14λa ⃗ −λb ⃗ ， ∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ +14λa ⃗ −λb ⃗=14λa ⃗ +(1−λ)b ⃗ ， 同理，A ，O ，M 三点共线，存在μ，AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =μAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μa ⃗ +23μb ⃗ ， ∴{14λ=μ1−λ=23μ, 解得λ=67，μ=314，∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =314AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1114AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AO ：OM =3：11．26.【答案】(1)证明：∵OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =34OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴34OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −34OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −14OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， ∴3AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +1BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗得：BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3AC⃗⃗⃗⃗⃗ ． 又BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点C ，所以A 、B 、C 三点共线． (2)解：△ABC 为直角三角形． 证明：∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−3)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(8,1)， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(8,1)−(2,−3)=(6,4)． ∴OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×6−3×4=0， 则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即△ABC 为直角三角形．。
(完整版)高一数学必修4《平面向量》测试卷(含答案),推荐文档
A
B
《平面向量》答案解析
19.解：(1)由题意知则AB (3,5), AC (1,1),
一.选择题.(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)
AB AC (2, 6), AB AC (4, 4)
BDBAD BAADC AB
AB AC 2 10, AB AC 4 2
A. a b c d 0
B. a b c d 0
a b mq np .下列说法错误的是（ ）
C. a b c d 0
D. a b c d 0
A.若 a与b 共线，则 a b 0
B. a b b a
7.若 a (我2,3)去,b 人(4也,7) ，就则有b在a人方向！上为的投U影R为扼（腕入）站内信不存在向你偶同C.意R调, 都剖有 (沙a)龙b 课 (反a 倒b) 是龙卷风D.前(a 一b)2天 (a我b)2分 a页2 b符2 ZNBX吃噶十
16.已知正方形 ABCD 的边长为1，点 E 是 AB 边上的动点，则 DE CB 的值为
（3）若点 M 为直线 OD 上的一个动点，当 MA MB 取最小值时，求 OM 的坐标.
， DE DC 的最大值为
.
三.解答题.（本大题共 6 小题，其中 17 题 10 分，其余 5 个小题每题 12 分，共 70
AB AD
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(2)设C则(由x, 得y), AD BC (3,3) (x 3, y 2)
x 0, y 5
C (0, 5)
(3)设M则(a,b), OM (a,b),OD (1, 4)
O, M , D三点共线
a b 1 4
b 4a
MA MB (2 a,1 b) (3 a, 2 b)
高一数学(必修二)平面向量的概念及其应用练习题及答案
高一数学（必修二）平面向量的概念及其应用练习题及答案一、单选题1．下列说法错误的是（ ） A ．向量CD 与向量DC 长度相等 B ．单位向量都相等C ．0的长度为0，且方向是任意的D ．任一非零向量都可以平行移动2．设e 是单位向量，3AB e =，3CD e =-，3AD =，则四边形ABCD 是（ ） A ．梯形B ．菱形C ．矩形D ．正方形3．已知向量,a b 满足2π1,2,,3a b a b ===，则()a ab ⋅+=（ ） A ．2-B ．1-C ．0D ．24．已知向量a ，b 满足1a b ==，23a b +=，则向量a ，b 的夹角为（ ）A ．30B ．60C ．120D ．1505．如图，D 是AB 上靠近B 的四等分点，E 是AC 上靠近A 的四等分点，F 是DE 的中点，设AB a =，AC b =，则AF =（ ）A ．344a b - B ．344a b + C ．388a b + D ．388a b - 6．已知向量a ＝（－1，2），b ＝（3，m ），m ∈R ，则“m ＝－6”是“a ∥()a b +”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件7．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知45A =︒，2a =，2b =B 的大小为（ ） A ．30︒ B ．60︒ C ．30︒或150︒D ．60︒或120︒8．已知平面四边形ABCD 满足13AD BC =，平面内点E 满足52BE CE =，CD 与AE 交于点M ，若BM x AB y AD =+，则yx等于（ ） A ．52B ．52-C ．43D ．43-二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．a 与b 是非零向量，则a 与b 同向是a b =的必要不充分条件B ．,,A BC 是互不重合的三点，若AB 与BC 共线，则,,A B C 三点在同一条直线上 C ．a 与b 是非零向量，若a 与b 同向，则a 与b -反向D ．设,λμ为实数，若a b λμ=，则a 与b 共线10．在ABC 中，已知π32A C ==，3CD DB =，则（ ） A ．+AB AC BC = B ．2AC AD = C ．13+44AD AB AC =D ．AD BC ⊥11．已知向量()()()1,3,2,,a b y a b a ==+⊥，则（ ） A ．()2,3b =- B ．向量,a b 的夹角为3π4C ．172a b +=D ．a 在b 方向上的投影向量是1,212．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，下列说法中正确的是（ ） A ．“ABC 为锐角三角形”是“sin cos A B >”的充分不必要条件 B ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 为等腰三角形 C ．命题“若A B >，则sin sin A B >”是真命题D ．若8a =，10c =，π3B =，则符合条件的ABC 有两个三、填空题13．P 在线段12PP 的反向延长线上（不包括端点），且12PP PP λ=，则实数λ的取值范围是___________.14．已知四边形ABCD 是边长为2的正方形，若3BC DE =，且F 为BC 的中点，则EA EF ⋅=______． 15．已知||1a =，()1,3b =，()b a a +⊥，则向量a 与向量b 的夹角为______．16．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b sin A =2c sin B ，cos B =14，b =3，则△ABC 的面积为________．四、解答题17．设1e ，2e 是两个不共线的向量，如果1232AB e e =-，124BC e e =+，1289CD e e =-. (1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定λ的值，使122e e λ+和12e e λ+共线； (3)若12e e λ+与12e e λ+不共线，试求λ的取值范围.18．化简：(1)()()532423a b b a -+-； (2)()()()111232342a b a b a b -----；(3)()()x y a x y a +--．19．已知4a =，2b =，且a 与b 夹角为120°，求： (1)2a b -；(2)a 与a b +的夹角；(3)若向量2a b λ-与3a b λ-平行，求实数λ的值．20．如图，在菱形ABCD 中，1,22CF CD CE EB ==.(1)若EF xAB y AD =+，求23x y +的值； (2)若6,60AB BAD ∠==，求AC EF ⋅.21．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3b =a c <，且ππ1sin cos 364A A ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(1)求A 的大小；(2)若sin sin 43sin a A c C B +=，求ABC 的面积．22．已知：a 、b 是同一平面内的两个向量，其中()1,2a =． (1)若5||2b =且a b +与b 垂直，求a 与b 的夹角θ ； (2)若()1,1b =且a 与a b λ+的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．参考答案1．B 2．B 3．C 4．C 5．C 6．A 7．A 8．B 9．ABC 10．ABD 11．BD 12．AC 13．()1,0- 14．409 15．2π31691517．（1）证明：因为()121212124891284324BD BC CD e e e e e e e e AB=+=++-=-=-=，所以AB 与BD 共线.因为AB 与BD 有公共点B ， 所以A ，B ，D 三点共线.（2）因为122e e λ+与12e e λ+共线， 所以存在实数μ，使()12122e e e e λλμ=++. 因为1e ，2e 不共线，所以2,1,λμλμ=⎧⎨=⎩所以22λ=±. （3）假设12e e λ+与12e e λ+共线，则存在实数m ，使()1212e e m e e λλ+=+.因为1e ，2e 不共线，所以1,,m m λλ=⎧⎨=⎩所以1λ=±.因为12e e λ+与12e e λ+不共线， 所以1λ≠±.18．（1）()()()()532423*********a b b a a a b b a b -+-=-+-+=-. （2）()()()111131211232342342322a b a b a b a a a b b b ⎛⎫⎛⎫-----=--+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 111123a b =-+.（3）()()()()2x y a x y a xa xa ya ya ya +--=-++=. 19．（1）解：因为()2224246844164a b a a b b -⋅+=-=++=，所以2221a b -=（2）因为()2222168412a b a a b b +=+⋅+=-+=，所以23a b +=，又()216412a b a a a b ⋅=+=-+⋅=， 所以()123cos ,43a ab a a b a a b⋅+<+>===⨯+ 所以a 与a b +的夹角为6π．（3）因为向量2a b λ-与3a b λ-平行， 所以()233a b k a b k a kb λλλ-=-=-， 因为向量a 与b 不共线，所以23k kλλ=⎧⎨=⎩，解得6λ=±20．（1）因为1122CF CD AB ==-，2CE EB =所以2233EC BC AD ==，所以21213232EF EC CF BC CD AD AB =+=+=-， 所以12,23x y =-=， 故231x y +=.（2）AC AB AD =+，()221211223263AC EF AB AD AB AD AB AB AD AD ⎛⎫∴⋅=+⋅-+=-+⋅+ ⎪⎝⎭，ABCD 为菱形，||||6,60AD AB BAD ∠∴===，所以66cos6018AB AD ⋅=⨯⨯=，2211261869263AC EF ∴⋅=-⨯+⨯+⨯=.21．（1）πππππ2sin cos cos cos 3636A A A A ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2πcos 21π13cos 624A A ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭=+== ⎪⎝⎭，∴π31cos 22A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，因为0πA <<，得ππ7π2333A <+<，所以π2π233A +=或4323ππA +=，解得π6A =或π2A =，因为a c <，得π2A <，∴π6A =． （2）由（1）知，6A π=，sin sin 43sin a A c C B +=，由正弦定理，得22312a c b +==，由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-⋅，即22312323c c c -=+-， 整理，得22390c c --=，由0c >得3c =， 所以11133sin 33222ABC S bc A ==⨯=△ 22．（1）解：由()a b b +⊥得()0a b b +⋅=，即2+0a b b ⋅= ，所以254a b b ⋅=-=-，得514cos 2552a b a bθ-⋅===-⋅⨯，又[]0,πθ∈，所以2π3θ=； （2）解：因为()1,2a =，()1,1b =，所以()()()1,21,11,2a b λλλλ+=+=++ 所以()0a a b λ⋅+>，则512403λλλ+++>⇒>-， 由//a a b λ+得0λ=，由与a 与a b λ+的夹角为锐角，所以5,0(0,)3λ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭。
高一数学(上)必修四《平面向量》测试题(可编辑修改word版)
65 7 10 13 232 高一数学（上）必修四《平面向量》测试题一、选择题（10 小题，每小题 5 分）1. 以下说法错误的是（ ）A. 零向量与任一非零向量平行B.零向量与单位向量的模不相等C.平行向量方向相同D.平行向量一定是共线向量2. 下列四式不能化简为 AD 的是（ ）A. A 与 C 与 B 与B. A 与 MB 与 B 与 CM 与C. M 与 A 与 BM 与 1D. O 与 O 与 CD 与3. 设四边形 ABCD 中，有 DC = 2 AB ，且| AD |=| BC |，则这个四边形是（ ）A. 平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形4．已知 a =（3，4）， b =（5，12）， a 与b 则夹角的余弦为（ ）A. 63 65B. C ． 13D ．5 5. 已知 a 、b 均为单位向量,它们的夹角为 60°,那么|a + 3b | =（ ）A. B ． C ． D ．46. 已知向量 a = (cos ,sin ) ,向量 b = ( 3, -1) ，则|2a －b |的最大值、最小值分别是（ ）A. 4 2,0 B ． 4, 4 C ．16，0 D ．4，07．已知OM ＝（－2，－3），ON ＝（1,1），点P （x, 1）在线段 NM 的中垂线上，2则 x 等于（ ）537A. 与 与 2B. 与 与 2C. 与 与 2 D ．－3；8. 在平面直角坐标系中，已知两点 A （cos80o ,sin80o ）,B(cos20o ,sin20o ),则｜AB ｜的值是（ ） 1A. 与 2B. 与 2C. 与 2D. 1；3 39. |a |=3,|b |=4,向量 a + b 与 a － b 的位置关系为（ ）4 4A. 平行 B ．垂直 C ．夹角为 D ．不平行也不垂直310. 在边长为 的正三角形 ABC 中，设 AB =c , BC =a , CA =b ,则 a ·b +b ·c +c ·a 等于（ ）A ．0B ．1C ．3D ．－3二、填空题（4 小题，每小题 5 分）11．若 AB = (3,4), Ａ点的坐标为（－２，－１），则Ｂ点的坐标为 ． 13212．已知a = (3, -4), b = (2, 3) ，则2 | a | -3a ⋅ b = ．13. 与向量a =（12，5）平行的单位向量为．14. 已知向量OP = (2,1), O A = (1,7), O B = (5,1),设X 是直线OP 上的一点（O 为坐标原点），那么 XA ⋅ XB 的最小值是．三、解答题（3 小题，共 30 分）15．向量 a = (1,2), b = (x ,1), （1）当 a + 2b 与2a - b 平行时，求 x ；（2）当 a + 2b 与2a - b 垂直时，求 x .16．已知 与a 4,| b | 3,(2a 与 3b) (2a b) 61 ,(1) 求 a b 的值； （2）求a 与 b 的夹角； （3）求 a 与 的值．17．（本题满分 12 分）设 a 、b 是两个不共线的非零向量（ t ∈ R ）1（1） 记OA = a , OB = tb , OC = (a + b ), 那么当实数 t 为何值时，A 、B 、C 三点共线？3 （2） 若| a |=| b |= 1且a 与b 夹角为120 ，那么实数 x 为何值时| a - xb |的值最小？附加题：已知 A 、B 、C 的坐标分别是 A （3，0），B（0，3），C （cos ，sin ）. （1） 若 = 2 sin 2+ sin 2AC BC ，求角的值；（2）若 AC ⋅ BC = -1, 求 1 + t an 的值．高一数学（上）必修四《平面向量》测试题答题卡班级 姓名 学号一、选择题二、填空 题11．（1， 3）12. 28 13. (12 13 , 5 ) 或 13 (- 12 13 ,- 5 ) 1314. -8三、解答题1 7 15.（1） ， （2） 或 -22 2 题号 1 23456789 10答案 C C C A C D A D B D1 216.（1）-6（2）（3）317.（1）t= (2)x= -2 1时最小2附加题. （1）=k+5 , (k ∈Z ) （2）- 4 913。
高一数学-平面向量练习题
高一数学 平面向量练习题1、下列说法正确的是（ ）A 、数量可以比较大小，向量也可以比较大小.B 、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小.C 、向量的大小与方向有关.D 、向量的模可以比较大小.2、设O 是正方形ABCD 的中心，则向量,,,AO BO OC OD 是（ ）A 、相等的向量B 、平行的向量C 、有相同起点的向量D 、模相等的向量3、下列物理量：①质量 ②速度 ③位移 ④力 ⑤加速度 ⑥路程，其中是向量的有（ ）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个4、已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），则第四个顶点的坐标是（ ）A 、（1，5）或（5，5）B 、（1，5）或（－3，－5）C 、（5，－5）或（－3，－5）D 、（1，5）或（5，－5）或（－3，－5）5、已知a =(2,3) , b =(4-,7) ,则a 在b 上的投影值为（ ）A 、13B 、513 C 、565 D 、65 6、已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直时k 值为（ ）A 、17B 、18C 、19D 、207、设πθ20<≤，已知两个向量()θθsin ,cos 1=OP ，()θθcos 2,sin 22-+=OP ，则向量21P P 长度的最大值是（ ）A 、2B 、3C 、23D 、108．已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（ ） Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD = Ｃ．3AO OD = Ｄ．2AO OD =9．已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b （ ） Ａ．(21)--， B ．(21)-， Ｃ．(10)-， Ｄ．(12)-， 10．设向量||4,||3,60a b a,b ==<>=︒，则||a+b 等于（ ）A ．37B ．13CD 11．已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （ ）A ．1BC ．2D ．412．若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为（ ）A ．300 B.600 C.1200 D.150013．已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是． 14．若向量，a b 满足1==a b ，a 与b 的夹角为120，则()a a +b = ．15．已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),且a ±≠b ，那么a+b 与a-b 的夹角的大小是 .16．已知向量(cos ,sin ),[0,]a θθθπ=∈，向量1)b =-（1）当//a b ，求θ. （2）当a b ⊥时，求θ. （3）求|2|a b -的最大和最小值.17．已知(cos ,sin ),(cos ,sin ),(0)ααββαβπ<<<a=b=.（1）求证：a b +与a b -互相垂直.（2）若|a b k +|与|a b k -|大小相等，求βα-（其中,0k R k ∈≠）18. 已知A 、B 、C 三点的坐标分别为()30A ，、()03B ，、()cos sin C αα，，且π3π22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，. （1）若AC BC =，求角α的值；（2）若1AC BC ⋅=-，求22sin sin 21tan ααα++的值.参考答案：1.D2.D3.C.4.D5.C6.C7.C8. A9.D 10.C 11.C 12.C 13. －314. 2115. 2π 16. （1）θ=32π； （2）θ=3π； （3）最大值为4，最小值为2(3－1)。
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高一数学 平面向量练习题
1、下列说法正确的是（ ）
A、数量可以比较大小，向量也可以比较大小.
B、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小.
C、向量的大小与方向有关.
D、向量的模可以比较大小.
2、设O是正方形ABCD的中心，则向量是（ ）
A、相等的向量
B、平行的向量
C、有相同起点的向量
D、模相等的向量
3、下列物理量：①质量 ②速度 ③位移 ④力 ⑤加速度 ⑥路程，其中是向量的有（ ）
A、2个
B、3个
C、4个
D、5个
4、已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），则第四个顶点的坐标是（ ）
A、（1，5）或（5，5）
B、（1，5）或（－3，－5）
C、（5，－5）或（－3，－5）
D、（1，5）或（5，－5）或（－3，－5）
5、已知=(2,3) , =(,7) ,则在上的投影值为（ ）
A、 B、 C、 D、
6、已知垂直时k值为（ ）
A、17
B、18
C、19
D、20
7、设，已知两个向量，，则向量长度的最大值是（ ）
A、 B、 C、 D、10
8．已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
9．已知平面向量，则向量（ ）
Ａ． B． Ｃ． Ｄ．
10．设向量，则等于（ ）
A．37 B．13 C． D．11．已知向量，若与垂直，则（ ）
A． B． C． D．4 12．若，且，则向量与的夹角为（ ）
A．300 B.600 C.1200
D.1500
13．已知向量．若向量，则实数的值是 ．
14．若向量满足，与的夹角为，则 ．
15．已知向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),且ab，那么a+b与a-b的夹角的大小是 .
16．已知向量，向量
（1）当，求. （2）当时，求. （3）求的最大和最小值.
17．已知.
（1）求证：与互相垂直.
（2）若||与||大小相等，求（其中）
18. 已知、、三点的坐标分别为、、，且.
（1）若，求角的值；
（2）若，求的值.
参考答案：
1.D
2.D
3.C.
4.D
5.C
6.C
7.C
8. A
9.D 10.C 11.C 12.C
13. －3
14.
15.
16. （1）θ=； （2）θ=； （3）最大值为4，最小值为2(－1)。