关于《一阶非线性时滞微分方程的线性化振动性》一文的注
§4-2 一维非线性振动及其微分方程的近似解法讲解
3 A2 80
2
2
3 A4 256 0
4
)
(2) 以倍数越高的谐频振动的分振动, 其振幅越小.
§4-2
一维非线性振动及其微分方程的近似解法
(3)不存在固有频率, 基频不仅与系统结构有关, 还 与振幅及解的精度有关.
上述的讨论结果完全适用于大幅角单摆运动：
g g 3 l 6l
2
A3 x1 (cost cos3t ) 2 32
一级解的完整形式 基频
谐频
A 2 A3 x x0 x1 (1 ) A cost cos3t 2 2 32 32
0 (1
3 A2 4 0
12 ) 0 (1 2
3 A2 80
初始条件
(3)
线性方程
x(0) A
(0) 0 x
2
由x x0 x1 x2可得
x0 (0) A
x1 (0) 0 x2 (0) 0
0 (0) 0 x
1 (0) 0 x 2 (0) 0 x
§4-2
一维非线性振动及其微分方程的近似解法
2 x0 x0 0
3 2 2 2 a2 x0 x0 3x0 x1
§4-2
一维非线性振动及其微分方程的近似解法
2 x x0 0 (1) 0
齐次方程
x 1 x1 x0 a1 x0
2 3
2 2
(2)
非齐次方程
x 2 x2 3x0 x1 a1 x1 a2 x0
§4-2
一维非线性振动及其微分方程的近似解法
2.用小参数展开方法求解非线性自由振动问题
具有变号系数的一阶非线性泛函微分方程的解的振动性
=
O
( 1 )
解 的振动性 充 分条件 的课 题
%
`
,
本 文研 究较 一般 的变 号 系数 方嘿
:
(t )
+
p ( t ) F (劣 (g
,
(t ))
,
劣
(9
2
(t ))
,
…
,
劣
(g
,
(t) ))
二
0
,
( 2 ) 从而 也得 到
分 别 就 滞 后 型 与超 前 型 的 情 况 下 了方 程 ( 」) 相 应 的结论 如同一般 文 献一 样
(t
。 。
) 〕C [ g ( g ( 矛 * ) )
G (t
。 。
从而 对 (
2 ) 两 边从 G ( t
)到
具有变号系数 的 一阶非 线 性 泛 函 微 分方程 的 解 的振动性 积分
,
2,
然 后 由 ( 3 ) 与 ( 6 ) 可推出
“
(t
。 。
)
一 x
(G (t , `￡ ) F
。 。
)) ( ) )
1 9 8 9
年
韩 山 师 专学报 ( 自然 科 学 版 )
27
具 有 变 号 系数 的 一 价 昨 线 性
泛 函 微 分 方 程 的 解 的
振
动 性
王 根 强
; 1
近 年来
,
引
言
,
一 阶 泛 函微 分 方 程 解 的 振 动 性 理 论 发展 得 很 快
,
但 目前 大 多 数 研 究 都 局 限
于 系数 是定 号 的情形 了研究
{g ( t ) }
几类时滞微分方程解的振动性和正解存在性的开题报告
几类时滞微分方程解的振动性和正解存在性的开题报告时滞微分方程（Delay Differential Equations，DDE）是一种具有时滞项的微分方程，其解的振动性和正解存在性是研究时滞微分方程的重要问题之一。
本文将介绍几类时滞微分方程解的振动性和正解存在性的研究情况。
1. 时滞线性微分方程时滞线性微分方程是一种常见的时滞微分方程形式。
对于具有时滞项的线性微分方程，可以通过矩阵指数函数的方法得到其正解存在性，并进一步确定其解的振动性。
研究表明，当时滞项小于一定值时，时滞线性微分方程的解为渐近稳定的；当时滞项在一定范围内时，时滞线性微分方程的解会出现振荡；当时滞项超过一定值时，时滞线性微分方程的解将变得不稳定。
2. Michaelis-Menten型时滞微分方程Michaelis-Menten型时滞微分方程是一种具有广泛应用的时滞微分方程形式。
研究表明，在一定参数范围内，Michaelis-Menten型时滞微分方程的解存在且唯一，并且解的振动性是有限的。
此外，当时滞项的大小超过一定值时，该方程解将趋于无穷大。
3. Hopfield型神经网络模型Hopfield型神经网络模型是模拟神经网络的常用模型之一，也是一种具有时滞项的微分方程。
研究表明，在一定条件下，Hopfield型神经网络模型的解存在唯一，并且解的振动性也是有限的。
此外，当时滞项的大小超过一定值时，该方程解将趋于发散。
4. Logistic型时滞微分方程Logistic型时滞微分方程是一种描述种群生长和传染病传播的时滞微分方程形式。
研究表明，在一定参数范围内，Logistic型时滞微分方程的解存在唯一，并且解的振动性也是有限的。
此外，当时滞项的大小超过一定值时，该方程解将趋于无穷大或消失。
综上所述，时滞微分方程的解的振动性和正解存在性受时滞项大小和模型参数等因素影响。
研究时滞微分方程解的振动性和正解存在性对于深入理解时滞微分方程模型的特性，有助于应用时滞微分方程模型解决实际问题。
一阶非线性中立型微分方程的振动性定理
一阶非线性中立型微分方程的振动性定理摘要论证一类具有变系数和变偏差的一阶非线性中立型微分方程的振动性的一个基本定理,并将所得结果成功地应用于进一步讨论该方程的振动性和线性化振动性。
关键词非线性中立型微分方程;振动;变系数;变偏差1引言泛函微分方程的振动理论作为泛函微分方程定性理论的一部分,在最近30多年中有了迅速的发展。
这一领域已有多本专著[1]和许多研究论文,例如本文比较关注的[2-3],等等。
本文考虑一阶非线性中立型微分方程:(1.1)其中在本文中,将给出这类具有变系数和变偏差的一阶非线性中立型微分方程的振动性的一个基本定理,并将所得结果成功地应用于进一步讨论该方程的振动性和线性化振动性。
2基本定理定理1.在(1.1)中,假设最终不恒等于0,设(1)最终成立;或(2)τi(t)=τi>0,每个Pi(t)有界,存在一个τ>0,自然数ki(i=1,2,…,n)和t*≥t0,使得τi=kiτ,若x(t)是(1.1)的最终正解,且,(2.1)则有。
证明由(1.1)和(2.1)易得y’(t)≤0且最终不恒等于0。
下面证明y(t)>0。
假设y(t)最终为负,那么,存在一个充分大的T,对t≥T,有y(t)T使得t1-τi(t1)≥T,且当s∈[T,t1]时,有x(s)≤x(t1)-β。
特别地,β+max{x(t1-τi(t1)):i=1,2…,n}≤x(t1) (2.3)显然,(2.3)和(2.2)是矛盾的。
由(2)根据[4,引理1]的证明,我们可得x(t*+kτ)→—∞(k→+∞),这与x(t)最终为正相矛盾。
证毕。
3应用定理 2.在(1.1)中, 设(1)成立,且(3)存在的非空子集J和Nj>0,使得xfj(x)≥Njx2,x∈R,j∈J。
若微分不等式没有最终正解,则(1.1)所有的解都是振动的。
证明设(1.1)有一个最终正解x(t),由(2.1)和定理1,有,且,即。
在定理2的条件下,上述不等式没有最终正解,与y(t)>0相矛盾。
一阶非线性中立时滞微分方程非振荡解的研究
代序列｛狓犿 ｝犿≥０收敛到 ＮＤＥ（１）的一个非振荡解狓∈犃（犖，犕）．
｛ 烄（１－λ狀）狓狀（狋）＋λ狀
犕 ＋犖 ２
∞ 狋＋２犼τ
∑∫ ＋
犳（狊，狓狀（狊－σ），狓狀（狊－δ））犱狊
犼＝１ 狋＋（２犼－１）τ
∞ 狋＋２犼τ
－
犵（狊）犱狊 ， 狋≥ 犜，狀 ≥０，
∑∫ ｝ 狓狀＋１（狋）＝ 烅 犼＝１ 狋＋（２犼－１）τ
Ｂａｎｎａｃｈ压缩映射原理，建立了 ＮＤＥ（１）的非振荡解的 存在 性，构造出 逼 近 ＮＤＥ（１）的 非 振 荡 解 的 Ｍａｎｎ迭
代序列 ，同 ［８１０］ 时给出了逼近解和非振荡解之间的误差估计．
定义 假设γ＝ｍａｘ｛τ，σ，δ｝，称狓∈犮（［狋１－γ，∞），犚），狋１≥狋０，为 ＮＤＥ（１）的 解，如 果 满 足 狓（狋）＋犮狓（狋－ γ）在［狋１，∞）上是狀 次连续可微的，并且对狋≥狋１ 方 程（１）成 立；称 方 程（１）的 解 是 振 荡 的，如 果 它 有 任 意 大 的 零 点 ；否 则 称 为 非 振 荡 的 ．
存在系数 犕＞犖＞０和函数 犘，犙∈犆（［狋０，∞），犚＋ ），满足 ｜犳（狋，狌１，狌２）－犳（狋，狌珔１，狌珔２｜≤狆（狋）ｍａｘ｛｜狌１ －狌珔１｜，｜狌２ －狌珔２｜｝，狋∈ ［狋０，∞ ），狌１，狌珔１，狌２，狌珔２ ∈ ［犖 ，犕 ］，｜犳（狋， 狌１，狌２）｜≤犙（狋），狋∈［狋０，∞），狌１，狌２∈［犖，犕］． ２００１年，Ｋｕｌｅｎｏｖｉｃ和 Ｈａｄｚｉｏｍｅｒｓｐａｈｉｃ［１］研究了具有正负数的线性中立时滞微分方程：
∞
∫ｍａｘ｛犘（狊），犙（狊），犵（狊）｝犱狊 ＜ ∞ 狋０
假 设 ｛λ狀｝狀≥０是 ［０，１］上 的 任 意 序 列 满 足
有界时滞非线性随机微分方程解的振动性和非振性
２ 主 要结 果
｛， ０
一
（ ８ ）
５ ＜ ｔ＜ ０ ．
其 中 五由式 （） ７ 定义． 如下 引理 １ 所证 ， 若 为 明确定 义的随机过程 ， 随机过程 （ ） 一 则 （ ）＞ 在其 最大存 在 区间是 唯一定 义的 ．令 几 乎必 然存在 于可 测集 Ｑ１ ，则 有 ｆ 上 ｔ ｌ∈Ｑ ， ０ 且
～
＞一
另外 ，假 设函数 ｈ在实数域 上是局 部 Ｌｐｃ ｉ ｉｓｈｔ ｚ连续 的．令 ｈ０ ＝０ 同时假设 存在常数 义 （） ， 如 ｈ ｈ 其 中 ０＜一 ｈ＜。 ， ，， ｈ 。 使得对 任意 ≠０ ，
～
．
下
Ｉ ｌ
，● ● Ｊ （ １ 【
（） ６
＾ ｌ
数学物理学报
２１，０ ６： ５ ４４ ００ Ａ（） ４ ￣１６ ３ １
ｈｔ ： ａ ｔｍｓｗ ｐ ａ ． ｔｐ ／ ｃａ ．ｉｍ．ｃ ｎ ｃ
有界 时 滞 非线 性 随 机 微分 方 程 解 的振 动 性和 非 振 性
汪红初 。胡 适耕 。朱全 新
（ 华 南 师 范大 学数 学 科 学 学 院 广 州 ５ ０ ３ ； 华 中科 技 大 学数 学 系 武 汉 ４ ０ ７ １６ １ ３０ ４ 。 宁波 大 学理 学 院 浙 江 宁 波 ３ ５ １ ） １ ２ １
则 其解 的振 动性质 更加复 杂 ， 已有 的研 究结果 参见 文 献 ［ １１ ８ １ ． 文 献 ［ ９ 讨 论 了如下 随机 时滞 微分 方程 解 的振动性 ８ ］ －
ｄ （ 一 （ｘｔ ＋ ｂ （ 一丁 ）ｄ ＋ｃ （）ｗ（ ， ｘｔ ） ａ（ ） ｘｔ （ ） ｒ ｔ ｔ ） ｘ ｄ ） （） １
一类非线性多变时滞微分方程的振动性
Ｉ ＝
１
（（ 寺） （ 、 二 ７ 、 ） 下ｔ ， ＋ ） （号 ｔ ） ＋
一
定义 ３ 当 ｎ ∞ 时 ， 存 在 Ｒ 一 如果 中一个趋 于 无穷 的序列 ｛ 】 使得 ： （）＝ｐ ｔ ）， （） ｆ． Ｎ ｐ ｔ （ ＋ ｐ ｔ
逐点收 敛于 ｐ ｆ ， ： （）的 即
方 程
Ｘｔ ｔ ， （ ）＝ ｔ （ ｔ一 ． ） ｒ 。 ） ，
（ ＝∑Ａ（， Ｔ（ ） ｔ ） ｔ （ｋ ））
＝ｌ
（） １
的振 动性 。式 （ ） １ 中 ∈Ｃ （ ×（ ．）Ｒ） 满 一 ， 且
足 （ ， ） ｆ ＝０。 ， ≤ ∞ 。 ｒ （） ０ ｔＥＲ ０＜ （ ｆ）在 Ｒ
上是 一 致 收敛 的 ，＇ ￡ 为 单 调 非 减 的 连 续 函 数 ， ｑ（） ｋ
下 （） ｔ， ｌ ｔ ＝∞ ， ｔ≤ 且 ｉ （ ） ｍｒ 尼＝Ｉ２， ， 且在 Ｒ ， … ｍ，
其 中 ｒ∈Ｒ ＝ ［ ∞ ）， ０， ｆ∈Ｃ （ ×（ ，） 兄） ０ Ｒ 一 ， （ ＜ ≤ ∞）。对所有 ｔ∈Ｒ 都有 ｔ０ ＝０。借助 ．）
第 １ ０卷 第 ｌ ６期 ２ １ ６月 ００年 １７ ．８ ５ ２ １ ） ６３ １ ．４ ６ １ １１ （ ００ １．８ ３０
科
学
技
术
与
工
程
Ｖｏ ０ Ｎｏ １ Ｊ ｎ ０ ０ Ｌ１ ．６ ｕ ｅ２ １
Ｓ ｉ ｅ ｅ ｈ ｏｏ ｙ ａ ｄ Ｅｎ ｉ ｅ ｒ ｇ ｃｅ ｎ ｅ Ｔ ｃ ｎ ｌ ｇ ｎ ｇｎ ｅｉ ｎ
于该方 程 的线性 近似方 程
上是 一致 收敛 的 ， 利用 式 （ ） １ 的线性 近似方 程
一阶非线性时滞差分方程的振动性
设ｎ ”ｐ （ １ ”由 理 ，要 明 列 程 ｑ 一 ｅ［ ａ ） ］ 引 ２ 证 下 方 ｘ丢 一 ， 只
的每 一个解振 动即可． 设不 真 ， 设 Ｘ 反 并 是 （ ３ １ ）的 一 个 最 终 正 解 ， 么 存 在 一 个 正 整 数 Ｎ。 那 ＞
式 Ａｘ ＋ Ｐ ｆ（ ，女 Ｘ卜 ２， ， 女 ｘ卜 １， ，女 … Ｘ ）≤ ０， 一 ０， ， ， ｌ ２ … （） ４
有 一个最终 正解．
引理 ｌ的 证 明 类 似 于 ［ ， 理 １ ， 里 略 ． ３定 ］这
比对 方 程 （ ） 考 虑 下 列 方 程 ２，
考 虑 如 下 形 式 的 一 阶 时滞 差 分 方 程 ：
＋ＰⅡ Ｉ Ｘ
ｆ １ ＝
ｓ ｎ， ＝０ ｉｘ ｔ ｇ 卜 ，
ｉ １ ＝
（ １ ）
其中｛ 是一列非负数，＜ｋ ≤ ｋ≤ …≤ｋ ， ＞ ０ｉ ，， 优 当∑ 口一１ 方程 Ｐ） ０ 。 ａ ，一１２…， ． 时， （） １ 的振动性研究已有了比较好的结果， 参见［，］当∑ 口 ＜ １ 类似于［］ ３５； 时， １ 容易证明方程
Ｐ ≤ ｑ ． （） ６
若 （ ）的 每 一个 解 振 动 ， （ ）的 每 一 个 解 也 振 动 ． ２ 则 ５
定理 ｌ 设∑ ａ＞ ｌ则下列结论成立：） ， （ 若存在 ｉ ＞ ０使得 ， ∑ 一 ＜ １ ，
且 ｌ ｉｆ ｐ ｅ ｐ 一 ｅ ］ ０ ｉ ｎ Ｅ ｘ （ ） ＞ ， ｍ
ｆ １ ＝
（） １ 所有解振动的充分必要条件是∑ Ｐ 一。； 。而当∑ ａ＞１ 文［］ 近期讨论了优一１ 时， １ 于
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Κ+ e- 1e- Κ = 0.
(8)
此方程有一实根 Κ0= - 1而对于任意的0< Ε< 1方程
Κ+ (1 + Ε) e- 1e- Κ = 0
(9)
都没实根.
事实上 Κ0= - 1是 F (Κ) = Κ+ e- 1e- Κ的最小值点. 因此对所有 Κ∈R 有, F (Κ) ≥F (Κ0) = 0, 从 而
C la rendon P ress, 1991.
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或者
f j (u ) ≥ u , 对 - ∆ ≤ u ≤ 0, j = 1, 2, …, n,
(11)
则方程 (1) 不振动.
由此看来 L ada s 等人的结果中使用的条件 (11) 是不能随便去掉的.
感谢导师燕居让教授的指导.
参 考 文 献
[ 1 ] 李永昆, 科学通报, 39: 13 (1994) , 1159- 1163. [ 2 ] 张炳根, 常微分方程理论及其应用 (王联等编) , 科学出版社, 1992, 42- 45. [ 3 ] I. Gyo ri, G. L ada s, O scilla tion theory of d elay d if f eren tia l equa tions w ith app lica tion, O xfo rd,
的一切解振动, 而方程 (6) 在给定初始函数为
Ξ 1995年4月17日收到.
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Υ(Η) = Η+
3 2
Π,
Η∈
[
-
3 2
Π,
0
]
时, 过 (0, Υ) 的解只能存在于[ - Π2 , Π2 ) 上. 事实上, t∈[ 0, Π2 ) 时,
摘 要 本文指出了文[ 1 ]存在的两个问题. 一是将条件 (4) 改为 (4) ′后定理不成立;
二是引理6不正确.
关键词 非线性, 时滞方程, 振动, 非振动. 分类号 AM S (1991) 34K CCL O 175
在文[ 1 ]中考虑了方程
n
∑ x ′(t) +
p jf j (x ( t - Σj ) ) = 0, t ≥ t0
( 1) 的所有解的存在区间为[ t0, + ∞) , 且 f j 在 (- Α, Α) 上满足 uf j (u ) > 0不能保证所有非振动
解在 t→∞时趋于零, 从而不能利用条件 (5) , 所以条件 (4) 不能改为条件 (4) ′.
而且文[ 1 ]中的引理6也是错误的, 现举反例说明.
例2 考虑方程
结为如下结论:
在 条件 (3) , (4) 和 (5) 下, 方程 (10) 没实根时, 即方程 (2) 振动时方程 (1) 振动; 方程 (10) 有
两相异实根时, 方程 (1) 不振动; 方程 (10) 仅有一个实根且是重根时, 若存在 ∆> 0使 f j (u ) ≤ u , 对 0 ≤ u ≤ ∆, j = 1, 2, …, n,
(4) ′
那么方程 (1) 和方程 (2) 的振动性等价.
以上结论是错误的, 现举反例说明.
例1 考虑[ 1 ]中的例子
x ′( t) + tgx ( t - Σ) = 0
(6)
和
x ′( t) + x ( t - Σ) = 0.
(7)
根据文[ 1 ]中的定理 Σ> 0时方程 (6) 和方程 (7) 的振动性是等价的, 但是 Σ= Π2 时, 方程 (7)
(1)
j= 1
和
n
∑ x ′(t) +
p jx ( t - Σj ) = 0, t ≥ t0
(2)
j= 1
的振动性等价问题, 其中:
p j ∈ (0, + ∞) , Σj ∈ [ 0, + ∞)
(3)
f j ∈ C (R , R ) , uf j (u ) > 0 (u ≠ 0)
(4)
lim
u →0
第18卷第1期 1998年2月
数学研究与评论
JOU RNAL O F M A TH EM A T ICAL R ESEA RCH AND EXPO S IT ION
V o l. 18 N o. 1 Feb. 1 9 9 8
关于《一阶非线性时滞微分方程的线性化振动性》一文的注Ξ
柴 树 根
(山西大学数学系, 太原030006)
f
j (u) u
பைடு நூலகம்
=
1, j =
1, 2, …, n.
(5)
文[ 1 ]对[ 2 ]中提出的一个问题给出了肯定的答复, 得出了如下的定理:
如果条件 (3) 和 (5) 成立, 且 f j ∈ (R , R ) , 存在 Α> 0使得当 u∈ (- Α, Α) 时
uf j (u) > 0 (u ≠ 0) ,
Κ+ (1+ Ε) e- 1e- Κ= Κ+ e- 1e- Κ+ Εe- 1e- Κ> 0,
故方程 (9) 没实根, 因此文[ 1 ]引理6是错误的. 但是在一定条件下引理6才成立, 即特征方程
n
∑ Κ+
p j e- ΚΣj = 0
(10)
j= 1
至少有两相异实根时, 引理6才成立, 且此时, 文[ 1 ]中的定理在不改条件 (4) 时仍然成立. 可归
∫ ∫ x (t) =
3 2
Π-
t
tgx (s -
0
Π2 ) d s =
3 2
Π-
t
tgsd s
0
在 t→ Π2 时, x ( t) →- ∞. 这说明过 (0, Υ) 的解不振动, 因此方程 (6) 与 (7) 的振动性不等价, 出现此情况是由于将条
件 (4) 改为 (4) ′所致, 而条件 (4) ′中的 f j ( j = 1, 2, …, n ) 是可以不连续的, 因此不能保证方程