13.5用莫尔积分计算简桁架的位移
平面桁架杆件内力的虚位移原理求解
平面桁架杆件内力的虚位移原理求解平面桁架杆件内力的虚位移原理求解平面桁架杆件内力的虚位移法就是通过对一个平面桁架杆件分别在不同的横截面处作轴力作用，从而求出在相互之间的杆件的虚位移及节点内部力，以此作为最终求解这个结构内力的手段。
该原理具有可操作性好、局部支座独立性强、保守性好等特点，是解决桁架杆件内力不确定性和复杂性的有效方法。
具体步骤如下：一、选取横截面在选取横截面时，首先确定受力过程，即在该结构中确定各结构件的受力情况或作用力方向。
根据力学原理，如果在任意结构单元面上作当量的力和力矩都是等价的，那么就可以合理的在该杆件的横截面上选取合理的横截面去分析这一结构横截面单元的内力。
二、确定虚力系数接下来，我们需要根据上一步确定的受力情况，确定每一横截面上的虚力系数。
虚力系数是根据横截面单元元素的面积、材料的刚度等诸多因素而确定的。
虚力系数的计算公式是：Q=m*b/d，其中m为横截面单元的面积，b和d为杆件的刚度，以及杆件的厚度。
三、计算横截面的虚力根据已经确定的虚力系数，就可以求出每一横截面单元上的虚力，即就可以由横截面上的受力确定每一单元上的虚力值。
四、求解节点上的抗力根据虚位移原理及上面确定的横截面单元虚力，就可以求出这个桁架杆件上每个节点处的抗力。
该原理指出：节点处的抗力可以由所有横截面单元虚力的总和相加得到，即按下式求解：F1=Q1-Q2+Q3-Q4，其中Q1指的是横截面1上的虚力，Q2指的是横截面2上的虚力，以此类推。
五、求解内力最后，根据以上分析，就可以求出该平面桁架杆件上每个节点处的抗力，从而求出这个结构的主/副矩，悬臂梁杆件的弯矩、压弯构件的压力矩、支座上反力等内力。
通过分析可以看出，平面桁架杆件内力的虚位移法是解决桁架结构内力问题的有效方法，具有可操作性好、局部支座独立性强、保守性好等特点，在实际工程中得到广泛应用。
桁架计算(TRUSS)
桁架内力计算程序(TRUSS)一、程序功能及编制方法桁架内力计算程序（TRUSS），能计算任意平面和空间桁架（包括网架）在结点荷载作用下各结点的位移和各杆的轴力。
程序采用变带宽一维数组存储总刚度矩阵，先处理法引进支座条件。
计算结果输出各结点的位移和各杆的轴力。
二、程序使用方法使用方法与“APF”程序相同。
用文件编辑编辑器建立数据文件后即可运行。
计算结果将写在结果文件中。
三、数据文件填写格式数据文件填写格式大致与APF程序相似。
1．总信息：T，NJ，NE，NR，NB，NP，EO，DS其中：T——桁架类型，平面桁架 T=2，空间桁架 T=3。
NR——支座约束数。
其他变量与APF程序相同。
2．结点坐标数组XYZ（NJ， 3）每个结点填一行，每行三个数分别填写结点的x，y，z三个坐标数值,平面桁架只填x,y 值（单位：m）。
3．单元信息数组G（NE）采用紧缩存储方式，每个单元填一个数。
把单元的左端、右端结点号和杆的类型号三个数紧缩为一个数。
例如某单元左端结点号为15，在端结点号为8，类型号为3，则写成0.15083，一般格式为0.×××××。
4．单元截面信息数组AI(NB）填写各类单元的杆截面面积(m2）。
5．约束信息数组R(NR)采用紧缩存储方式，每个约束（支座链杆）填一个数。
把约束作用的作用点写在该数的整数部分，约束的方向写在小数部分。
x方向的约束为“l”，y方向的约束为“2”。
例如某支座链杆作用在 17号结点上，方向沿整体坐标 y方向，则写为 17.2，一般格式为××.×。
6．结点荷载信息数组F（NP，2）每个结点荷载填一行，每行两个数。
前一个数用紧缩方式填写荷载作用的结点号和作用方向，格式与约束信息的格式相同。
后一个数为荷载的数值。
单位为kN，与整体坐标方向一致者为正值，相反者为负值。
例如，作用在16号结点上，数值为183.5 kN，方向向下的力，则写成：16.2，-183.5（这里，假定坐标轴y轴向上）。
平面简单桁架的内力计算
F31.2 3(1 kN ) F22.8(2ka N ) F18.72(kN)
10
课堂练习题1 求图4.1-6a/b所示桁架结构中带数字 编号的各杆件内力。
I
F
I
a
11
课堂练习题2，图4.1-7a所示桁架结构中 Fp 10KN 求JO杆、FK杆的内力
a
12
各图桁架中带有编号 的杆是否都是零力杆？
a
13
零杆作用：可以把处 于受压状态的细长杆 “割断”成“短粗杆 ”，避免其“突然变 形”
a
14
a
15
C
D
E FE
A
B
G FG H FH
F1
F4
F3
FAy F1
F3 F5 F2F2 NhomakorabeaG
E
D
C
B
A
FAy
FBy
FBx
a
16
3m
C 1D
E
2
FE
A
3
B
G FG H FH
A
C
E
1
2
6
3
7H 45
J
B DF GF I
F 4F 5
B F3 FAD
1C 2
3 F F2
F
a
17
A
C
E
1 2
34
5
H7
6
J
BD
G 9 F8
A
1
F
H
G
C
56
4 E8
7
2
B
D
I
BF
A
12
34
5
A F
C
BF
简支梁位移计算公式
简支梁位移计算公式
简支梁的位移计算公式可以通过梁的弯曲理论来推导。
在简支
梁的情况下，当集中力作用于梁上时，梁会发生弯曲变形，导致梁
的位移。
位移计算公式可以通过弯曲理论和梁的几何特征来推导。
首先，我们可以使用弹性力学理论中的梁弯曲方程来描述梁的
位移。
对于简支梁而言，可以使用Euler-Bernoulli梁理论来进行
分析。
根据这个理论，简支梁在受到集中力作用时的最大位移可以
通过以下公式来计算：
δ = (F L^3) / (3 E I)。
在这个公式中，δ代表梁的最大位移，F代表作用在梁上的力
的大小，L代表梁的长度，E代表梁的弹性模量，I代表梁的惯性矩。
这个公式适用于简支梁在受到集中力作用时的情况。
另外，如果梁上分布有均匀载荷，则可以使用不同的公式来计
算梁的位移。
对于简支梁在均匀载荷作用下的位移，可以使用以下
公式：
δ = (5 w L^4) / (384 E I)。
在这个公式中，δ代表梁的最大位移，w代表均匀分布载荷的大小，L代表梁的长度，E代表梁的弹性模量，I代表梁的惯性矩。
需要注意的是，以上提到的公式都是针对简支梁在弹性范围内的情况下推导得出的。
在实际工程中，还需要考虑许多其他因素，例如梁的材料特性、截面形状等，因此在使用这些公式进行位移计算时，需要结合具体情况进行综合考虑。
平面桁架杆件内力的虚位移原理求解
平面桁架杆件内力的虚位移原理求解
平面桁架是指由桁架杆件组成的平面结构，它是一种比较常见的结构类型，在建筑工程中有广泛应用。
平面桁架杆件内力的虚位移原理是指用来求解平面桁架杆件内力的方法。
虚位移原理是基于桁架结构的平衡原理，根据桁架结构的挠度方程可以求解桁架杆件的虚位移。
求解虚位移的步骤如下：
1.确定桁架杆件的位置关系和支座约束条件，并根据桁架
的几何形状建立坐标系。
2.确定桁架的荷载状态，根据桁架的荷载状态确定桁架的
内力状态。
3.建立桁架的节点虚位移表，并根据节点虚位移表解出桁
架杆件的虚位移。
4.根据桁架杆件的虚位移和杆件的截面尺寸计算杆件的内
力。
在求解平面桁架杆件内力的过程中，需要注意桁架的几何形状、
荷载状态、支座约束条件等因素，并根据这些因素建立相应的计算模型。
在求解过程中，还要注意桁架杆件的截面尺寸、杆件材料的弹性模量等因素，以保证计算结果的准确性。
虚位移原理是一种通用的求解平面桁架杆件内力的方法，在建筑工程中有广泛应用。
但是，在实际应用中，还要注意桁架杆件的几何形状、荷载状态、支座约束条件等因素的变化，并作出相应的调整。
工程力学B(二)第7讲桁架节点位移分析、拉压与剪切应变能_图文_图文
约束力数量多于静力平衡方程的，称为静 不定问题或超静定问题。
§3-5 简单的拉压静不定问题
保证结构连续性所应满足的变形几何条件， 称为变形协调条件或变形协调方程。变形协 调条件即为求解静不定问题的补充条件
满足平衡方程；满足变形协调条件；符合力 与变形间的物理关系（胡克定律）。 静力学、几何、物理
A 800
解：小变形放大图法
B 60°60° D
1）求钢索内力：以ABCD为对象
C P
400 400
XA A YA
TT
B
D
C P
2) 钢索的应力和伸长分别为：
A
B 60C°60° D
3）变形图如左图 ,
C点的垂直位移为：
B'
D'
§3-3 桁架节点位移分析与小变形概念
一、应变能
在外力作用下，弹性体发生变形，载荷在相应的位移上做功。 因此弹性体具有能量。弹性体因变形而储存的能量，称为应变 能，用Ve表示
未知数减去静力平衡方程数，等 于静不定数。
例1 两端固定杆，承受轴向载荷F作用，试 求杆端的支反力。设拉压刚度EA为常数。
1 静力学方面
§3-3 桁架节点位移分析与小变形概念
三、拉压与剪切应变能密度
单位体积内的应变能，称为应变能密度。
在切应力的作用下，微体发生 切应变，顶面与底面间的相对 位移为gdy，因此作用在微体 上的剪力所做的功或微体的应 变能为：
§3-3 桁架节点位移分析与小变形概念
例1（书本上的3-6）
1 轴力分析
2 应变能计算
2 A点铅垂位移计算
小结：变形图画法 怎样画小变形放大图？
A
B
L1
L2
材料力学莫尔定理
在研究莫尔定理之前，首先应明确：在这一章中，我们将学 习两种能量方法：1，莫尔定理。2，卡氏定理。其中莫尔定理是 今天这节课的内容。并且，在变形能概念的基础上来研究莫尔定 理。
二.定理证明：
1．在原始载荷P1、P2、P3……单独作用下，梁内变形能U
U M 2 xdx L 2EIZ
—— <a>
P1 P2 P3
C EI 2
P0
C
EI 2
f
l
图七
x
l 图八
2．在P0=1单独作用下，梁内变形能U0
U0
M02 xdx
L 2EIZ
—— <b>
P1 P2 P3
P0
C
EI 2
f
l
图七
3. 采用先加P0 =1，然后再加P1、P2、P3…..的加载方 式时，梁内的变形能 U1
x
的形式。
例题总结：
1.从莫尔定理的证明过程及例题的分析过程中，可以看出莫 尔定理实质上就是单位载荷法。若要求某一点的线位移，只需在
该点上沿着线位移的方向作用一单位集中力就行了。若要求解一
截面的转角，也只需在该截面上作用一单位力偶就行了。
2． fc
5ql 4 384EIZ
B
ql3 24EIZ
U1
L
M 0
x M
2EIZ
x2
dx
M
2 0
x
dx
M 2 xdx
M xM0xdx
L 2EIZ
L 2EIZ
L EIZ
4.根据变形能与加载方式无关的道理得：
U1 U1
平面桁架内力和位移计算的框图与程序
有生命就会有希望，有信心就会有 成功，有思索就会有思路，有努力
就会有收获
14
有生命就会有希望，有信心就会有 成功，有思索就会有思路，有努力
就会有收获
15
有生命就会有希望，有信心就会有 成功，有思索就会有思路，有努力
就会有收获
16
有生命就会有希望，有信心就会有 成功，有思索就会有思路，有努力
4-14）
在式（3-5）中，ann 对应 bn,1； aii 对应 bi,1；aij 对应 bi,j-I+1。把这些关系带入
后，得等带向后回运算格式
pn
对于i pi
pn
(bpn有 成n1i 生 功1m命 ，,inn(ji就 有id会 思12a1,,ni就有 索,)j会希 就i,11做有望 会pi 收， 有) /获有 思bi1信 路 心 ，就 有会 努有 力
பைடு நூலகம்
成功， 0有思0索就0会有0思路，有努力 就会有收获
2
2.坐标变换
杆端力和杆端位移的坐标变换是通过单元坐标变换矩T阵e 即式（1-34 ）完成的，令 Cx cos , C y sin ，则
Cx Cy 0 0
Te
Cy
Cx
0
0
0
0
Cx
C
y
4
4.半带存贮和带消去法
在计算连续梁程序中,由于整体刚度矩阵所占计算机存贮量小,顾采
用高斯顺序消元法解刚度方程.如果方程组的系数矩阵是对称矩阵,可以
证明在第 k 轮消元后,由第(K+1)至第 n 个方程的系数仍是对称矩阵.为了
减小运算次数,在整个消元过程中,只要存贮系数矩阵上三角部分的元素.