高考数学一轮总复习 第二章 函数与基本初等函数 题组

题组训练7 函数的奇偶性与周期性1．函数f(x)＝x ＋9x (x≠0)是( )A ．奇函数，且在(0，3)上是增函数B ．奇函数，且在(0，3)上是减函数C ．偶函数，且在(0，3)上是增函数D ．偶函数，且在(0，3)上是减函数答案 B解析 因为f(－x)＝－x ＋9－x ＝－(x ＋9x )＝－f(x)，所以函数f(x)＝x ＋9x为奇函数．当x 1，x 2∈(0，3)(x 1<x 2)时，f(x 1)－f(x 2)＝x 1＋9x 1－(x 2＋9x 2)＝(x 1－x 2)x 1x 2－9x 1x 2.因为x 1－x 2<0，x 1x 2>0，x 1x 2<9，所以(x 1－x 2)x 1x 2－9x 1x 2>0，所以f(x 1)>f(x 2)，所以函数f(x)在(0，3)上是减函数，故选B.2．(2018·黑龙江大庆模拟)下列函数中，在(0，＋∞)上单调递减，并且是偶函数的是( ) A ．y ＝x 2B ．y ＝－x 3C ．y ＝－ln|x|D ．y ＝2x答案 C解析 A 项，y ＝x 2是偶函数，在(0，＋∞)上单调递增，不合题意；B 项，y ＝－x 3是奇函数，不合题意；C 项，y ＝－ln|x|是偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意；D 项，y ＝2x不是偶函数，不合题意．故选C.3．若函数f(x)＝ax 2＋bx ＋8(a≠0)是偶函数，则g(x)＝2ax 3＋bx 2＋9x 是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数答案 A解析 由于f(x)＝ax 2＋bx ＋8(a≠0)是偶函数，所以b ＝0，所以g(x)＝2ax 3＋9x(a≠0)，所以g(－x)＝2a(－x)3＋9(－x)＝－(2ax 3＋9x)＝－g(x)，所以g(x)＝2ax 3＋9x 是奇函数．故选A.4．(2015·陕西)设f(x)＝x －sinx ，则f(x)( ) A ．既是奇函数又是减函数 B ．既是奇函数又是增函数 C ．是有零点的减函数 D ．是没有零点的奇函数答案 B解析 易得f(x)是奇函数，由f ′(x)＝1－cosx ≥0恒成立，可知f(x)是增函数，故选B. 5．函数f(x)是定义域为R 的偶函数，又是以2为周期的周期函数，若f(x)在[－1，0]上是减函数，则f(x)在[2，3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数答案 A6．(2018·山东临沭一中月考)已知定义在R 上的函数f(x)的满足f(－x)＝－f(x)，f(3－x)＝f(x)，则f(2 019)＝( ) A ．－3 B ．0 C ．1 D ．3答案 B解析 用－x 换x ，可将f(x ＋3)＝f(－x)＝－f(x)， ∴T ＝6，∴f(2 019)＝f(336×6＋3)＝f(3)． ∵f(3－x)＝f(x)，∴f(3)＝f(0)＝0.7．(2017·课标全国Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x 的取值范围是( ) A ．[－2，2] B ．[－1，1] C ．[0，4] D ．[1，3]答案 D解析 ∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝1.于是－1≤f(x－2)≤1等价于f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．又f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x ≤3.故选D. 8．若定义在R 上的奇函数f(x)满足对任意的x∈R ，都有f(x ＋2)＝－f(x)成立，且f(1)＝8，则f(2 015)，f(2 016)，f(2 017)的大小关系是( ) A ．f(2 015)<f(2 016)<f(2 017) B ．f(2 015)>f(2 016)>f(2 017) C ．f(2 016)>f(2 015)>f(2 017) D ．f(2 016)<f(2 017)<f(2 015)答案 A解析 因为定义在R 上的奇函数f(x)满足对任意的x∈R ，都有f(x ＋2)＝－f(x)成立，所以f(x ＋4)＝f(x)，即函数f(x)的周期为4，且f(0)＝0，f(2)＝－f(0)＝0，f(3)＝－f(1)＝－8，所以f(2 015)＝f(4×503＋3)＝f(3)＝－8，f(2 016)＝f(4×504)＝f(0)＝0，f(2 017)＝f(4×504＋1)＝f(1)＝8，即f(2 015)<f(2 016)<f(2 017)．9．已知定义在R 上的函数f(x)满足：y ＝f(x －1)的图像关于(1，0)点对称，且当x≥0时恒有f(x －32)＝f(x ＋12)，当x∈[0，2)时，f(x)＝e x－1，则f(2 016)＋f(－2 015)等于( )A ．1－eB ．e －1C ．－1－eD ．e ＋1答案 A解析 y ＝f(x －1)的图像关于(1，0)点对称，则f(x)关于原点对称．当x≥0时恒有f(x －32)＝f(x ＋12)，即函数f(x)的周期为2.所以f(2 016)＋f(－2 015)＝f(0)－f(1)＝1－e.故选A.10．设函数y ＝f (x)(x∈R )为偶函数，且∀x ∈R ，满足f(x －32)＝f(x ＋12)，当x∈[2，3]时，f(x)＝x ，则当x∈[－2，0]时，f(x)等于( ) A ．|x ＋4| B ．|2－x| C ．2＋|x ＋1| D ．3－|x ＋1|答案 D解析 因为∀x ∈R ，满足f(x －32)＝f(x ＋12)，所以∀x ∈R ，满足f(x ＋32－32)＝f(x ＋32＋12)，即f(x)＝f(x ＋2)．若x∈[0，1]时，则x ＋2∈[2，3]，f(x)＝f(x ＋2)＝x ＋2， 若x∈[－1，0]，则－x∈[0，1]．因为函数y ＝f (x)(x∈R )为偶函数，所以f(－x)＝－x ＋2＝f(x)，即f(x)＝－x ＋2. 若x∈[－2，－1]，则x ＋2∈[0，1]，则f(x)＝f(x ＋2)＝x ＋2＋2＝x ＋4.综上f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，－2≤x<－1，－x ＋2，－1≤x≤0，故选D.11．(2018·安徽合肥一模)已知函数f(x)＝(x 2－2x)·sin(x －1)＋x ＋1在[－1，3]上的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．0答案 A解析 设t ＝x －1，则f(x)＝(x 2－2x)sin(x －1)＋x ＋1＝(t 2－1)sint ＋t ＋2，t ∈[－2，2]．记g(t)＝(t 2－1)sint ＋t ＋2，则函数y ＝g(t)－2＝(t 2－1)sint ＋t 是奇函数．由已知得y ＝g(t)－2的最大值为M －2，最小值为m －2，所以M －2＋(m －2)＝0，即M ＋m ＝4.故选A.12．如果函数g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3，x>0，f （x ），x<0是奇函数，那么f(x)＝________．答案 2x ＋3解析 令x<0，所以－x>0，g(－x)＝－2x －3.因为g(x)是奇函数，所以g(x)＝－g(－x)＝2x ＋3，所以f(x)＝2x ＋3.13．已知y ＝f(x)＋x 2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________．答案 －1解析 令H(x)＝f(x)＋x 2，则H(1)＋H(－1)＝f(－1)＋1＋f(1)＋1＝0，∴f(－1)＝－3，∴g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.14．已知函数f(x)＝x 3＋x ，对任意的m∈[－2，2]，f(mx －2)＋f(x)<0恒成立，则x 的取值范围为________． 答案 (－2，23)解析 易知原函数在R 上单调递增，且为奇函数，故f(mx －2)＋f(x)<0⇒f(mx －2)<－f(x)＝f(－x)，此时应有mx －2<－x ⇒mx ＋x －2<0对所有m∈[－2，2]恒成立．令g(m)＝xm ＋x －2，此时只需⎩⎪⎨⎪⎧g （－2）<0，g （2）<0即可，解得－2<x<23.15．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝0，则不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集为________．答案 {x|－1<x<0或0<x<1}解析 ∵f(－x)＝－f(x)，∴不等式x[f(x)－f(－x)]<0可化简为xf(x)<0，又f(1)＝0，∴f(－1)＝0，∵奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，从而函数f(x)的大致图像如图所示，则不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集为{x|－1<x<0或0<x<1}．16．若f(x)是定义在(－1，1)上的奇函数，且x∈[0，1)时f(x)为增函数，求不等式f(x)＋f(x －12)＜0的解集．答案 {x|－12＜x ＜14}解析 ∵f(x)为奇函数，且在[0，1)上为增函数， ∴f(x)在(－1，0)上也是增函数． ∴f(x)在(－1，1)上为增函数． f(x)＋f(x －12)＜0⇔f(x)＜－f(x －12)＝f(12－x)⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＜1，－1＜12－x ＜1，x ＜12－x⇔－12＜x ＜14.∴不等式f(x)＋f(x －12)＜0的解集为{x|－12＜x ＜14}．17．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x ＋2)＝－f(x)，且当x∈[0，2)时，f(x)＝log 2(x ＋1)，求： (1)f(0)与f(2)的值； (2)f(3)的值；(3)f(2 013)＋f(－2 014)的值．答案 (1)f(0)＝0，f(2)＝0 (2)f(3)＝－1 (3)1 解析 (2)f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－log 2(1＋1)＝－1.(3)依题意得，x ≥0时，f(x ＋4)＝－f(x ＋2)＝f(x)，即x≥0时，f(x)是以4为周期的函数．因此，f(2 013)＋f(－2 014)＝f(2 013)＋f(2 014)＝f(1)＋f(2)．而f(2)＝－f(0)＝－log 2(0＋1)＝0，f(1)＝log 2(1＋1)＝1，故f(2 013)＋f(－2 014)＝1. 18．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x>0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x<0，是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 答案 (1)m ＝2 (2)(1，3] 解析 (1)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x 2－2x. 又因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)， 于是x<0时，f(x)＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ， 所以m ＝2.(2)要使f(x)在[－1，a －2]上单调递增，结合f(x)的图像知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a≤3，故实数a 的取值范围是(1，3]．1．(2017·浙江宁波十校联考)函数f(x)＝x 3＋sinx ＋1(x∈R )．若f(m)＝2，则f(－m)的值为( ) A ．3 B ．0 C ．－1 D ．－2答案 B解析 把f(x)＝x 3＋sinx ＋1变形为f(x)－1＝x 3＋sinx.令g(x)＝f(x)－1＝x 3＋sinx ，则g(x)为奇函数，有g(－m)＝－g(m)，所以f(－m)－1＝－[f(m)－1]，得到f(－m)＝－(2－1)＋1＝0.2．(2017·安徽蚌埠质检)函数y ＝f(x)是R 上的奇函数，满足f(3＋x)＝f(3－x)，当x∈(0，3)时，f(x)＝2x，当x∈(－6，－3)时，f(x)等于( ) A ．2x ＋6B ．－2x －6C ．2x －6D ．－2x ＋6答案 D解析 由函数f(x)是奇函数，得f(－x)＝－f(x)，当x∈(－6，－3)时，x ＋6∈(0，3)，由f(3＋x)＝f(3－x)，得f(x)＝－f(－x)＝－f[3－(3＋x)]＝－f[3＋(3＋x)]＝－f(6＋x)＝－26＋x.3．[x]表示不超过x 的最大整数，已知函数f(x)＝|x|－[x]，有下列结论：①f(x)的定义域为R ；②f(x)的值域为[0，1]；③f(x)是偶函数；④f(x)不是周期函数；⑤f(x)的单调增区间为(k ，k ＋1)(k∈N )． 其中正确的个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0答案 A解析 显然①正确．x ＝－2.1时，f(－2.1)＝2.1－(－3)＝5.1.②错误；f(x)图像关于y 轴不对称，③错误；f(x)在x>0上是周期变化，在x<0上不是周期变化，④正确；k∈N ，则在(k ，k ＋1)(k∈N )上f(x)＝x －[x]，因为当x>0时x －[x]表示x 的小数部分，所以f(x)在(k ，k ＋1)(k∈N )上单调递增，当x<0时，f(x)＝－x －[x]，y ＝－x 是减函数，y ＝－[x]也是减函数，故f(x)的单调增区间只有(k ，k ＋1)(k∈N )，⑤正确．故①④⑤正确，故选A.4.设f(x)是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2，1]上的图像，则f(2 013)＋f(2 014)＝( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0答案 C解析 f(2 013)＝f(3×671)＝f(0)＝0，f(2 014)＝f (3×671＋1)＝f(1)＝1，所以f(2 013)＋f(2 014)＝1.5．(2017·湖北黄冈调研)定义在R 上的函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，f(x ＋4)＝f(x)，且x∈(－2，0)时，f(x)＝2x＋15，则f(log 220)＝( )A ．1B.45C ．－1D ．－45答案 C解析 ∵f(－x)＋f(x)＝0，即f(－x)＝－f(x)， ∴定义在R 上的函数f(x)是奇函数． ∵4＝log 216<log 220<log 232＝5，∴f(log 220)＝f(log 220－4)＝f(log 254)＝－f(－log 254)＝－f(log 245)，∵－2<log 245<0，∴f(log 245)＝2log 245＋15＝1，∴f(log 220)＝－1，故选C.6．(2015·北京，文)下列函数中为偶函数的是( ) A ．y ＝x 2sinx B ．y ＝x 2cosx C ．y ＝|lnx| D ．y ＝2－x答案 B解析 A 中函数为奇函数，B 中函数为偶函数，C 与D 中函数均为非奇非偶函数，故选B. 7．已知定义在R 上的函数f(x)，对任意的x 1，x 2∈R 都有f(x 1＋x 2)－f(x 1)＝f(x 2)＋5，则下列命题正确的是( ) A ．f(x)是奇函数 B ．f(x)是偶函数 C ．f(x)＋5是奇函数 D ．f(x)＋5是偶函数答案 C解析 取x 1＝x 2＝0，得f(0＋0)－f(0)＝f(0)＋5，所以f(0)＝－5，令x 1＝x ，x 2＝－x ，则f[x ＋(－x)]－f(x)＝f(－x)＋5，所以f(0)－f(x)＝f(－x)＋5，所以f(－x)＋5＝－[f(x)＋5]，所以函数f(x)＋5是奇函数，故选C.8．(2017·唐山一中月考)f(x)是定义在R 上的奇函数，满足f(x ＋1)＝1f （x ），当x∈(0，1)时，f(x)＝2x－2，则f(log 126)＝________．答案 12解析 ∵f(x ＋1)＝1f （x ），∴f(x)＝f(x ＋2)．f(log 126)＝－f(－log 126)＝－f(log 26)＝－f(log 26－2)＝－(2log 26－2－2)＝－(64－2)＝12. 9.设f(x)是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x<0，|25－x|，0≤x<1，其中a∈R .若f(－52)＝f(92)，则f(5a)的值是________．答案 －25解析 由题意可得f(－52)＝f(－12)＝－12＋a ，f(92)＝f(12)＝|25－12|＝110，则－12＋a ＝110，a＝35，故f(5a)＝f(3)＝f(－1)＝－1＋35＝－25. 10．定义在(－∞，＋∞)上的函数y ＝f(x)在(－∞，2)上是增函数，且函数y ＝f(x ＋2)为偶函数，则f(－1)，f(4)，f(512)的大小关系是__________．答案 f(512)<f(－1)<f(4)解析 ∵y＝f(x ＋2)为偶函数， ∴y ＝f(x)关于x ＝2对称．又y ＝f(x)在(－∞，2)上为增函数， ∴y ＝f(x)在(2，＋∞)上为减函数， 而f(－1)＝f(5)， ∴f(512)＜f(－1)＜f(4)．11．若f(x)和g(x)都是奇函数，且f(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值8，求f(x)在(－∞，0)上的最小值． 答案 －4解析 由题意知，当x>0时，f(x)≤8. ∵f(x)，g(x)都是奇函数，且当x<0时，－x>0.∴F(－x)＝af(－x)＋bg(－x)＋2＝－af(x)－bg(x)＋2＝－[af(x)＋bg(x)＋2]＋4≤8. ∴af(x)＋bg(x)＋2≥－4.∴f(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(－∞，0)上有最小值－4.。