江苏省南通中学高一数学上学期期中试题
江苏省南通一中高一(上)期中数学试卷含答案
∴ 푚2−푚−1 = 1，解得：푚
=
2或푚
=
是幂函数， −1，
푚 = 2时，푓(푥) = 푥，有交点不合题意， 푚 = −1时，푓(푥) = 푥14，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意， 故푚 = −1，
故选 A．
5.【答案】D
【解析】解：当0 < 푎 < 1时，函数푓(푥) = 푥푎(푥 ≥ 0)为增函数，且图象变化越来越平缓， 푔(푥) = −log푎푥的图象为增函数， 当1 < 푎时，函数푓(푥) = 푥푎(푥 ≥ 0)为增函数，且图象变化越来越快， 푔(푥) = −log푎푥的 图象为减函数， 综上：只有 D 符合 故选：D． 结合对数函数和幂函数的图象和性质，分当0 < 푎 < 1时和当푎 > 1时两种情况，讨论函 数푓(푥) = 푥푎(푥 ≥ 0) ，푔(푥) = log푎푥的图象，比照后可得答案． 本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握对数函数和幂函数的图象和性质，是解答的 关键．
C. (−∞,−141)
D. (−∞,−145]
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 函数푓(푥) = 푙표푔12(−푥2 +3푥−2)的单调递增区间是______．
14.
已知푦
=
4푥−3
⋅
2푥
+3 ，当
푥
∈
[0,2]时，其值域是______．
15. 已知定义在 R 上的函数푓(푥)满足푓(−푥) = 푓(푥)，且函数푓(푥)在(−∞,0)上是减函数，
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22. 已知定义在区间(0, + ∞)上的函数푓(푥) = |푥 + 4푥−5|， (1)判定函数푔(푥) = 푥 + 4푥在[2, + ∞)的单调性，并用定义证明； (2)设方程푓(푥) = 푚有四个不相等的实根푥1푥2푥3푥4． ①证明：푥1푥2푥3푥4 = 16； ②在[1,4]是否存在实数 a，b，使得函数푓(푥)在区间[푎,푏]单调，且푓(푥)的取值范围 为[푚푎,푚푏]，若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
2022-2023学年江苏省南通中学高一年级上册学期期中数学试题【含答案】
2022-2023学年江苏省南通中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合，则的真子集的个数为（ ）{}3,4,5N =N A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【分析】集合的元素是个，则其真子集个数是个.n 21n-【详解】，则的真子集为：{}3,4,5N =N {}{}{}{}{}{},3,4,5,3,4,3,5,4,5.∅故选：C2．下列图象中，表示函数关系的有（ ）()y f x =A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据函数的概念逐一判断即可.【详解】根据函数的概念知，对于定义域内任意，都有唯一确定的和它对应，由图象可看出，x y 对于A ，当时，有两个值与其对应，不符合；0x =y 对于B ，当时，有两个值与其对应，不符合；0x =y 对于C ，符合定义域内任意，都有唯一确定的和它对应，可表示函数关系；x y 对于D ，当时，有无数个值与其对应，不符合.1x =y 故选：C .3．已知函数是幂函数，且时，单调递减，则的值为()()2231mm f x m m x +-=--()0,x ∈+∞()f x m （ ）A ．B ．1C ．2或D ．21-1-【答案】A【分析】利用幂函数的定义及性质列式计算并判断.【详解】∵是幂函数，()()2231mm f x m m x +-=--∴，即，解得，或，211m m --=()()210m m -+=2m =1m =-又当时，单调递减，∴，()0,x ∈+∞()f x 230m m +-<当时，，不合题意，舍去；2m =2330m m +-=>当，，符合题意，1m =-2330m m +-=-<故．1m =-故选：A ．4．镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（ ）A ．甲同学和乙同学B ．丙同学和乙同学C ．乙同学和甲同学D ．丙同学和甲同学【答案】C的大小关系即可得出答案.【详解】，．∵．102525==105232==2532<<又∵，，6339==6328==>∴．<<又因为镜片折射率越高，镜片越薄，故甲同学创作的镜片最厚，乙同学创作的镜片最薄．故选：C.5．已知为实数，使“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）a []3,4x ∀∈0x a -<A ．B ．C ．D ．4a >5a >3a >4a ≥【答案】B【分析】根据全称量词命题的真假性求得的取值范围，然后确定其充分不必要条件.a 【详解】解：依题意，全称量词命题：为真命题，[]3,4,0x x a ∀∈-<所以，在区间上恒成立，所以，a x >[]3,44a >所以使“”为真命题的一个充分不必要条件是“”.[]3,4,0x x a ∀∈-<5a >故选：B 6．已知函数由下表给出，若，则()f x ()()()()()0134f f x f f f =+⋅0x =x1234()f x 1312A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】结合表格数据可得的值,进而可求得的值,即可求得.()()()134f f f +⋅()0f x 0x 【详解】由题可得,,则,故.()()()()()01341123f f x f f f =+⋅=+⨯=()02f x =04x =故选:D.【点睛】本题考查了函数值的求法,利用表格中的数据是解决本题的关键,属于基础题.7．已知函数的定义域为，则函数）()f x []22-,()()3g x f x =A ．B ．C ．D ．(]0,120,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【分析】根据题意列出不等式组，求解即可．【详解】要使有意义，则，即，解得，()g x 23210x x x -⎧⎪-⎨⎪⎩ ()232100x x x x -⎧⎪-⎨⎪≠⎩ 203x < 所以函数的定义域为．()g x 20,3⎛⎤⎥⎝⎦故选：D ．8．一次速算表演中，主持人出题：一个35位整数的31次方根仍是一个整数，下面我报出这个35位数，请说出它的31次方根.这个35位数是……未等主持人报出第一位数字，速算专家己经写出了这个数的31次方根：13.其实因为只有一个整数，它的31次方是一个35位整数.速算专家心中记住了右表（表中常用对数为近似值）.请你也尝试借助此表求一求：一个31位整数的64次方根仍是一个整数，这个64次方根是（ ）真数常用对数真数常用对数20.3011 1.0430.4812 1.0840.6013 1.1150.7014 1.1560.7815 1.1870.8516 1.2080.9017 1.2390.9518 1.26101.00191.28A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】由题意可知，两边取对数，然后计算出的取值范围，查表即可得出答案.3064311010a ≤<a 【详解】解：由题意得：，3064311010a ≤< ，6430lg 31101010a ∴≤<，即，6430lg 31a ∴≤<3064lg 31a ≤<故此，即，3031lg 6464a ≤<0.46875lg 0.484375a ≤<又因为为整数，故根据上表可知：，a 3a =故选：B二、多选题9．若不等式的解集是，则下列对于系数，，的结论中，正确的是20ax bx c ++>1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭a b c （ ）A ．B ．C ．D ．a<00c >0a b c ++>0a b c -+>【答案】ABC【分析】由一元二次不等式与一元二次方程根的关系及韦达定理可得b 、c 可用a 的代数式表示，检验各选项即可得结果.【详解】由题意知： 0013222122a a b b aa c a c a ⎧⎪<<⎧⎪⎪⎪⎪-+=-⇒=-⎨⎨⎪⎪=-⎪⎪⎩-⨯=⎪⎩A 项： ，即：A 项正确；a<0B 项： ，即：B 项正确；0c a =->C 项： ，即：C 项正确；3322a b c a a a a ++=--=->D 项：，即：D 项错误.3322a b c a a a a -+=+-=<故选：ABC.10．下列说法中，正确的是（ ）A ．集合和表示同一个集合{}1,2A =(){}1,2B =B ．函数()f x =()1,1-C ．若，，则用，表示2log 3a =2log 7b =a b 423log 561b a b +=++D ．已知是定义在上的奇函数，当时，，则当时，()f x ()(),00,∞-+∞ 0x >()211f x x x =+-0x <()211f x x x=--+【答案】BC【分析】对于A ，根据集合的定义即可判断；对于B ，利用复合函数的单调性即可判断；对于C ，利用对数的换底公式及运算性质即可判断；对于D ，利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式即可判断.【详解】对于A ，集合中元素为数，集合为点，可知表示的不是同一个集合，{}1,2A =(){}1,2B =所以A 选项错误；对于B，根据解得函数，2 320x x+-≥()f x=[]1,3-令则，232t x x=+-y=为二次函数，开口向下，对称轴为，所以函数在区间上单调232t x x=+-1x=232t x x=+-()1,1-递增，在区间上单调递减，()1,3函数为增函数，根据复合函数的单调性可知函数，y=()f x=()1,1-所以B选项正确；对于C，因为，，根据对数的换底公式可得2log3a=2log7b=，所以C选项正确；()()3222222422222222log78log56log7log8log7log23log56log42log76log7log6log7log3log21ba b⨯+++=====⨯+++++对于D，因为当时，，可令，则，所以x>()211f x xx=+-x<0x->，又因为是定义在上的奇函数，所以()()()221111f x x xx x-=-+-=---()f x()(),00,∞-+∞，与题干结果不符，所以D选项错误.()()211f f x xxx-=-+-+=故选：BC.11．已知，，且，则（）a>0b>281a b+=A．B C．D．281a b->-1≥164ab≤221168a b+≥【答案】ACD【分析】对于A，利用换元结合不等式的性质即可求解；对于B、C、D三个选项可以利用基本不等式证明求解.【详解】对于A，因为，所以，又因为，，281a b+=218a b=-0a>0b>所以，即，所以，2180a b=->18b<<28188116a b b b b-=--=-又因为，所以，可知A选项正确；18b<<1281a b-<-<对于B，因为，22812841222a b a ba b++=++=≤+=当且仅当，即，时等号成立，28a b=14a=116b=，可知B选项错误；1+≤对于C，因为，当且仅当，即，时281a b+=≥=164ab≤28a b=14a=116b=等号成立，可知C选项正确；对于D ，因为，所以，281a b +=142a b +=所以，()2222222224161616241162228a b a b a b a b a b a b ++++++⋅⋅+=≥==当且仅当，即，时等号成立，可知D 选项正确.4a b =14a =116b =故选：ACD.12．定义在上的函数满足，当时，，则以下()1,1-()f x ()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭10x -<<()0f x <结论正确的是（ ）A ．B ．为奇函数()00f =()f x C ．为单调减函数D ．为单调增函数()f x ()f x 【答案】ABD【分析】A.令求解判断；B.令求解判断；CD.令，，且，由0x y ==y x =-1x x =2y x =-12x x <判断其符号即可.()()()()121212121x x f x f x f x f x f x x ⎛⎫--=+-= ⎪-⎝⎭【详解】解：令得，即得，A 正确；0x y ==()()()000f f f +=()00f =在定义域范围内令得，即得是奇函数，B 正确；y x =-()()()00f x f x f +-==()f x 令，，且，1x x =2y x =-12x x <所以，()()()()121212121x x f x f x f x f x f x x ⎛⎫--=+-= ⎪-⎝⎭又且，，120x x -<111x -<<211x -<<所以，即，()()()()1221121110x x x x x x ---=+->1212101x x x x --<<-所以，即()()120f x f x -<()()12f x f x <所以在上是单调增函数，D 正确，C 错误．()f x ()1,1-故选：ABD ．三、填空题13．计算：________.2log 312-⎛⎫=⎪⎝⎭【答案】3【分析】根据指数幂运算法则、对数恒等式运算即可.【详解】解：.22log 3log 31232-⎛⎫== ⎪⎝⎭故答案为：3.14．已知函数，则________.()2231f x x =+()f x =【答案】2314x +【分析】用换元法求解析式,令,得,代入,即可得到的解析式2t x =2tx =2(2)31f x x =+()f x 【详解】解：令,得,代入得2t x =2t x =2(2)31f x x =+223()31124t f t t ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭即的解析式为()f x 23()14f x x =+故答案为：2314x +15．已知为正实数，则的最小值为__________．,x y 162y x x x y ++【答案】6【分析】将原式变形为，结合基本不等式即可求得最值.162y yx x ++【详解】由题得，162y xx x y+=+162y yx x ++设，则.(0)y t t x =>1616()22282622f t t t t t =+=++-≥=-=++当且仅当时取等.2t =所以的最小值为6.162y xx x y ++故答案为：6四、双空题16．已知函数，其中，()22,25,x x m f x x mx m x m ⎧≤=⎨-+>⎩0m >（1）若函数在单调，则实数的范围是__________；()f x ()0,∞+m （2）若存在互不相等的三个实数，，，使得，则函数1x 2x 3x ()()()123f x f x f x ==的值域为__________.y m =【答案】(]0,3(),1-∞-【分析】（1）利用单调性的定义进行处理.（2）利用函数图象以及换元法来处理.【详解】（1）当时，，在单调递增，当时，，其x m ≤()2f x x=(0,)m x >m ()225f x x mx m =-+对称轴为，所以在x m =()f x (,)m +∞上单调递增，若函数在单调，则，()f x ()0,∞+22252||2m m m m m -+≥=解得.03m <≤（2）若存在互不相等的三个实数，，，使得，()f x 1x 2x 3x ()()()123f x f x f x ==则的图象如图所示：()f x则，即，解得或(舍去).222||225m m m m m =>-+230m m ->3m >0m <对于函数，令，，所以，y m =t =2t >22(1)1y t t t t =--=-++其对称轴为，所以在上单调递减，所以，则函数12t =21y t t =-++()2,+∞22211y <-++=-的值域为.y m =(),1-∞-故答案为：，.(]0,3(),1-∞-五、解答题17．（1）求的值；1103488127⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（2）已知，求的值.114x x -+=1122224200x x x x --+++-【答案】（1）；（2）8343-【分析】（1）利用指数幂的运算性质化简计算即可；（2）把平方，结合即可求得，利用可得1122x x -+114x x -+=1122x x -+()22212x x x x --+=+-的值，代入所求的式子即可得答案．22x x -+【详解】（1）；()1134134134828811273233133⨯⎛⎫=-+=-+=⎛⎫-+ ⎝⎭⎪⎭⎪⎝（2），，，211122216x x x x --⎛⎫+++= ⎪⎝⎭= 11220x x ->+11224x x -∴+=，．()22212194x x x x--+=+-=11222242344419420000x x x x --+∴-+=-=-++18．已知命题：对任意实数，不等式都成立，命题：关于的方程p x 21202mx x -+>q x 无实数根.若命题，有且只有一个是真命题，求实数的取值范围.()244210x m x +-+=p qm 【答案】(][)1,23,⋃+∞【分析】先求出真、真时的取值范围，根据题设条件可得真假或假真，从而可求出p qm p qp q实数的取值范围.m 【详解】若真，对任意实数，不等式都成立.p x 21202mx x -+>∴当时，显然对于任意实数，不等式不都成立0m =x 1202x -+>当时，，解得0m ≠4200m m -<⎧⎨>⎩m>2∴真时，；p m>2若真，则方程无实数根，q ()244210x m x +-+=∴，()2162160m --<∴真时，.q13m <<∵命题、中有且仅有一个真命题，p q∴当真假时，且，故实数m 的取值范围是：；p qm>2(][),13,m ∈-∞+∞ 3m ≥当假真时，且，故实数m 的取值范围是：；p q2m ≤13m <<12m <≤综上，实数的取值范围为m (][)1,23,⋃+∞19．已知函数是定义域上的奇函数.()21x bf x x +=-()1,1-（1）确定的解析式；()f x （2）用定义证明：在区间上是减函数；()f x ()1,1-（3）解不等式.()()10f t f t -+<【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.()21x f x x =-1,12⎛⎫⎪⎝⎭【解析】（1）利用奇函数的定义，经过化简计算可求得实数，进而可得出函数()()f x f x -=-b 的解析式；()y f x =（2）任取、，且，作差，化简变形后判断的符号，1x ()21,1x ∈-12x x <()()12f x f x -()()12f x f x -即可证得结论；（3）利用奇函数的性质将所求不等式变形为，再利用函数的定义域和单()()1f t f t -<-()y f x =调性可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围.t t 【详解】（1）由于函数是定义域上的奇函数，则，()21x bf x x +=-()1,1-()()f x f x -=-即，化简得，因此，；()2211x b x b x x -++=-+-+0b =()21xf x x =-（2）任取、，且，即，1x ()21,1x ∈-12x x <1211x x -<<<则，()()()()()()()()()()()()2212212112121222221211221211111111111x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x x x ----+-=-==---+-+--，，，，，，.1211x x -<<< 210x x ∴->1210x x +>110x -<110x +>210x -<210x +>，，因此，函数在区间上是减函数；()()120f x f x ∴->()()12f x f x ∴>()y f x =()1,1-（3）由（2）可知，函数是定义域为的减函数，且为奇函数，()y f x =()1,1-由得，所以，解得.()()10f t f t -+<()()()1f t f t f t -<-=-111111t t t t ->-⎧⎪-<-<⎨⎪-<<⎩112t <<因此，不等式的解集为.()()10f t f t -+<1,12⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数、利用定义法证明函数的单调性以及函数不等式的求解，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.20．某地拟建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓如图所示，曲线是以点为圆心的AB E 圆的四分之一部分，其中，轴，垂足为；曲线是抛物线()()0,025E t t <≤AF x⊥F BC 的一部分；，垂足为，且恰好等于的半径，假定拟建体育馆()2500y ax a =-+>CD OD ⊥D CD E 的高（单位：米，下同）.50OB =(1)试将用和表示；DF a t (2)若要求体育馆侧面的最大宽度不超过75米，求的取值范围.DF a 【答案】(1)50DF t =-()025t <≤(2)1,100⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据抛物线方程求得，从而可得半径，即，进而求解出点坐标()0,50B 50CD t =-C 后，可知；50DF t =-()025t <≤（2）根据题意，恒成立，即恒成立，再根据基本不等式求最5075DF t =-≤162550a t t ≥++值即可得答案.【详解】（1）解：由抛物线方程得：，()0,50B 50BE t∴=-∵，均为圆的半径，BE CD ，圆的半径为：，50CD t ∴=-E 50t -∴，入抛物线方程可得，解得(),50C C x t -25050Ct ax -=-+C x =∵曲线是以点为圆心的圆的四分之一部分，其中，轴，垂足为，AB E ()0,E t AF x ⊥F ∴，50OF AE t ==-∴.50DF OF OD t =+=-()025t <≤（2）解：∵要求体育馆侧面的最大宽度不超过75米，DF ，整理可得：，5075DF t ∴=-()216252550ta t t t ≥=+++，(]0,25t ∈（当且仅当时取等号），62550t t ∴+≥=25t = ，1162510050t t ∴≤++.1100a ∴≥∴的取值范围为：a 1,100⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭21．已知集合，集合.{A x y =={}220B x x x a a =-+-<(1)若，求的取值范围；A B A ⋃=a (2)在中有且仅有两个整数，求的取值范围.A B ⋂a 【答案】(1)；[0,1](2).(1,2][1,0)- 【分析】（1）根据二次根式的性质，结合一元二次不等式的解法、集合并集的性质分类讨论进行求解即可；（2）根据集合交集的定义，结合题意进行求解即可.【详解】（1）由，所以.22002x x x -≥⇒≤≤[0,2]A =由，220()[(1)]0x x a a x a x a -+-<⇒---<因为，所以，A B A ⋃=B A ⊆当时，即时，不等式为，显然该不等式解集为空集，1a a =-12a =21()02x -<即，显然成立；B =∅B A ⊆当时，即时，，1a a >-12a >(1,)B a a =-要想，只需，而，所以；B A ⊆0112a a a ≤-⎧⇒≤⎨≤⎩12a >112a <≤当时，即时，，1a a <-12a <(,1)B a a =-要想，只需，而，所以，B A ⊆0012a a a ≤⎧⇒≥⎨-≤⎩12a <102a ≤<综上所述：的取值范围为；a [0,1]（2）由（1）可知：当时，，此时不符合题意；12a =B =∅A B ⋂=∅由（1）可知：当时，，12a >(1,)B a a =-要想中有且仅有两个整数，只需，或，A B ⋂1012a a -<⎧⎨<≤⎩0112a a ≤-<⎧⎨>⎩由，显然，所以，101212a a a -<⎧⇒<≤⎨<≤⎩12a >12a <≤由，0112a a a ≤-<⎧⇒∈∅⎨>⎩所以；12a <≤由（1）可知：时，，12a <(,1)B a a =-要想中有且仅有两个整数，只需，或，A B ⋂0112a a <⎧⎨<-≤⎩0112a a ≤<⎧⎨->⎩由，而，即，010112a a a <⎧⇒-≤<⎨<-≤⎩12a <10a -≤<由，0112a a a ≤<⎧⇒∈∅⎨->⎩所以，10a -≤<综上所述：的取值范围为.a (1,2][1,0)- 【点睛】关键点睛：根据一元二次方程两根的大小确定一元二次不等式的解集，分类讨论是解题的关键.22．对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是D ()y f x =[],m n D ⊆()f x [],m n 单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”．[],m n ()f x [],m n [],m n (1)写出函数的一个“优美区间”；()212f x x=(2)求证：函数不存在“优美区间”；()64g x x =+(3)已知函数有“优美区间”，当变化时，求出的最()()()221R,0a a x y h x a a a x+-==∈≠[],m n a n m -大值．【答案】(1)[0,2](2)答案见解析【分析】（1）结合“优美区间”的定义，即可写出函数的一个“优美区间”；()212f x x=（2）若函数存在“优美区间”，可得函数在上单调递减，从而可得，联立可推()g x [,]m n ()()g m n g n m =⎧⎨=⎩出矛盾，即可证明结论；（3）函数有“优美区间”，结合单调性可得，说明是方程()h x ()()h m mh n n =⎧⎨=⎩,m n 的两个同号且不等的实数根，结合根与系数的关系可求得的关系，进而222()10a x a a x -++=,m n 可求得的最大值．n m -【详解】（1）是的一个“优美区间”，证明如下：[0,2]21()2f x x=在区间上单调递增，212y x =[0,2]又，，∴的值域为，(0)0f =(2)2f =212y x =[0,2]∴是的一个“优美区间”．[0,2]21()2f x x=（2）设是函数的定义域的子集．[,]m n ()g x 由，可得或，0x ≠[,](,0)m n ∞⊆-[,](0,)m n ∞⊆+∴函数在上单调递减．6()4g x x =+[,]m n 若是函数的“优美区间”，则，[,]m n ()g x 6464n m mn ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得，，则，66n m m n -=-6()n m n m mn -=-，6,6,n m mn n m >∴=∴= 则，显然等式不成立，664m m +=∴函数不存在“优美区间”．6()4g x x =+（3）的定义域为，是函数的定义域的子集，()h x {|0}x x ≠[,]m n ()h x 则或，[,](,0)m n ∞⊆-[,](0,)m n ∞⊆+而函数在上单调递增，()()222111a a x y x h x a a xa a +-==+=-[,]m n 若是函数的“优美区间”，则，[,]m n ()h x ()()h m mh n n =⎧⎨=⎩∴是方程，即的两个同号且不等的实数根．,m n 211a x a a x +-=222()10a x a a x -++=，∴同号，21mn a => ,m n 只需，解得或，2222()4(3)(1)0a a a a a a ∆=+-=+->1a >3a <-，，211,a m n mn a a++== n m>，n m ∴-====∴当时，3a =n m -。
江苏省南通中学高一上期中数学试卷
2016-2017学年江苏省南通中学高一（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题3分共42分．请在答题卡指定区域内直接写出结果.1．若A={1，0，3}，B={﹣1，1，2，3}，则A∩B=2．若幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），则f（16）=．3．函数f（x）=+的定义域为．4．已知指数函数f（x）=（a﹣1）x在R上单调递减，则实数a的取值范围是．5．函数f（2x）=4x2+3x，则f（x）的解析式是．6．设集合A={x|x2﹣5x﹣6＜0}，集合B={x|﹣3＜x＜2}，则A∪B=．7．计算：lg4+lg5•lg20+（lg5）2=．8．设a=log0.60.8，b=ln0.8，c=20.8，则a、b、c由小到大的顺序是．9．函数f（x）=x+的值域是．10．已知函数f（x）是奇函数，当1≤x≤4时f（x）=x2﹣4x+5，则当﹣4≤x≤﹣1时，函数f（x）的最大值是．11．已知函数f（x）=a x+log a（x+1）（a＞0，且a≠1）在区间[0，1]上的最大值与最小值的和为a，则实数a=．12．设f（x）为奇函数，且f（x）在（﹣∞，0）内是增函数，f（﹣3）=0，则xf（x）＞0的解集为．13．已知函数f（x）=，若函数f（x）的值域为R，则实数t的取值范围是．14．已知函数f（x）=，函数g（x）=f2（x）+f（x）+t（t∈R），若函数g（x）有三个零点，则实数t的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共58分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．计算：（1）log327+lg25+lg4+7+（﹣9.8）0（2）（）﹣×π+．16．已知集合A={x|3≤x＜10}，集合B={x|2x﹣16≥0}．（1）求A∪B；（2）求∁R（A∩B）17．（1）判断并证明函数f（x）=x+的奇偶性；（2）证明函数f（x）=x+在x∈[2，+∞）上是增函数，并求f（x）在[4，8]上的值域．18．已知函数f（x）=a x（a x﹣3a+1），其中a＞0且a≠1，又f（1）=﹣6（1）求实数a的值；（2）若x∈[﹣1，3]，求函数f（x）的值域．（3）求函数f（x）零点．19．已知销售“笔记本电脑”和“台式电脑”所得的利润分别是P（单位：万元）和Q（单位：万元），它们与进货资金t（单位：万元）的关系有经验公式P=t和Q=．某商场决定投入进货资金50万元，全部用来购入这两种电脑，那么该商场应如何分配进货资金，才能使销售电脑获得的利润y（单位：万元）最大？最大利润是多少万元？20．已知函数f（x）=|x﹣a|，g（x）=ax，（a∈R）．（1）若函数y=f（x）是偶函数，求出符合条件的实数a的值；（2）若方程f（x）=g（x）有两解，求出实数a的取值范围；（3）若a＞0，记F（x）=g（x）•f（x），试求函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值．2016-2017学年江苏省南通中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题3分共42分．请在答题卡指定区域内直接写出结果.1．若A={1，0，3}，B={﹣1，1，2，3}，则A∩B={1，3}【考点】交集及其运算．【分析】利用交集的性质求解．【解答】解：∵A={1，0，3}，B={﹣1，1，2，3}，∴A∩B={1，3}．故答案为：{1，3}．2．若幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），则f（16）=4．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】根据已知求出函数的解析式，将x=16代入可得答案．【解答】解：设幂函数y=f（x）=x a，∵幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），∴4a=2，解得：a=，∴y=f（x）=∴f（16）=4，故答案为：43．函数f（x）=+的定义域为[﹣1，2）U（2，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据负数不能开偶次方根和分母不能为零来求解，两者求解的结果取交集．【解答】解：根据题意：解得：x≥﹣1且x≠2∴定义域是：[﹣1，2）∪（2，+∞）故答案为：[﹣1，2）∪（2，+∞）4．已知指数函数f（x）=（a﹣1）x在R上单调递减，则实数a的取值范围是（1，2）．【考点】指数函数的单调性与特殊点．【分析】对于指数函数y=a x（a＞0且a≠1），当a＞1时，单调递增；当0＜a＜1时，单调递减，由此可解．【解答】解：因为指数函数f（x）=（a﹣1）x在R上单调递减，所以有0＜a﹣1＜1，解得1＜a＜2．故答案为：（1，2）．5．函数f（2x）=4x2+3x，则f（x）的解析式是．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】利用换元法，设t=2x，得到x=，代入右边化简得到关于t的解析式，得到所求．【解答】解：设t=2x，则x=，所以f（t）=4×（）2=t2+；所以f（x）=x2+；故答案为：．6．设集合A={x|x2﹣5x﹣6＜0}，集合B={x|﹣3＜x＜2}，则A∪B={x|﹣3＜x＜6} ．【考点】并集及其运算．【分析】先求出集合A和B，由此利用并集的定义能求出A∪B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣5x﹣6＜0}={x|﹣1＜x＜6}，集合B={x|﹣3＜x＜2}，∴A∪B={x|﹣3＜x＜6}．故答案为：{x|﹣3＜x＜6}．7．计算：lg4+lg5•lg20+（lg5）2=2．【考点】对数的运算性质．【分析】根据对数的运算性质化简计算即可．【解答】解：lg4+lg5•lg20+（lg5）2=2lg2+lg5•（lg4+lg5）+（lg5）2=2lg2+lg5（2lg2+2lg5）=2lg2+2lg5=2，故答案为：2．8．设a=log0.60.8，b=ln0.8，c=20.8，则a、b、c由小到大的顺序是b＜a＜c．【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解．【解答】解：∵0=log0.61＜a=log0.60.8＜log0.60.6=1，b=ln0.8＜ln1=0，c=20.8＞20=1，∴b＜a＜c．故答案为：b＜a＜c．9．函数f（x）=x+的值域是（﹣∞，1] ．【考点】函数的值域．【分析】令=t（t≥0）换元，然后利用配方法求二次函数的最值得答案．【解答】解：令=t（t≥0），则1﹣2x=t2，x=，∴函数化为（t≥0），由，当t≥0时，，∴函数f（x）=x+的值域是（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．10．已知函数f（x）是奇函数，当1≤x≤4时f（x）=x2﹣4x+5，则当﹣4≤x≤﹣1时，函数f（x）的最大值是﹣1．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】先求得对称区间上的最值，再利用奇偶性来求得对称区间上的最值．【解答】解：当1≤x≤4时f（x）=x2﹣4x+5=（x﹣2）2+1其最小值为1又∵函数f（x）是奇函数∴函数f（x）在区间[﹣4，﹣1]上有最大值﹣1故答案为：﹣111．已知函数f（x）=a x+log a（x+1）（a＞0，且a≠1）在区间[0，1]上的最大值与最小值的和为a，则实数a=．【考点】函数单调性的性质．【分析】由指数函数、对数函数的单调性易判断函数单调，从而可表示函数的最大值、最小值之和，且为a，解方程即可．【解答】解：当a＞0，且a≠1时，由指数函数、对数函数的性质知，f（x）在[0，1]上单调，∴函数f（x）=a x+log a（x+1）在[0，1]上的最大值与最小值的和为：[a0+log a（0+1）]+[a1+log a（1+1）]=a，化简得log a2=﹣1，解得a=，故答案为：．12．设f（x）为奇函数，且f（x）在（﹣∞，0）内是增函数，f（﹣3）=0，则xf（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．【解答】解：不等式xf（x）＞0等价为或，∵f（x）为奇函数且在（﹣∞，0）内是增函数，f（﹣3）=0，∴f（x）为奇函数且在（0，+∞）内是增函数，f（3）=0，但当x＞0时，不等式f（x）＞0等价为f（x）＞f（3），即x＞3，当x＜0时，不等式f（x）＜0等价为f（x）＜f（﹣3），即x＜﹣3，综上x＞3或x＜﹣3，故不等式xf（x）＞0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）13．已知函数f（x）=，若函数f（x）的值域为R，则实数t的取值范围是[﹣7，2] ．【考点】函数的值域．【分析】根据分段函数的值域是R，需满足一次函数y=x+6的最大值大于等于二次函数的最小值即可．【解答】解：函数f（x）=，当x＜t时，函数y=x+6的值域为（﹣∞，6+t）；当x≥t时，函数y=x2+2x，开口向上，对称轴x=﹣1，①若t≤﹣1，其二次函数的最小值为﹣1，要使函数f（x）的值域为R，需满足：6+t≥﹣1；解得：﹣7≤t≤﹣1，②若t＞﹣1，其二次函数的最小值为t2+2t，要使函数f（x）的值域为R，需满足：6+t≥t2+2t，解得：﹣1≤t≤2，综上所得：实数t的取值范围是[﹣7，2]．14．已知函数f（x）=，函数g（x）=f2（x）+f（x）+t（t∈R），若函数g（x）有三个零点，则实数t的取值范围为（﹣∞，2] ．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】做出f（x）的图象，判断f（x）=m的根的情况，根据g（x）=0的零点个数判断m2+m+t=0的根的分布，利用二次函数的性质列出不等式组解出t的范围．【解答】解：做出f（x）的函数图象如图所示：令f（x）=m，g（x）=0，则m2+m+t=0，由图象可知当m≥1时，f（x）=m有两解，当m＜1时，f（x）=m只有一解，∵g（x）有三个零点，∴m2+m+t=0在（﹣∞，1）和[1，+∞）上各有一解，∴，解得t≤﹣2．故答案为（﹣∞，2]．二、解答题：本大题共6小题，共58分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．计算：（1）log327+lg25+lg4+7+（﹣9.8）0（2）（）﹣×π+．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【分析】（1）利用对数的运算法则即可得出．（2）利用指数幂的运算法则即可得出．【解答】解：（1）运算=3+lg（25×4）+2+1=6+lg102=6+2=8．（2）原式=﹣+π﹣2=﹣π+π﹣2=．16．已知集合A={x|3≤x＜10}，集合B={x|2x﹣16≥0}．（1）求A∪B；（2）求∁R（A∩B）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】（1）求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的并集即可；（2）求出A与B的交集，确定出交集的补集即可．【解答】解：（1）由B中不等式变形得：2x≥24，即x≥4，∴B={x|x≥4}，∵A={x|3≤x＜10}，∴A∪B={x|x≥3}；（2）∵A∩B={x|4≤x＜10}，∴∁R（A∩B）={x|x＜4或x≥10}．17．（1）判断并证明函数f（x）=x+的奇偶性；（2）证明函数f（x）=x+在x∈[2，+∞）上是增函数，并求f（x）在[4，8]上的值域．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】（1）求出函数的定义域，利用奇函数的定义进行判断；（2）利用导数法证明，根据函数的单调性求f（x）在[4，8]上的值域．【解答】解：（1）函数f（x）是奇函数．理由：函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（﹣x）=﹣x﹣=﹣f（x），∴函数f（x）是奇函数；（2）证明：∵f（x）=x+，∴f′（x）=，∵x＞2，∴f′（x）＞0，∴函数f（x）=x+在x∈[2，+∞）上是增函数，∴f（x）在[4，8]上是增函数，∴函数f（x）=x+在[4，8]上的值域是[5，]．18．已知函数f（x）=a x（a x﹣3a+1），其中a＞0且a≠1，又f（1）=﹣6（1）求实数a的值；（2）若x∈[﹣1，3]，求函数f（x）的值域．（3）求函数f（x）零点．【考点】函数的零点与方程根的关系；函数的值域．【分析】（1）根据f（1）=a•（1﹣2a）=﹣6，求得a的值．（2）若x∈[﹣1，3]，令t=2x，则t=2x∈[，8]，f（x）=g（t）=t（t﹣5）=﹣，再利用二次函数的性质求得它的值域．（3）令f（x）=0，求得2x 的值，可得x的值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=a x（a x﹣3a+1），其中a＞0且a≠1，又f（1）=a•（1﹣2a）=﹣6，求得a=2，或a=﹣（舍去）．（2）若x∈[﹣1，3]，f（x）=a x（a x﹣3a+1）=2x（2x﹣5），令t=2x，则t=2x∈[，8]，f（x）=g（t）=t（t﹣5）=﹣．故当t=2x =时，f（x）=g（t）取得最小值为﹣；当t=2x =8时，f（x）=g（t）取得最大值为24，故函数的值域为[﹣，24]．（3）令f（x）=g（t）=0，求得t=0，或t=5，即2x =0（舍去）或2x =5，∴x=log25．19．已知销售“笔记本电脑”和“台式电脑”所得的利润分别是P（单位：万元）和Q（单位：万元），它们与进货资金t（单位：万元）的关系有经验公式P=t和Q=．某商场决定投入进货资金50万元，全部用来购入这两种电脑，那么该商场应如何分配进货资金，才能使销售电脑获得的利润y（单位：万元）最大？最大利润是多少万元？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】设用于台式电脑的进货资金为m万元，则用于笔记本电脑的进货资金为（50﹣m）万元，通过销售电脑获得的利润为y=P+Q列出函数的解析式，利用二次函数的性质求解函数的最值即可．【解答】解：设用于台式电脑的进货资金为m万元，则用于笔记本电脑的进货资金为（50﹣m）万元，…所以，销售电脑获得的利润为y=P+Q=161（50﹣m）+21（0≤m≤50）．…令u=，则u∈[0，5]，（不写u的取值范围，则扣1分）则y=﹣161u2+21u+825=﹣161（u﹣4）2+833．…当u=4，即m=16时，y取得最大值为833．所以当用于台式机的进货资金为16万元，用于笔记本的进货资金为34万元时，可使销售电脑的利润最大，最大为833万元．…20．已知函数f（x）=|x﹣a|，g（x）=ax，（a∈R）．（1）若函数y=f（x）是偶函数，求出符合条件的实数a的值；（2）若方程f（x）=g（x）有两解，求出实数a的取值范围；（3）若a＞0，记F（x）=g（x）•f（x），试求函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值．【考点】奇偶性与单调性的综合；二次函数的性质．【分析】（1）根据函数为偶函数，f（﹣x）=f（x）对任意实数x恒成立，即|﹣x﹣a|=|x﹣a|任意实数x成立，去绝对值然后比较系数，可得a=0；（2）分三种情况加以讨论：当a＞0时，将方程f（x）=g（x）两边平方，得方程（x﹣a）2﹣a2x2=0在（0，+∞）上有两解，构造新函数h（x）=（a2﹣1）x2+2ax﹣a2，通过讨论h（x）图象的对称轴方程和顶点坐标，可得0＜a＜﹣1；当a＜0时，用同样的方法得到﹣1＜a＜0；而当a=0时代入函数表达式，显然不合题意，舍去．最后综合实数a的取值范围；（3）F（x）=f（x）•g（x）=ax|x﹣a|，根据实数a与区间[1，2]的位置关系，分4种情况加以讨论：①当0＜a≤1时，则F（x）=a（x2﹣ax），根据函数的单调增的性质，可得y=F（x）的最大值为F（2）=4a﹣2a2；②当1＜a≤2时，化成两个二次表达式的分段函数表达式，其对称轴为，得到所以函数y=F（x）在（1，a]上是减函数，在[a，2]上是增函数，最大值决定于F（1）与F（2）大小关系．因此再讨论：当时，y=F（x）的最大值为F（2）=4a﹣2a2；当时，y=F（x）的最大值为F（1）=a2﹣a；③当2＜a≤4时，F（x）=﹣a（x2﹣ax），图象开口向下，对称轴，恰好在对称轴处取得最大值：；④当a＞4时，F（x）=﹣a（x2﹣ax），图象开口向下，对称轴，在区间[1，2]上函数是增函数，故最大值为F（2）=2a2﹣4a．最后综止所述，可得函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值的结论．【解答】解：（1）∵函数f（x）=|x﹣a|为偶函数，∴对任意的实数x，f（﹣x）=f（x）成立即|﹣x﹣a|=|x﹣a|，∴x+a=x﹣a恒成立，或x+a=a﹣x恒成立∵x+a=a﹣x不能恒成立∴x+a=x﹣a恒成立，得a=0．…（2）当a＞0时，|x﹣a|﹣ax=0有两解，等价于方程（x﹣a）2﹣a2x2=0在（0，+∞）上有两解，即（a2﹣1）x2+2ax﹣a2=0在（0，+∞）上有两解，…令h（x）=（a2﹣1）x2+2ax﹣a2，因为h（0）=﹣a2＜0，所以，故0＜a＜1；…同理，当a＜0时，得到﹣1＜a＜0；当a=0时，f（x）=|x|=0=g（x），显然不合题意，舍去．综上可知实数a的取值范围是（﹣1，0）∪（0，1）．…（3）令F（x）=f（x）•g（x）①当0＜a≤1时，则F（x）=a（x2﹣ax），对称轴，函数在[1，2]上是增函数，所以此时函数y=F（x）的最大值为4a﹣2a2．②当1＜a≤2时，，对称轴，所以函数y=F（x）在（1，a]上是减函数，在[a，2]上是增函数，F（1）=a2﹣a，F（2）=4a ﹣2a2，1）若F（1）＜F（2），即，此时函数y=F（x）的最大值为4a﹣2a2；2）若F（1）≥F（2），即，此时函数y=F（x）的最大值为a2﹣a．③当2＜a≤4时，F（x）=﹣a（x2﹣ax）对称轴，此时，④当a＞4时，对称轴，此时．综上可知，函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值…2016年12月17日。
江苏省南通市2022-2023学年高一上学期数学期中考试试卷(含答案)1
江苏省南通市2022-2023学年高一上学期数学期中考试试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．已知集合A＝{U0<<2}，B＝{U1<<5}，则A∪B＝（）A．{U0<<5}B．{U2<<5}C．{U0<<2}D．{U<2或>5}2．“0<<2”是“2−−6<0”的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知f（2x﹣1）＝4x+6，则f（5）的值为（）A．26B．24C．20D．184．《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，可以直接通过比较线段OF与线段CF的长度完成的无字证明为（）A．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0）B．r2>B(>0，>0)C．r2≤+a＞0，b＞0）D．2B r≤B（a＞0，b＞0）5．函数=1+−1−2的值域为（）A．(−∞，32]B．(−∞，32)C．[32，+∞)D．(32，+∞) 6．函数op=1r1+25−2（−1<<52）的最小值是（）A．76B．87C．98D．657．已知f（x）为偶函数，且函数g（x）＝xf（x）在[0，+∞）上单调递减，则不等式（1﹣2x）f（2x﹣1）+xf （x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，13）B．（﹣∞，1）C．（，+∞）D．（1，+∞）8．对任意正数x，y，不等式x（x+y）≤a（x2+y2）恒成立，则实数a的最小值为（）A B．2﹣1C．2+1D二、多选题9．已知集合U是全集，集合M，N的关系如图所示，则下列结论中正确的是（）A．∩∁=∅B．∪∁=C．∁∪∁=∁D．∁∩∁=∁10．已知定义在R上的函数f（x），下列说法正确的有（）A．若f（2）＞f（1），则f（x）在R上不是减函数B．若f（x+1）是偶函数，则f（x）图象关于x＝1对称C．若f（﹣1）＝f（1），则f（x）是偶函数D．若f（x）满足任意x1≠x2，都有o1)−o2)1−2>0，则f（x）在R上是增函数11．已知3=5=15，则a，b满足的关系有（）A．1+1=1B．B>4C．2+2<4D．(+1)2+(+1)2>1612．给定区间D，对于函数f（x）与g（x）及任意x1，x2∈D（其中x1＞x2），若不等式f（x1）﹣f（x2）＞g （x1）﹣g（x2）恒成立，则称f（x）对于g（x）在区间D上是“渐先函数”.已知函数f（x）＝2ax2+2ax对于函数g（x）＝x+a在区间[a，a+1]上是“渐先函数”，则实数a的值可能是（）A．1B．0C．﹣1D．﹣2三、填空题13．若函数op=f(x)的定义域为.14．已知∃x∈R，使得x2﹣2x﹣m＜0是真命题，则实数m的取值范围是.15．为了落实“提速降费”的要求，某市移动公司欲下调移动用户的消费资费，已知该公司共有移动用户10万人，人均月消费50元.经测算，若人均月消费下降x%（x为正数），则用户人数会增加8万人.若要保证该公司月总收入不减少，则x的取值范围为.16．已知函数op=|2−B+2|+，∈，若op在区间[−1，1]上的最大值是3，则实数的最大值是.四、解答题17．（1）已知+−1=6(>1)，求12−−12的值；（2）log232+(1+lg2)lg5+(lg2)2−4log4318．已知不等式B2−3+2>0的解集为{U<1或>V（其中>1）．（1）求实数，的值；（2）解关于的不等式K14B−≥1．19．已知幂函数f（x）＝（m2﹣4m+4）xm﹣2在（0，+∞）上单调递减.（1）求f（x）的解析式；（2）若正数a，b满足2a+3b＝4m，若不等式3+2≥n恒成立，求实数n的最大值.\20．已知函数op=2r1，∈(0，+∞)（1）判断函数的单调性，并用定义法证明；（2）若o2−1)>o1−p，求实数的取值范围.21．已知函数op=2+，∈(0，+∞)，其中>0.（1）若op的图象与直线=2没有公共点，求实数a的取值范围；（2）当=1时，函数op=12(p+op的最小值为−8，求实数m的值.22．函数=op的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数=op为奇函数，可以将其推广为：函数=op的图象关于点o，p成中心对称图形的充要条件是函数=o+p−为奇函数，给定函数op=2+K6r1.（1）求op的对称中心；（2）已知函数op同时满足：①o+1)−1是奇函数；②当∈[0，1]时，op=2−B+.若对任意的1∈[0，2]，总存在2∈[1，5]，使得o1)=o2)，求实数m的取值范围.答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】由题设∪={U0<<2}∪{U1<<5}={U0<<5}.故答案为：A【分析】根据并集的定义进行计算可得答案.2．【答案】B【解析】【解答】解不等式2−−6<0，得−2<<3而集合={U0<<2}是集合={U−2<<3}的真子集，所以“0<<2”是“2−−6<0”的充分而不必要条件故答案为：B【分析】利用一元二次不等式的解法可得2−−6<0的解集，再结合充分条件、必要条件的定义可得答案.3．【答案】D【解析】【解答】由于f（2x﹣1）＝4x+6，则f（5）＝f（2×3﹣1）＝4×3+6＝18.故答案为：D.【分析】可把f(5)中的5拆成2×3−1的形式，即可利用已知关系式求出f（5）的值.4．【答案】C【解析】【解答】解：由图形可知，O=12B=12(+p，O=12(+p−=12(−p，在Rt△OCF中，由勾股定理可得，CF=∵CF≥OF，≥12(+p，故答案为：C.【分析】由图形可知，O=12B=12(+p，O=12(−p，在Rt△OCF中，由勾股定理可求出CF，结合CF≥OF即可求出答案.5．【答案】A【解析】【解答】设1−2=，则≥0，=1−22，所以=1+1−22−=12(−2−2+3)=−12(+1)2+ 2，因为≥0，所以≤32，所以函数=1+−1−2的值域为(−∞，32].故答案为：A．【分析】根据已知条件，结合换元法以及二次函数的性质，即可求出答案.6．【答案】B【解析】【解答】由−1<<52，可得+1>0，5−2>0，op=1+1+25−2=22+225−2=27[(2+2)+(5−2p](12+2+15−2) =27(2+5−22r2+2r25−2)≥27(2+=87，仅当5−22r2=2r25−2，即=34时等号成立，故op的最小值为87.故答案为：B【分析】由op=1r1+25−2=22r2+25−2=27[(2+2)+(5−2p](12r2+15−2)展开后运用基本不等式可求出答案.7．【答案】B【解析】【解答】f（x）为偶函数，g（x）＝xf（x）为奇函数，又g（x）在[0，+∞）上单调递减，g（x）在R上单调递减.∴由（1﹣2x）f（2x﹣1）+xf（x）＜0，得（1﹣2x）f（1﹣2x）+xf（x）＜0.∴g（1﹣2x）十g（x）＜0，∴g（1﹣2x）＜﹣g（x）＝g（﹣x），∴1﹣2x＞﹣x，解得x＜1，即x∈（﹣∞，1）.故答案为：B.【分析】由题意可得g(x)=xf(x)为奇函数，且g(x)在R上单调递减，原不等式可化为g（1-2x）＜g（-x）即为1-2x＞-x，解不等式可得所求解集.8．【答案】D【解析】【解答】∵x＞0，y＞0，∴x（x+y）≤a（x2+y2）⇔xy≤（a﹣1）x2+ay2⇔(−1)()2−+≥0，令=>0，f（t）＝（a﹣1）t2﹣t+a，依题意，−1>0−14(K1)≥0，解得o12(K1)，即>1∴实数a故答案为：D.【分析】利用换元法结合二次函数的性质可求出实数a的最小值.9．【答案】B,D【解析】【解答】由韦恩图可知，∩∁≠∅，∪∁=，∁∪∁=∁，∁∩∁=∁，AC不符合题意，BD符合题意，故答案为：BD【分析】利用韦恩图结合集合间的基本运算，逐项进行判断，可得答案.10．【答案】A,B,D【解析】【解答】A：若op在R上是减函数，显然由2>1⇒o2)>o1)，不可能有o2)>o1)成立，所以op在R上不是减函数，因此A项正确；B：因为o+1)是偶函数，所以函数o+1)的图象关于轴对称，因为函数o+1)的图象向右平移1个单位得到op图象，所以op图象关于=1对称，B项正确；C：若o−1)=o1)=0，则函数op有可能是奇函数，不是偶函数，C项错误；D：o1)−o2)1−2＞0的含义是分子分母同号，即op中，自变量越大，函数值也大，所以op在R上是增函数，D项正确.故答案为：ABD.【分析】根据函数单调性的性质，函数奇偶性的性质，函数图象变换的性质逐项进行判断，可得答案. 11．【答案】A,B,D【解析】【解答】由3=5=15，则=log315>0，=log515>0，A：1+1=1log315+1log515=log153+log155=log1515=1，正确；B：由A知：1+1=1且>0，>0，≠，所以1=1+1>B>4，故正确，C：由A、B知：+=B，而2+2=(+p2−2B=(B)2−2B=(B−1)2−1>8，故错误，D：由上，(+1)2+(+1)2=2+2+2(+p+2=(B)2+2>18>16，故正确.故答案为：ABD.【分析】先把指数式化为对数式，再利用对数的运算性质可判断A；由A可知1+1=1，再结合基本不等式可判断B、C、D.12．【答案】A,D【解析】【解答】根据题意知，要使函数f（x）＝2ax2+2ax对于函数g（x）＝x+a在区间[a，a+1]上是“渐先函数”，则a≠0，不等式f（x1）﹣f（x2）＞g（x1）﹣g（x2）在[a，a+1]上恒成立，∵x1＞x2，∴o1)−o2)1−2在[a，a+1]上恒成立，1−2＞o1)−o2)∴'(p≥'(p，即4ax+2a≥1在[a，a+1]上恒成立，当a＞0时，只需（4ax+2a）min＝4a2+2a≥1，即4a2+2a﹣1≥0，解得当a＜0时，只需（4ax+2a）min＝4a（a+1）+2a≥1，即4a2+6a﹣1≥0，解得，综上可得，故实数a的值可能是1，﹣2.故答案为：AD.【分析】由已知及导数的定义可知o1)−o2)1−2＞o1)−o2)1−2在[a，a+1]上恒成立，即f'(x)>g'(x)，分别对已知函数求导，求出a的取值范围，即可得实数a的值.13．【答案】[﹣1，0)∪(0，1]【解析】【解答】∵op=1−2|U∴1−2≥0|U≠0，∴−1≤≤1≠0∴﹣1≤x<0或0<x≤1即f(x)的定义域为[﹣1，0)∪(0，1]故答案为：[﹣1，0)∪(0，1]【分析】由已知可得1−2≥0|U≠0，解不等式组可得f(x)的定义域.14．【答案】（﹣1，+∞）【解析】【解答】解：因为∃x∈R，使得x2﹣2x﹣m＜0是真命题，即m＞x2﹣2x在R上有解，只需m＞（x2﹣2x）min，又函数x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1≥﹣1，所以m＞﹣1，即实数m的范围为（﹣1，+∞），故答案为：（﹣1，+∞）.【分析】由已知可得m＞x2-2x在R上有解，只需m＞（x2-2x）min，再根据二次函数的性质求出最小值，由此即可求解出实数m的取值范围.15．【答案】(0，20]【解析】【解答】设该公司下调消费投资后的月总收入为y元，则=50(1−100)(10+8)，要保证该公司月总收入不减少，则50(1−100)(10+8)≥10×50，解得0≤≤20，∵x为正数，∴x的取值范围为(0，20].故答案为：(0，20]【分析】设该公司下调消费投资后的月总收入为y元，则=50(1−100)(10+8)，进而有50(1−100)(10+ 8)≥10×50，求解出x的取值范围.16．【答案】0【解析】【解答】因为op=|2−B+2|+，当2−4≤0，即−2≤≤2时，2−B+2≥0，op=2−B+2+，此时对称轴为=2∈[−1，1]，所以op max=max{o−1)，o1)}，即op max=max{3+2，3}，所以3+2≤3，解得≤0，所以−2≤≤0；当2−4>0，即<−2或>2时，2−B+=0有两个根，1，2，设1<，此时对称轴为=2<−1或=2>1，当即op max=max{3+2，3}所以3+2≤3，解得≤0，所以<−2；当2>1，即>2时，op max=max{o−1)，o1)}，即op max=max{3+2，3}所以3+2≤3，解得≤0，不满足>2，故无解.综上所述，的取值范围是(−∞，0]，故的最大值为0.故答案为：0【分析】分−2≤≤2，<−2或>2三种情况，结合二次函数的性质分类讨论，求出a的范围即可求出实数的最大值.17．【答案】（1）解：由题意得(12−−12)2=+1−2=4，而>1，则12−−12>0，12−−12=2（2）解：原式=13+(1+lg2)(1−lg2)+(lg2)2−3=13+1−3=−53【解析】【分析】(1)利用有理数指数幂的运算性质，结合完全平方公式求解出12−−12的值；(2)利用对数的运算性质求解即可.18．【答案】（1）解：由题意可得B2−3+2>0的解集为{U<1或>V，则>0且1和为方程B2−3+2=0的两个根．则1+=31×=2，解得=1=2．（2）解：不等式K14B−≥1化为K14K2≥1，转化为3K12K1≤0，即(3−1)(2−1)≤02−1≠0所以13≤<12，解集为{U13≤<12}．【解析】【分析】（1）由题意可得>0且1和为方程B2−3+2=0的两个根，由韦达定理列出关于a、b的方程组求解出实数，的值；（2）不等式K14B−≥1转化为3K12K1≤0，求解分式不等式，可得不等式的解集.19．【答案】（1）解：幂函数f（x）＝（m2﹣4m+4）xm﹣2在（0，+∞）上单调递减，所以2，解得m＝1，所以f （x ）的解析式为f （x ）＝x ﹣1.（2）解：正数a ，b 满足2a+3b ＝4m ，则a ＞0，b ＞0，2a+3b ＝4，所以3+2＝14（3+2）（2a+3b ）＝14（12+4+9）≥6，当且仅当4＝9，即a ＝1，b ＝23时等号成立，故3+2的最小值为6，又不等式3+2≥n 恒成立，所以n≤6，即实数n 的最大值6.【解析】【分析】（1）利用幂函数的定义和单调性列出方程，求出f （x ）的解析式；（2）由已知条件可得a ＞0，b ＞0，2a+3b ＝4，利用基本不等式求出3+2的最小值，即可得实数n 的最大值.20．【答案】（1）解：op =2r1=2(r1)−2r1=2+−2r1，∈(0，+∞)，该函数由op =−2向左平移一个单位，再向上平移2个单位即可得到，如图：由图可知，函数在∈(0，+∞)单增，现证明如下：设0<1<2，则o 1)=2+−21+1，o 2)=2+−22+1，o 2)−o 1)=21+1−22+1=2(2−1)(1+1)(2+1)，∵0<1<2，2−1>0，o 2)−o 1)>0，op =2r1在∈(0，+∞)上单调递增（2）解：若o2−1)>o1−p ，由op =2r1在∈(0，+∞)上单调递增，得2−1>01−>02−1>1−，即23<<1，则实数的取值范围为23<<1【解析】【分析】（1）采用分离常数法，结合反比例函数图象的平移法则进行预判，再采用定义法证明即可；（2）op =2r1，∈(0，+∞)根据增减性判断，应满足2−1>01−>02−1>1−，化简求值即可.21．【答案】（1）解：由题意2+=2在∈(0，+∞)上无解，即22−+2=0在∈(0，+∞)上无解，由2=−22，∈(0，+∞)，而−22=−2(−14)2+18≤18，所以>116，所以实数a的取值范围为(116，+∞).（2）解：当=1时op=2+1，则1op=+1，所以op=12(p+op=2+12+o+1)=(+1)2+o+1)−2，令=+1，又∈(0，+∞)，故≥2（仅当=1时等号成立）所以=2+B−2在[2，+∞)上的最小值为−8，又=2+B−2的图象开口向上，对称轴为=−2，当−2≤2，即≥−4时，=2+B−2在[2，+∞)上单调递增，所以min=4+2−2=2+2=−8，解得=−5，不满足≥−4，故无解；当−2>2，即<−4时，=2+B−2在[2，−2)上单调递减，在(−2，+∞)上单调递增，所以min=24−22−2=−24−2=−8，解得=±26，又<−4，故=−26，综上所述，=−26.【解析】【分析】(1)由题意可得22−+2=0在∈(0，+∞)上无解，由二次函数的性质求出实数a的取值范围；(2)由题意可得op=(+1)2+o+1)−2，令=+1，则有t≥2，将问题转化为=2+B−2在[2，+∞)上的最小值为−8，由二次函数的性质讨论函数的单调性和对应的最小值即可求得m的值. 22．【答案】（1）解：op=2+K6r1=(r1)2−(r1)−6r1=−6r1，设op的对称中心为(，p，由题意，得函数=o+p−为奇函数，则o−+p−=−o+p+，即o+p+o−+p−2=0，即(+p−6rr1+(−+p−6−rr1−2=0，整理得(−p2−[(−p(+1)2−6(+1)]=0，所以−=(−p(+1)2−6(+1)=0，解得=−1，=−1，所以函数op的对称中心为(−1，−1)；（2）解：因为对任意的1∈[0，2]，总存在2∈[1，5]，使得o1)=o2)，所以函数op的值域是函数op的值域的子集，因为函数=，=−6r1在[1，5]上都是增函数，所以函数op=−6r1在[1，5]上是增函数，所以op的值域为[−2，4]，设函数op的值域为集合，则原问题转化为⊆[−2，4]，因为函数o+1)−1是奇函数，所以函数op关于(1，1)对称，又因为o1)=1，所以函数op恒过点(1，1)，当2≤0，即≤0时，op在[0，1]上递增，则函数op在(1，2]上也是增函数，所以函数op在[0，2]上递增，又o0)=，o2)=2−o0)=2−，所以op的值域为[，2−p，即=[，2−p，又=[，2−p⊆[−2，4]，2−≤4≤0，解得−2≤≤0，所以≥−2当2≥1即≥2时，op在[0，1]上递减，则函数op在(1，2]上也是减函数，所以函数op在[0，2]上递减，则=[2−，p，又=[2−，p⊆[−2，4]，2−≥−2≤4，解得2≤≤4，所以≥2当0<2<1即0<<2时，op在(0，2)上递减，在(2，1)上递增，又因函数op过对称中心(1，1)，所以函数op在(1，2−2)上递增，在(2−2，2)上递减，故此时op min=min{o2)，o2)}，op max=max{o0)，o2−2)}，要使⊆[−2，4]，只需要o2)=2−o0)=2−≥−2o2)=−24+≥−2o0)=≤4o2−2)=2−o2)=24−+2≤40<<2，解得0<<2，综上所述实数m的取值范围为[−2，4].【解析】【分析】(1)设op的对称中心为(，p，根据对称性得到关于a，b的方程，解方程求出op的对称中心；(2)求出op的值域为[−2，4]，设函数op的值域为集合，则问题可转化为⊆[−2，4]，分m≤0，m≥2和0<<2三种情况讨论，从而可求出实数m的取值范围.。
江苏省南通中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题含答案
联立③④⑤解得 a 1 ， b c 1 .
8
2
6
所以 f x 1 x2 1 x 1 .
8 22
（3）由 x 0, ，使得 f x m x 1 成立可得：
24 mx 1 x2 1 x 1 在 x 0 上有解 28 2 4 （i） x 0 时， 0 1 不满足，∴ x 0 ；
∴ g x 在1, 上单调增
① a 0 ， g x 2x 1，显然不成立
②
a
0
，
a
0 2 2a
1
，解得
a
1
，故答案为
1,
.
四、17.（1）
CR B
,
5 2
1,
A
B
5 2
,
3
（2）3,
18.（1）
f
x
x 1 x2
（2）用定义法按步骤证明即可
19.（1） P 7 ， Q 2 3
①对任意实数 x，都有 f x x ；
②当 x 1,3 时，有 f x 1 x 22 成立．
8
（1）求证： f 2 2 ；
（2）若 f 2 0 ，求函数 f x 的解析式；
（3）在（2）的条件下，若 x 0, ， f x m x 1 成立，求实数 m 的取值范围．
24
22．（本题满分
f x 是单调递增函数。
f kx x2 f x 1 0 ， f kx x2 f x 1 f 1 x
7
kx x2 1 x 恒成立，即 x2 k 1 x 1 0 恒成立
k 12 4 0 ， 3 k 1 （3） f 1 a 1 3 ， a 0 ，解得 a 2
,
22.（1）因为是奇函数，所以 f 0 0 ，1 t 1 0 ，解得 t 2 .
江苏省南通中学2018-2019年高一上学期期中考试数学试题(解析版)
江苏省南通中学2018-2019年高一上学期期中考试数学试题（解析版）1 / 15江苏省南通中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1. 已知x 2∈{1，0，x }，则实数x 的值为（ ）A. 0B. 1C.D.2. 设A ={x |2＜x ＜3}，B ={x |x ＜m }，若A ⊆B ，则实数m 的取值范围是（ ）A. B. C. D.3. 函数f （x ）=+（x -1）0的定义域为（ ）A. 且B.C. 且D.4. 函数y =的值域是（ ）A. B.C. D. 0，5. 已知函数f （x ）=，若f （x ）=5，则x 的值是（ ） A.B. 2或C. 2或D. 2或 或6. 函数y =ln x 2的部分图象可能是（ ）A.B.C.D.7. 在函数（1）f （x ）=x 2-2x ；（2）f （x ）=（x +1）；（3）f （x ）=（x -1）2；（4）f （x ）=lg 中，偶函数的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1D. 08. 已知函数，则函数f （x ）的减区间是（ ） A. B. C. D.9. 已知f （x +1）的定义域为[-2，3），f （x -2）的定义域是（ ）A. B. C. D. 10. 设奇函数f （x ）在（0，+∞）上为增函数，且f （1）=0，则不等式＜0的解集为（ ）A. B.C. D.11.已知函数f（x）=，x∈R，则不等式f（x2-2x）＜f（3x-4）的解集为（）A. B. C. D.12.已知f（x）是定义在[-2，2]上的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）=2x-1，函数g（x）=x2-2x+m，如果对于任意x1∈[-2，2]，存在x2∈[-2，2]，使得g（x2）=f（x1），则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.幂函数f（x）=（m2-2m+1）x2m-1在（0，+∞）上为增函数，则实数m的值为______．14.集合A={3，2a}，B={a，b}，若A∩B={2}，则a+b=______．15.求值：=______．16.已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=，，＞，若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R有且仅有8个不同实数根，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共52.0分）17.已知全集为U=R，，B={y|y=|x|+4}，求：（1）A∩B，A B；（2）A∩∁U B，∁U A ∁U B．18.已知函数f（x）（x∈R）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=2x-1，（1）求函数f（x）的表达式（2）求不等式f（x）＞-的解集19.已知奇函数f（x）=a+．（1）求a的值；（2）判断f（x）的单调性，并加以证明；（3）解不等式f（2x-1）+f（2-3x）＞0．江苏省南通中学2018-2019年高一上学期期中考试数学试题（解析版）3 / 1520. 某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x （百台），其总成本为G （x ）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R （x ）（万元）满足＞，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数y =f （x ）的解析式（利润=销售收入-总成本）； （2）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？21. 已知函数f （x ）=x |x -2a |，a ∈R ．（1）若a =0，且f （x ）=-1，求x 的值；（2）当a ＞0时，若f （x ）在[2，+∞）上是增函数，求a 的取值范围； （3）若a =1，求函数f （x ）在区间[0，m ]（m ＞0）上的最大值g （m ）．22. 已知函数f （x ）=log 4（a •2x）（a ≠0，a ∈R ），g （x ）=log 4（4x+1）．（1）设h （x ）=g （x ）-kx （k ∈R ），若h （x ）是偶函数，求实数k 的值；（2）设F （x ）=（log 2x ）-g （log 4x ），求函数F （x ）在区间[2，3]上的值域； （3）若不等式f （x ）＜g （x ）恒成立，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵x2∈{1，0，x}，∴x2=1，x2=0，x2=x，由x2=1得x=±1，由x2=0，得x=0，由x2=x得x=0或x=1．综上x=±1，或x=0．当x=0时，集合为{1，0，0}不成立．当x=1时，集合为{1，0，1}不成立．当x=-1时，集合为{1，0，-1}，满足条件．故x=-1．故选：C．根据集合元素和集合的关系确定x的值，注意元素的互异性的应用．本题主要考查集合元素和集合之间的关系的应用，注意要利用元素的互异性进行检验．2.【答案】A【解析】解：∵A={x|2＜x＜3}，B={x|x＜m}，A⊆B，∴m≥3，∴实数m的取值范围是[3，+∞）．故选：A．由A={x|2＜x＜3}，B={x|x＜m}，A⊆B，能求出实数m的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】A【解析】解：要使f（x）有意义，则：；∴x＞1，且x≠2；∴f（x）的定义域为{x|x＞1且x≠2}．江苏省南通中学2018-2019年高一上学期期中考试数学试题（解析版）5 / 15故选：A ．可看出，要使得函数f （x ）有意义，则需满足，解出x 的范围即可．考查函数定义域的概念及求法． 4.【答案】D【解析】解：由题意：函数y=，∵x 2+1≥1，∴，即函数y=的值域为（0，1]．故选：D ．直接利用二次函数的性质求解．本题考查了二次函数的值域问题．属于基础题． 5.【答案】A【解析】解：由题意，当x≤0时，f （x ）=x 2+1=5，得x=±2，又x≤0，所以x=-2； 当x ＞0时，f （x ）=-2x=5，得x=-，舍去． 故选：A ．分x≤0和x ＞0两段解方程即可．x≤0时，x 2+1=5；x ＞0时，-2x=5．本题考查分段函数求值问题，属基本题，难度不大． 6.【答案】B【解析】解：∵x 2≠0，∴x≠0，∴函数y=lnx 2的定义域为（-∞，0） （0，+∞）， 又f （-x ）=f （x ），∴函数y=lnx 2为偶函数，其图象关于y 轴对称，可排除C ，D ； 又当x ＞1时，y=lnx 2＞0，可排除A ．故选：B ．由x2≠0，可知x≠0，满足定义域关于原点对称，再利用函数的奇偶性排除C，D，最后利用函数在（1，+∞）上的单调性即可得到答案．本题考查函数的图象，着重考查函数的奇偶性，考查排除法在解选择题中的作用，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：根据题意，依次分析所给的4个函数：对于f（x）=x2-2x，其定义域为R，且f（-x）≠f（x）且f（-x）≠-f（x），f（x）是非奇非偶函数；对于f（x）=（x+1），有≥0，解可得-1＜x≤1，其定义域不关于原点对称，则f（x）是非奇非偶函数；对于f（x）=（x-1）2，为二次函数，其对称轴为x=1，则f（x）是非奇非偶函数；对于f（x）=lg，有x2-2＞0，其定义域为{x|x＜-或x＞}，且f（-x）=f（x），则函数f（x）为偶函数，4个函数中，偶函数的数目为1；故选：C．根据题意，依次分析所给的4个函数的奇偶性，综合即可得答案．本题考查函数奇偶性的判断，注意分析函数的定义域，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：设t=x2-4x-5，由t＞0可得x＞5或x＜-1，则y=t在（0，+∞）递减，由t=x2-4x-5在（5，+∞）递增，可得函数f（x）的减区间为（5，+∞）．故选：C．设t=x2-4x-5，求得t＞0的x的范围，y=t在（0，+∞）递减，求得t的增区间，江苏省南通中学2018-2019年高一上学期期中考试数学试题（解析版）7 / 15运用复合函数的单调性，即可得到所求减区间．本题考查复合函数的单调性：同增异减，考查二次函数和对数函数的单调性，属于基础题． 9.【答案】D【解析】解：∵f （x+1）的定义域为[-2，3）； ∴-2≤x ＜3； ∴-1≤x+1＜4；∴f （x ）的定义域为[-1，4）； ∴-1≤x -2＜4； ∴1≤x ＜6；∴f （x-2）的定义域为[1，6）． 故选：D ．可根据f （x+1）的定义域求出f （x ）的定义域，进而得出f （x-2）的定义域． 考查函数定义域的概念及求法，已知f[g （x ）]定义域求f （x ）定义域，以及已知f （x ）求f[g （x ）]的定义域的方法． 10.【答案】D【解析】解：∵f （x ）为奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，f （1）=0， ∴f （1）=-f （-1）=0，在（-∞，0）内也是增函数 ∴=＜0，即或根据在（-∞，0）和（0，+∞）内是都是增函数 解得：x ∈（-1，0） （0，1） 故选：D ．根据函数为奇函数求出f （1）=0，再将不等式x f （x ）＜0分成两类加以分析，再分别利用函数的单调性进行求解，可以得出相应的解集．本题主要考查了函数的奇偶性的性质，以及函数单调性的应用等有关知识，属于基础题．结合函数的草图，会对此题有更深刻的理解．11.【答案】A【解析】解：∵f（x）==，在f（x）在（-∞，0）上单调递增，∵f（x2-2x）＜f （3x-4），∴或，解可得，或，即{x|1＜x＜2}，故选：A．由f（x）==，从而有f（x）在（-∞，0）上单调递增，结合单调性可求．本题主要考查了利用函数的单调性求解不等式，体现了分类讨论思想的应用．12.【答案】C【解析】解：∵f（x）是定义在[-2，2]上的奇函数，∴f（0）=0，当x∈（0，2]时，f（x）=2x-1∈（0，3]，则当x∈[-2，2]时，f（x）∈[-3，3]，若对于∀x1∈[-2，2]，∃x2∈[-2，2]，使得g（x2）=f（x1），则等价为g（x）max≥3且g（x）min≤-3，∵g（x）=x2-2x+m=（x-1）2+m-1，x∈[-2，2]，∴g（x）max=g（-2）=8+m，g（x）min=g（1）=m-1，则满足8+m≥3且m-1≤-3，解得m≥-5且m≤-2，故-5≤m≤-2，江苏省南通中学2018-2019年高一上学期期中考试数学试题（解析版）故选：C．求出函数f（x）的值域，根据条件，确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论．本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数最值之间的关系，综合性较强．13.【答案】2【解析】解：由函数f（x）=（m2-2m+1）x2m-1是幂函数，则m2-2m+1=1，解得m=0或m=2；当m=0时，f（x）=x-1，在（0，+∞）上为减函数，不合题意；当m=2时，f（x）=x3，在（0，+∞）上为增函数，满足题意．故答案为：2．由函数f（x）是幂函数，列方程求出m的值，再验证是否满足题意．本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．14.【答案】3【解析】解：∵集合A={3，2a}，B={a，b}，若A∩B={2}，则2a=2，b=2，求得a=1，b=2，则a+b=3，故答案为：3．由题意可得则2a=2，b=2，求得a、b=2的值，可得a+b的值．本题主要考查两个集合的交集的定义和运算，属于基础题．15.【答案】【解析】解：==+2+2=．故答案为：．9 / 15先利用对数的运算法则进行计算，第一个式子的值直接利用幂的运算将真数化成3α的形式后进行计算，将中间两个对数式的和化成一个以10为底的对数的形式即可求得其值为2，再结合对数恒等式：进行计算最后一个式子的值．从而问题解决．本小题主要考查对数的运算性质、对数的运算性质的应用、指数的运算性质等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．对数的运算性质：log a（MN）=log a M+log a N；log a=log a M-log a N；log a M n=nlog a M等．16.【答案】（，）【解析】解：当0≤x≤2时，y=-x2递减，当x＞2时，y=-（）x-递增，由于函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，则f（x）在（-∞，-2）和（0，2）上递减，在（-2，0）和（2，+∞）上递增，当x=0时，函数取得极大值0；当x=±2时，取得极小值-1．当0≤x≤2时，y=-x2∈[-1，0]．当x＞2时，y=-（）x-∈[-1，-）要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R，有且仅有8个不同实数根，设t=f（x），则t2+at+=0的两根均在（-1，-）．则有，即为，江苏省南通中学2018-2019年高一上学期期中考试数学试题（解析版）11 / 15 解得＜a ＜．即有实数a 的取值范围是（，）． 故答案为：（，）．求出f （x ）的单调性，以及极值和值域，可得要使关于x 的方程[f （x ）]2+af （x ）+=0，a ∈R ，有且仅有8个不同实数根，转化为t 2+at+=0的两根均在（-1，-），由二次方程实根的分布，列出不等式组，解得即可．本题考查函数的单调性和奇偶性的运用，主要考查方程与函数的零点的关系，掌握二次方程实根的分别是解题的关键，属于中档题．17.【答案】解：（1） ＜ …（2分） B =[4，+∞）…（4分）∴A ∩B =[4，5]…（6分）A B =（2，+∞）…（8分）（2）∵∁U B =（-∞，4），∴A ∩∁U B =（2，4）…（11分）又∁U A =（-∞，2] （5，+∞）∴∁U A ∁U B =（-∞，4） （5，+∞）…（14分）【解析】（1）根据集合A ，B 的意义，求出集合A ，B ，再跟据交、并集的运算求得结果即可．（2）先跟据补集的运算求得A 、B 的补集，再跟据交并集的运算求得结果． 本题考查了对数函数的定义域、绝对值函数的值域、交并补集的运算，是基础题．18.【答案】解：（1）根据题意，函数f （x ）（x ∈R ）是奇函数，则f （0）=0， 当x ＜0时，-x ＞0，则f （-x ）=2×（-x ）-1=-2x -1，又由函数f （x ）为奇函数，则f （x ）=-f （-x ）=2x +1，则f （x ）= ， ＞， ， ＜，（2）根据题意，f （x ）= ， ＞， ， ＜，当x ＞0时，f （x ）=2x -1，此时f （x ）＞- 即2x -1＞- ，解可得x ＞ ，此时不等式的解集为{x|x＞}，当x=0时，f（0）=0，f（x）＞-成立；此时不等式的解集为{0}，当x＜0时，f（x）=2x+1，此时f（x）＞-即2x+1＞-，解可得x＞-，此时不等式的解集为{x|-＜x＜0}，综合可得：不等式f（x）＞-的解集{x|-＜x≤0或x＞}．【解析】（1）根据题意，由奇函数的性质分析可得f（0）=0，结合函数的奇偶性以及解析式可得当x＜0时f（x）的解析式，综合即可得答案；（2）根据题意，由函数的解析式分3种情况讨论，当x＞0时，f（x）=2x-1，此时f（x）＞-即2x-1＞-，当x=0时，f（0）=0，f（x）＞-成立；当x＜0时，f（x）=2x+1，此时f（x）＞-即2x+1＞-，分别求出3种情况下不等式的解集，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是求出函数的解析式．19.【答案】解：（1）∵奇函数f（x）=a+的定义域为R，∴f（0）=0，即f（0）=a+=a+=0，则a=-，则f（x）=-．（2）f（x）=-在（-∞，+∞）是为减函数…（6分）证明：任取x1，x2，设x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=-=，…（8分），∵x1＜x2，∴ ＞，∴ -，＞0，∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），即函数f（x）是减函数…（10分）（3）∵f（2x-1）+f（2-3x）＞0，∴f（2x-1）＞-f（2-3x）∵f（x）是奇函数，∴f（2x-1）＞-f（2-3x）=f（3x-2），即2x-1＜3x-2，得x＞1，江苏省南通中学2018-2019年高一上学期期中考试数学试题（解析版）13 / 15即不等式的解集为（1，+∞）…（15分）【解析】（1）根据函数是奇函数，利用f （0）=0，进行求解即可．（2）根据函数单调性的定义进行证明即可．（3）利用函数奇偶性和单调性的性质进行转化即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用函数奇偶性的性质以及函数单调性的定义是解决本题的关键．20.【答案】解：（1）由题意得G （x ）=2.8+x ．…（2分）∵＞， ∴f （x ）=R （x ）-G （x ）= ＞．…（7分） （2）当x ＞5时，∵函数f （x ）递减，∴f （x ）＜f （5）=3.2（万元）．…（10分）当0≤x ≤5时，函数f （x ）=-0.4（x -4）2+3.6，当x =4时，f （x ）有最大值为3.6（万元）．…（14分）所以当工厂生产4百台时，可使赢利最大为3.6万元．…（15分）【解析】（1）由题意得G （x ）=2.8+x ．由，f （x ）=R （x ）-G（x ），能写出利润函数y=f （x ）的解析式．（2）当x ＞5时，由函数f （x ）递减，知f （x ）＜f （5）=3.2（万元）．当0≤x≤5时，函数f （x ）=-0.4（x-4）2+3.6，当x=4时，f （x ）有最大值为3.6（万元）．由此能求出工厂生产多少台产品时，可使盈利最多．本题考查函数知识在生产实际中的具体应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．21.【答案】解：（1）由a =0知f（x ）=x |x |， 又f （x ）=-1即x|x|=-1，∴x=-1．（2）f（x）==，∵f（x）在[2，+∞）上是增函数∴2a≤2，即a≤1，∴0＜a≤1．（3）f（x）=，f（x）图象如图当0＜m≤1时，g（m）=f（m）=m（2-m）；当m＞+1时，g（m）=f（m）=m（m-2）；综上g（m）=，＜，＜，＞．【解析】（1）a=0⇒f（x）=x|x|，再由f（x）=-1即可求得x的值；（2）由f（x）=在[2，+∞）上是增函数，利用二次函数的单调性可求得a的取值范围；（3）作出f（x）=的图象，对m分0＜m≤1与1＜m≤+1及m＞+1三种情况讨论即可求得答案．本题考查函数单调性的判断与证明，考查函数最值的应用，考查分类讨论思想与数形结合思想、方程思想的综合运用，属于难题．22.【答案】解：（1）因为h（x）=log4（4x+1）-kx是偶函数，所以log4（4-x+1）+kx=log4（4x+1）-kx，则2kx=log4=log44x=x恒成立，所以k=；（2）F（x）=f（log2x）-g（log4x）=log4（ax-a）-log4（x+1）=log4=log4[a（1-]，因为x∈[2，3]，所以x-＞0，所以a＞0，则1-∈[，]，a＞0，江苏省南通中学2018-2019年高一上学期期中考试数学试题（解析版）15 / 15 则a （1- ）∈[ a ， a ]，所以F （x ）∈[log 4 a ，log 4 a ]；即函数F （x ）的值域为[log 4 a ，log 4 a ]；（3）由f （x ）＜g （x ），得log 4（a •2x ）＜log 4（4x +1），设t =2x ，则t 2-at +1+ a ＞0，设m （t ）=t 2-at +1+ a ，若a ＞0则t ＞ ，由不等式t 2-at +1+ a ＞0对t ＞ 恒成立， ①当 ≤ ，即0＜a ≤ 时，此时m （ ）=＞0恒成立； ②当 ＞ ，即a ＞ 时，由△=a 2-4- a ＜0解得＜a ＜6； 所以0＜a ＜6；若a ＜0则0＜t ＜ ，则由不等式t 2-at +1+ a ＞0对0＜t ＜ 恒成立， 因为a ＜0，所以 ＜0，只需m （0）=1+ a ≥0，解得- ≤a ＜0；故实数a 的取值范围是[- ，0） （0，6）．【解析】（1）运用偶函数的定义，化简整理可得k 的值；（2）求得F （x ）的解析式，运用对数函数的单调性即可得到所求值域；（3）由f （x ）＜g （x ），得log 4（a•2x ）＜log 4（4x +1），设t=2x ，则t 2-at+1+a ＞0，设m （t ）=t 2-at+1+a ，讨论a ＞0，a ＜0，结合对称轴和区间的关系，解不等式即可得到所求范围． 本题考查函数的奇偶性的定义，考查函数的值域求法，注意运用对数函数的单调性，考查不等式恒成立问题解法，注意运用换元法和分类讨论思想方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。
江苏省南通市高一上学期期中数学试卷
江苏省南通市高一上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）(2018·南昌模拟) 已知集合 ,则（）A .B .C .D .2. （2分） (2020高三上·泸县期末) 已知定义在上的奇函数，满足时，，则的值为（）A . -15B . -7C . 3D . 153. （2分） (2016高一上·宁波期中) 已知f（x）=ax7﹣bx5+cx3+2，且f（﹣5）=m，则f（5）的值为（）A . 2﹣mB . 4C . 2mD . ﹣m+44. （2分） (2017高二下·临淄期末) 若loga（a2+1）＜loga2a＜0，则a的取值范围是（）A . 0＜a＜1B . 0＜a＜C . ＜a＜1D . a＞15. （2分） (2017高三上·长沙开学考) 已知函数f（x）=x2﹣xlnx﹣k（x+2）+2在区间[ ，+∞）上有两个零点，则实数k的取值范围为（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高一上·三亚期中) 在下列四组函数中，f（x）与g（x）表示同一函数的是（）A .B .C .D .7. （2分）若函数，则f(f(10))=（）A . lg101B . 2C . 1D . 08. （2分） (2016高一上·佛山期中) 下列函数中，图象关于原点中心对称且在定义域上为增函数的是（）A .B . f（x）=2x﹣1C .D . f（x）=﹣x39. （2分）已知数列满足，且，则的值是（）A .B .C .D .10. （2分）上海世博会期间，某日13时至21时累计入园人数的折线图如图所示，那么在13时～14时，14时～15时，…，20时～21时八个时段中，入园人数最多的时段是（）A . 13时～14时B . 16时～17时C . 18时～19时D . 19时～20时二、填空题 (共4题；共4分)11. （1分） (2019高二下·平罗月考) 若幂函数y＝(m2－2m－2)x－4m－2在x∈(0，＋∞)上为减函数，则实数m的值是________．12. （1分）若函数的定义域为，则的定义域为________．13. （1分） (2016高一上·银川期中) 设指数函数f（x）=（a﹣1）x是R上的减函数，则a的取值范围是________．14. （1分） (2016高三上·闵行期中) 已知偶函数f（x）对任意x∈R都有f（x+4）﹣f（x）=2f（2），则f （2018）=________．三、解答题 (共5题；共45分)15. （10分） (2019高一上·田阳月考) 计算：（1）（2）16. （5分）记函数f（x）=log2（2x﹣3）的定义域为集合M，函数g（x）=的定义域为集合N．求：（Ⅰ）集合M，N；（Ⅱ）集合M∩N，∁R（M∪N）．17. （10分） (2016高三上·北区期中) 设a∈R，f（x）= 为奇函数．（1）求函数F（x）=f（x）+2x﹣﹣1的零点；（2）设g（x）=2log2（），若不等式f﹣1（x）≤g（x）在区间[ ， ]上恒成立，求实数k 的取值范围．18. （15分） (2018高一上·泰安月考) 已知函数 .（1）做出函数图象；（2）说明函数的单调区间（不需要证明）；（3）若函数的图象与函数的图象有四个交点，求实数的取值范围.19. （5分） (2018高一下·商丘期末) 已知函数（Ⅰ）当且时，求的值域；（Ⅱ）若 ,对任意的使得成立，求实数的取值范围.参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共4题；共4分)11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共5题；共45分) 15-1、15-2、16-1、17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、。
江苏省南通中学2023-2024学年高一上学期期中 数学试题(含解析)
（1）求函数 y f x 的解析式，并写出函数 y f x 图象恒过的定点；
（2）若
f
x
3 a2
5
，求
x
的取值范围．
21．已知二次函数 f x x2 ax ba,b R .
(1)若 f 2 0 ，且对于 x R ， f 1 x f 1 x 恒成立，求 a ， b 的值；
v0 1 2 3
Q 0 0.7 1.6 3.3
为描述该超级块艇每小时航行费用 Q 与速度 v 的关系，现有以下两种函数模型供选择：
Q av3 bv2 cv， Q 0.5v a .
(1)试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； (2)该超级快艇应以多大速度航行才能使 AB 段的航行费用最少?并求出期少航行费用.
C．若 a b 0 ，则 a2 ab b2
D．若
a
b
0
，则
1 a
1 b
11．已知 f x 是 R 上的偶函数，且在0, 上是单调减函数，则满足不等式
f 2t 1 f t 2 的所有整数 t 的值为（ ）
A． 2
B． 1
C．0
D．1
12．已知 f x 、 g x 都是定义在 R 上的函数，且 f x 为奇函数， g x 的图像关于直
所以若要 7 m 5 2m ，则 m Î [- 1, 2]，
63
也即函数 f x 的值域为 R 时，
则实数 m 的取值范围为： m Î [- 1, 2]，
故选：D.
8．A
【分析】先根据题意得到
1 y
1 x
2
，从而得到
y
1 y
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江苏省南通中学2016—2017学年度第一学期期中考试
高一数学试卷
(本卷考试时间120分钟，满分100分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目、试卷类型等写在答题纸上，并用2B 铅笔涂好考生号．
2．主观题请在规定区域答题．请务必保持答题纸的整洁，不要折叠，考试结束，将答题纸交回．
一、填空题：本大题共14小题，每小题3分共42分．请在答题卡指定区域
．．．．．．．内直接写出结果. 1．若A＝{1，0，3}，B＝{－1，1，2，3}，则A∩B＝▲ ．
2．若幂函数y＝f(x)的图像过点（4，2），则f(16)＝▲ ．
3．函数的定义域是▲ ．
4．已知指数函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是▲．
5．函数，则的解析式是▲ ．
6．设集合，集合，则A∪B= ▲ ．
7．计算：▲ ．
8．设a=log0.60.8，b=ln0.8，c=20.8，则a、b、c由小到大的顺序是▲ ．
9．求函数的值域为▲ ．
10．已知为奇函数，当时，．那么当时，的最大值为▲ ．
11．函数在［0，1］上的最大值与最小值之和为a，则a的值为▲ ．
12．设为奇函数，且在内是增函数，，则的解集为▲ .
13．已知函数，若函数f（x）的值域为R，则实数t的取值范围是
▲ ．
14．已知函数，函数．若函数有三个零点，则实数的取值范围为▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共58分.请在答题卡指定区域
．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．(本题满分8分)
计算：（1）．
（2）.
16．(本题满分8分)
已知集合A＝{x|3≤x<10}，集合B＝{x|2x－16≥0}．
(1)求A∪B；
(2)求∁R(A∩B)．
(1) 判断并证明函数
的奇偶性
(2) 证明函数
在上是增函数，并求在上的值域。
18．(本题满分9分) 已知函数，其中且，又． （1）求实数a 的值；
（2）若，求函数的值域．
（3）求函数
的零点
19．(本题满分12分)
已知销售“笔记本电脑”和“台式电脑”所得的利润分别是P (单位：万元)和Q (单位：万元)，它们
与进货资金t (单位：万元)的关系有经验公式P ＝161t 和Q ＝21．某商场决定投入进货资金50万元，
全部用来购入这两种电脑，那么该商场应如何分配进货资金，才能使销售电脑获得的利润y (单位：万元)最大？最大利润是多少万元？
已知函数，．
（1）若函数是偶函数，求出符合条件的实数的值；
（2）若方程有两解，求出实数的取值范围；
（3）若，记，试求函数在区间[1，2]上的最大值．
2016—2017学年度第一学期高一数学期中参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题3分共42分．
1．{1，3} 2．4 3．{x| x≥－1且x≠2} 4．（1,2） 5．
6． 7．2 8．b＜a＜c 9． 10．—1 11．12． 13．[-7,2] 14．
二、解答题：本大题共6小题，共58分.
15．解：（1） 8………………………4分
（2）……………………8分
16．解：(1)易得B＝{x|x≥4}．………………………………………………………2分∵A＝{x|3≤x<10}，∴A∪B＝{x|x≥3}；……………………………………………4分
(2)∵A∩B＝{x|4≤x<10}，∴∁R(A∩B)＝{x| x<4或x≥10}．……………………………8分17．（1）判断：函数f(x)=是奇函数……………………………2分证明：f(x)的定义域为
f(-x)=
f(-x)=- f(x)
所以f(x)是奇函数……………………………4分
（2）证明：⑴、设，
由⑴知在[4，8]上是增函数……………………………8分 ∴ ∴……………………………9分
18．解：（1）由已知得，即，解得或． 又且，∴．……………………………2分
（2）由（1）得． 令，则．……………………………4分 因为函数在区间上单调递减，在上单调递增， 从而；． 故函数的值域为．……………………………7分
（3）令得，
所以函数的零点是……………………………9分
19．解：设用于台式电脑的进货资金为m 万元，则用于笔记本电脑的进货资金为(50－m )万元，
…………………………………………2分
所以，销售电脑获得的利润为y ＝P +Q ＝161(50－m )＋21(0≤m ≤50)．…………4分
令u ＝，则u ∈[0，5]，
(不写u 的取值范围，则扣1分)
则y ＝－161u 2＋21u ＋825＝－161(u －4)2＋833．………………………………………9分
当u ＝4，即m ＝16时，y 取得最大值为833．
所以当用于台式机的进货资金为16万元，用于笔记本的进货资金为34万元时，可使销售电脑
的利润最大，最大为833万元．…………………………………………12分
20．解：（1）∵函数f （x ）=|x ﹣a|为偶函数，
∴对任意的实数x ，f （﹣x ）=f （x ）成立
即|﹣x ﹣a|=|x ﹣a|，
∴x+a=x ﹣a 恒成立，或x+a=a ﹣x 恒成立
∵x+a=a ﹣x 不能恒成立
∴x+a=x ﹣a 恒成立，得a=0．……………………………2分
（2）当a ＞0时，|x ﹣a|﹣ax=0有两解，
等价于方程（x ﹣a ）2﹣a 2x 2=0在（0，+∞）上有两解，
即（a 2﹣1）x 2+2ax ﹣a 2=0在（0，+∞）上有两解，……………………………4分
令h （x ）=（a 2﹣1）x 2+2ax ﹣a 2
， 因为h （0）=﹣a 2＜0，所以，故0＜a ＜1；………………6分 同理，当a ＜0时，得到﹣1＜a ＜0；
当a=0时，f （x ）=|x|=0=g （x ），显然不合题意，舍去．
综上可知实数a 的取值范围是（﹣1，0）∪（0，1）．……………………………8分
（3）令F （x ）=f （x ）•g（x ）
①当0＜a ≤1时，则F （x ）=a （x 2﹣ax ）， 对称轴，函数在[1，2]上是增函数，
所以此时函数y=F （x ）的最大值为4a ﹣2a 2．
②当1＜a ≤2时，，对称轴，
所以函数y=F （x ）在（1，a]上是减函数，在[a ，2]上是增函数，F （1）=a 2﹣a ，F （2）=4a ﹣2a 2，
1）若F （1）＜F （2），即
，此时函数y=F （x ）的最大值为4a ﹣2a 2； 2）若F （1）≥F （2），即，此时函数y=F （x ）的最大值为a 2﹣a ．
③当2＜a ≤4时，F （x ）=﹣a （x 2﹣ax ）对称轴，
此时，
④当a＞4时，对称轴，此时．
综上可知，函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值…
……………………………12分。