高考数学二轮复习 第二部分 第一板块 考前练2个送分专题教学案 文

第一板块 考前练2个送分专题送分专题(一)集合与常用逻辑用语考点一 集 合 [题组练透]1．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |3x<1}，则( ) A ．A ∩B ＝{x |x <0} B ．A ∪B ＝R C ．A ∪B ＝{x |x >1}D ．A ∩B ＝∅解析：选A ∵集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |x <0}， ∴A ∩B ＝{x |x <0}，A ∪B ＝{x |x <1}，故选A.2．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选B 因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2.3．(2017·全国卷Ⅱ)设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝( ) A ．{1，－3} B ．{1,0} C ．{1,3}D ．{1,5}解析：选C 因为A ∩B ＝{1}，所以1∈B ，所以1是方程x 2－4x ＋m ＝0的根，所以1－4＋m ＝0，m ＝3，方程为x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3，所以B ＝{1,3}．4．(2018届高三·西安八校联考)已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2x≥1，N ＝{y |y ＝1－x 2}，则M ∩N ＝( )A ．(－∞，2]B ．(0,1]C ．[0,1]D ．(0,2]解析：选B 由2x ≥1得x －2x≤0，解得0<x ≤2，则M ＝{x |0<x ≤2}；函数y ＝1－x 2的值域是(－∞，1]，则N ＝{y |y ≤1}，因此M ∩N ＝(0,1]，故选B.5．(2017·洛阳统考)已知集合A ＝{x |x (x －1)<0}，B ＝{x |e x>1}，则(∁R A )∩B ＝( )A ．[1，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(0,1)D ．[0,1]解析：选A 依题意得，A ＝{x |0<x <1}，则∁R A ＝{x |x ≤0或x ≥1}，又B ＝{x |x >0}，故(∁R A )∩B ＝{x |x ≥1}＝[1，＋∞)，故选A.6．(2017·合肥质检)已知集合A ＝[1，＋∞)，B ＝x ∈R 12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)解析：选A 因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1，故选A.7.设A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}，B ＝{x |ln(3－2x )<0}，则图中阴影部分表示的集合为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤32，3 解析：选B A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |ln(3－2x )<0}＝{x |0<3－2x <1}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 1<x <32，图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 1<x <32，故选B.8．(2017·云南统考)设集合A ＝{x |－x 2－x ＋2<0}，B ＝{x |2x －5>0}，则集合A 与B 的关系是( )A ．B ⊆A B ．B ⊇AC ．B ∈AD ．A ∈B解析：选A 因为A ＝{x |－x 2－x ＋2<0}＝{x |x >1或x <－2}，B ＝{x |2x －5>0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx >52，所以B ⊆A ，故选A.[临考指导]集合运算中的3种常用方法(1)数轴法：若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解； (2)图象法：若已知的集合是点集，用图象求解；(3)Venn 图法：若已知的集合是抽象集合，用Venn 图求解．[易错提醒]在写集合的子集时，易忽视空集；在应用条件A ∪B ＝B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ⊆B 时，易忽略A ＝∅的情况．考点二 充要条件的判断[题组练透]1．(2017·北京高考)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2. ∴当λ<0，n ≠0时，m ·n <0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉<0⇔〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π， 当〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分而不必要条件．2．设a ∈R ，则“a ＝4”是“直线l 1：ax ＋8y －8＝0与直线l 2：2x ＋ay －a ＝0平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D 若a ＝4，则直线l 1：4x ＋8y －8＝0，即x ＋2y －2＝0，直线l 2：2x ＋4y －4＝0，即x ＋2y －2＝0.此时两直线重合．反过来，若直线l 1与l 2平行，则满足⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2×8＝0，－a －a －，方程组无解，a 的值不存在．即“a ＝4”是“直线l 1：ax ＋8y－8＝0与直线l 2：2x ＋ay －a ＝0平行”的既不充分也不必要条件．3．(2017·惠州调研)设函数y ＝f (x )，x ∈R ，“y ＝|f (x )|是偶函数”是“y ＝f (x )的图象关于原点对称”的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 设f (x )＝x 2，y ＝|f (x )|是偶函数，但是不能推出y ＝f (x )的图象关于原点对称，充分性不成立．反之，若y ＝f (x )的图象关于原点对称，则y ＝f (x )是奇函数，这时y ＝|f (x )|是偶函数，必要性成立．故选C.4．(2017·南昌模拟)已知α，β均为第一象限角，那么“α>β”是“sin α>sin β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D 由α，β均为第一象限角，可取α＝2π＋π3，β＝π3，有α>β成立，但sinα＝sin β，即“α>β”不是“sin α>sin β”的充分条件；又由α，β均为第一象限角，可取α＝π3，β＝2π＋π6，有sin α>sin β成立，但α<β，即“α>β”不是“sin α>sinβ”的必要条件．综上所述，“α>β”是“sin α>sin β”的既不充分也不必要条件．5．(2017·浙江高考)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选 C 因为{a n }为等差数列，所以S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d ，S 4＋S 6－2S 5＝d ，所以d >0⇔S 4＋S 6>2S 5.所以“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的充分必要条件．6．(2017·广州模拟)已知命题p ：∃x >0，e x－ax <1成立，q ：函数f (x )＝－(a －1)x，在R 上是减函数，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 作出y ＝e x与y ＝ax ＋1的图象，如图． 当a ≤1时，e x≥ax ＋1在(0，＋∞)上恒成立；当a >1时，可知存在x ∈(0，x 0)，使得e x－ax <1成立，故p 成立，即p ：a >1.由函数f (x )＝－(a －1)x是减函数，可得a －1>1，得a >2，即q ：a >2，故p 推不出q ，q 可以推出p ，p 是q 的必要不充分条件，故选B.[临考指导]判定充分条件与必要条件的3种方法(1)定义法：正、反方向推理，若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件(或q 是p 的必要条件)；若p ⇒q ，且q ⇒/ p ，则p 是q 的充分不必要条件(或q 是p 的必要不充分条件)．(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件(B 是A 的必要条件)；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．[易错提醒]“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A .考点三 命题真假的判定与命题的否定[题组练透]1．(2017·沈阳质检)命题p ：“∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤12”的否定为( )A ．∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >12B ．∀x ∉N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >12C ．∃x ∉N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >12D ．∃x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >12解析：选D 命题p 的否定是把“∀”改成“∃”，再把“⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤12”改为“⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >12”即可，故选D.2．(2017·合肥质检)已知命题q ：∀x ∈R ，x 2>0，则( ) A ．命题綈q ：∀x ∈R ，x 2≤0为假命题 B ．命题綈q ：∀x ∈R ，x 2≤0为真命题 C ．命题綈q ：∃x ∈R ，x 2≤0为假命题 D ．命题綈q ：∃x ∈R ，x 2≤0为真命题解析：选D 全称命题的否定是将“∀”改为“∃”，然后再否定结论．又当x ＝0时，x 2≤0成立，所以綈q 为真命题，故选D.3．以下有关命题的说法错误的是( )A ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0” B ．“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件 C ．若p ∨q 为假命题，则p ，q 均为假命题D ．对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1<0 解析：选D 选项D 中綈p 应为：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0.故选D.4．已知命题p ：函数f (x )＝|cos x |的最小正周期为2π；命题q ：函数y ＝x 3＋sin x 的图象关于原点中心对称．则下列命题是真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∨qC ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨(綈q )解析：选B 因为命题p 为假，命题q 为真，所以p ∨q 为真命题． 5．(2017·广东诊断)下列说法错误的是( ) A ．若p ∨q 为假命题，则p ∧q 为假命题B ．若a ，b ∈[0,1]，则不等式a 2＋b 2<14成立的概率是π16C ．命题“∀x ∈R ，均有x ＋ln x >1”的否定是“∃x ∈R ，x ＋ln x ≤1”D ．已知函数f (x )可导，则“f ′(x 0)＝0”是“x 0是函数f (x )的极值点”的充要条件 解析：选D 选项A ，若p ∨q 为假命题，则p 为假命题，q 为假命题，故p ∧q 为假命题，正确；选项B ，使不等式a 2＋b 2<14成立的a ，b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，故不等式a 2＋b 2<14成立的概率是14×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1221×1＝π16，正确；选项C ，全称命题的否定是特称命题，正确；选项D ，令f (x )＝x 3，则f ′(0)＝0，但0不是函数f (x )＝x 3的极值点，错误，故选D.6．(2017·石家庄质检)下列选项中，说法正确的是( ) A ．若a >b >0，则ln a <ln bB ．向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2m －1)(m ∈R)垂直的充要条件是m ＝1C ．命题“∀n ∈N *,3n >(n ＋2)·2n －1”的否定是“∀n ∈N *,3n ≥(n ＋2)·2n －1”D ．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的，则命题“若f (a )·f (b )<0，则f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点”的逆命题为假命题解析：选D A 中，因为函数y ＝ln x (x >0)是增函数，所以若a >b >0，则ln a >ln b ，故A 错；B 中，若a ⊥b ，则m ＋m (2m －1)＝0，解得m ＝0，故B 错；C 中，命题“∀n ∈N *,3n>(n ＋2)·2n －1”的否定是“∃n ∈N *,3n≤(n ＋2)·2n －1”，故C 错；D 中，原命题的逆命题是“若f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，则f (a )·f (b )<0”，是假命题，如函数f (x )＝x 2－2x －3在区间[－2,4]上的图象是连续不断的，且在区间(－2,4)内有两个零点，但f (－2)·f (4)>0，故D 正确．故选D.[临考指导] 命题真假的4种判定方法(1)一般命题p 的真假结合其涉及的相关知识判定．(2)四种命题真假的判定根据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律．(3)形如p ∨q ，p ∧q ，綈p 命题的真假根据真值表判定． (4)全称命题与特称命题的真假的判定：①全称命题：要判定一个全称命题为真命题，必须对限定集合M 中的每一个元素x 验证p (x )成立；要判定其为假命题时，只需举出一个反例即可；②特称命题：要判定一个特称命题为真命题，只要在限定集合M 中至少能找到一个元素x 0，使得p (x 0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．[易错提醒]“否命题”是对原命题“若p ，则q ”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p 的否定”即：非p ，只是否定命题p 的结论．送分专题(二)算法、复数、推理与证明考点一算法[题组练透]1．(2017·陕西质检)如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图．若输出的a＝3，则输入的a，b不可能为( )A．6,9 B．3,3C．15,18 D．13,10解析：选D 该算法的功能为求两个正整数的最大公约数，执行该算法后输出的a＝3，即输入的a，b的最大公约数为3，结合选项可知选D.2．(2017·全国卷Ⅱ)执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝－1，则输出的S＝( )A．2 B．3C．4 D．5解析：选B 运行程序框图，a＝－1，S＝0，K＝1，K≤6成立；S ＝0＋(－1)×1＝－1，a ＝1，K ＝2，K ≤6成立； S ＝－1＋1×2＝1，a ＝－1，K ＝3，K ≤6成立； S ＝1＋(－1)×3＝－2，a ＝1，K ＝4，K ≤6成立； S ＝－2＋1×4＝2，a ＝－1，K ＝5，K ≤6成立； S ＝2＋(－1)×5＝－3，a ＝1，K ＝6，K ≤6成立；S ＝－3＋1×6＝3，a ＝－1，K ＝7，K ≤6不成立，输出S ＝3.3．(2017·全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选D 执行程序框图，S ＝0＋100＝100，M ＝－10，t ＝2；S ＝100－10＝90，M ＝1，t ＝3，S <91，输出S ，此时，t ＝3不满足t ≤N ，所以输入的正整数N 的最小值为2.4．(2017·合肥模拟)如图所示的程序框图的算法思想源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图(图中“m MOD n ”表示m 除以n 的余数)，若输入的m ，n 分别为495,135，则输出的m ＝( )A ．0B ．5C ．45D ．90解析：选C 该程序框图是求495与135的最大公约数，由495＝135×3＋90,135＝90×1＋45,90＝45×2，所以495与135的最大公约数是45，所以输出的m ＝45，故选C.5．(2018届高三·西安八校联考)如图给出的是计算12＋14＋16＋…＋12 014＋12 016＋12 018的值的程序框图，其中判断框内应填入的是( )A ．i ≤2 014?B ．i ≤2 016?C ．i ≤2 018?D ．i ≤2 020?解析：选C 依题意得，S ＝0，i ＝2；S ＝0＋12，i ＝4；…；S ＝0＋12＋14＋…＋12 014＋12 016＋12 018，i ＝2 020，输出的S ＝12＋14＋16＋…＋12 014＋12 016＋12 018，所以题中的判断框内应填入的是“i ≤2 018？”，故选C.6．(2017·全国卷Ⅰ)如图所示的程序框图是为了求出满足3n－2n>1 000的最小偶数n ，那么在◇和▭两个空白框中，可以分别填入( )A ．A >1 000和n ＝n ＋1B ．A >1 000和n ＝n ＋2C ．A ≤1 000和n ＝n ＋1D ．A ≤1 000和n ＝n ＋2解析：选D 程序框图中A ＝3n－2n，且判断框内的条件不满足时输出n ，所以判断框中应填入A ≤1 000，由于初始值n ＝0，要求满足A ＝3n－2n>1 000的最小偶数，故执行框中应填入n ＝n ＋2.[临考指导]解答程序框图(流程图)问题的方法(1)首先要读懂程序框图，要熟练掌握程序框图的三种基本结构，特别是循环结构，在累加求和、累乘求积、多次输入等有规律的科学计算中，都有循环结构．(2)准确把握控制循环的变量，变量的初值和循环条件，弄清在哪一步结束循环；弄清循环体和输入条件、输出结果．(3)对于循环次数比较少的可逐步写出，对于循环次数较多的可先依次列出前几次循环结果，找出规律．[易错提醒]循环结构的两个注意点：(1)注意区分计数变量与循环变量．(2)注意哪一步结束循环．考点二 复 数 [题组练透]1．(2017·广东诊断)1＋2i－2＝( ) A ．－1－12iB ．1＋12iC ．－1＋12iD ．1－12i解析：选C1＋2i －2＝1＋2i－2i＝＋2＝－2＋i 2＝－1＋12i. 2．(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：选B ∵(1＋i)x ＝1＋y i ，∴x ＋x i ＝1＋y i. 又∵x ，y ∈R ，∴x ＝1，y ＝x ＝1. ∴|x ＋y i|＝|1＋i|＝2，故选B.3．(2017·广州模拟)复数(1＋i)2＋21＋i 的共轭复数是( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i 解析：选B 因为(1＋i)2＋21＋i＝2i ＋－＋－＝2i ＋1－i ＝1＋i ，所以复数(1＋i)2＋21＋i的共轭复数是1－i ，故选B.4．(2018届高三·湖南五市十校联考)已知复数z 满足1－z1＋z＝－i ，则|z |＝( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2解析：选A 由1－z 1＋z ＝－i ，得z ＝1＋i1－i＝＋＋＋－＝i ，则|z |＝1.故选A.5．(2017·成都模拟)若复数z 1＝a ＋i(a ∈R)，z 2＝1－i ，且z 1z 2为纯虚数，则z 1在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析：选Az 1z 2＝a ＋i 1－i＝a ＋＋2＝a －＋＋a2为纯虚数，则a ＝1，所以z 1＝1＋i ，z 1在复平面内对应的点为(1,1)，在第一象限．故选A.6．(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R.其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4解析：选B 设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，对于p 1， ∵1z ＝1a ＋b i ＝a －b i a 2＋b 2∈R ，∴b ＝0， ∴z ∈R ，∴p 1是真命题； 对于p 2，∵z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ∈R ，∴ab ＝0， ∴a ＝0或b ＝0， ∴p 2不是真命题；对于p 3，设z 1＝x ＋y i(x ，y ∈R)，z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R)， 则z 1z 2＝(x ＋y i)(c ＋d i)＝cx －dy ＋(dx ＋cy )i ∈R ， ∴dx ＋cy ＝0，取z 1＝1＋2i ，z 2＝－1＋2i ，z 1≠z 2， ∴p 3不是真命题； 对于p 4，∵z ＝a ＋b i ∈R ， ∴b ＝0，∴z ＝a －b i ＝a ∈R ， ∴p 4是真命题．[临考指导]1．复数的相关概念及运算的技巧(1)解决与复数的基本概念和性质有关的问题时，应注意复数和实数的区别与联系，把复数问题实数化是解决复数问题的关键．(2)复数相等问题一般通过实部与虚部对应相等列出方程或方程组求解．(3)复数的代数运算的基本方法是运用运算法则，但可以通过对代数式结构特征的分析，灵活运用i 的幂的性质、运算法则来优化运算过程．2．与复数几何意义、模有关问题的解题技巧(1)只要把复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)与向量OZ ―→对应起来，就可以根据平面向量的知识理解复数的模、加法、减法的几何意义，并根据这些几何意义解决问题．(2)有关模的运算要注意灵活运用模的运算性质．考点三 推理与证明[题组练透]1．观察下列各式：32＋27＝22×317，33＋326＝32×3126，34＋463＝42×3163，…，若39＋9m ＝92×31m，则m ＝( )A ．80B ．81C ．728D ．729解析：选C 32＋27＝22×317＝22×3123－1，33＋326＝32×3126＝32×3133－1，34＋463＝42×3163＝42×3143－1，…，所以可归纳出3n ＋n n 3－1＝n 2×31n 3－1，所以39＋9m ＝92×31m＝92×3193－1，所以m ＝93－1＝729－1＝728.故选C.2．电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷．游戏规则如下：一个方块下面有雷或没有雷，如果没有雷，掀开方块就会出现数字(如果数字是0，则省略)，此数字表明它周围的方块下面雷的个数(至多8个)．如图甲中的“3”表示它周围的八个方块下面有3个雷．图乙是张三玩的“扫雷”游戏的局部图，根据图乙中的信息可知，第一行七个方块中下面一定没有雷的有( )A ．DGEFB ．BDEFC ．BDGED ．AFGE解析：选B 由第三行最右边的“1”及其下方的“1”知它的右边有雷，所以D ，E ，F 下面均没有雷．由第三行最左边的“1”知它的左上方必定有雷，结合B 下方的“3”知它所在的方块周围有且仅有3个雷，结合C ，D 下方的“1”知C 下面一定有雷，B 下面一定没有雷，A 下面一定有雷，综上所述下面一定没有雷的方块有BDEF .故选B.3．某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为( )A ．21B ．34C ．52D ．55解析：选D 因为2＝1＋1,3＝2＋1,5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55.4．(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩解析：选D 依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，因此选D.5．观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n 个等式为________________________．解析：由第一个等式13＝12，得13＝(1＋0)2；第二个等式13＋23＝32，得13＋23＝(1＋2)2；第三个等式13＋23＋33＝62，得13＋23＋33＝(1＋2＋3)2；第四个等式13＋23＋33＋43＝102，得13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，由此可猜想第n 个等式为13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋4＋…＋n )2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n ＋22.答案：13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n ＋226．(2017·宝鸡质检)我市在“录像课评比”活动中，评审组将从录像课的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优．若A录像课的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B录像课，则称A录像课不亚于B录像课．假设共有5节录像课参评，如果某节录像课不亚于其他4节，就称此节录像课为优秀录像课．那么在这5节录像课中，最多可能有________节优秀录像课．解析：记这5节录像课为A1～A5，先考虑2节录像课的情形，若A1的点播量>A2的点播量，且A2的专家评分>A1的专家评分，则优秀录像课最多可能有2节；再考虑3节录像课的情形，若A1的点播量>A2的点播量>A3的点播量，且A3的专家评分>A2的专家评分>A1的专家评分，则优秀录像课最多可能有3节．以此类推可知：这5节录像课中，优秀录像课最多可能有5节．答案：5[临考指导]归纳推理的2种常见类型及相应的解决方法(1)数的归纳：包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．(2)形的归纳：主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．解决此类问题的关键是抓住相邻图形之间的关系，合理利用特殊图形，找到其中的变化规律，得出结论，可用赋值检验法验证其真伪性．[易错提醒]在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，如果只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误．[专题跟踪检测]组合训练(一)一、选择题1．(2018届高三·广西三市联考)设集合A＝{x|8＋2x－x2>0}，集合B＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，则A∩B＝( )A．{－1,1} B．{－1,3}C．{1,3} D．{3,1，－1}解析：选C ∵A＝{x|－2<x<4}，B＝{1,3,5，…}，∴A∩B＝{1,3}．2．已知集合A＝{x|log2x≥1}，B＝{x|x2－x－6<0}，则A∩B＝( )A．∅B．{x|2<x<3}C．{x|2≤x<3} D．{x|－1<x≤2}解析：选C 由题可得A＝{x|x≥2}，B＝{x|－2<x<3}，则A∩B＝{x|2≤x<3}，故选C.3．(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )A．i(1＋i)2B．i2(1－i)C．(1＋i)2D．i(1＋i)解析：选C A 项，i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是纯虚数； B 项，i 2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i ，不是纯虚数； C 项，(1＋i)2＝2i,2i 是纯虚数；D 项，i(1＋i)＝i ＋i 2＝－1＋i ，不是纯虚数．故选C.4．(2017·宝鸡质量检测)已知x 1，x 2∈R ，则“x 1>1且x 2>1”是“x 1＋x 2>2且x 1x 2>1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由x 1>1且x 2>1可得x 1＋x 2>2且x 1x 2>1，即“x 1>1且x 2>1”是“x 1＋x 2>2且x 1x 2>1”的充分条件；反过来，由x 1＋x 2>2且x 1x 2>1不能推出x 1>1且x 2>1，如取x 1＝4，x 2＝12，此时x 1＋x 2>2且x 1x 2>1，但x 2＝12<1，因此“x 1>1且x 2>1”不是“x 1＋x 2>2且x 1x 2>1”的必要条件．故“x 1>1且x 2>1”是“x 1＋x 2>2且x 1x 2>1”的充分不必要条件，故选A.5．设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z－z ＝( )A ．iB ．2－iC ．1－iD ．0解析：选D 因为z ＝1＋i ，所以z ＝1－i ，则2z －z ＝21＋i －1＋i ＝－＋－－1＋i ＝1－i －1＋i ＝0，故选D.6．(2017·武昌调研)设A ，B 是两个非空集合，定义集合A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }．若A ＝{x ∈N|0≤x ≤5}，B ＝{x |x 2－7x ＋10<0}，则A －B ＝( )A ．{0,1}B ．{1,2}C ．{0,1,2}D ．{0,1,2,5}解析：选D A ＝{0,1,2,3,4,5}，B ＝{x |2<x <5}，∴A －B ＝{0,1,2,5}． 7．下列命题中，真命题为( ) A ．∃x 0∈R ，e x 0≤0 B ．∀x ∈R,2x >x 2C ．已知a ，b 为实数，则a ＋b ＝0的充要条件是a b＝－1D ．已知a ，b 为实数，则0<a <1,0<b <1是lg ab <0的充分不必要条件解析：选D 选项A 为假命题，对∀x ∈R ，e x>0；选项B 为假命题，不妨取x ＝2，则2x＝x 2；选项C 为假命题，当b ＝0时，由a ＋b ＝0推不出a b ＝－1，但由a b＝－1可推出a ＋b ＝0，即a ＋b ＝0的充分不必要条件是a b＝－1；选项D 为真命题，若0<a <1,0<b <1，则lg ab <0，反之不成立，如a ＝3，b ＝14，此时lg ab <0，但a ＝3>1，故0<a <1,0<b <1是lg ab <0的充分不必要条件，故选D.8．(2017·天津高考)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 第一次循环，24能被3整除，N ＝243＝8>3；第二次循环，8不能被3整除，N＝8－1＝7>3；第三次循环，7不能被3整除，N ＝7－1＝6>3； 第四次循环，6能被3整除，N ＝63＝2<3，结束循环，故输出N 的值为2.9．(2018届高三·湖北七市(州)联考)秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3,4，则输出的v 的值为( )A ．6B ．25C ．100D ．400解析：选C 输入n ＝3，x ＝4；第一步：v ＝1，i ＝3－1＝2；第二步：v ＝1×4＋2＝6，i ＝2－1＝1；第三步：v ＝6×4＋1＝25，i ＝1－1＝0；第四步：v ＝25×4＝100，i ＝0－1＝－1<0.程序结束，输出的v ＝100，故选C.10．(2017·张掖模拟)下列说法正确的是( ) A ．若a ∈R ，则“1a<1”是“a >1”的必要不充分条件B ．“p ∧q 为真命题”是“p ∨q 为真命题”的必要不充分条件C ．若命题p ：“∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≤2”，则綈p 是真命题D ．命题“∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3>0”解析：选A 由1a <1，得a <0或a >1，反之，由a >1，得1a <1，∴“1a<1”是“a >1”的必要不充分条件，故A 正确；由p ∧q 为真命题，知p ，q 均为真命题，所以p ∨q 为真命题，反之，由p ∨q 为真命题，得p ，q 至少有一个为真命题，所以p ∧q 不一定为真命题，所以“p ∧q 为真命题”是“p ∨q 为真命题”的充分不必要条件，故B 不正确；∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，∴命题p 为真命题，则綈p 是假命题，故C 不正确；命题“∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3≥0”，故D 不正确．11．(2017·兰州模拟)图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a ，b ，i 的值分别为6,8,0，则输出的i ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B 执行程序框图，可得a ＝6，b ＝8，i ＝0；i ＝1，不满足a >b ，不满足a ＝b ，b ＝8－6＝2；i ＝2，满足a >b ，a ＝6－2＝4；i ＝3，满足a >b ，a ＝4－2＝2；i ＝4，不满足a >b ，满足a ＝b ，故输出的a ＝2，i ＝4.12．(2017·武昌调研)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一个人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析：选B 由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说的是假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两个结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．二、填空题 13．若复数a ＋3i1＋i (a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为________．解析：a ＋3i1＋i＝a ＋－＋－＝a ＋＋－a2，由题可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3＝0，3－a ≠0，∴a ＝－3.答案：－314．(2017·惠州调研)执行如图所示的程序框图，则输出的结果为________．解析：法一：i ＝1，S ＝lg 13＝－lg 3>－1；i ＝3，S ＝lg 13＋lg 35＝lg 15＝－lg 5>－1；i ＝5，S ＝lg 15＋lg 57＝lg 17＝－lg 7>－1；i ＝7，S ＝lg 17＋lg 79＝lg 19＝－lg 9>－1；i ＝9，S ＝lg 19＋lg911＝lg 111＝－lg 11<－1，故输出的i ＝9.法二：因为S ＝lg 13＋lg 35＋…＋lg ii ＋2＝lg 1－lg 3＋lg 3－lg 5＋…＋lg i －lg(i ＋2)＝－lg(i ＋2)，当i ＝9时，S ＝－lg(9＋2)<－lg 10＝－1，所以输出的i ＝9.答案：915.(2017·贵阳检测)辗转相除法，又名欧几里得算法，乃求两个正整数之最大公因子的算法．它是已知最古老的算法之一，在中国则可以追溯至东汉时期出现的《九章算术》．图中的程序框图所描述的算法就是欧几里得辗转相除法．若输入m ＝5 280，n ＝12 155，则输出的m 的值为________．解析：法一：依题意，当输入m ＝5 280，n ＝12 155时，执行题中的程序框图，进行第一次循环时，m 除以n 的余数r ＝5 280，m ＝12 155，n ＝5 280，r ≠0；进行第二次循环时，m 除以n 的余数r ＝1 595，m ＝5280，n ＝1 595，r ≠0；进行第三次循环时，m 除以n 的余数r ＝495，m ＝1 595，n ＝495，r ≠0；进行第四次循环时，m 除以n 的余数r ＝110，m ＝495，n ＝110，r ≠0；进行第五次循环时，m 除以n 的余数r ＝55，m ＝110，n ＝55，r ≠0；进行第六次循环时，m 除以n 的余数r ＝0，m ＝55，n ＝0，r ＝0，此时结束循环，输出的m 的值为55.法二：依题意，注意到5 280＝25×3×5×11,12 155＝5×11×221，因此5 280与12 155的最大公因子是55，即输出的m 的值为55.答案：5516．如图，在平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)处：点(1,0)处标b 1，点(1，－1)处标b 2，点(0，－1)处标b 3，点(－1，－1)处标b 4，点(－1,0)处标b 5，点(－1,1)处标b 6，点(0,1)处标b 7，…，以此类推，则b 963处的格点的坐标为________．解析：观察已知点(1,0)处标b 1，即b 1×1，点(2,1)处标b 9，即b 3×3，点(3,2)处标b 25，即b 5×5，…，由此推断点(n ，n －1)处标b (2n －1)×(2n －1)，因为961＝31×31时，n ＝16，故b 961处的格点的坐标为(16,15)，从而b 963处的格点的坐标为(16,13)．答案：(16,13)组合训练(二)一、选择题1．(2017·洛阳统考)已知i 为虚数单位，若实数a ，b 满足(a ＋b i)i ＝1＋i ，则a ＋b i 的模为( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2解析：选B 依题意得a ＋b i ＝1＋i i ＝1－i ，所以|a ＋b i|＝|1－i|＝2，故选B.2．(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C z ＝i(－2＋i)＝－2i ＋i 2＝－1－2i ，故复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于第三象限．3．(2017·郑州质检)命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0－1>0”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，x 2－x －1≤0 B ．∀x ∈R ，x 2－x －1>0 C ．∃x 0∈R ，x 20－x 0－1≤0 D ．∃x 0∈R ，x 20－x 0－1≥0解析：选A 依题意得，命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0－1>0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x －1≤0”，故选A.4．(2018届高三·湖北七市(州)联考)集合A ＝{－1,0,1,2,3}，B ＝{x |log 2(x ＋1)<2}，则A ∩B ＝( )A ．{－1,0,1,2}B ．{0,1,2}C ．{－1,0,1,2,3}D ．{0,1,2,3}解析：选B B ＝{x |log 2(x ＋1)<2}＝{x |0<x ＋1<4}＝{x |－1<x <3}，而A ＝{－1,0,1,2,3}，∴A ∩B ＝{0,1,2}，故选B.5．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x －4>0}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |－2≤x <4}B ．{x |x ≤2或x ≥4}C ．{x |－2≤x ≤－1}D ．{x |－1≤x ≤2}解析：选D 依题意得A ＝{x |x <－1或x >4}，因此∁R A ＝{x |－1≤x ≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁R A )∩B ＝{x |－1≤x ≤2}，故选D.6．已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |1<2x≤4，x ∈N}，则A ∩B ＝( ) A ．∅ B ．(1,2] C ．{2} D ．{1,2}解析：选C 因为A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}＝{x |1<x <3}，B ＝{x |1<2x≤4，x ∈N}＝{1,2}，所以A ∩B ＝{2}，故选C.7．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |x 2－3x ＋a ＝0，a ∈A }，若A ∩B ≠∅，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．1或2解析：选B 当a ＝1时，B 中元素均为无理数，A ∩B ＝∅；当a ＝2时，B ＝{1,2}，A ∩B ＝{1,2}≠∅；当a ＝3时，B ＝∅，则A ∩B ＝∅.故a 的值为2.8．(2018届高三·湖北五市十校联考)执行如图所示的程序框图，则输出的a 值为( )A ．－3B ．13C ．－12D ．2解析：选C 第1次循环，a ＝－3，i ＝2；第2次循环，a ＝－12，i ＝3；第3次循环，a ＝13，i ＝4；第4次循环，a ＝2，i ＝5；…所以循环周期为4，又2 018＝4×504＋2，故最后输出的a的值为－12.9．已知函数f(x)＝3ln(x＋x2＋1)＋a(7x＋7－x)，x∈R，则“a＝0”是“函数f(x)为奇函数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C 由题意知f(x)的定义域为R，易知y＝ln(x＋x2＋1)为奇函数，y＝7x＋7－x为偶函数．当a＝0时，f(x)＝3ln(x＋x2＋1)为奇函数，充分性成立；当f(x)为奇函数时，则a ＝0，必要性成立．因此“a＝0”是“函数f(x)为奇函数”的充要条件，故选C.10．有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是( )A．甲B．乙C．丙D．丁解析：选D 若甲猜测正确，则4号或5号得第一名，那么乙猜测也正确，与题意不符，故甲猜测错误，即4号和5号均不是第一名．若丙猜测正确，那么乙猜测也正确，与题意不符，所以仅有丁猜测正确，故选D.11．(2017·福州模拟)执行如图所示的程序框图，若输入的m＝168，n＝112，则输出的k，m的值分别为( )A．4,7 B．4,56C．3,7 D．3,56解析：选C 对第一个循环结构，第一次循环：k＝1，m＝84，n＝56，m，n均为偶数；第二次循环：k ＝2，m ＝42，n ＝28，m ，n 均为偶数；第三次循环：k ＝3，m ＝21，n ＝14，因为m 不是偶数，所以结束第一个循环．又m ≠n ，所以执行第二个循环结构，第一次循环：d ＝|21－14|＝7，m ＝14，n ＝7，m ≠n ；第二次循环：d ＝|14－7|＝7，m ＝7，n ＝7，因为m ＝n ，所以结束循环．输出k ＝3，m ＝7，故选C.12．(2017·广东诊断)已知函数f (x )＝ax 3＋12x 2在x ＝－1处取得极大值，记g (x )＝1fx.执行如图所示的程序框图，若输出的结果S >2 0162 017，则判断框中可以填入的关于n 的判断条件是( )A ．n ≤2 016?B ．n ≤2 017?C ．n >2 016?D ．n >2 017?解析：选B 由题意得，f ′(x )＝3ax 2＋x ，则f ′(－1)＝3a －1＝0，解得a ＝13，所以g (x )＝1f x＝1x 2＋x ＝1xx ＋＝1x －1x ＋1，g (n )＝1n －1n ＋1，则S ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.因为输出的结果S >2 0162 017，结合选项分析可知判断框中可以填入的判断条件是“n ≤2 017？”，故选B.二、填空题13．设复数z 满足z (2＋i)＝5i ，则|z －1|＝________. 解析：由题意，得z ＝5i2＋i ＝－＋－＝1＋2i ，所以|z －1|＝|2i|＝22＝2.答案：214．(2017·南昌模拟)执行如图所示的程序框图，输出S 的值为________．解析：S ＝3，i ＝1，i ≤7成立；S ＝3＋log 221＝3＋log 22，i ＝2，i ≤7成立；S ＝3＋log 221＋log 232＝3＋log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2×32＝3＋log 23，i ＝3，i ≤7成立；S ＝3＋log 23＋log 243＝3＋log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3×43＝3＋log 24，i ＝4，i ≤7成立；…；S ＝3＋log 28＝6，i ＝8，i ≤7不成立，跳出循环．S ＝log 26＝log 2(2×3)＝1＋log 23，输出S .答案：1＋log 2315．(2017·成都模拟)我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图①是一个形状不规则的封闭图形，图②是一个上底为1的梯形，且当实数t 取[0,3]上的任意值时，直线y ＝t 被图①和图②所截得的两线段长始终相等，则图①的面积为________．解析：类比祖暅原理，得图①的面积就是图②梯形的面积，即为＋2＝92. 答案：9216．公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π.他从圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即12,24,48，…，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形……的面积，这些数值逐步地逼近圆的面积，刘徽一直计算到正一百九十二边形，得到了圆周率π精确到小数点后两位的近似值3.14.刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无限．这种思想极其重要，对后世产生了巨大影响．。