_高中数学第三章数学系的扩充与复数引入章末过关检测卷新人教A版选修2_2
人教A版数学高二选修2-2 第三章《数系的扩充与复数的引入》综合测试
（2）设 在复平面上的对应点分别为 ，求 的面积．
解：（1）设 ，则 ，
由题意得 且 ，
解得 或 ，
因此 或 ．
（2）当 时， ， ，
所以得 ，
所以 ．
当 时， ， ，
所以得 ，
所以 ．
15．设 为虚数，求证： 为纯虚数的充要条件是： ．
证明： 为虚数， ，
则 为纯虚数
．
高中新课标数学选修（2-2）
Ａ．实数
Ｂ．纯虚数
Ｃ．是虚数但不一定是纯虚数
Ｄ．可以是虚数也可以是实数
答案：Ａ
二、填空题
7．已知 ， ， ，则实数 ．
答案：
8．已知复数 ， ，且 与 共轭复数的积是实数，则实数 的值为．
答案：
9．已知 是实系数一元二次方程 的一个根，则 ， ．
答案：1，
10．利用公式 ，把 分解成一次因式的积为．
第三章 数系的扩充与复数的引入测试题
一、选择题
1．对于实数 ， ，下列结论正确的是（ ）
Ａ． 是实数Ｂ． 是虚数
Ｃ． 是复数Ｄ．
答案：Ｃ
2．下列说法正确的是（ ）
①实数是复数；②虚数是复数；③实数集和虚数集的交集不是空集；④实数集与虚数集的并集等于复数集；⑤虚轴上的点表示的数都是纯虚数；⑥实轴上的点表示的数都是实数．
答案：
11．已知 ， ，则 的值是．
答案：
12．对于任意两个复数 ， （ 为实数），定义运算“ ”为： 。设非零复数 在复平面内对应的点分别为 ， ，点 为坐标原点．如果 ，那么在 中， 的大小为．
答案：
三、解答题
13．已知 ， ， ，若 ，求 ， 的值．
解： ， ，
人教A版数学高二选修2-2检测第三章数系的扩充与复数的引入阶段通关训练
阶段通关训练(三)(60分钟100分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2017·北京高考)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,1)B.(-∞,-1)C.(1,+∞)D.(-1,+∞)【解析】选B.(1-i)(a+i)=a+i-ai-i2=a+1+(1-a)i,因为该复数对应的点在第二象限,所以所以a<-1.【答题技巧】利用复数的几何意义求字母范围的技巧,先运算出复数的代数形式,再利用复数所在的象限,判断实部与虚部的范围.2.设复数z=,则复数z的虚部是( )A. B.-1 C.-i D.1 【解析】选B.z====-i,虚部是-1.3.(2017·长春高二检测)复数z满足z=+i,则|z|= ( )A. B.2 C.D.【解析】选 A.因为z=+i=+i=-(2+i)i+i=1-i,所以|z|==.4.设z是复数,则下列命题中的假命题是( )A.若z2≥0,则z是实数B.若z2<0,则z是虚数C.若z是虚数,则z2≥0D.若z是纯虚数,则z2<0【解题指南】设出复数的代数形式,复数问题转化为代数式求解,进行验证,从而得出正确的答案.【解析】选C.设z=a+bi,a,b∈R⇒z2=a2-b2+2abi.对选项A:若z2≥0,则b=0⇒z为实数,所以z为实数正确.对选项B:若z2<0,则a=0,且b≠0⇒z为纯虚数,所以z为虚数正确. 对选项C:若z为虚数,则z2不一定为实数,所以z2≥0错误.对选项D:若z为纯虚数,则a=0,且b≠0⇒z2<0,所以z2<0正确.5.(2017·贵港高二检测)定义运算=ad-bc,则符合条件=4+2i的复数z为( )A.3-iB.1+3iC.3+iD.1-3i【解析】选A.由题可知,根据定义运算方法,=zi+z,于是有zi+z=4+2i,所以z===3-i.【补偿训练】定义运算=ad-bc,则符合条件=1+i的复数z=________.【解析】根据题中条件可有,2zi+z=1+i,z=,分子分母同时乘以(2i-1)得,z=.所以化简为z=-i.答案:-i6.已知f(x)=则f(f(1-i))等于( )A.2-iB.1C.3D.3+i【解析】选C.因为f(1-i)=(1+i)(1-i)=2,所以f(f(1-i))=f(2)=1+2=3.二、填空题(每小题5分,共20分)7.(2017·南宁高二检测)复数z=-i3的共轭复数为________. 【解析】z=-i3=+i,则z=-i3的共轭复数为=-i.答案:-i8.若z1=a+2i,z2=3-4i,且为纯虚数,则实数a的值为________. 【解析】====.因为为纯虚数,所以3a-8=0且6+4a≠0,所以a=.答案:【误区警示】复数的代数形式z=x+yi,要注意x,y均为实数这一隐含条件.9.(2017·三亚高二检测)设a是实数,若复数+(i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x+y=0上,则a的值为________.【解析】由复数+可化为-i.复数对应的点在直线x+y=0上,所以可得,-a-=0,所以a=0.答案:0【补偿训练】复数ω=-+i,则在复平面内,复数ω2对应的点在第________象限.【解析】由于复数ω=-+i,所以ω2==--i,在复平面内对应的点为,在第三象限.答案:三10.已知复数z满足=i(i为虚数单位),若z=a+bi(a,b∈R),则a+b=________.【解析】由题意可得z=i(1-2i)2=i(1-4-4i)=i(-3-4i)=4-3i,由复数相等可得a=4且b=-3,所以a+b=4-3=1.答案:1【补偿训练】若(1+i)(2+i)=a+bi,其中a,b∈R,i为虚数单位,则a+b=________.【解析】因为(1+i)(2+i)=a+bi,即1+3i=a+bi,所以a=1,b=3,所以a+b=4.答案:4三、解答题(共4小题,共50分)11.(12分)已知z1=(3x-4y)+(y-2x)i,z2=(-2x+y)+(x-3y)i,x,y为实数,若z1-z2=5-3i,求|z1+z2|的值.【解析】z1-z2=[(3x-4y)+(y-2x)i]-[(-2x+y)+(x-3y)i]=[(3x-4y)-(-2x+y)]+[(y-2x)-(x-3y)]i=(5x-5y)+(-3x+4y)i=5-3i,所以解得y=0,x=1,所以z1=3-2i,z2=-2+i,则z1+z2=1-i,所以|z1+z2|=.12.(12分)已知2z+|z|=2+6i,求z.【解题指南】设z=x+yi(x,y∈R),由复数相等建立方程. 【解析】设z=x+yi(x,y∈R),代入已知方程得2(x+yi)+=2+6i,即(2x+)+2yi=2+6i,由复数相等定义得解得x=(舍),或x=,y=3,所以z=+3i.13.(13分)已知复数z1=i(1-i)3,(1)求|z1|.(2)若|z|=1,求|z-z1|的最大值.【解析】(1)z1=i(1-i)3=i(-2i)(1-i)=2(1-i),所以|z1|==2.(2)|z|=1,所以设z=cosθ+isinθ,|z-z1|=|cosθ+isinθ-2+2i|==.当sin=1时,|z-z1|取得最大值,从而得到|z-z1|的最大值为2+1.【一题多解】本题还可用下面的方法求解:|z|=1可看成半径为1,圆心为 (0,0)的圆,而z1对应坐标系中的点(2,-2).所以|z-z1|的最大值可以看成点(2,-2)到圆上的点的最大距离,由图可知:|z-z1|max=2+1.14.( 13分)设z1,z2∈C,|z1|=1,|z2|=2,求|z1+2z2|的最大值.【解析】设z1,z2,z1+2z2对应的向量分别为,,,因为|z1|=1,|z2|=2,所以||=1,||=2,=+2.由向量的加法法则可知,当向量,方向相同时,=+2的模最大,最大值为||=||+2||=5,所以|z1+2z2|的最大值为5.【能力挑战题】已知|z1|=|z2|=1,z1+z2=+i,求复数z1,z2及|z1-z2|.【解析】由于|z1+z2|==1.不妨设z1,z2,z1+z2对应的向量分别为,,,则||=||=||=1,故A,B,C三点均在以原点为圆心,半径为1的圆上,如图.由余弦定理易得:cos∠AOC==,故∠AOC=60°,又由平行四边形法则知四边形OBCA为平行四边形,所以▱OACB为菱形,且△BOC,△COA都是等边三角形,即∠AOB=120°.又因为与x轴正半轴的夹角为60°,所以点A在x轴上,即A(1,0).而x B=||cos120°=-,y B=||sin120°=,所以点B的坐标为.所以或方法一:|z1-z2|==.方法二:因为|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2-|z1+z2|2=3,所以|z1-z2|=.方法三:由余弦定理,得||2=||2+||2-2||||cos120°=3.又因为z1-z2=-=,所以|z1-z2|=||=||=.。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入综合检测 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学
【成才之路】2015-2016学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入综合检测 新人教A 版选修2-2时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2014·某某理，2)已知i 是虚数单位，a 、b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 本题考查充分条件、必要条件及复数的运算，当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ，反之，(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ＝2i ，则a 2－b 2＝0,2ab ＝1，解a ＝1，b ＝1或a ＝－1，b ＝－1，故a ＝1，b ＝1是(a ＋b i)2＝2i 的充分不必要条件，选A.2．(2015·某某二模)设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数是z －，则2－z －z等于( )A ．－1－2iB ．－2＋iC ．－1＋2iD ．1＋2i[答案] C[解析] 由题意可得2－z －z ＝2－－1＋i －1－i ＝3－i－1＋i－1－i －1＋i＝－1＋2i ，故选C.3．复数z ＝m －2i1＋2i(m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] A[解析] z ＝m －2i1＋2i＝m －2i1－2i 1＋2i 1－2i ＝15[(m －4)－2(m ＋1)i]，其实部为15(m －4)，虚部为－25(m ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧m －4>0，－2m ＋1>0.得⎩⎪⎨⎪⎧m >4，m <－1.此时无解．故复数在复平面上对应的点不可能位于第一象限．4．(2014·东北三省三校联考)已知复数z ＝－12＋32i ，则z ＋|z |＝( )A ．－12－32iB ．－12＋32iC.12＋32i D ．12－32i [答案] D[解析] 因为z ＝－12＋32i ，所以z ＋|z |＝－12－32i ＋－122＋322＝12－32i. 5．若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] B [解析] θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，5π4时， sin θ＋cos θ<0，sin θ－cos θ>0，故对应点(cos θ＋sin θ，sin θ－cos θ)在第二象限．[点评] 由于θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4时，据选项知，此复数对应点只能在某一象限，∴取θ＝π检验知，对应点在第二象限．6．(2015·某某市二模)已知复数z 满足(1－i)z ＝i 2015(其中i 为虚数单位)，则z －的虚部为( )A.12 B ．－12C.12i D ．－12i[答案] B[解析] ∵2015＝4×503＋3， ∴i2015＝i 3＝－i.∴z ＝－i 1－i ＝12－12i.∴z 的虚部为－12.故选B.7．设z 的共轭复数为z －，若z ＋z －＝4，z ·z －＝8，则z －z等于( )A ．iB ．－iC ．±1D ．±i[答案] D[解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z－＝a －b i ，由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4，a 2＋b 2＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝±2.因此⎩⎨⎧z ＝2＋2i ，z －＝2－2i ，或⎩⎨⎧z ＝2－2i ，z －＝2＋2i.所以z －z ＝2－2i 2＋2i ＝1－i 1＋i＝1－i 21＋i 1－i ＝－2i2＝－i ，或z －z ＝2＋2i 2－2i ＝1＋i 1－i ＝1＋i 21－i 1＋i ＝2i 2＝i ， 所以z－z＝±i.8．若关于x 的方程x 2＋(1＋2i)x ＋3m ＋i ＝0有实根，则实数m 等于( ) A.112B ．112iC ．－112D ．－112i[答案] A[解析] 设方程的实数根为x ＝a (a 为实数)， 则a 2＋(1＋2i)·a ＋3m ＋i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a ＋3m ＝0，2a ＋1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，m ＝112.故选A.9．已知复数z ＝(x －2)＋y i(x 、y ∈R )在复平面内对应的向量的模为3，则y x的最大值是( )A.32B ．33C.12 D ． 3[答案] D[解析] 因为|(x －2)＋y i|＝3，所以(x －2)2＋y 2＝3，所以点(x ，y )在以C (2,0)为圆心，以3为半径的圆上，如图，由平面几何知识知－3≤y x≤ 3.10．(2014·某某某某中学模拟)设a ∈R ，i 是虚数单位，则“a ＝1”是“a ＋ia －i为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件[答案] A[解析] 当a ＝1时，1＋i1－i＝1＋i 22＝i 为纯虚数．当a ＋i a －i ＝a ＋i 2a 2＋1＝a 2－1＋2a i a 2＋1为纯虚数时， a 2＝1即a ＝±1，故选A.11．已知复数a ＝3＋2i ，b ＝4＋x i(其中i 为虚数单位，x ∈R )，若复数a b∈R ，则实数x 的值为( )A ．－6B ．6 C.83 D ．－83[答案] C [解析] a b ＝3＋2i 4＋x i ＝3＋2i 4－x i 16＋x 2＝12＋2x 16＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫8－3x 16＋x 2·i∈R ，∴8－3x16＋x2＝0，∴x ＝83.12．设z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R ，则以下结论正确的是( ) A ．z 对应的点在第一象限 B ．z 一定不为纯虚数 C.z 对应的点在实轴的下方 D ．z 一定为实数 [答案] C[解析] ∵t 2＋2t ＋2＝(t ＋1)2＋1>0，∴z 对应的点在实轴的上方． 又∵z 与z 对应的点关于实轴对称． ∴C 项正确．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．(2015·某某理，11)设复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________.[答案] 3[解析] 由题易得a 2＋b 2＝3，故a 2＋b 2＝3；(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3. 14．已知x ＋1x ＝－1，则x 2014＋1x2014的值为________________．[答案] －1[解析] ∵x ＋1x＝－1，∴x 2＋x ＋1＝0.∴x ＝－12±32i ，∴x 3＝1.∵2014＝3×671＋1，∴x 2014＝x ，∴x2014＋1x2014＝x ＋1x＝－1.15．已知复数z 1＝cos α＋isin α，z 2＝cos β＋isin β，则复数z 1·z 2的实部是_____________[答案] cos(α＋β)[解析] z 1·z 2＝(cos α＋isin α)(cos β＋isin β) cos αcos β－sin αsin β＋(cos αsin β＋sin αcos β)i ＝cos(α＋β)＋sin(α＋β)i 故z 1·z 2的实部为cos(α＋β)．16．设θ∈[0,2π]，当θ＝________________时，z ＝1＋sin θ＋i(cos θ－sin θ)是实数．[答案]π4或54π [解析] 本题主要考查复数的概念．z 为实数，则cos θ＝sin θ，即tan θ＝1.因为θ∈[0,2π]，所以θ＝π4或54π.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)(2015·某某外国语学校高二期中)设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m2＋3m ＋2)i(m ∈R )，试求m 取何值时(1)z 是实数． (2)z 是纯虚数．(3)z 对应的点位于复平面的第一象限．[解析] (1)由m 2＋3m ＋2＝0且m 2－2m －2>0，解得m ＝－1，或m ＝－2，复数表示实数． (2)当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示纯虚数． 由lg(m 2－2m －2)＝0，且m 2＋3m ＋2≠0， 求得m ＝3，故当m ＝3时，复数z 为纯虚数．(3)由lg(m 2－2m －2)>0，且m 2＋3m ＋2>0，解得m <－2，或m >3，故当m <－2，或m >3时，复数z 对应的点位于复平面的第一象限．18．(本题满分12分)(2014·某某市高二期中)(1)已知复数z 在复平面内对应的点在第四象限，|z |＝1，且z ＋z －＝1，求z ；(2)已知复数z ＝5m21－2i －(1＋5i)m －3(2＋i)为纯虚数，某某数m 的值．[解析] (1)设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，2a ＝1.解得a ＝12，b ＝±32.∵复数z 在复平面内对应的点在第四象限，∴b ＝－32. ∴z ＝12－32i.(2)z ＝5m 21－2i －(1＋5i)m －3(2＋i)＝(m 2－m －6)＋(2m 2－5m －3)i ，依题意，m 2－m －6＝0，解得m ＝3或－2.∵2m 2－5m －3≠0.∴m ≠3.∴m ＝－2.19．(本题满分12分)虚数z 满足|z |＝1，z 2＋2z ＋1z＜0，求z .[解析] 设z ＝x ＋y i (x 、y ∈R ，y ≠0)，∴x 2＋y 2＝1. 则z 2＋2z ＋1z ＝(x ＋y i)2＋2(x ＋y i)＋1x ＋y i＝(x 2－y 2＋3x )＋y (2x ＋1)i. ∵y ≠0，z 2＋2z ＋1z<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝0， ①x 2－y 2＋3x ＜0， ②又x 2＋y 2＝1. ③ 由①②③得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝±32.∴z ＝－12±32i.20．(本题满分12分)设z ＝log 2(1＋m )＋ilog 12(3－m )(m ∈R )．(1)若z 在复平面内对应的点在第三象限，求m 的取值X 围； (2)若z 在复平面内对应的点在直线x －y －1＝0上，求m 的值． [解析] (1)由已知，得 ⎩⎪⎨⎪⎧log 21＋m <0， ①log 123－m <0， ②解①得－1<m <0. 解②得m <2.故不等式组的解集为{x |－1<m <0}， 因此m 的取值X 围是{x |－1<m <0}．(2)由已知得，点(log 2(1＋m )，log 12(3－m ))在直线x －y －1＝0上，即log 2(1＋m )－log 12(3－m )－1＝0，整理得log 2[(1＋m )(3－m )]＝1.从而(1＋m )(3－m )＝2，即m 2－2m －1＝0，解得m ＝1±2，且当m ＝1±2时都能使1＋m >0，且3－m >0.故m ＝1± 2. 21．(本题满分12分)满足z ＋5z是实数，且z ＋3的实部与虚部是相反数的虚数z 是否存在？若存在，求出虚数z ，若不存在，请说明理由．[解析] 存在．设虚数z ＝x ＋y i(x 、y ∈R ，且y ≠0)． z ＋5z ＝x ＋y i ＋5x ＋y i ＝x ＋5x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －5y x 2＋y 2i.由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y －5y x 2＋y2＝0，x ＋3＝－y .∵y ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝5，x ＋y ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1.∴存在虚数z ＝－1－2i 或z ＝－2－i 满足以上条件．22．(本题满分14分)将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1、2、3、4、5、6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b .(1)设复数z ＝a ＋b i(i 为虚数单位)，求事件“z －3i 为实数”的概率；(2)求点P (a ，b )落在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋2≥0，0≤a ≤4，b ≥0.表示的平面区域内(含边界)的概率．[解析] (1)z ＝a ＋b i(i 为虚数单位)，z －3i 为实数，则a ＋b i －3i ＝a ＋(b －3)i 为实数，则b ＝3.依题意得b 的可能取值为1、2、3、4、5、6，故b ＝3的概率为16.即事件“z －3i 为实数”的概率为16.(2)连续抛掷两次骰子所得结果如下表：1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)． 由图知，点P (a ，b )落在四边形ABCD 内的结果有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6)，共18种．所以点P (a ，b )落在四边形ABCD 内(含边界)的概率为P ＝1836＝12.。
高中数学(人教A版)选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入测试题(含详解)
第三章测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题正确的是( )A．复数的模是正实数B．虚轴上的点与纯虚数一一对应C．相等的向量对应着相等的复数D．实部与虚部分别互为相反数的两个复数是共轭复数解析复数的模可能为0，故A错．虚轴上原点对应的复数不是纯虚数，故B错．复数可以用向量表示，相等的向量对应的复数也相等，故C正确．实部相等，虚部互为相反数的两个复数为共轭复数，故D错．答案 C2.10i 2－i ＝( ) A ．－2＋4i B ．－2－4i C ．2＋4iD ．2－4i解析 10i 2－i ＝10i (2＋i )(2－i )(2＋i )＝20i －104＋1＝－2＋4i.答案 A3．若n 是大于2000的奇数，则复数(1＋i 1－i )2n ＋(1－i 1＋i )2n的值是( )A ．2B ．－2C ．2或－2D ．0解析 (1＋i 1－i )2n ＋(1－i 1＋i )2n＝(2i －2i )n ＋(－2i 2i )n＝(－1)n ＋(－1)n ＝2(－1)n ∵n 是大于2000的奇数， ∴原式＝－2. 答案 B4．复数z ＝a (a ＋2)a －1＋(a 2＋2a －3)i(a ∈R )为纯虚数，则a 的值为( )A ．a ＝0B ．a ＝0且a ≠－1C ．a ＝0或a ＝－2D ．a ≠1或a ≠－3解析依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a (a ＋2)a －1＝0，a 2＋2a －3≠0，解得a ＝0，或a ＝－2. 答案 C5．复数(1＋2i )23－4i 的值是( )A ．－1B ．1C ．－iD ．i解析 (1＋2i )23－4i ＝－3＋4i 3－4i ＝－1.答案 A6．已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z 等于( )A ．2iB ．iC ．－iD ．－2i解析 设z ＝b i(b ∈R ，且b ≠0)， 则z ＋21－i ＝2＋b i 1－i ＝(2＋b i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝12[(2－b )＋(2＋b )i]． ∵z ＋21－i∈R ， ∴2＋b ＝0，b ＝－2， ∴z ＝－2i. 答案 D7．设z 是复数，α(z )表示满足z n ＝1的最小正整数n ，则对虚数单位i ，α(i)＝( )A ．8B ．6C ．4D ．2解析 由已知得α(i)＝i n ＝1， ∴n 的最小正整数为4. 答案 B8．(2010·陕西)复数z ＝i1＋i在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 解析 z ＝i 1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝12(i ＋1)＝12＋12i. ∴复数z 的对应点在第一象限． 答案 A9．复数3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ＝( )A ．0B ．2C ．－2iD ．2i解析 3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i＝i (2－3i )2－3i ＋i (2＋3i )2＋3i＝i ＋i ＝2i. 答案 D10．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z 为( )A ．3－iB ．1＋3iC ．3＋iD ．1－3i解析 依题意知，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝z i ＋z ＝4＋2i ， ∴z (1＋i)＝4＋2i ，∴z ＝4＋2i 1＋i ＝(2＋i)(1－i)＝3－i.答案 A11．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )是方程z 2＝－3＋4i 的一个根，则z 等于( )A ．1±2iB ．－1±2iC ．1＋2i 或－1－2iD ．2＋i 或－2－i解析 若按复数相等的条件去解方程组，计算很繁，本题可采用验证的方法．∵(1＋2i)2＝1＋4i ＋(2i)2＝－3＋4i ，∴z ＝1＋2i 或－1－2i.答案 C12．对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，i 为虚数单位，则下列结论正确的是( )A ．|z －z |＝2yB ．z 2＝x 2＋y 2C ．|z －z |≥2xD ．|z |≤|x |＋|y |解析 ∵z ＝x ＋y i ，(x ，y ∈R )， 则z ＝x －y i ，∴z －z ＝2y i.∴|z －z |＝|2y |≥2y ，故A 、C 错．又z 2＝x 2－y 2＋2xy i ≠x 2＋y 2，故B 错．因此，正确答案为D. 答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．复数2＋i1＋i 的共轭复数是________．解析 2＋i 1＋i ＝(2＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝3－i 2＝32－12i ，∴共轭复数为32＋12i.答案 32＋12i14．若z 1＝1＋i ，z 1·z －2＝2，则z 2＝__________. 解析 ∵z 1＝1＋i ，z 1·z －2＝2， ∴z －2＝21＋i＝1－i. ∴z 2＝1＋i. 答案 1＋i15．若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，其中i 是虚数单位，则复数(z 1－z 2)i 的实部是________．解析 (z 1－z 2)i ＝[4＋29i －(6＋9i)]i ＝(－2＋20i)i ＝－20－2i.∴(z 1－z 2)i 的实部是－20. 答案 －2016．若复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|＝2，|z 1－z 2|＝22，则|z 1＋z 2|＝________.解析 由复数及模的几何意义知，以z 1，z 2对应向量为邻边的平行四边形为正方形，所以|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|＝2 2.答案 2 2三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)要使复数z ＝a 2－a －6＋a 2＋2a －15a 2－4i 为纯虚数，实数a 是否存在？若存在求出a 的值；若不存在说明理由．解 若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －6＝0， ①a 2＋2a －15a 2－4≠0， ②由①解得a ＝3，或a ＝－2，分别代入②都不合题意，所以不存在使z 为纯虚数的实数a . 18．(12分)已知复数z 1满足(z 1－2)i ＝1＋i ，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2为实数，求z 2.解 由(z 1－2)i ＝1＋i ，得 z 1－2＝1＋ii ＝(1＋i)(－i)＝1－i ，∴z 1＝3－i.依题意可设z 2＝x ＋2i(x ∈R )，则z 1·z 2＝(3－i)(x ＋2i)＝3x ＋2＋(6－x )i 为实数， ∴x ＝6，∴z 2＝6＋2i.19．(12分)已知虚数z 满足|z |＝2，且(z －a )2＝a ，求实数a . 解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0)， 则(z －a )2＝(x ＋y i －a )2 ＝(x －a )2－y 2＋2y (x －a )i. 又(z －a )2＝a ，|z |＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2－y 2＝a ，2y (x －a )＝0，x 2＋y 2＝2.解得a ＝－1.20．(12分)已知1＋i 是实系数方程x 2＋ax ＋b ＝0的一个根. (1)求a ，b 的值；(2)试判断1－i 是否是方程的根． 解 (1)∵1＋i 是方程x 2＋ax ＋b ＝0的根， ∴(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝0， 即(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2.∴a ，b 的值为a ＝－2，b ＝2. (2)方程为x 2－2x ＋2＝0， 把1－i 代入方程左边＝(1－i)2－2(1－i)＋2 ＝－2i －2＋2i ＋2 ＝0显然方程成立．∴1－i 也是方程的一个根． 21．(12分)设w ＝－12＋32i ，(1)求证：1＋w ＋w 2＝0；(2)计算：(1＋w －w 2)(1－w ＋w 2)． 解 (1)证明：∵w ＝－12＋32i ，∴w 2＝(－12＋32i)2＝14＋2(－12)(32i)＋(32i)2 ＝14－32i －34 ＝－12－32i ，∴1＋w ＋w 2＝1－12＋32i －12－32i ＝0.(2)由1＋w ＋w 2＝0知， (w －1)(1＋w ＋w 2)＝0， ∴w 3－1＝0，∴w 3＝1. ∴(1＋w －w 2)(1－w ＋w 2) ＝(－2w 2)(－2w ) ＝4w 3＝4.22．(12分)设z 1，z 2∈C ，(1)求证：|z 1＋z 2|2＋|z 1－z 2|2＝2|z 1|2＋2|z 2|2； (2)设|z 1|＝3，|z 2|＝5，|z 1＋z 2|＝6，求|z 1－z 2|.解(1)证明：设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝|(a＋c)＋(b＋d)i|2＋|(a－c)＋(b－d)i|2＝(a＋c)2＋(b＋d)2＋(a－c)2＋(b－d)2＝2a2＋2c2＋2b2＋2d2＝2(a2＋b2)＋2(c2＋d2)，又2|z1|2＋2|z2|2＝2(a2＋b2)＋2(c2＋d2)，故|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2|z1|2＋2|z2|2.(2)∵|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2|z1|2＋2|z2|2，∴62＋|z1－z2|2＝2×32＋2×52.∴|z1－z2|2＝68－36＝32.∴|z1－z2|＝4 2.。
高中数学人教A版选修22第三章数系的扩充与复数的引入练习题含答案详解
文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.第三章数系的扩充与复数的引入测试(人教实验A版选修2-2) 建议用时实际用时满分实际得分90分钟100分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列命题中：①若∈R，则(＋1)i是纯虚数；②若，∈R且>，则＋>＋；③若(－1)＋(＋3＋2)i是纯虚数，则实数＝±1；④两个虚数不能比较大小．其中，正确命题的序号是()A.①B.②C.③D.④2.若复数z＝1＋i，i为虚数单位，则(1＋z)·z＝()A．1＋3i B．3＋3iC．3－i D．33．i是虚数单位，计算i＋i2＋i3＝（）A．－1 B.1C.i-D.i4.若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则()A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1C．a＝－1，b＝－1 D．a＝1，b＝－15.设i是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a为()A．2B．－2C．－12D．126.复数i1＋2i(i是虚数单位)的实部是()A．25B．－25C．15D．－157.若＝(＋m＋1)＋(＋m－4)i，m∈R，＝3－2i，则m＝1是＝的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件8.复数z＝1＋i，z－为z的共轭复数，则z z－－z－1＝()A．－2i B．－iC．i D．2i9.已知复数z满足(1＋i)z＝1＋a i(其中i是虚数单位，a∈R)，则复数z对应的点不可能位于复平面内的()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限10. 设集合M＝{y|y＝|cos2x－sin2x|，x∈R}，N＝{x||x－1i|＜2，i为虚数单位，x∈R}，则M∩N为()A．(0,1)B．(0,1]C．[0,1) D．[0,1]二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．若复数12iz=-（i为虚数单位），则z z z⋅+= .12.已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，OCu u u r＝λOAu u u r＋μOBuuu r(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．13.使不等式m2－(m2－3m)i＜(m2－4m＋3)i＋10成立的实数m＝ .14.如果i(,,0)z a b a b a =+∈≠R 且是虚数，则222,,,,,,,,z z z z z z z z z z ⋅中是虚数的有_______个，是实数的有 个，相等的有 组 三、解答题（本大题共5个小题，共44分.） 15.（6分） 证明：i i zz+-＝1．16．（6分）若∈R ，试确定是什么实数时，等式32－－1＝(10－－22)i 成立．17.(10分) 已知复数12z z ，满足121z z ==，且122z z -=，求证：122z z +=．18．（10分）设是虚数，zz 1+=ω是实数，且－1<ω<2.(1)求||的值及的实部的取值范围；(2)设z zM +-=11，求证：为纯虚数；（3）求2M -ω的最小值.19.（12分）证明：在复数范围内，方程（i 为虚数单位）无解.第三章数系的扩充与复数的引入测试(人教实验A版选修2-2)答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题11． 12． 13. 14. 15.三、解答题16.17.18.19.第三章数系的扩充与复数的引入测试(人教实验A 版选修2-2) 答案一、选择题1. D 解析：由复数的有关概念逐个判定．对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0且b ≠0时为纯虚数．在①中，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，故①错误；在③中，若x ＝－1，也不是纯虚数，故③错误；a ＋i 3＝a －i ，b ＋i 2＝b －1，复数a －i 与实数b －1不能比较大小，故②错误；④正确．故应选D.2.A 解析： (1＋z )·z ＝z ＋＝1＋i ＋＝1＋i ＋2i ＝1＋3i.3.A 解析:由复数性质知：i 2＝－1，故i ＋i 2＋i 3＝i ＋(－1)＋(－i)＝－1.4.D 解析：由(a ＋i)i ＝b ＋i ，得－1＋a i ＝b ＋i ，根据两复数相等的充要条件得a ＝1，b ＝－1.5.A 解析: 法一：因为1＋a i 2－i ＝(1＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2－a ＋(2a ＋1)i5为纯虚数，所以2－a ＝0，a ＝2.法二：因为1＋a i 2－i ＝i (a －i )2－i 为纯虚数，所以a ＝2. 6.A 解析：i 1＋2i ＝2＋i 5，所以实部为25. 7. A 解析：因为z 1＝z 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＋1＝3，m 2＋m －4＝－2，解得m ＝1或m ＝－2，所以m ＝1是z 1＝z 2的充分不必要条件． 8.B 解析：依题意得z z －z －1＝(1＋i)(1－i)－(1＋i)－1＝－i.9.B 解析：由(1＋i)z ＝1＋a i 得z ＝＝，设在复平面内z 对应的点的坐标为(，)，则＝，＝.法一：易知－＝1，即复数z 对应的点在直线－＝1上，直线不经过第二象限，故复数z 对应的点不可能位于复平面内的第二象限．法二：若复数z 对应的点在第一象限，则只要 >1，若在第二象限，需要<0，且>0，即 <－1且 >1，无解，故复数z 对应的点不可能在第二象限．10.C 解析：∵ ＝|cos 2－sin 2|＝|cos 2|，且∈R ，∴ ∈[0,1],∴ ＝[0,1]． 在中，∈R 且|－1i|<2，∴ |＋i|<2，∴2＋1<2，解得－1<<1，∴＝(－1,1)．∴ ∩＝[0,1)． 二、填空题11.6-2i 解析：因为12i =+z ,所以1412i ⋅+=++-=z z z 6-2i.12 1 解析：由条件得OC u u u r ＝(3，－4)，OA u u u r ＝(－1,2)，OB uuu r＝(1，－1)，根据OC u u u r ＝λOA u u u r ＋μOB uuu r得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2.∴λ＋μ＝1.复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边形法则或三角形法则解决问题.13.3 解析：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法．∵2－(2－3m)i ＜( 2－4＋3)i ＋10, 且虚数不能比较大小，∴22210,-3=0,-4+3=0,m m m m m ⎧<⎪⎨⎪⎩解得10,=0=3,=3=1,m m m m m ⎧<⎪⎨⎪⎩或或，∴ 3.当＝3时，原不等式成立． 14.4,5,3 解析：2,,,z z z z-=四个为虚数；22,,,,z z z z z z--⋅五个为实数；2,,z z z z z z z =--==⋅=三组相等.三、解答题15.解法一：设z ＝a ＋b i(a , b ∈R )，则i i z z +-=i ii i a b a b +---=(1)i (1)i a b a b +--+-2222(1)(1)a b a b +-+-解法二：∵ i z +=i +z=-i+z ，∴i i z z +- =-i i z z+-=-(i -)i z z -=1.16.解：由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－a 2x －1＝0，①10－x －2x 2＝0.②由②得x ＝2或x ＝－52，代入①，得a ＝11或a ＝－715. 17. 证明：设复数12z z ，在复平面上对应的点为1Z ，2Z ， 由条件知121222z z z z -==，所以以1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r为邻边的平行四边形为正方形，而12z z +在复平面上对应的向量为正方形的一条对角线， 所以122z z +=．18.（1）解：设＝＋i （，）,.因为ω是实数，0≠b ,所以，即|z |＝1.因为ω＝2，－1<ω<2， 所以.所以的实部的取值范围（－1,21）. （2）证明：zzM +-=11＝.1 ) 1 (2 1 ) 1 )( 1 ( ) 1 )( 1 ( 1 1 22 2 2 + -= + + - - - = - + + + - + - - = + + - - a b ib a b i b a b i a b i a b i a b i a b i a b i a 121< < - a 12 2= + b a) ( ) ( 1 2 2 2 2 iba bb b a a a b i a b i a + - + + + = + ++ = ω 0, ≠ ∈ b R（这里利用了（1）中122=+b a ） 因为 ∈（－1,21），0≠b ，所以M 为纯虚数. （3）解：2M -ω112)1(12)1(22222+--=+-+=++=a a a a a a a b a 3]11)1[(21212-+++=++-=a a a a . 因为∈（－1,21），所以＋1>0，所以2M -ω≥2×2－3＝1.当＋1＝11+a ，即＝0时上式取等号， 所以2M -ω的最小值是1. 19.证明：原方程化简为,设z ＝x ＋y i(x 、y )，代入上述方程得根据上式可得整理得051282=+-x x .方程无实数解.原方程在复数范围内无解.,∴ < - = ∆ 0 16R ∈。
人教A版选修2-2章末综合测评(三) 数系的扩充与复数的引入.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作章末综合测评(三) 数系的扩充与复数的引入(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a ，b ∈C ，下列命题正确的是( ) A ．3i<5iB ．a ＝0⇔|a |＝0C ．若|a |＝|b |，则a ＝±bD ．a 2≥0【解析】 A 选项中，虚数不能比较大小；B 选项正确；C 选项中，当a ，b ∈R 时，结论成立，但在复数集中不一定成立，如|i|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋32i ，但i ≠－12＋32i或12－32i ；D 选项中，当a ∈R 时结论成立，但在复数集中不一定成立，如i 2＝－1<0.【答案】 B 2．i 是虚数单位，则i1＋i的虚部是( ) A.12i B ．－12i C.12D ．－12【解析】 i1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i 2＝12＋12i.【答案】 C3.⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋i ＝( ) A ．2 2 B ．2 C. 2 D ．1【解析】 由21＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＝2－2i 2＝1－i ， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋i ＝|1－i|＝ 2.故选C. 【答案】 C4.z 是z 的共轭复数．若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( ) A ．1＋i B ．－1－i C ．－1＋iD ．1－i【解析】 法一：设z ＝a ＋b i ，a ，b 为实数，则z ＝a －b i ，∵z ＋z ＝2a ＝2，∴a ＝1.又(z －z )i ＝2b i 2＝－2b ＝2，∴b ＝－1.故z ＝1－i.法二：∵(z －z )i ＝2，∴z －z ＝2i ＝－2i.又z ＋z ＝2，∴(z －z )＋(z ＋z )＝－2i ＋2，∴2z ＝－2i ＋2， ∴z ＝1－i. 【答案】 D 5．复数i1－i的共轭复数为( ) 【导学号：62952118】A ．－12＋12i B.12＋12i C.12－12iD ．－12－12i【解析】 ∵i 1－i ＝i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i 2＝－12＋12i ，∴其共轭复数为－12－12i.故选D. 【答案】 D6．下面是关于复数z ＝2－1＋i的四个命题： p 1：|z |＝2； p 2：z 2＝2i ；p 3：z 的共轭复数为1＋i ； p 4：z 的虚部为－1. 其中的真命题为( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 2，p 4 D ．p 3，p 4【解析】 ∵z ＝2－1＋i＝－1－i ， ∴|z |＝(－1)2＋(－1)2＝2， ∴p 1是假命题；∵z 2＝(－1－i)2＝2i ，∴p 2是真命题； ∵z ＝－1＋i ，∴p 3是假命题； ∵z 的虚部为－1，∴p 4是真命题． 其中的真命题为p 2，p 4. 【答案】 C7．复平面上平行四边形ABCD 的四个顶点中，A ，B ，C 所对应的复数分别为2＋3i,3＋2i ，－2－3i ，则D 点对应的复数是( )A ．－2＋3iB ．－3－2iC ．2－3iD ．3－2i【解析】设D (x ，y )，由平行四边形对角线互相平分得⎩⎪⎨⎪⎧2＋(－2)2＝3＋x 2，3＋(－3)2＝2＋y2，∴⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝－2，∴D (－3，－2)，∴对应复数为－3－2i. 【答案】 B8．若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数，则( )【导学号：62952119】A ．a ＝－1B ．a ≠－1且a ≠2C ．a ≠－1D ．a ≠2【解析】 要使复数不是纯虚数，则有⎩⎨⎧a 2－a －2≠0，|a －1|－1≠0，∴解得a ≠－1. 【答案】 C9．若a ，b ∈R ，则复数(a 2－6a ＋10)＋(－b 2＋4b －5)i 对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【解析】 复数对应点的坐标为(a 2－6a ＋10，－b 2＋4b －5)， 又∵a 2－6a ＋10＝(a －3)2＋1>0， －b 2＋4b －5＝－(b －2)2－1<0. 所以复数对应的点在第四象限．故选D. 【答案】 D10．如果复数z ＝3＋a i 满足条件|z －2|<2，那么实数a 的取值范围是( ) A ．(－22，22) B ．(－2,2) C ．(－1,1)D ．(－3， 3)【解析】 因为|z －2|＝|3＋a i －2|＝|1＋a i|＝1＋a 2<2，所以a 2＋1<4，所以a 2<3，即－3<a < 3.【答案】 D11．若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则( ) A ．b ＝2，c ＝3 B ．b ＝－2，c ＝3 C ．b ＝－2，c ＝－1D ．b ＝2，c ＝－1【解析】 因为1＋2i 是实系数方程的一个复数根，所以1－2i 也是方程的根，则1＋2i ＋1－2i ＝2＝－b ，(1＋2i)(1－2i)＝3＝c ，解得b ＝－2，c ＝3.【答案】 B12．设z 是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若z 2≥0，则z 是实数 B ．若z 2<0，则z 是虚数 C ．若z 是虚数，则z 2≥0 D ．若z 是纯虚数，则z 2<0 【解析】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，选项A ，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ≥0，则⎩⎨⎧ab ＝0，a 2≥b 2，故b ＝0或a ，b 都为0，即z 为实数，正确．选项B ，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i<0，则⎩⎨⎧ ab ＝0，a 2<b 2，则⎩⎨⎧a ＝0，b ≠0，故z 一定为虚数，正确．选项C ，若z 为虚数，则b ≠0，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ， 由于a 的值不确定，故z 2无法与0比较大小，错误． 选项D ，若z 为纯虚数，则⎩⎨⎧a ＝0，b ≠0，则z 2＝－b 2<0，正确．【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知i 是虚数单位，计算1－i(1＋i )2＝________. 【解析】1－i (1＋i )2＝1－i 1＋2i ＋i 2＝1－i 2i ＝－i (1－i )－2i 2＝－i －12＝－12－12i. 【答案】 －12－12i14．a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝__________. 【解析】a ＋i i ＝(a ＋i )·(－i )i·(－i )＝1－a i ， 则⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|1－a i|＝a 2＋1＝2，所以a 2＝3. 又a 为正实数，所以a ＝ 3.【答案】 315．设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝11－7i1－2i (i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为__________．【解析】 a ＋b i ＝11－7i 1－2i ＝(11－7i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝25＋15i5＝5＋3i ，依据复数相等的充要条件可得a ＝5，b ＝3.从而a ＋b ＝8. 【答案】 816．若复数z 满足|z －i|≤2(i 为虚数单位)，则z 在复平面内所对应的图形的面积为________．【解析】 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则由|z －i|≤2可得x 2＋(y －1)2≤2，即x 2＋(y －1)2≤2，它表示以点(0,1)为圆心，2为半径的圆及其内部，所以z 在复平面内所对应的图形的面积为2π.【答案】 2π三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)计算： (1)(2＋2i)2(4＋5i)； (2)2＋2i (1－i )2＋⎝⎛⎭⎪⎫21＋i 2016.【解】 (1)(2＋2i)2(4＋5i)＝2(1＋i)2(4＋5i) ＝4i(4＋5i)＝－20＋16i. (2)2＋2i (1－i )2＋⎝⎛⎭⎪⎫21＋i 2016＝2＋2i －2i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22i 1 008＝i(1＋i)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1i 1 008＝－1＋i ＋(－i)1 008 ＝－1＋i ＋1 ＝i.18．(本小题满分12分)已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，①(2x ＋ay )－(4x －y ＋b )i ＝9－8i ，②有实数解，求实数a ，b 的值． 【解】 由①得⎩⎨⎧2x －1＝y ，y －3＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝4，将x ，y 代入②得(5＋4a )－(6＋b )i ＝9－8i ， 所以⎩⎨⎧5＋4a ＝9，－(6＋b )＝－8，所以a ＝1，b ＝2.19．(本小题满分12分)实数k 为何值时，复数z ＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i 是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.【解】 (1)当k 2－5k －6＝0，即k ＝6或k ＝－1时，z 是实数． (2)当k 2－5k －6≠0，即k ≠6且k ≠－1时，z 是虚数．(3)当⎩⎨⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6≠0，即k ＝4时，z 是纯虚数．(4)当⎩⎨⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6＝0，即k ＝－1时，z 是0.20．(本小题满分12分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部是2. (1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积.【导学号：62952120】【解】 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由题意得a 2＋b 2＝2且2ab ＝2，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以z ＝1＋i 或z ＝－1－i.(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝1－i ，所以A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)，所以S △ABC ＝1.当z ＝－1－i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝－1－3i ，所以A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)，所以S △ABC ＝1.21．(本小题满分12分)已知复数z 1＝5i ，z 2＝2－3i ，z 3＝2－i ，z 4＝－5在复平面上对应的点分别是A ，B ，C ，D .(1)求证：A ，B ，C ，D 四点共圆； (2)已知AB→＝2 AP →，求点P 对应的复数．【解】 (1)∵|z 1|＝|z 2|＝|z 3|＝|z 4|＝5， 即|OA |＝|OB |＝|OC |＝|OD |，∴A ，B ，C ，D 四点都在圆x 2＋y 2＝5上，即A ，B ，C ，D 四点共圆． (2)∵A (0，5)，B (2，－3)， ∴AB→＝(2，－3－5)． 设P (x ，y )，则AP→＝(x ，y －5)，若AB→＝2 AP →，那么(2，－3－5)＝(2x,2y －25)， ∴⎩⎨⎧2＝2x ，－3－5＝2y －25， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22，y ＝5－32，∴点P 对应的复数为22＋5－32i.22．(本小题满分12分)设O 为坐标原点，已知向量OZ →1，OZ →2分别对应复数z 1，z 2，且z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i ，a ∈R .若z 1＋z 2可以与任意实数比较大小，求OZ →1·OZ →2的值．【解】 由题意，得z 1＝3a ＋5－(10－a 2)i ， 则z 1＋z 2＝3a ＋5－(10－a 2)i ＋21－a ＋(2a －5)i＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋(a 2＋2a －15)i. 因为z 1＋z 2可以与任意实数比较大小， 所以z 1＋z 2是实数，所以a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3.又因为a ＋5≠0，所以a ＝3，所以z 1＝38＋i ，z 2＝－1＋i. 所以OZ →1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫38，1，OZ →2＝(－1,1)． 所以OZ →1·OZ →2＝38×(－1)＋1×1＝58.。
高中数学人教新课标A版 选修2-2 第三章 数系的扩充与复数的引入
高中数学人教新课标A版选修2-2 第三章数系的扩充与复数的引入一、单选题(共12题；共24分)1．（2分）若z̅(1+i)=1−i，则z=（）A．1–i B．1+i C．–i D．i2．（2分）（1–i）4=（）A．–4B．4C．–4i D．4i3．（2分）复数11−3i的虚部是（）A．−310B．−110C．110D．3104．（2分）2−i1+2i=（）A．1B．−1C．i D．−i 5．（2分）若z=1+2i+i3，则|z|=（）A．0B．1C．√2D．26．（2分）复数z=−2+ii(其中i为虚数单位)在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．（2分）若z=1+i，则|z2–2z|=（）A．0B．1C．√2D．2 8．（2分）在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则i⋅z=（）．A．1+2i B．−2+i C．1−2i D．−2−i 9．（2分）已知a∈R，若a﹣1+（a﹣2）i（i为虚数单位）是实数，则a＝（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2 10．（2分）下列命题中,正确的命题是（）A．若z、1z2∈C,z1−z2>0，则z1>z2B．若z∈R，则z⋅z̅=|z|2不成立C．z1,z2∈C,z1⋅z2=0，则z1=0或z2=0D．z1、z2∈C,z12+z22=0，则z1=0且z2=011．（2分）若复数z满足z(2−i)=18+11i，则|z̅−4i|=（）A．√13B．√15C．13D．1512．（2分）已知a是实数，a+i1−i是实数，则cosaπ3的值为（）A．12B．−12C．0D．√3 2二、多选题(共4题；共12分)13．（3分）设复数z满足z=−1−2i,i为虚数单位,则下列命题正确的是() A．|z|=√5B．复数z在复平面内对应的点在第四象限C．z的共轭复数为−1+2iD．复数z在复平面内对应的点在直线y=−2x上14．（3分）已知复数z满足z̅⋅z+2iz̅=3+ai，a∈R，则实数a的值可能是（）A．1B．-4C．0D．515．（3分）已知复数z=a+√3i在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|=2则下列结论正确的是（）．A．z3=8B．z的虚部为√3C．z的共轭复数为1+√3i D．z2=416．（3分）已知复数z=i1−2i，则以下说法正确的是（）A．复数z的虚部为i5B．z的共轭复数z̅=25−i5C．|z|=√55D．在复平面内与z对应的点在第二象限三、填空题(共4题；共4分)17．（1分）i是虚数单位，复数8−i2+i=．18．（1分）已知i是虚数单位，则复数z=(1+i)(2−i)的实部是.19．（1分）设复数z1，z2满足|z1|=|z2|=2，z1+z2=√3+i，则|z1−z2|=. 20．（1分）下列命题（i为虚数单位）中：①已知a,b∈R且a=b，则(a−b)+(a+b)i为纯虚数；②当z是非零实数时，|z+1z|≥2恒成立；③复数z=(1−i)3的实部和虚部都是－2；④如果|a+2i|<|−2+i|，则实数a的取值范围是−1<a<1；⑤复数z=1−i，则1z+z=32+12i；其中正确的命题的序号是.四、解答题(共6题；共60分)21．（5分）已知i虚数单位，z1=3−i1+i.（∈）求|z1|；（∈）若复数z2的虚部为2，且z1z2的虚部为0，求z2. 22．（10分）已知复数z满足(1+2i)z=4+3i（i是虚数单位）.求：（1）（5分）z（2）（5分）|z2−z̅|.23．（10分）已知复数z=1−i(i是虚数单位）.（1）（5分）求z2−z；（2）（5分）如图，复数z1，z2在复平面上的对应点分别是A，B，求z1+z2 z.24．（10分）已知复数z=(m2−3m+2)+(m−1)i(i为虚数单位).（1）（5分）若z是纯虚数，求实数m的值；（2）（5分）在复平面内，若z所对应的点在直线y=2x+1的上方，求实数m的取值范围. 25．（10分）设实部为正数的复数z，满足|z|=√10，且复数(2+i)z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上.（1）（5分）求复数z；（2）（5分）若z̅+m2(−1+i)+4mi(m∈R)为纯虚数，求实数m的值.26．（15分）已知复数z=3a+(3a−2)i，i为虚数单位，a∈R.（1）（5分）若z是实数，求实数a的值；（2）（5分）若|z|=√10，求实数a的值；（3）（5分）若z在复平面内对应的点位于第三象限，求实数a的取值范围.答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】因为z̅=1−i1+i=(1−i)2(1+i)(1−i)=−2i2=−i，所以z=i.故答案为：D【分析】先利用除法运算求得z̅，再利用共轭复数的概念得到z即可. 2．【答案】A【解析】【解答】(1−i)4=[(1−i)2]2=(1−2i+i2)2=(−2i)2=−4. 故答案为：A.【分析】根据指数幂的运算性质，结合复数的乘方运算性质进行求解即可. 3．【答案】D【解析】【解答】因为z=11−3i=1+3i(1−3i)(1+3i)=110+310i，所以复数z=11−3i的虚部为310.故答案为：D.【分析】利用复数的除法运算求出z即可. 4．【答案】D【解析】【解答】2−i1+2i=(2−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−5i5=−i故答案为：D【分析】根据复数除法法则进行计算.5．【答案】C【解析】【解答】因为z=1+2i+i3=1+2i−i=1+i，所以|z|=√12+12=√2．故答案为：C．【分析】先根据i2=−1将z化简，再根据向量的模的计算公式即可求出．6．【答案】A【解析】【解答】∵z=−2+ii=(−2+i)(−i)−i2=1+2i，∴复数z=−2+ii在复平面内对应的点的坐标为(1,2)，在第一象限，故答案为：A.【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求出z的值，根据复数的几何意义可得结果．7．【答案】D【解析】【解答】由题意可得：z2=(1+i)2=2i，则z2−2z=2i−2(1+i)=−2.故|z2−2z|=|−2|=2.故答案为：D.【分析】由题意首先求得z2−2z的值，然后计算其模即可.8．【答案】B【解析】【解答】由题意得z=1+2i，∴iz=i−2.故答案为：B.【分析】先根据复数几何意义得z，再根据复数乘法法则得结果.9．【答案】C【解析】【解答】解：a∈R，若a﹣1+（a﹣2）i（i为虚数单位）是实数，可得a﹣2＝0，解得a＝2．故答案为：C．【分析】利用复数的虚部为0，求解即可．10．【答案】C【解析】【解答】A．当z1=2+i,z2=1+i时，z1−z2=1>0，此时z1,z2无法比较大小，故错误；B．当z=0时，z̅=z=0，所以z⋅z̅=|z|2=0，所以此时z⋅z̅=|z|2成立，故错误；C．根据复数乘法的运算法则可知：z1=0或z2=0，故正确；D．当z1=i,z2=1时，z12+z22=−1+1=0，此时z1≠0且z2≠0，故错误.故答案为：C.【分析】A．根据复数虚部相同，实部不同时，举例可判断结论是否正确；B．根据实数的共轭复数还是其本身判断z⋅z̅=|z|2是否成立；C．根据复数乘法的运算法则可知是否正确；D．考虑特殊情况：z1=i,z2=1，由此判断是否正确.11．【答案】C【解析】【解答】解：∵复数z满足z(2−i)=18+11iz=18+11i2−i=(18+11i)(2+i)(2−i)(2+i)=36+40i+11i25=5+8i∴z̅=5−8i，z̅−4i=5−8i−4i=5−12i ∴|z̅−4i|=|5−12i|=√52+(−12)2=13.故答案为：C.【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的概念以及模的计算公式即可得出.12．【答案】A【解析】【解答】解： ∵ a+i 1−i =(a+i)(1+i)(1−i)(1+i)=a−12+a+12i 是实数，∴a+12=0，即 a =−1 ．∴ cosaπ3=cos(−π3)=12． 故答案为：A ．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为0求得 a 值，代入 cos aπ3 得答案． 13．【答案】A,C【解析】【解答】 |z|=√(−1)2+(−2)2=√5 ,A 符合题意;复数z 在复平面内对应的点的坐标为(−1,−2) ,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为 −1+2i ,C 符合题意;复数z 在复平面内对应的点 (−1,−2) 不在直线 y =−2x 上,D 不正确. 故答案为：AC【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.14．【答案】A,B,C【解析】【解答】设 z =x +yi ，∴x 2+y 2+2i(x −yi)=3+ai ， ∴{x 2+y 2+2y =3,2x =a,⇒y 2+2y +a 24−3=0 ，∴Δ=4−4(a 24−3)≥0 ，解得： −4≤a ≤4 ，∴实数 a 的值可能是 1,−4,0 . 故答案为：ABC.【分析】设 z =x +yi ，从而有 x 2+y 2+2i(x −yi)=3+ai ，利用消元法得到关于 y 的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a 的范围，即可得答案.15．【答案】A,B【解析】【解答】解： ∵z =a +√3i ，且 |z|=2 ∴a 2+(√3)2=4 ， a =±1复数 z =a +√3i 在复平面内对应的点位于第二象限 ∴a =−1 A: (−1+√3i)3=(−1)3+3(−1)2√3i +3(−1)(√3i)2+(√3i)3=8 B: z =−1+√3i 的虚部是 √3C: z =−1+√3i 的共轭复数为 z =−1−√3iD: (−1+√3i)2=(−1)2+2(−1)√3i+(√3i)2=−2−2√3i故答案为：AB．【分析】利用复数|z|=2的模长运算及z=a+√3i在复平面内对应的点位于第二象限求出a，再验算每个选项得解.16．【答案】C,D【解析】【解答】∵z=i1−2i=i(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−25+15i，∴复数z的虚部为15，z的共轭复数z̅=−25−i5,|z|=√(−25)2+(15)2=√55，复平面内与z对应的点的坐标为(−25,15)，在第二象限.故答案为：CD.【分析】利用复数的乘除运算可得z=−25+15i，根据复数的概念可判断A；根据共轭复数的概念可判断B；根据复数的模可判断C；根据复数的几何意义可判断D. 17．【答案】3-2i【解析】【解答】8−i2+i=(8−i)(2−i)(2+i)(2−i)=15−10i5=3−2i.故答案为：3-2i.【分析】将分子分母同乘以分母的共轭复数，然后利用运算化简可得结果.18．【答案】3【解析】【解答】∵复数z=(1+i)(2−i)∴z=2−i+2i−i2=3+i∴复数的实部为3.故答案为：3.【分析】根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值.19．【答案】2√3【解析】【解答】∵|z1|=|z2|=2，可设z1=2cosθ+2sinθ⋅i，z2=2cosα+2sinα⋅i，∴z1+z2=2(cosθ+cosα)+2(sinθ+sinα)⋅i=√3+i，∴{2(cosθ+cosα)=√32(sinθ+sinα)=1，两式平方作和得：4(2+2cosθcosα+2sinθsinα)=4，化简得：cosθcosα+sinθsinα=−1 2∴|z1−z2|=|2(cosθ−cosα)+2(sinθ−sinα)⋅i|=√4(cosθ−cosα)2+4(sinθ−sinα)2=√8−8(cosθcosα+sinθsinα)=√8+4=2√3.故答案为：2√3.【分析】令z1=2cosθ+2sinθ⋅i，z2=2cosα+2sinα⋅i，根据复数的相等可求得cosθcosα+ sinθsinα=−12，代入复数模长的公式中即可得到结果.20．【答案】②③④【解析】【解答】对于①，a，b∈R且a=b，若a=b=0时，则(a−b)+(a+b)i不是纯虚数，①错误；对于②，当z是非零实数时，根据基本不等式的性质知|z+1z|⩾2恒成立，②正确；对于③，复数z=(1−i)3=−2−2i，∴z的实部和虚部都是−2，③正确；对于④，如果|a+2i|<|−2+i|，则a2+4<4+1，解得−1<a<1，所以实数a的取值范围是−1<a<1，④正确；对于⑤，复数z=1−i，则1z+z=11−i+(1−i)=32−12i，∴⑤错误．综上，正确的命题的序号是②③④．故答案为：②③④．【分析】①当a=b=0时，(a−b)+(a+b)i=0不是纯虚数；②根据基本不等式的性质知|z+1z|⩾2恒成立；③化简复数z，得z的实部和虚部都是-2；④根据模长公式得关于a的不等式，求解即可；⑤根据复数代数运算法则，化简计算即可．21．【答案】解：（∈）z1=3−i1+i=(3−i)(1−i)(1−i)(1+i)=2−4i2=1−2i，所以|z1|=√22+12=√5，（∈）设z2=a+2i(a∈R)，则z1z2=(2+i)(a+2i)=(2a−2)+(a+4)i，因为z1z2的虚部为0，所以，a+4=0，即a=−4.所以z2=−4+2i.【解析】【分析】（∈）利用复数的四则运算求出z1后可求其模.（∈）设z2=a+2i(a∈R)，利用复数的乘法计算出 z 1z 2 后再根据虚部为0求出 a ，从而可得 z 2 .22．【答案】（1）解：由题 z =4+3i 1+2i =(4+3i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=10−5i5=2−i .即 z =2−i （2）解：由(1) z =2−i ,故 z 2−z ̅=(2−i)2−(2+i)=1−5i ,故 |z 2−z̅|=√12+(−5)2=√26 .即 |z 2−z̅|=√26【解析】【分析】(1)易得 z =4+3i1+2i,再利用复数的除法运算即可.(2)由(1)分别求得 z 2,z ̅ 再计算 z 2−z̅ 求模长即可. 23．【答案】（1）解： ∵z =1−i ，∴z 2−z =(1−i)2−(1−i)=1−2i +i 2−1+i =−1−i（2）解： ∵z 1=2i ， z 2=2+i ，∴ z 1+z 2z =2i+2+i 1−i =2+3i 1−i =(2+3i)(1+i)(1−i)(1+i)=−12+52i【解析】【分析】（1）把 z =1−i 代入 z 2−z ，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案；（2）由图形求得 z 1 ， z 2 ，代入 z 1+z2z，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.24．【答案】（1）解： ∵z 是纯虚数， ∴{m 2−3m +2=0m −1≠0， 解得 {m =1或m =2m ≠1， ∴ m =2（2）解：z 所对应的点是 (m 2−3m +2,m −1) ，∵ z 所对应的点在直线 y =2x +1 的上方，即 m −1>2(m 2−3m +2)+1 ， 化简得 2m 2−7m +6<0 ，即 (m −2)(2m −3)<0 ， ∴32<m <2 . 【解析】【分析】（1）由复数的分类求解；（2）写出对应点的坐标，点在直线 y =2x +1 上方，就是点的坐标适合不等式 y >2x +1 代入后不等式可得．25．【答案】（1）解：设 z =a +bi ， a,b ∈R ， a >0 .由题意： a 2+b 2=10 .①(2+i)(a +bi)=2a −b +(a +2b)i ， 得 2a −b +a +2b =0 ， 3a +b =0 ，②①②联立，解得 a =1 ， b =−3 得 z =1−3i .（2）解：由（1）可得z̅=1+3i所以z̅+m2(−1+i)+4mi=(−m2+1)+(m2+4m+3)i由题意可知{−m2+1=0m2+4m+3≠0解得m=±1且m≠−1且m≠−3所以m=1【解析】【分析】（1）设z=a+bi(a，b∈R且a>0)，由条件可得a2+b2=10①，a=−3b②．由①②联立的方程组得a、b的值，即可得到z的值；（2）根据实部为0，虚部不为0即可求解m．26．【答案】（1）解：由题意3a−2=0，a=2 3；（2）解：由已知|z|=√(3a)2+(3a−2)2=√10，解得a=1或a=−13．（3）解：复数z对应点坐标为(3a，3a−2)，它在第三象限，则{3a<03a−2<0，解得a< 0．∴a的范围是(−∞，0)．【解析】【分析】（1）根据复数的分类求解；（2）由复数模的运算计算；（3）写出对应点坐标，由点所在象限得出不等式，解之可得．。
人教新课标版数学高二-选修2-2第三章《数系的扩充与复数》过关检测卷
数学·选修2－2(人教A 版)章末过关检测卷(三)第三章 数系的扩充与复数的引入(测试时间：120分钟 评价分值：150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．i 是虚数单位，计算i ＋i 2＋i 3＝( )A ．－1B ．1C ．－iD ．i 答案：A2．(2014·广州一模)已知i 是虚数单位，若(m ＋i)2＝3－4i ，则实数m 的值为( )A ．－2B ．±2C ．±2D ．2解析：(m ＋i)2＝m 2－1＋2m i ＝3－4i ，根据复数相等的充要条件得⎩⎨⎧m 2－1＝3，2m ＝－4，得m ＝－2.故选A.答案：A3．设a ∈R ，且(a ＋i)2i 为正实数，则a ＝( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1解析：(a ＋i)2i ＝(a 2－1＋2a i)i ＝－2a ＋(a 2－1)i ，因为(a ＋i)2i 为正实数，所以－2a >0且a 2－1＝0，所以a ＝－1.故选D.答案：D4．(2013·江西卷)已知集合M ＝{1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z ＝( )A ．－2iB ．2iC ．－4iD ．4i解析：由M ∩N ＝{4}得z i ＝4，z ＝4i ＝－4i.故选C.答案：C5．已知复数z 1＝3＋2i ，z 2＝1－3i ，则复数z ＝z 1－z 2在复平面内对应的点Z 位于复平面内的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因为z 1＝3＋2i ，z 2＝1－3i ，所以z ＝z 1－z 2＝3＋2i －(1－3i)＝(3－1)＋(2＋3)i ＝2＋5i.所以点Z 位于复平面内的第一象限，故选A.答案：A6．复平面内点A、B、C对应的复数为i,1,4＋2i，由A→B→C→D 按逆时针顺序作平行四边形ABCD，如图所示，则|BD→|＝()A．5 B.13 C.15 D.17解析：由复数加法的几何意义，知BD→＝BA→＋BC→，因为BA→对应的复数为z A－z B＝i－1，BC→对应的复数为z C－z B＝(4＋2i)－1＝3＋2i，所以BD→对应的复数为(i－1)＋(3＋2i)＝2＋3i，所以|BD→|＝22＋32＝13，故选B.答案：B7．已知复数(x－2)＋y i(x，y∈R)的模为3，则yx的最大值是()A.32 B.33 C.12 D. 3答案：D8．已知复数z 1，z 2在复平面上对应的点分别为A (1,2)，B (－1,3)，则z 2z 1＝( ) A ．1＋i B ．i C ．1－i D ．－i解析：由复数的几何意义可知z 1＝1＋2i ，z 2＝－1＋3i ，所以z 2z 1＝－1＋3i 1＋2i ＝(－1＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝5＋5i5＝1＋i ，选A.答案：A二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分；将正确答案填在题中的横线上)9．复数(2＋i )(1－i )21－2i ＝________.答案：2 10．复数2＋i1＋i的共轭复数是________．答案：32＋12i11．若复数z ＝a1＋i ＋i 为实数，则实数a ＝________.答案：212．已知复数z 1＝m ＋(4＋m )i(m ∈R)，z 2＝2cos θ＋(λ＋3cos θ)i(λ∈R)，若z 1＝z 2，则λ的取值范围是________．解析：因为z 1＝z 2，所以⎩⎨⎧m ＝2cos θ，4＋m ＝λ＋3cos θ，所以λ＝4－cos θ.又因为－1≤cos θ≤1，所以3≤4－cos θ≤5， 所以λ∈[3,5]． 答案：[3,5]13.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i ＝________.解析：原式＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤(1＋i )226＋(2＋3i )(3＋2i )(3)2＋(2)2＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.答案：－1＋i14．若复数2＋b i 31＋2i (b ∈R)在复平面上的对应点恰好在直线x ＋y ＝0上，则b 的值为________．解析：2＋b i 31＋2i＝2－2b 5－4＋b5i ，则点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－2b 5，－4＋b 5在x ＋y ＝0上．∴b ＝－23. 答案：－23三、解答题(本大题共6小题，共80分；解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)15．(本小题满分12分)求(1＋2i )23－4i 的值．解析：(1＋2i )23－4i ＝(4i －3)(3＋4i )25＝－16－925＝－1.16．(本小题满分12分)已知关于x 的方程x 2＋(k ＋2i)x ＋2＋k i ＝0有实根，求这个实根以及实数k 的值．解析：设x ＝m 是方程的实根，代入方程得 m 2＋(k ＋2i) m ＋2＋k i ＝0，即(m 2＋km ＋2)＋(2m ＋k )i ＝0.由复数相等的充要条件得：⎩⎨⎧m 2＋km ＋2＝0，2m ＋k ＝0.解得⎩⎨⎧m ＝2，k ＝－22或⎩⎨⎧m ＝－2，k ＝2 2.所以方程的实根为x ＝2或x ＝－2，相应的k 的值为－22或2 2.17．(本小题满分14分)复数z ＝log 3(x 2－3x －3)＋ilog 2(x －3)，当x 为何实数时：(1)z ∈R?解析：因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －3>0， ①log 2(x －3)＝0，②x －3>0. ③由②得x ＝4，经验证满足①③式． 所以当x ＝4时，z ∈R.(2)z 为虚数？解析：因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不等于0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －3>0，log 2(x －3)≠0，x －3>0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x >3＋212或x <3－212，x >3且x ≠4，即3＋212<x <4或x >4，所以当3＋212<x <4或x >4时，z 为虚数(3)z 表示的点在复平面的第一象限？解析：由题意知⎩⎨⎧x 2－3x －3>1，x －3>1，得⎩⎨⎧x 2－3x －4>0，x >4，所以⎩⎨⎧x >4或x <－1，x >4，得x >4.即x >4时，z 表示的点在复平面的第一象限．18．(本小题满分14分)已知z ＝1＋i ，a ，b 为实数．(1)若ω＝z 2＋3z －4，求|ω|；解析：ω＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i ，所以|ω|＝ 2.(2)若z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝1－i ，求a ，b 的值．解析：由条件，得(a ＋b )＋(a ＋2)ii ＝1－i ，所以(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝1＋i ，所以⎩⎨⎧a ＋b ＝1，a ＋2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝2.19．(本小题满分14分)对于任意两个复数z 1＝x 1＋y 1i ，z 2＝x 2＋y 2i(x 1，x 2，y 1，y 2∈R)，定义运算“⊗”为：z 1⊗z 2＝x 1x 2＋y 1y 2.设非零复数ω1，ω2在复平面对应的点分别为P 1，P 2，点O 为坐标原点，若ω1⊗ω2＝0，则在△P 1OP 2中，求∠P 1OP 2的大小．解析：设点P 1(x 1，y 1)，点P 2(x 2，y 2)， ∵OP1→＝(x 1，y 1)，OP 2→＝(x 2，y 2)， 又∵w 1⊗w 2＝x 1x 2＋y 1y 2＝OP 1→·OP 2→＝0， ∴OP 1→⊥OP 2，∴∠P 1OP 2＝90°.20．(本小题满分14分)设复数z 满足|z |＝5，且(3＋4i)z 在复平面上对应的点在第二、第四象限的角平分线上，|2z －m |＝52(m ∈R)，求z 和m 的值．解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)， 又|z |＝5，所以x 2＋y 2＝25.①因为(3＋4i)z ＝(3＋4i)(x ＋y i)＝(3x －4y )＋(4x ＋3y )i 在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，所以它的实部与虚部互为相反数，即3x －4y ＋4x ＋3y ＝0，即y ＝7x .代入①，得x ＝±22，y ＝±722.所以z ＝22＋722i 或z ＝－22－722i.当z ＝22＋722i 时，2z ＝1＋7i ，|1＋7i －m |＝52，即(1－m )2＋72＝50，解得m ＝0或m ＝2；当z ＝－22－722i 时，2z ＝－1－7i ，同理可解得m ＝0或m ＝－2.。
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【金版学案】2015-2016高中数学 第三章 数学系的扩充与复数引入章末过关检测卷 新人教A 版选修2-2(测试时间：120分钟 评价分值：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·福建卷)若集合A ＝{}i ，i 2，i 3，i 4(i 是虚数单位)，B ＝{}1，－1，则A ∩B等于(C )A.{}－1B.{}1C.{}1，－1 D ．∅解析：由已知得A ＝{}i ，－1，－i ，1，故A ∩B ＝{}1，－1，故选C. 2．i 是虚数单位，计算i ＋i 2＋i 3＝(A ) A ．－1 B ．1 C ．－I D ．i3．(2014·高考辽宁卷)设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝(A ) A ．2＋3i B ．2－3i C ．3＋2i D ．3－2i 解析：由已知得z ＝S2－i ＋2i ＝S （2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＋2i ＝2＋3i. 4．(2015·湖南卷)已知（1－i ）2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝(D )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i 解析：由题意得，z ＝（1－i ）21＋i ＝－2i 1＋i ＝－1－i ，故选D.5．已知下列命题：①复数a ＋b i 不是实数；②若(x 2－4)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±2；③若复数z ＝a ＋b i ，则当且仅当b ≠0时，z 为虚数．其中正确的命题有(A )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：根据复数的有关概念判断命题的真假：①是假命题，因为当a ∈R 且b ＝0时，a＋b i 是实数；②是假命题，因为由纯虚数的条件得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，x 2＋3x ＋2≠0解得x ＝2，当x ＝－2时，对应的复数为实数；③是假命题，因为没有强调a ，b ∈R.6．(2014·高考全国Ⅰ卷)设z ＝11＋i＋i ，则|z |＝(B )A.12B.22C.32D ．2 解析：z ＝11＋i ＋i ＝1－i （1＋i ）（1－i ）＋i ＝1－i 2＋i ＝12－12i ，|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝22. 所以选B.7．(2015·山东卷)若复数z 满足z1－i ＝i ，其中i 是虚数单位，则z ＝(A )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i 解析：z ＝(1－i)i ＝－i 2＋i ＝1＋i ，z ＝1－i ，故选A.8．已知复数z 1＝3＋2i ，z 2＝1－3i ，则复数z ＝z 1－z 2在复平面内对应的点Z 位于复平面内的(A )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因为z 1＝3＋2i ，z 2＝1－3i ，所以z ＝z 1－z 2＝3＋2i －(1－3i)＝(3－1)＋(2＋3)i ＝2＋5i.所以点Z 位于复平面内的第一象限，故选A.9．A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则三角形AOB 一定是(B )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：根据复数加(减)法的几何意义，知以OA →，OB →为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB 为直角三角形．10．若复数2－b i1＋2i (b ∈R)的实部与虚部互为相反数，则b ＝(C )A. 2B.23 C ．－23D ．2解析：因为2－b i 1＋2i ＝（2－b i ）（1－2i ）5＝2－2b 5－4＋b 5i ，又复数2－b i1＋2i (b ∈R)的实部与虚部互为相反数，所以2－2b 5＝4＋b 5，即b ＝－23.11．已知复数(x －2)＋y i(x ，y ∈R)的模为3，则y x的最大值是(D ) A.32 B.33 C.12D. 312．(2015·乌鲁木齐第三次诊断)已知a ∈R，复数z ＝a －i1－i是纯虚数(i 是虚数单位)，则a ＝(B )A ．－2B ．－1C ．1 D. 2解析：z ＝（a －i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝a ＋12＋a －12i ，由题意，得a ＋12＝0且a －12≠0，解得a＝－1，故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分；将正确答案填在题中的横线上) 13．(2014·高考江苏卷)已知复数z ＝(5－2i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的实部是________．解析：由题意z ＝(5＋2i)2＝25＋2×5×2i ＋(2i)2＝21＋20i ，其实部为21. 答案：21 14．若复数z ＝a1＋i＋i 为实数，则实数a ＝________． 答案：215．已知z 、ω为复数，(1＋3i)z 为纯虚数，ω＝z2＋i，且|ω|＝52，则ω＝________．解析：由题意设(1＋3i)z ＝k i(k ≠0且k ∈R)，则ω＝k i（2＋i ）（1＋3i ）.∵|ω|＝52，∴k ＝±50，故ω＝±(7－i)． 答案：±(7－i)16．若复数2＋b i31＋2i (b ∈R)在复平面上的对应点恰好在直线x ＋y ＝0上，则b 的值为________．解析：2＋b i 31＋2i ＝2－2b 5－4＋b 5i ，则点⎝⎛⎭⎪⎫2－2b 5，－4＋b 5在x ＋y ＝0上．∴b ＝－23.答案：－23三、解答题(本大题共6小题，共70分；解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)17．(本小题满分11分)已知(1＋2i)z －＝4＋3i ，求z 及z z－.解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z －＝a －b i. ∴(1＋2i)(a －b i)＝4＋3i ，∴(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i.由复数相等，得解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴z ＝2＋i.∴zz －＝z ·zz －·z ＝z 2|z |2＝4－1＋4i 5＝35＋45i. 18．(本小题满分11分)复数z ＝log 3(x 2－3x －3)＋ilog 2(x －3)，当x 为何实数时： (1)z ∈R? (2)z 为虚数？(3)z 表示的点在复平面的第一象限？解析：(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －3>0， ①log 2（x －3）＝0， ②x －3>0. ③由②得x ＝4，经验证满足①③式． 所以当x ＝4时，z ∈R.(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不等于0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －3>0，log 2（x －3）≠0，x －3>0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x >3＋212或x <3－212，x >3且x ≠4， 即3＋212<x <4或x >4， 所以当3＋212<x <4或x >4时，z 为虚数．(3)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －3>1，x －3>1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －4>0，x >4， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x >4或x <－1，x >4，得x >4.即x >4时，z 表示的点在复平面的第一象限． 19．(本小题满分12分)已知z ＝1＋i ，a ，b 为实数． (1)若ω＝z 2＋3z －4，求|ω|；(2)若z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝1－i ，求a ，b 的值．解析：(1)ω＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i ，所以|ω|＝ 2. (2)由条件，得（a ＋b ）＋（a ＋2）ii＝1－i ，所以(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝1＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2. 20．(本小题满分12分)对于任意两个复数z 1＝x 1＋y 1i ，z 2＝x 2＋y 2i(x 1，x 2，y 1，y 2∈R)，定义运算“为：z 1z 2＝x 1x 2＋y 1y 2.设非零复数ω1，ω2在复平面对应的点分别为P 1，P 2，点O 为坐标原点，若ω1ω2＝0，则在△P 1OP 2中，求∠P 1OP 2的大小．解析：设点P 1(x 1，y 1)，点P 2(x 2，y 2)， ∵OP 1→＝(x 1，y 1)，OP 2→＝(x 2，y 2)， 又∵w 1⊗w 2＝x 1x 2＋y 1y 2＝OP 1→·OP 2→＝0， ∴OP 1→⊥OP 2，∴∠P 1OP 2＝90°.21．(本小题满分12分)(2014·长沙高二检测)(1)求复数z ＝1＋cos α＋isin α(π<α<2π)的模．(2)如果log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，试求自然数m ，n .解析：(1)|z |＝（1＋cos α）2＋sin 2α＝2＋2cos α＝－2cos α2.(2)因为log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，所以式子log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i 是实数，从而有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0， ①log 12（m ＋n ）>－1. ② 由①得m ＝0或m ＝3，当m ＝0时代入②得n <2，又m ＋n >0，所以n ＝1； 当m ＝3代入②得n <－1，与n 是自然数矛盾． 综上可得m ＝0，n ＝1.22．(本小题满分12分)设复数z 满足|z |＝5，且(3＋4i)z 在复平面上对应的点在第二、第四象限的角平分线上，|2z －m |＝52(m ∈R)，求z 和m 的值．解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)， 又|z |＝5，所以x 2＋y 2＝25.①因为(3＋4i)z ＝(3＋4i)(x ＋y i)＝(3x －4y )＋(4x ＋3y )i 在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，所以它的实部与虚部互为相反数，即3x －4y ＋4x ＋3y ＝0，即y ＝7x .代入①，得x ＝±22，y ＝±722.所以z＝22＋722i或z＝－22－722i.当z＝22＋722i时，2z＝1＋7i，|1＋7i－m|＝52，即(1－m)2＋72＝50，解得m＝0或m＝2；当z＝－22－722i时，2z＝－1－7i，同理可解得m＝0或m＝－2.。