2012条件概率,乘法公式

Ch2
条件概率P(B|A) 中，A与B地位不同，且已知A 已发生作为条件。在概率P(AB）中，A，B同时 发生，地位相同。在应用时必须区别是
P ( B A ) 还 是 P AB) （
例如从6个正品2个次品的袋中，无放回抽取2 次，一次取一个。A={第一次为正品}，B={第 二次为次品}， 求（1）已知第一次取到正品，B发生的概率。 （2）第二次才取到次品的概率
Ch2
用乘法公式容易求出 P(W1W2R3R4) =P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)
b bc r r c
b r b r c b r 2c b r 3c
当 c > 0 时，由于每次取出球后会增加下一次 也取到同色球的概率. 这是一个传染病模型. 每次 发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.
为事件 B 发生的条件下事件 A发生的概率， 简称A对B的条件概率.
Ch2
条件概率 P(B|A) 的计算
1) 缩减样本空间： 将 缩减为A=A， 采用古典概型来计算. 2) 用定义： P ( B
A) P ( AB ) P ( A)
条件概率P ( B
A )与 概 率 P A B ) （
有何不同?ຫໍສະໝຸດ 1 1（1） C 3C 2 （也可直接按古典概型算 1 1 ) C 5C 4
(2) P( A1 A2 A3 ) P A1 P A2 A1 P A3 A1 A2
(2)


Ch2

2 1 3 1 3 5 10 3 10 4 1 0.5
3 5
Ch2
例4 设某光学仪器厂制造的透镜 , 第一次落下时
Rj={第j次取出是红球}， j=1,2,3,4
于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第一、 第二个是白球，第三、四个是红球. ”
Ch2
用乘法公式容易求出
P(W1W2R3R4) =P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)
b bc r rc b r b r c b r 2c b r 3c
Ch2
随机取一个球，观看颜色后放 回罐中，并且再加进c个与所抽出 的球具有相同颜色的球. b个白球, r个红球 解 设 Wi={第i次取出是白球}, i=1,2,3,4 Rj={第j次取出是红球}， j=1,2,3,4 于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第一、 第二个是白球，第三、四个是红球. ”
练习 在标有1,2,3,4,5这5个数字的卡片里,无放回地抽取 两次,一次一张,求
Ch2
(1)第一次取到奇数卡片的概率;
(2)已知第一次取到偶数,求第二次取到奇数卡片 的概率; (3)第二次才取到奇数卡片的概率. 解 设A, B分别表示第一次和第二次取到奇数 卡片这两个事件, 则
3 5
(2) P ( B A ) 3 4 (3) P ( A B ) 3 10
1) P ( A ) ; 2) P ( AB ) P ( A) P ( B A) 6 10 4 9 4 15 4 10 3 9 2 8 1 30 . ; ; 10 3) P ( AB ) P ( A ) P ( B A ) 10 9 30
4 ) P ( A B C ) P ( A ) P ( B A ) P (C A B )
Ch2
例3 盒中装有5个产品, 其中3个一等 品，2个二等品, 从中不放回地取产品, 每次 1个, 求 （1）取两次，两次都取得一等品的概率;
（2）取三次，第三次才取得一等品的概率;
解 令 Ai ={第 i 次取到一等品}
(1) P( A1 A2 ) P( A1 ) P ( A2 3 2 3 A1 ) 5 4 10
Ch2
乘法公式应用举例 波里亚罐子模型
b个白球, r个红球 一个罐子中包含b个白球和r个红球. 随机地 抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进 c 个与所抽出的球具有相同颜色的球. 这种手续进行 四次 ，试求第一、二次取到白球且第三、四次取 到红球的概率.
Ch2
随机取一个球，观看颜色后放 回罐中，并且再加进c个与所抽出 的球具有相同颜色的球. b个白球, r个红球 解 设 Wi={第i次取出是白球}, i=1,2,3,4
A1
Ch2
P A2 A1
（1）


1 2
Ch2
例2 某种动物由出生算起活20岁以上的概率为 0.8, 活到25岁以上的概率为0.4, 如果现在有一只 20岁的这种动物, 问它能活到25岁以上的概率是 多少? 解：设 A = {活 20 岁以上} ， B = {活 25 岁以上}
P 则有 ( B A ) P ( AB ) P ( A)
P ( B ) 0 .4 , P ( AB ) P ( B ),
.
因为 P ( A ) 0 . 8 ,
所以 P ( B A )
P ( AB ) P ( A)

0 .4 0 .8

1 2
.
乘法公式
利用条件概率求积事件的概率即乘法公式
(1) 若 P(B)>0，则 P(AB) = P(B)P(A|B)；
P Bi A i 1
P ( Bi
i 1

A ).
( 5 ) P [( B 1 B 2）A ] P [( B 1 B 2）A ] P ( B 1 A ) P ( B 1 B 2 A );
例1 盒中装有5个产品, 其中3个一等品，2个 二等品, 从中不放回地取产品, 每次1个, 已知 第一次取得一等品，求第二次取得的是二等 品的概率. 解 令 Ai={第 i次取到一等品}，
当 c > 0 时，由于每次取出球后会增加下一次 也取到同色球的概率. 这是一个传染病模型. 每次 发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.
练习
Ch2
10个考签中有4个难签，3人参加抽签（不放 回），甲先、乙次、丙最后。求1）甲抽到难签 的概率；2）甲、乙都抽到难签的概率；3）甲 没有抽到难签，而乙抽到难签的概率；4）甲乙 丙都抽到难签的概率. 解：设事件A、B、C分别表示甲、乙、丙抽到难 签 4 4 3 4
Ch2
性质
条件概率是概率
( 1 ) 非负性 : P ( B A ) 0 ;
( 2 ) 规 范 性 : P ( A ) 1, P ( A ) 0;
( 3 ) 可 列 可 加 性 : 设 B1 , B 2 , 是 两 两 互 斥 的 事 件 ,则有
( 4 ) P ( B A ) 1 P ( B | A ).
打破的概率为 1 , 若第一次落下未打破 , 第二次落下 2 7
打破的概率是 , 若前两次未打破 , 第三次落下打 10 9 破的概率是 , 试求透镜落下三次未打破的概率 . 10
解
设 Ai 透镜第 i 次落下打破 ,i 1, 2, 3 , 则 Ai 透镜第 i 次落下未打破 ,i 1, 2, 3 ,
记 A={从1号箱取得白球},
B ={从2号箱取得红球}
1
2
Ch2
定义
设 A , B 是 两 个 事 件 , 且 P ( A ) 0, 称 P (B A) P ( AB ) P ( A)
为事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率， 简称B对A的条件概率. P( AB ) 同理可得
P(A B) P(B)
P A1 A2 A3 P A1 P A2 | A1 P A3 | A1 A2
3 1 7 9 . 1 1 1 2 10 10 200
Ch2
波里亚罐子(传染病）模型
b个白球, r个红球 一个罐子中包含b个白球和r个红球. 随机地抽取 一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进 c 个 与所抽出的球具有相同颜色的球. 这种手续进行四 次 ，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到 红球的概率.
P(A)=
若 P(A)>0，则 P(AB) = P(A)P(B|A).
Ch2
(2) 若 P(A1A2 ··An1)>0，则 ·· ··
P(A1A2 ··An) ·· ··
= P(A1)P(A2|A1) ·· P(An|A1A2 ··An1) ·· ·· ·· ·· 乘法公式主要用于求几个事件同时发生的概率.
Ch2
条件概率与乘法公式
问题的提出：
3 1) 共n张彩票，有3张中彩. 问： 第2个人中彩的概率为多少？ n 2) 共n张彩票，有3张中彩. 问：已知第l个人摸中，则 第2个人中彩的概率为多少？ 2 n 1
Ch2
条件概率与乘法公式
有二个箱子,分别编号为1,2. 1号箱装有1个红球4 个白球,2号箱装有2红3白球. 某人从1号箱中任取一 球放入2号箱,再从2号箱中任意摸出一球, 求已知从1号箱取出白球的条件下从2号箱取得红球 的概率.