球及其组合体
数学教学设计：9.5 柱、锥、球及其简单组合体(1)(配套高教版)
【课题】9.5 柱、锥、球及其简单组合体(一)
【教学目标】
知识目标：
（1）了解棱柱、棱锥的结构特征；
（2）掌握棱柱、棱锥面积和体积计算.
能力目标：
培养学生的观察能力，数值计算能力及计算工具使用技能.
【教学重点】
正棱柱、正棱锥的结构特征及相关的计算．
【教学难点】
正棱柱、正棱锥的相关计算．
【教学设计】
教材首先介绍了多面体、旋转体的概念．然后通过观察模型，说明棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球的结构特征及其面积、体积的计算公式．正棱柱的侧面积、全面积、体积的计算公式经常使用，不要把侧面积、全面积计算公式记混了．
侧面都是全等的矩形的直四棱柱不一定是正四棱柱．底面是正方形的四棱柱不一定是正四棱柱．四棱锥P-ABCD中，如果棱锥的侧棱长相等，那么它一定是正四棱锥．如果棱锥的底面是正方形，那么它不一定是正四棱锥．
例1是求正三棱柱的侧面积和体积的题目，例2是求正三棱锥的侧面积和体积的题目，
要记住边长为a
的正三角形的面积为2
S ．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟) 【教学过程】
（3）（4）9−55
图9−57
观察正棱柱的表面展开图（图9−57），可以得到正棱柱的侧面积、全面积计算公式分别为
（
=
S ch
正棱柱侧
=+（
2
S ch S
图9−58
图9−61
观察正棱锥的表面展开图（图9−61），可以得到正棱锥的侧面积、全面积（表面积）计算公式分别为
h c '=21
（9.4）
S h c +'=
1
图9−62
P-ABC（图9−62）中，高POD中，
【教师教学后记】。
2020.3.16球与组合体
( A) 8 6 (B) 4 6 (C ) 2 6 (D) 6
例 2.( P45 对 4、例 5 (1) ) 1.已知三棱锥 P─ABC 的四个顶点都在半径为 2 的
2.已知一个三棱锥的所有棱长均为 2，则该三棱锥 的内切球的体积为_____3__.
法3.一已:知等积A、法B、 V C、13 Dr内切四球点 S在表5面4半积 径法二为:直5 接2法的注球意面球心上的，位且置.
2 AC BD 5, AD BC 41, AB CD, 则三棱锥
D─ABC 的体积是_2_0_.提示:补成长方体(补形法).
补充练习:
4.在封闭的直三棱柱 ABC ─A1B1C1 内有一个体积
Hale Waihona Puke 为 V 的球，若 AB BC, AB 6, BC 8, AA1 3,
则V 的最大值是( B ).( A) 4 (B) 9 (C ) 6 (D) 22
2
3
5.已知三棱锥 P─ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，
△ABC 是边长为 1 的正三角形， PC 为球 O 的直径，
(1)三角形的外心及外接圆半径易求；
A
R
rr
dO O1
(利用正弦定理可求半径 r a )
2sin A
(2)依据球的垂径定理定球心，不定再设未知求解;
(列方程)
思考: P44 例 2、 P45 对 4、例 5(1)
例 1.( P44 例 2 (1) ) 1.已知三棱锥 P─ABC 的四个顶点在球 O 的球面
球与组合体
中职对口升学考高分-高三数学第一轮复习：柱、锥、球及其简单的组合体(立体几何)
知识点四 圆锥
1．圆锥的定义
如图9-21所示，以直角三角形的一条直角边为旋转轴旋转一周，
其余各边旋转而形成的曲面(或平面)所围成的几何体称为圆锥.旋
转轴称为圆锥的轴，另一条直角边旋转而形成的圆面称为底面，
斜边旋转而形成的曲面称为圆锥的侧面，无论旋转到任何位置，
斜边都称为圆锥的母线，母线与轴的交点称为圆锥的顶点，顶
3
πr =
3
3
3
= ，
1
熟练掌握球的表面积公式与体积公式.
π.
同学们！再见！
的斜高．
(2)正棱锥的全面积：正棱锥所有面的面积之和，记
为S正棱锥全.
其中S底表示正棱锥的底面的面积．
(3)正棱锥的体积：
5．棱柱、棱锥的体积公式
(1)棱柱的体积：
V棱柱=S底h．
(2)棱锥的体积：
1
V棱锥= S底h．
3
知识点三 圆柱
1．圆柱的定义
以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余各边旋转形成的
高都称为正棱锥的斜高．
(3)顶点到底面中心的连线垂直于底面，是正棱锥的高．
(4)正棱锥的高、斜高、斜高在底面的射影组成一个直角三
角形．
(5)正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面的射影也组成一个直角
三角形．
4．正棱锥的面积及体积计算公式
(1)正棱锥的侧面积：正棱锥所有侧面的面积
之和，记为S正棱锥侧，且
其中C表示正棱锥底面的周长，h′表示正棱锥
由体积公式可得正三棱柱的高h=
81
=
底 9 3
3
2
=9 3，
=3表=S侧+2S底= 54 3 +2×9
3 =72 3 ，故答案为72 3.
第16讲简单多面体球与组合体示范课
A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
2
2
【分析】精确拟定截面圆在原图中的位置. 【解析】由题意得知：截面过正四周体的两个顶点，
故 EC= 3 . EF为△BEC边BC上的高，
从而 EF EC2 FC2 2 . 于是 S 1 BC EF = 2，
2 故选 C.
10
例２ 如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1，∠A1AB=∠A1AC， AB=AC，A1A=A1B=a，侧面B1BCC1与底面ABC所成的二面角 为120°，E、F分别是棱B1C1、A1A的中点.
于是 ∠A1AH为A1A与底面ABC所成的角. 由于 ∠A1AB=∠A1AC，因此AG为∠BAC的平分线.
又AB=AC，则AG⊥BC，且G为BC的中点.
由三垂线定理得A1A⊥BC.
由于A1A∥B1B，且EG∥B1B, 因此EG⊥BC.
于是∠AGE为二面角A-BC-E的平面角，
即 ∠AGE=120°.
A1
C1
B1
P
G
13
(3) 连结A1C. 在△A1AC和△A1AB中， 由于 AC=AB,∠A1AC=∠A1AB,A1A=A1A， 则△A1AC≌△A1AB， 故A1C=A1B.
由已知得 A1A=A1B=A1C=a. 又由于A1H⊥平面ABC，因此H为△ABC的外心.
设所求球的球心为O，O∈A1H，
➢(2)经线、纬线是 解决与地理有关的 球的问题的基本概 念，要理解这些知 识，并能合理利用 经度与纬度来解题. 在解决球面距离问 题时，熟练掌握求 经过两点的"大圆上 的劣弧长"的方法；
➢( 3 ) 求 球 的 表 面 积 、 体积，求两点的球 面距离，组合体等 问题时，常常把球 中的问题转化为相 应的轴截面来处理， 有时还利用圆的有 关性质、正弦定理 和余弦定理来解决 球的问题.
球、简单组合体的结构特征 PPT课件 人教课标版
球面上的点到 球心的距离
半径 O
直径
球心
思考4:用一个平面去截一个球，截面是 什么图形？
O
思考5:设球的半径为R，截面圆半径为r， 球心与截面圆圆心的距离为d，则R、r、 d三者之间的关系如何？
O Rd
r Oˊ P
r R2 d2
知识探究（二）：简单组合体的结构特征
思考1:棱柱、棱锥、棱台都是多面体，但它 们有本质的区别.如果棱台上底面的大小发生 变化，它与棱柱、棱锥有什么关系？
•
39、人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。
•
40、事虽微，不为不成；道虽迩，不行不至。
•
41、好好扮演自己的角色，做自己该做的事。
•
42、自信人生二百年，会当水击三千里。
•
43、要纠正别人之前，先反省自己有没有犯错。
•
44、仁慈是一种聋子能听到、哑巴能了解的语言。
•
45、不可能！只存在于蠢人的字典里。
•
52、思想如钻子，必须集中在一点钻下去才有力量。
•
53、年少时，梦想在心中激扬迸进，势不可挡，只是我们还没学会去战斗。经过一番努力，我们终于学会了战斗，却已没有了拼搏的勇气。因此，我们转向自身，攻击自己，成为自己最大的敌人。
•
54、最伟大的思想和行动往往需要最微不足道的开始。
•
55、不积小流无以成江海，不积跬步无以至千里。
思考2:现实世界中几何体的形状各种各样， 除了柱体、锥体、台体和球体等简单几何体 外，还有大量的几何体是由这些简单几何体 组合而成的，这些几何体叫做简单组合体.你 能说出周围物体所示的几何体是由哪些简单 几何体组合而成的吗？
思考3:试说明下列几何体分别是怎样组 成的？
球、简单组合体的结构特征课件(北师大版必修2)
3
三角剖分
球面可以通过三角剖分法拆分成无数小三角形
球的面积计算公式
表面积定义
球体的表面积S指的是球面区域的大小，以平方单位表示
计算表面积公式
S = 4πr²
球的体积计算公式
体积定义
球体的体积V指的是球内区域的大小，以立方单 位表示
计算体积公式
V = (4/3)πr³
球的常见应用场景
1 宇宙
2 生物学
探索球的奥秘
球体是宇宙中最简单的三维几何体之一。本课件将为您揭开球体的神秘面纱， 探索其结构特征、计算公式以及常见应用场景。
球的定义及基本特征
定义
球体是由一个点向四周所画的一条线，经过 该点且长度相等的所有点组成的图形。
特征
• 球体由无数个面相接构成 • 球面上的所有点到球心的距离相等
球的几何形状
正二十面体Байду номын сангаас
球面被20个正等边三角形面所 覆盖，每个顶点都被恰好3个 三角形围绕
球的等积展开图
球的面展开平面图，每一面都 是同样的大小
实物球体
球的真实形状，可以是任何大 小或材质
球的结构特征
1
组成
球体由诸多的小球(离子，分子或原子)构成，通过电子而组成晶体
2
密度
整个球的密度在各点处相等，且密度相对其他几何体更高
行星、星球、恒星等天体几乎都是球形的
细胞、球菌等微生物前后靠接触，具有几 何均匀性
3 工业设计
4 竞技运动
球形镜头广泛应用于计算机视觉、无人机、 人工智能等领域
足球、篮球、乒乓球等一些球类运动以球 形物体为主要比赛工具
总结和要点
球体是一种几何结构简单、广泛应用的三维几何体，其密度均匀、形状规则、 计算公式简单。不仅是自然界、人类社会中广泛存在的一种几何形状，更是 工程计算、科学研究不可或缺的基础几何体。
球的组合体
高三复习讲义：球及其组合体☞ 知识预备1. 球心到截面的距离d 与球半径R 及截面的半径r 有以下关系： ．2. 球面被经过球心的平面截得的圆叫 ．被不经过球心的平面截得的圆叫 ．3. 球的表面积表面积S ＝ ；球的体积V ＝ ．典型例题1——球的截面1.一平面截一球得到直径为6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4 cm ，则该球的体积是（ ） A.3π100 cm 3 B.3π208 cm 3 C.3π500 cm 3 D.3π34161 cm 32、两个平行平面去截半径为5的球，若截面面积分别为9,16ππ，则这两个平行平面间的距离是 （ ）A. 1 B .7 C . 3或4 D. 1或73、过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为典型例题2— 球与长方体的切、接问题1.（2006山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( )A. 1∶3B. 1∶3C. 1∶33D. 1∶92. （2007天津理•12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ．3、自半径为1的球面上一点Q ，作球的三条互相垂直弦,,QA QB QC ，则222QA QB QC ++=（ ）A .4 B. 2 C .1 D.不能确定4.（2007全国Ⅱ理•15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm 的球面上。
如果正四棱柱的底面边长为1 cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2.5. 三棱锥O-ABC 的三条棱OA, OB, OC 两两垂直，OA=1，OB=OC=2，则内切球表面积为______ , 外接球体积为_____________典型例题3— 球与正四面体的切、接问题1．设正四面体中，第一个球是它的内切球，第二个球是它的外接球，求这两个球的表面积之比及体积之比．2.过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB 、AC 、AD ，且两两夹角都为︒60，若球半径为R ，求弦AB 的长度．3．把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离．典型例题4— 球与三棱锥的切、接问题1. （陕西理•6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）A ．433 B ．33 C ． 43 D ．1232 ．（2012新课标理）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上,ABC ∆是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2SC =;则此棱锥的体积为 （ ）A ．6 B ．6 C ．3 D ．23. 正三棱锥的高为1，底面边长为62，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．4.已知三棱锥S ABC -的各顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC，AC =，则球的体积与三棱锥体积之比是（ ）Ａ．π Ｂ．2πＣ．3π Ｄ．4π5.已知球O 点面上四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA=AB=BC=3，则球O 点体积等于___________典型例题5— 其它问题1. 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于2.（2008海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，则这个球的体积为 ．3.（2006辽宁）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P ABCDEF -，则此正六棱锥的侧面积是________．F4．（2012辽宁文）已知点P,A,B,C,D 是球O 表面上的点,PA ⊥平面ABCD,四边形ABCD 是边长为形.若则△OAB 的面积为______________.5.已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的163 ，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为6.正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，如果163P ABCD V -=，则球O 的表面积是（ ）。
专题14 与球有关的组合体(解析版)
培优14 与球有关的组合体一、侧面与地面垂直的几何体的外接球问题例1：已知在三棱锥C ABD -中，ABD △是等边三角形，BC CD ⊥，平面ABD ⊥平面BCD ，若该三棱锥的外接球表面积为4π，则AC =（ ）A ．3 B ．6 C ．3D ．32【答案】C【解析】根据题意，画出图形，设且外接球球心为O ，半径为R ， 根据题意，有24π4πR =，解得1R =，根据题意，有球心O 为正三角形ABD △的中心， 因为1OD =，所以1AO =，12OF =，所以正三角形ABD △3， BC CD ⊥，所以1322CF BD ==， 因为平面ABD ⊥平面BCD ，所以π2AFC ∠=， 所以2239344AC CF AF =+=+= 二、通过投影找外接球球心例2：已知球O 内接正四面体P ABC -，E 为棱PA 的中点，F 是棱PB 上的一点， 且2FC EF =，则球O 与四面体P EFC -的体积比为（ ） A ．3πB ．3πC ．183πD ．3π【答案】D【解析】如图，正四面体P ABC -中，顶点P 在底面的射影为1O ，球心O 在1PO 上． 设正四面体的棱长为2a ， 则正四面体高222211232()62()3PO PC O C a a a =-=-=．设外接球半径为R ，在直角三角形1OO C 中，22211OC OO O C =+，即2222623()()R a R a =-+，解得6R a =． 令PF λ=，在PEF △中，由余弦定理得222222cos60EF PE PF PE PF a a λλ=+-⋅⋅︒=+-①，同理，在PFC △中，由余弦定理得222222cos6042FC PC PF PC PF a a λλ=+-⋅⋅︒=+-②，由题设2FC EF =，解得23a λ=． 由于P 到平面ABC 的距离与C 到平面PAB 的距离相等，都等于1||PO ，213||||sin 6026PEF S PE PF a =︒=△， 故231113262||33639P EFC PEF V S PO a a a -=⋅=⨯⨯=△，33446ππ()6π33OV R a a ===球，所以336π93π2O P EFC V a V a -==球．三、内切球相关问题例3：阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家．据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”．他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为54π的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为（ ）A ．4πB ．16πC ．36πD ．64π3【答案】C【解析】设球的半径为R ，根据题意圆柱的表面积为22π2π254πS R R R =+⨯=，解得3R =， 所以该球的体积为3344ππ336π33V R ==⨯⨯=．增分训练一、选择题1．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40︒，则晷针与点A 处的水平面所成角为（ ）A ．20︒B ．40︒C ．50︒D ．90︒【答案】B【解析】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线， 依题意可知OA l ⊥，AB 是晷针所在直线，m 是晷面的截线， 依题意，晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直， 根据平面平行的性质定理可得可知//m CD ， 根据线面垂直的定义可得AB m ⊥．由于40AOC ∠=︒，//m CD ，所以40OAG AOC ∠=∠=︒， 由于90OAG GAE BAE GAE ∠+∠=∠+∠=︒，所以40BAE OAG ∠=∠=︒，也即晷针与点A 处的水平面所成角为40BAE ∠=︒． 2．如图为某水晶工艺品示意图，该工艺品由一个半径为R 的大球放置在底面半径和高均为R 的圆柱内，球与圆柱下底面相切为增加观赏效果，设计师想在圆柱与球的空隙处放入若干大小相等的实心小球，且满足小球恰好与圆柱底面、圆柱侧面及大球都相切，则该工艺品最多可放入（ ）个小球．A ．14B ．15C ．16D ．17【答案】B【解析】如图，过球心与圆柱体底面圆心的平面截得该图形的平面图，设球的半径为R，实心小球的半径为r，由题意可得22r r R R++=，解得(322)R r=+，因为小球球心在以E为圆心，EF为半径的圆上，2R rEF+=，周长为2πEF，所以22πrn EF≤，即2π2π2π()2π[(322)]2(222)π15.16 2222R rEF R r r rnr r r r++++≤====+≈，故该工艺品最多可放入15个小球．3．如图，一个盛满溶液的玻璃杯，其形状为一个倒置的圆锥，现放一个球状物体完全浸没于杯中，球面与圆锥侧面相切，且与玻璃杯口所在平面相切，则溢出溶液的体积为（）A83π27B43π27C163π27D323π27【答案】D【解析】由题意，设球的半径为r，作出球的组合体的轴截面，可得一个半径为r的圆内切与一个边长为4的等边三角形，此时正三角形的高线为23h=根据中心（重心）的性质可得，球的半径为2433r h==，所以球的体积为334443323ππ()π33327V r ==⨯=，即溢出溶液的体积为323π27，故选D ．4．某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为43的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为4π，则该球的半径是（ ）A ．2B ．4C ．26D ．46【答案】B【解析】设截面圆半径为r ，球的半径为R ，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半，即23， 根据截面圆的周长可得4π2πr =，得2r =，故由题意，知222(23)R r =+，即2222(23)16R =+=，所以4R =．5．（多选题）已知A ，B ，C 三点均在球O 的表面上，2AB BC CA ===，且球心O 到平面ABC 的距离等于球半径的13，则下列结论正确的是（ ） A ．球O 的半径为32B ．球O 的表面积为6πC ．球O 6D ．球O 6【答案】BD【解析】设球O 的半径为r ，ABC △的外接圆圆心为O '，半径为R ， 可得23R =， 因为球心O 到平面ABC 的距离等于球O 半径的13，所以221493r r -=，得232r =，所以A 不正确； 所以球O 的表面积234π4π6π2S r ==⨯=，选项B 正确； 球O 的内接正方体的棱长a 2r =，显然选项C 不正确； 球O 的外切正方体的棱长b 满足2b r =，显然选项D 正确．6．（多选题）已知ABC △的三边长分别是3AC =，4BC =，5AB =．则下列说法正确的是（ ）A ．以BC 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为15πB ．以AB 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为48π5C ．以AC 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的全面积为25πD ．以AC 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为16π 【答案】ABD【解析】以BC 所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为3，母线长为5，高为4的圆锥，其侧面积为π3515π⨯⨯=，故A 正确；以AB 所在直线为旋转轴，所得旋转体是具有同底的两个圆锥体的组合体， 其半径为345⨯， 故所得旋转体的体积211248ππ()5355V =⨯⨯=，故B 正确； 以AC 所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为4，母线长为5，高为3的圆锥， 侧面积为π4520π⨯⨯=，体积为21π4316π3⨯⨯⨯=，故C 错误，D 正确． 7．（多选题）下列说法中不正确的是（ ） A ．棱柱的侧面可以是三角形B ．正方体和长方体都是特殊的四棱柱C ．所有几何体的表面都能展开成平面图形D ．棱柱的各条棱都相等【答案】ACD【解析】棱柱的侧面都是四边形，A 不正确； 正方体和长方体都是特殊的四棱柱，B 正确；不是所有几何体的表面都能展开成平面图形，球不能展开成平面图形，C 不正确； 棱柱的各条棱并不是都相等，应该为棱柱的侧棱都相等，所以D 不正确．8．（多选题）沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23（细管长度忽略不计）．假设该沙漏每秒钟漏下30.02cm 的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆．以下结论正确的是（ ）A ．沙漏中的细沙体积为31024πcm 81B ．沙漏的体积是3128πcmC ．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cmD ．该沙漏的一个沙时大约是1985秒（π 3.14≈） 【答案】ACD【解析】根据圆锥的截面图可知：细沙在上部时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比，所以细沙的底面半径284cm 33r =⨯=， 所以体积2312164π161024ππcm 3339381h V r =⋅⋅=⋅⋅=； 沙漏的体积223112562π()2π48πcm 3233h V h =⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=； 设细沙流入下部后的高度为1h ，根据细沙体积不变可知211024π1(π())8132h h =⨯⨯， 所以11024π16π813h =，所以1 2.4cm h ≈； 因为细沙的体积为31024π8cm 1，沙漏每秒钟漏下30.02cm 的沙， 所以一个沙时为1024π1024 3.14815019850.0281⨯=⨯≈秒．二、填空题9．已知等边三角形ABC 的边长为M ，N 分别为AB ，AC 的中点，将AMN △沿MN 折起得到四棱锥A MNCB -．点P 为四棱锥A MNCB -的外接球球面上任意一点，当四棱锥A MNCB -的体积最大时，四棱锥A MNCB -外接球的半径为______，点P 到平面MNCB 距离的最大值为______．【答案】2，12+【解析】如图所示，设MN 的中点为Q ，1O ，2O 分别为等边三角形AMN 和梯形MNCB 的外接圆圆心．在ABC △中，N 为AC 的中点，所以BN CN ⊥， 则BC 为梯形MNCB 外接圆的直径．连接1O Q ，2O Q ．由题意，当四棱锥A MNCB -的体积最大时，平面AMN ⊥平面MNCB ， 过1O 作平面AMN 的垂线，过2O 作平面MNCB 的垂线，两条垂线交于点O ， 则点O 即为四棱锥A MNCB -外接球的球心． 四边形12OO QO 为矩形，则21OO O Q =．在等边三角形AMN 中，MN =，则32AQ =，112O Q =， 即212OO =．又2O B ，所以四棱锥A MNCB -外接球的半径2R OB ====，所以点P 到平面MNCB 距离的最大值2212O P R OO =+=．10．三棱锥A BCD -的顶点都在同一个球面上，满足BD 过球心O ，且22BD =，则三棱锥A BCD -体积的最大值为________；三棱锥A BCD -体积最大时，平面ABC截球所得的截面圆的面积为________．【答案】223，4π3【解析】依题意可知，BD 是球的直径，所以当OC BD ⊥，OA BD ⊥， 即2OC OA ==时，三棱锥A BCD -体积取得最大值为1112222223323BCD S OA ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△，此时2BC AC AB ===， 即三角形ABC 是等边三角形， 设其外接圆半径为r ，由正弦定理得22π3sin 3r r =⇒=， 所以等边三角形ABC 的外接圆的面积，也即平面ABC 截球所得的截面圆的面积为224π4π4π()33r =⨯=．11．已知正三棱锥P ABC -，Q 为BC 中点，2PA =2AB =，则正三棱锥P ABC-的外接球的半径为________；过Q 的平面截三棱锥P ABC -的外接球所得截面的面积范围为________．【答案】6，[π3,π2] 【解析】因为正三棱锥P ABC -，2PB PC PA ===，2AC BC AB ===，所以222PB PA AB +=，即PB PA ⊥，同理PB PC ⊥，PC PA ⊥，因此正三棱锥P ABC -可看作正方体的一角，如图， 记正方体的体对角线的中点为O ，由正方体结构特征可得，O 点即是正方体的外接球球心， 所以点O 也是正三棱锥P ABC -外接球的球心，记外接球半径为R ，则162222R =++=， 因为球的最大截面圆为过球心的圆，所以过Q 的平面截三棱锥P ABC -的外接球所得截面的面积最大为2max 3ππ2S R ==； 又Q 为BC 中点，由正方体结构特征可得1222OQ PA ==， 由球的结构特征可知，当OQ 垂直于过Q 的截面时，截面圆半径最小为221r R OQ =-=，所以2min ππS r ==，因此，过Q 的平面截三棱锥P ABC -的外接球所得截面的面积范围为[π3,π2]．12．某地球仪上北纬30︒纬线的长度为12π(cm)，该地球仪的半径是________cm ，表面积是________2cm ． 【答案】3192π【解析】设北纬30︒所在圆面的关系为r ，由题可得2π12πr =，解得6r =，设地球仪的半径为6cos30R ==︒24π192πR =．。
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1
专题一 立体几何多面体与外接球问题专项归纳
1、一个四棱柱的底面是正方形,侧棱与底面垂直,其长度为4,棱柱的体积为16,棱柱的各顶点在一个球面上,则这个球的表面积是( )
A .16π
B .20π
C .24π
D .32π
2、一个正四面体的所有棱长都为2,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为( )
A.3π
B.4π
C.33π
D.6π
3. 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ B ）
A ．
4
3
3 B ．33 C ． 43 D ．123
4. 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,
120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 。
2
420R ππ=
6.正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( C ) A. 1∶3 B. 1∶3 C. 1∶33 D. 1∶9
7.一个六棱柱的底面是正六边 形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为
9
8
，底面周长为3，则这个球的体积为．3
4π
8.如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P ABCDEF -，则此正六棱锥的侧面积是________．67
9..一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为 （ ）
A ．π3
B ．π2
C ．
316π
D ．以上都不对 答案C
A B C
P
D E
F
2
10.若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 _______
11.正四棱锥S ABCD -的底面边长和各侧棱长都为2，点
S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为
12.在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为
A.
12512π B.1259π C.1256π D.125
3
π 14、已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且AB=6，
BC=23，则棱锥O-ABCD 的体积为_____________．
15、已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面积是这个球面面积的
16
3
，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值是
16、如图，半径为4的球O 中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_________．
17、已知一个球的球心O 到过球面上A 、B 、C 三点的截面的距离等于此球半径的一半，若3AB BC CA ===，则球的体积为（ ） 18、高为
2
4
的四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S 、A 、B 、C 、D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为（ ） A ．
24 B ．22
C ．1
D ．2 19、已知球的直径SC=4，A ，B 是该球球面上的两点，AB=3， 30=∠=∠BSC ASC ，则棱
锥S —ABC 的体积为（ ）
（A ）33 （B ）32 （C ）3 （D ）1
C D A
B
S
O 1图3
C
A O D
B
图4。