图形的变换之平移与旋转
平移与旋转
平移与旋转平移1、在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移。
通过平移得到的图形与原来的图形相等。
2、性质：在平面内，一个图形平移后得到的图形与原来的图形的对应线段相等，各对应角相等，各对应点所连接的线平行（或在一条直线上）且相等。
旋转1.在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向转过一个角度，这样的图形运动叫旋转。
这个定点叫做旋转中心，转过的角度叫做旋转角。
2.性质：在平面内，一个图形经旋转后得到的图形与原来的图形之间有：对应点到旋转中心的距离相等；每对对应点与旋转中心连线所成的角都是相等的角，它们都是旋转角。
3.决定旋转的要素旋转中心在旋转过程中保持不变，图形的旋转由旋转中心、旋转的角度和旋转的方向所决定。
4.旋转对称图形：一些图形绕着某一定点旋转一定的角度后能与自身重合，这种图形就称为旋转对称图形(a figure of rotation symmetry)。
中心对称与中心对称图形1.把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够和另一个图形重合，那么两个图形叫做关于这个点的对称，简称中心对称，这个点叫做对称中心，中心对称的两个图形中的对应点、对应线段，分别叫做关于对称中心的对称点、对应线段．2.两个图形成中心对称的性质：在成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分．3.中心对称图形：图形绕着中心点旋转180°后能与自身重合，我们把这种图形叫做中心对称图形(a figure of central symmetry)，这个中心点叫做对称中心(centre of symmetry)．4.反过来，如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，并且都被该点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称．中心对称图形：圆，平行四边形，矩形，菱形，正方形图案的设计与欣赏图形的平移、旋转和对称统称为图形的变换。
典型例题讲解一、填空题：1．一个五角星绕中心至少旋转度后能与自身重合。
简单的几何变换认识平移旋转和翻转变换
简单的几何变换认识平移旋转和翻转变换简单的几何变换：认识平移、旋转和翻转变换几何变换是在平面或者空间中对图形进行操作和调整的过程。
在几何学中，常见的几何变换包括平移、旋转和翻转。
通过这些变换，我们可以改变图形的位置、方向和对称性，从而对几何问题进行分析和解决。
本文将从简单的几何变换开始，介绍平移、旋转和翻转变换的概念、性质和应用。
一、平移变换平移变换是指将一个图形沿着平行于原位置的方向移动一定距离。
在平面几何中，平移变换又称为平移操作，用于改变图形的位置，但不改变其大小、形状和方向。
平移变换可以用向量表示，假设有一个图形A，平移变换的向量表示为“→v”，则变换后的图形A'可以表示为A' = A + →v。
其中，向量→v的起点可以随意选择，表示平移的方向和距离。
平移变换具有以下性质：1. 平移变换不改变图形的相对位置关系，只改变其位置。
2. 平移变换前后，图形的大小、形状和方向保持不变。
3. 平移变换是可逆的，即可以通过相反方向的平移将图形恢复到原来的位置。
平移变换在实际生活和工程中有广泛的应用，例如将建筑物从一个位置平移到另一个位置、移动相机拍摄不同角度的图像等。
二、旋转变换旋转变换是指将一个图形绕着某个固定点旋转一定角度。
在几何学中，旋转变换用于改变图形的方向和位置，但保持其大小和形状不变。
旋转变换可以用中心点和旋转角度表示。
假设有一个图形A，旋转变换的中心点是O，旋转角度为θ，则变换后的图形A'可以表示为A' = R(θ, O)(A)，其中R(θ, O)表示绕点O逆时针旋转θ度的变换矩阵。
旋转变换具有以下性质：1. 旋转变换不改变图形的大小和形状，只改变其方向和位置。
2. 旋转变换是可逆的，即可以通过相反方向的旋转将图形恢复到原来的方向和位置。
3. 旋转变换可以连续进行，多次旋转后的效果等同于一次旋转。
旋转变换在计算机图形学、航空航天、机器人等领域都有重要的应用，例如计算机动画中的图形变换、飞行器的姿态控制等。
几何形的变换平移旋转和翻转
几何形的变换平移旋转和翻转几何形的变换：平移、旋转和翻转几何形的变换是数学和几何学领域中的基本概念。
它代表着几何形在平面或空间中的移动或转换。
在几何学中，常见的几何形变换包括平移、旋转和翻转。
本文将介绍这些变换的定义、特点以及应用。
一、平移变换平移是指将一个几何形沿指定的方向和距离移动，而不改变其形状和大小。
在平移中，几何形的每个点都按照相同的方向和距离进行移动。
我们可以用向量来表示平移变换，其中向量的方向和大小表示平移的方向和距离。
例如，考虑一个平面上的正方形，每个顶点的坐标分别为A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)和D(x4, y4)。
如果我们将正方形沿着x轴正方向平移h个单位，y轴正方向平移k个单位，那么平移变换可以表示为：A'(x1+h, y1+k)B'(x2+h, y2+k)C'(x3+h, y3+k)D'(x4+h, y4+k)通过平移变换，我们可以将一个几何形移动到其他位置，但形状和大小不变。
二、旋转变换旋转变换是指将一个几何形绕固定点旋转一定角度，而不改变其形状和大小。
旋转变换通常用角度来表示，其中正角表示逆时针旋转，负角表示顺时针旋转。
以平面上的点A(x, y)为例，绕原点O(0, 0)逆时针旋转角度θ后得到点A'(x', y')，旋转变换可以通过以下公式表示：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ通过旋转变换，我们可以改变几何形的朝向和位置，但形状和大小保持不变。
三、翻转变换翻转变换是指将一个几何形沿指定的轴或线对称翻转，而不改变其形状和大小。
常见的翻转变换包括水平翻转、垂直翻转和对角线翻转。
水平翻转是指将几何形沿着水平方向的轴翻转，也可以理解为关于y轴对称。
在水平翻转中，几何形的每个点的x坐标取相反数，y坐标保持不变。
垂直翻转是指将几何形沿着垂直方向的轴翻转，也可以理解为关于x轴对称。
图形的平移与旋转知识点汇总
第十五章图形的平移与旋转一、平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。
一个图形经过平移后得到一个新图形，这个新图形与原图形是互相重合的，互相重合的点称为，互相重合的角称为，互相重合的线段称为。
注意：1.平移有两个要素：（1）沿某一方向移动；（2）移动一定的距离；2.平移的方向就是原图上的点指向它的对应点的方向；图像上每点都沿同一方向移动距离，这个距离是指对应点之间的长度；3.平移前后两图形是全等的。
平移的特征：平移不改变图形和，只改变了图形的位置；经过平移，对应点所连的线段（或 )且相等；对应线段（或）且相等，对应角。
二、1、旋转：在平面内，将一个图形绕一个沿某个方向转动一定，这样的图形运动称为旋转。
这个定点称为，转动的角称为。
任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是 .注意：1.旋转中心在旋转过程中保持不动；2.图形的旋转是由，和所决定的；3.作平移图与旋转图。
（确定关键点，将关键点沿一定的方向移动相同的距离，连接关键点）旋转的特征：图形中每一点都绕着旋转中心按同一旋转方向旋转了同样大小的；对应点到旋转中心的距离；对应线段，对应角；图形的形状与大小都没有发生变化。
图形的变换包括、和旋转，这三种图形变换的共同点是：只改变图的，不改变图形的和。
2、旋转对称图形：在平面内，一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身，这样的图形称为旋转对称图形。
3、中心对称图形：在平面内，一个图形绕某个点旋转角度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
这个点叫做对称中心。
中心对称图形是旋转角度为°的特殊旋转对称图形，但旋转对称图形不一定是中心对称图形。
4、成中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180º，如果它能够和另一个图形重合，就称这两个图形成中心对称。
这个点叫做对称中心；这两个图形中的对应点，叫做关于中心的。
在成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过，并且被对称中心。
五年级下册数学各单元知识点整理
五年级下册数学各单元知识点整理五年级下册数学各单元知识点整理一、图形的变换（平移、旋转、轴对称）在研究图形的变换时，我们需要掌握以下几点知识：平移：需要明确平移的方向（上、下、左、右）和平移的距离（格数）。
旋转：需要明确旋转的中心点、旋转的方向（顺时针或逆时针）和旋转的角度。
轴对称：需要将图形沿着对称轴对折，使其与另一个图形重合。
轴对称的意义是将一个图形沿着一条直线对折，如果它与另一个图形重合，那么这两个图形就是轴对称的。
图形旋转的性质是，对应点和对应线段都旋转相同的角度。
而图形旋转的特征是，旋转后形状和大小不变，只是位置发生了变化。
对称轴用虚线表示，对称轴上各点到图形的距离相等。
二、因数和倍数在研究因数和倍数时，我们需要掌握以下几点知识：因数和倍数的意义：如果A×B=C（A、B、C都是不为零的整数），那么A、B就是C的因数，C就是A、B的倍数。
因数和倍数的关系：虽然因数和倍数是两个不同的概念，但它们是相互依存的，不能单独存在。
找一个数的因数的办法：可以列乘法算式或列除法算式。
找一个数的倍数的办法：就是用这个数依次与非零自然数相乘，所得的数就是这个数的倍数。
因数的特点：一个数的最小因数是1，最大因数是它本身，因数的个数是有限的。
倍数的特点：一个数的最小倍数是它本身，一个数没有最大的倍数，倍数的个数是无限的。
2的倍数的特征：个位是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。
奇数、偶数的意义：在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。
5的倍数的特征：个位是0或5的数都是5的倍数。
既是2和5的倍数，又是3的倍数的特征：个位必须是0，其它各数位之和是3的倍数，最小的是30.3的倍数的特征：一个数各个数位上的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
质数和合数的定义：一个数如果只有1和它本身两个因数，那么这个数叫做质数（也叫素数）；一个数如果除了1和它本身，还有别的因数，那么这个数叫做合数。
图形的平移旋转
图形的平移旋转一、课程目标知识目标：1. 让学生掌握图形平移和旋转的定义及性质，能识别并描述现实生活中的平移和旋转现象。
2. 使学生理解平移和旋转对图形大小、形状、方向的影响，并能运用这些变换创作出新的图形。
技能目标：1. 培养学生运用平移和旋转进行图形变换的能力，能够准确地绘制出图形平移和旋转后的位置。
2. 培养学生运用平移和旋转解决实际问题的能力，例如在平面设计、建筑布局等方面。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对几何图形变换的兴趣和好奇心，激发他们探索几何图形变换规律的欲望。
2. 培养学生团队协作意识，学会在小组讨论中分享观点，互相学习，共同进步。
3. 培养学生具备审美意识，能够从几何变换的角度欣赏和评价现实生活中的美。
课程性质：本课程为小学四年级数学课程，旨在让学生掌握图形的平移和旋转知识，培养空间想象力和创新能力。
学生特点：四年级学生已经具备一定的几何图形认知基础，但对图形变换的理解和应用能力有限，需要通过生动形象的教学方法，激发学生的学习兴趣和积极性。
教学要求：结合学生特点，采用直观演示、实践操作、小组讨论等多种教学方法，注重培养学生的动手能力和实际应用能力。
在教学过程中，关注学生的个体差异，因材施教，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
通过本课程的学习，使学生能够达到上述课程目标，为后续几何知识的学习打下坚实基础。
二、教学内容1. 图形平移- 定义：介绍平移的概念，让学生理解平移是物体在空间中沿直线方向移动，大小、形状和方向不变。
- 性质：讲解平移的图形特征，如对应点、对应线段、对应角度等。
- 实践：运用教具或软件，让学生亲身体验平移操作，加深对平移的理解。
2. 图形旋转- 定义：介绍旋转的概念，让学生理解旋转是物体围绕某个点进行转动，大小、形状不变，方向改变。
- 性质：讲解旋转的图形特征，如旋转中心、旋转角、旋转后的位置关系等。
- 实践：运用教具或软件，让学生亲身体验旋转操作，培养空间想象力。
几何变换平移旋转翻转
几何变换平移旋转翻转几何变换：平移、旋转、翻转几何变换是几何学中常用的一种操作，能够改变图形的位置、形状或方向。
其中，平移、旋转和翻转是最基本的几何变换方法。
本文将就这三种几何变换进行详细讨论，探讨它们的定义、特点以及在实际问题中的应用。
第一部分：平移平移是指将一个图形在平面上沿着直线方向保持形状和大小不变地移动一段距离。
平移变换的性质如下：1. 平移变换是保形变换，即平移后的图形与原图形相似。
2. 平移变换不改变图形的方向。
3. 平移变换的向量表示为 t(x,y)，其中 t 表示平移向量，(x,y) 表示原图形上的一个点，t(x,y) 表示平移后的对应点。
平移变换的应用十分广泛，常见于计算机图形学、建筑设计和机械工程等领域。
在计算机图形学中，平移操作常用于图像处理和图形动画制作，在建筑设计中，平移操作用于确定建筑物的位置和布局，在机械工程中，平移操作用于确定机器零件的位置和运动轨迹。
第二部分：旋转旋转是指将一个图形绕着一个固定点进行转动，使图形在平面上发生方向和角度的改变。
旋转变换的性质如下：1. 旋转变换是保形变换，即旋转后的图形与原图形相似。
2. 旋转变换改变了图形的方向和角度。
3. 旋转变换的中心点称为旋转中心，旋转角度表示图形绕旋转中心逆时针旋转的角度。
旋转变换在许多领域被广泛应用。
在航空航天领域，飞机和卫星的轨道计算需要使用旋转变换，在地图制作中，经纬度的转换也离不开旋转变换，在计算机图形学中，旋转操作是实现3D图像旋转和3D模型建模的重要手段。
第三部分：翻转翻转是指将一个图形沿着某条轴线进行对称，使得图形在平面上发生左右或上下的镜像变化。
翻转变换的性质如下：1. 翻转变换是保形变换，即翻转后的图形与原图形相似。
2. 翻转变换改变了图形的方向，使得左右或上下位置互换。
翻转变换在日常生活中也十分常见，如镜子中的人脸照片即为左右翻转的图像。
在计算机视觉和图像处理领域，翻转操作常用于图像增强、图像识别和人脸匹配等应用中。
形的旋转和平移
形的旋转和平移形的旋转和平移是几何学中常见的概念和技巧，用于描述和操作二维和三维图形的变换。
通过旋转和平移，我们可以改变图形的位置、方向和大小，从而进行更灵活的排布和布局。
本文将探讨形的旋转和平移的基本原理和应用，以便读者进一步理解和应用这些重要的几何变换操作。
一、旋转的概念及原理旋转是指围绕一个中心点将图形按照一定的角度进行转动的操作。
在旋转中，图形的每个点都沿着一个圆周轨迹运动，而中心点则是旋转的轴心。
我们可以通过指定旋转的角度和中心点来完成旋转操作。
旋转的角度可以为正数，表示逆时针方向的旋转；也可以为负数，表示顺时针方向的旋转。
旋转的中心点可以是图形内部的一个点，也可以是图形外部的一个点。
旋转变换可以应用于各种图形，如点、线、多边形等。
对于点的旋转，我们可以通过计算旋转后的新坐标来实现。
假设点的坐标为(x, y)，旋转中心点的坐标为(a, b)，旋转的角度为θ，那么旋转后点的新坐标可以由下式计算得出：x' = (x-a) * cosθ - (y-b) * sinθ + ay' = (x-a) * sinθ + (y-b) * cosθ + b其中，x'和y'分别代表旋转后点的新坐标。
除了点的旋转，我们还可以对线、多边形等图形进行旋转变换。
对于线的旋转，我们可以将线上的两个端点分别进行旋转，并连接旋转后的端点，从而得到旋转后的线段。
对于多边形的旋转，我们可以将多边形上的每个顶点进行旋转，并将旋转后的顶点按照原顺序连接起来，从而得到旋转后的多边形。
通过这种方式，我们可以方便地应用旋转操作来调整和变换图形的位置和方向。
二、平移的概念及原理平移是指将图形沿着平行于原来位置的方向进行移动的操作。
在平移中，图形的每个点都按照相同的位移向量进行移动，从而保持图形的大小、形状和方向不变。
平移的位移向量可以是任意的，只要保持方向和大小一致即可。
平移操作可以应用于各种图形，如点、线、多边形等。
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1、画出此图绕点O顺时针旋转90度后的图形
转一转， 转一转，移一移 2、画出此图向右平移4格后的图形
3、画出此图绕点E顺时针旋转180度后的图形
A D B O E C
转一转， 转一转，移一移
A D B O E C
规律： 规律： 图形进行平移、旋转变换，只要找到关键点（或线段）进行变换， 图形进行平移、旋转变换，只要找到关键点（或线段）进行变换， 再画出完整图形即可
启智N+1教育中心
A
1、把梯形绕点A逆时针旋转 度，再向右平移 格。 、把梯形绕点 逆时针旋转 逆时针旋转90度 再向右平移2格 2、把长方形绕点B顺时针旋转 度，再向上平移3格。 、把长方形绕点 顺时针旋转90度 再向上平移 格 顺时针旋转
A
B
B O
C
C O
D
0 D C A
D
B
A
规律： 规形的大小和形状，对应点到中心点的距离相等， 对应点与旋转中心的连线所成的角度等于旋转的角度。 对应点与旋转中心的连线所成的角度等于旋转的角度。
先观察，再回答问题 先观察，
1、具体写出这个图案每一次是怎么变换的。 、具体写出这个图案每一次是怎么变换的。 2、在变换的过程中，每个图形本身的形状、大小有没有发生变化？ 、在变换的过程中，每个图形本身的形状、大小有没有发生变化
图形的变换
平移与旋转
1、下列图中平移变换的有（ 下列图中平移变换的有（
），旋转变换的有 ），旋转变换的有( 旋转变换的有
)
①
②
③
②
④ ⑤
2、把序号填在相应的五角星里。 、把序号填在相应的五角星里。
①
②
③
④
⑤
⑥
平移变换
旋转变换
其中轴对称图形有（ 其中轴对称图形有（
）
仔细观察下面的风车，它是经过怎样的变换得到？ 仔细观察下面的风车，它是经过怎样的变换得到？