高中数学圆锥曲线的教学研究

高中数学“圆锥曲线”教学研究一、对“圆锥曲线”数学知识的深层次理解（一）“圆锥曲线”知识结构圆锥曲线的内容在新课标中安排在选修课程的选修系列1和选修系列2之中.知识结构图：圆锥曲线研究的图形对于学生来讲是比较陌生的图形. 虽然在初中阶段学习函数的时候，同学们听说过抛物线、双曲线的名词，当时的认识只是停留在直观的感受. 从二次函数的图像，经过教师的授课，知道二次函数的图像叫做抛物线；学习反比例函数时，教师告知反比例函数的图像是双曲线，并且是以坐标轴为渐近线的.对于满足什么条件的点的轨迹是抛物线、双曲线学生的认识仍然是一片空白. 只有学习了本单元内容之后，学生才会对圆锥曲线有一个全面、准确的认识.本讲从轨迹方程的角度研究圆锥曲线.首先给出椭圆、双曲线、抛物线的定义，依据定义推导他们的方程，在此基础上，依据他们的方程研究三种曲线的几何性质.虽然椭圆、双曲线、抛物线都属于平面图形，但是运用平面几何的知识和研究方法很难研究的透彻.解析几何学科的特点和优越性从这个研究过程中开始有强烈的显现.在此之前用代数的方法研究直线和圆的教学，从学习方法上来说，为本讲的学习奠定了基础.区别在于，尽管同样是研究几何图形的性质，在研究直线与圆的阶段，平面几何的知识得到充分的应用，利用了平面几何的相关知识，有时可以使得运算过程得到简化.选修系列1和选修2系列对于教学的要求上有所不同.主要体现在两点. 第一点：选修系列1中没有曲线与方程这一节的要求.这样安排教学要求的目的是，对于学习选修系列1的同学从理论的学习要求做了适当的降低.只要求直观的解决问题，直观的认识具体曲线的定义、性质.第二点是选修系列1中没有直线与圆锥曲线的教学内容，对于这一点的要求不同，我们建议教师还是应该予以适当的补充.从目前的考试要求以及高考试题看，在文科数学试卷中，对于这个内容还是有要求的.但是不会要求太高，教师在教学中可以侧重以直线与椭圆的位置关系的开展讨论，其他的曲线讨论可以轻描淡写的处理，体现出选修系列1和选修系列2的区别.（二）如何把握圆锥曲线的定义圆锥曲线的定义有多种形式，教师应该尽量的了解和知道.椭圆的定义学生首先接触的都是到两个定点距离之和等于定长的点的集合（轨迹）.为什么椭圆、双曲线、抛物线称为圆锥曲线？教科书中有详细的说明.建议教师不要忽视其中的原委.有些试题还是在考查该项定义.下面请看几个案例，虽然都是利用圆锥曲线的定义解题，但是各有特点.例1 如图是长度为定值的平面的斜线段，点为斜足，若点在平面内运动，使得的面积为定值，则动点P的轨迹是A.圆B.椭圆C.一条直线D.两条平行线我们通过这个例题可以让学生进一步认识圆锥曲线的定义. 根据已知条件的面积为定值，是长度为定值的平面的斜线段，那么点到直线的距离为定值，仅仅考虑这一点，点P应该在一个圆柱的侧面上，这个圆柱是以PA所在的直线为轴，点到直线的距离为底面半径.同时这个点又在平面α上，点P的轨迹是平面α与圆柱侧面的截线，依据圆锥曲线的定义，应该选B.对于概念的认识，不仅仅限于对概念的记忆，甚至个别的老师还让学生齐声背诵定义，这样的结果往往是学生知其然，不知其所以然.教师如果能够选择像上面类似的题目，对于学生深刻理解概念是有积极作用的.下面例题的选取也是这个目的.例2如图，线段=8，点在线段上，且=2，为线段上一动点，点绕点旋转后与点绕点旋转后重合于点.设=，的面积为.则的定义域为________；的最大值为 ________.据题意，PD＝PB，PD+PC＝BC＝6，又CD=CA=2，依据定义知：点P在以C、D为焦点的椭圆上，其焦距为2，其长轴长为6，可得出短轴长为，PC＝时，的面积取得最大值，最大值为.当看到一个动点到两个定点距离之和为定长时，学生应该联想到椭圆的定义，学生能否做到这一点，教师的引导和适当的例题是关键.（三）圆锥曲线不同形式的方程在选修系列4教学要求中，选修4-4是坐标系与参数方程.在部分的教学内容中，将增加圆锥曲线的参数方程的形式和极坐标形式.虽然只是一种初步的、带有介绍形式的，建议教师还是抓住机会与选修系列1、选修系列2的内容进行有机的整合.具体建议稍后再详细说明.（四）教学内容的重点、难点圆锥曲线的教学重点是：三种圆锥曲线的方程与性质.在此之前的学习中，我们已经初步感受了解析几何学科的特点，以及如何用代数的方法研究几何图形的性质.本讲与之前的研究所不同的是，之前研究的对象是学生熟知的图形，直线和圆.利用方程研究曲线的性质，从知识上学生没有感到有新的收获，没有获得直线与圆的新的几何性质.然而本章研究的曲线对于学生来说是陌生的.学生对于椭圆、双曲线、抛物线的认识几乎接近空白.什么取值范围、对称轴、对称中心、顶点、离心率、渐近线等，对于学生来说都是全新的.研究之前，学生对于曲线的这些性质处于无知或者是朦胧的状态，学习之后成就感明显的高于直线与圆的学习.圆锥曲线的难点是：圆锥曲线的综合问题.特别是直线与圆锥曲线的位置关系有关的综合题目，学生感觉难度较大. 与圆锥曲线有关的综合题，题目呈现的方式是多样的.不像三角函数、立体几何题目的呈现方式那样单纯，可以从模仿入手. 对于学生来说，对于分析问题、解决问题的能力要求较高.模式化的东西相对少一些.二、“圆锥曲线”的教学策略以及学生学习中常见的错误与问题的分析与解决策略（一）正确认识曲线的方程椭圆、双曲线、抛物线的标准方程由于焦点的位置不同，方程的形式相应的不同.椭圆按照焦点在x轴上和焦点在y轴上，相应的有两个标准方程；双曲线也是按照焦点在x轴上和焦点在y轴上，相应的有两个标准方程；而抛物线则是按照焦点在x轴的正半轴上、焦点在x轴的负半轴上、焦点在y轴的正半轴上、焦点在y轴的负半轴上相应的有四个标准方程.确定曲线的方程，就是根据条件确定方程中的参数的具体数值.根据题目所给的条件，使用数学中常见的待定系数法，通常可以确定参数的数值，换一个角度来说，曲线方程的确定也是方程思想的应用.依据条件，找到参数适合的方程或方程组，从本质上来说，与列方程解应用题是相同的.（二）数学思想的渗透与培养前面已经提到利用方程的思想确定椭圆、双曲线、抛物线的方程. 其他几个重要的数学思想在本讲中也应该积极的渗透.数形结合的数学思想. 同一个问题可以有数、形两种不同的表现形式. 比如直线与椭圆的位置关系有相交、相切、相离.如何描述直线与椭圆相交？从“形”的角度说，直线与椭圆恰有一个公共点；如果从“数”的角度来描述，将直线的方程代入椭圆的方程，得到一个关于x的（或者是关于y的）一元二次方程.这个方程的判别式应该为0.化归思想的应用对于本讲内容来说也是很好的渗透的平台.分类讨论的思想在本讲学习中，也是应该给予足够的重视.分类讨论的思想一定要让学生明确不是为了分类而分类.许多的分类在解题之前是不明确的，在解题的过程中，依据算法、算理的需求，对字母的取值限制进行讨论.化归是数学中对能力要求较强的一种思想方法.所谓化归，就是将复杂的问题、不熟悉的问题转化为简单的、熟悉的问题.对于解析几何的综合性问题，我们建议将解题的过程划分为两个阶段，设计解题方案、实施解题方案的两个过程.例1已知椭圆（）的焦距为，离心率为.（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设过椭圆顶点，斜率为的直线交椭圆于另一点，交轴于点，且成等比数列，求的值.化归的思想教师说起来很简单，但是学生做起来往往找不到实施的办法.需要教师的示范和在具体问题解决中的认识，需要一定时间的培养和训练.例1中解决第（Ⅱ）问可以设计三个解题方案.第一个方案是按照常规思路设法把点B、D、E的坐标用斜率k表示出来，之后用两点间距离把的长度表示出来，再利用他们成等比数列，求出的值.表面一看，这个思路很好，但是在实际的解题过程中可以看到，题目的运算量较大.第二个方案也是按照常规思路设法把点B、D、E的坐标用斜率k表示出来，之后将三条线段投影到x轴上，利用相似三角形的知识可以证明，投影到坐标轴上的三条线段按照相应的对应关系也是成等比数列的.等比数列这个限制条件就变成三个点的横坐标的限制条件.第三个方案也是按照常规思路设法把点B、D、E的坐标用斜率k表示出来，之后将三条线段投影到y轴上，利用相似三角形的知识可以证明，投影到坐标轴上的三条线段按照相应的对应关系也是成等比数列的.等比数列这个限制条件就变成三个点的纵坐标的限制条件.比较上述三个方案，显然第一个方案的运算量最大，后两个方案的运算量显著的下降. 当我们把三条线段投影到坐标轴上，运算量下降了，达到了将复杂的问题转化为简单问题的目的.再细致的比较后两个方案，由于点E的纵坐标为0，第三个方案比第二个方案的运算量还要再小一些，所以选择方案三.详解如下：（Ⅰ）由已知，.解得，所以，椭圆的方程为.（Ⅱ）由（Ⅰ）得过点的直线为，由得，所以，所以，依题意，.因为成等比数列，所以，所以，即，当时，，无解，当时，，解得，所以，解得，所以，当成等比数列时，.回顾对这个问题的分析与解答，教师设计了三个解题方案，在实施方案之前，要对设计的三个方案进行比较、分析，从中选出简捷的方案.（三）对于参数方程处理方式的建议参数方程的学习在这一阶段的学习过程中，是一个相对独立的内容.原则上不需要做过多的补充.但是对于椭圆的参数方程，还是建议教师更具学生的实际情况做适当的补充.主要是对椭圆上的点的坐标可以表示为，特别是对于一些最值有关的问题解决还是有益处的.例1 已知矩形ABCD的四个顶点都在椭圆上，且对称轴平行于坐标轴.求矩形ABCD面积的最大值.解：设点A在第一象限，例2 已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD是椭圆的长轴，顶点B、C都在椭圆上.求梯形ABCD面积的最大值.解法仿照例1，此处略去.以上两个例题的特点是很明确的，使用参数方程形式描述椭圆上的点的坐标，其中a、b都是常量，只有θ一个字母是变量，这样面积的公式将是仅有一个自变量的解析式.学生在中学学习的函数仅限于一元函数，对于两个自变量的函数学生往往感到困惑，使用参数方程处理上述问题，回避了出现二元函数的矛盾，建议教学中考虑介绍椭圆的参数方程的应用.（四）直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系比直线与圆的位置关系要复杂.首先打破了学生头脑中固有的认识：直线与曲线有恰一个公共点，直线与曲线相切.当直线与抛物线的对称轴平行的时候，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线相交而不是相切！同样，当直线与双曲线的渐近线平行的时候，直线与双曲线恰有一个公共点，此时直线与双曲线也是相交而不是相切！直线与圆锥曲线的问题，通常不要真的把直线与圆锥曲线的交点求出来，一般交点的坐标比较难求.联立方程组之后，先转化为一元二次方程，可以借助一元二次方程根与系数的关系，将与根有关的问题转化为两根和、两根积的形式，分别把两根之和、两根之积看做两个整体，再做整体的代换，可以使的整体的运算过程比较简化.例1已知椭圆经过点其离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；(Ⅱ)设直线与椭圆相交于A、B两点，以线段为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆上，为坐标原点. 求到直线距离的最小值.解：（Ⅰ）由已知，，所以，①又点在椭圆上，所以，②由①②解之，得.故椭圆的方程为.(Ⅱ) 当直线有斜率时，设时，则由消去得，，，③设A、B、点的坐标分别为，则：，由于点在椭圆上，所以 .从而，化简得，经检验满足③式.又点到直线的距离为：当且仅当时等号成立当直线无斜率时，由对称性知，点一定在轴上，从而点为，直线的方程为，所以点到直线的距离为1 .所以点到直线的距离最小值为.这是一个典型的直线与圆锥曲线有关的问题. 对于题目解答的思路粗略的说，可以将直线的方程代入椭圆的方程，消去字母y（也有时消去字母x），得到一个关于x的一元二次方程.在解题的过程中，我们设A、B、点的坐标分别为，但是我们并没有真的去把这四个量求解出来，而是利用一元二次方程的根系关系，用含有参数k、m的代数式将其表示出来.学生在学习的开始阶段，对于上述的解法并不熟悉. 其中一个重要的原因是义务教育阶段的课程标准中，对于一元二次方程的根系关系较之前的教学大纲的要求有所降低，学生对于这个内容的基础知识以及理解程度都不是很高，教师可以适当的加以补充.学生对于分析问题的综合能力需要一个比较长的螺旋式上升的过程，学生在学习的过程中，注意力往往只关注本单元的学习内容，不善于联想其他的数学知识，为了提高学生综合运用知识的能力，使得学生能够主动地、有意识的联想各个模块知识间的联系，教师在选择题目时候，要有意识的选择一些综合其他模块知识的题目，避免全部都是当前每模块的试题.例2 已知椭圆C的左，右焦点坐标分别为,离心率是.椭圆C的左，右顶点分别记为A,B.点S是椭圆C上位于轴上方的动点，直线AS,BS与直线分别交于M,N两点.（1）求椭圆C的方程；（2）求线段MN长度的最小值；（3）当线段MN的长度最小时，在椭圆C上的T满足：T到直线AS的距离等于.试确定点T的个数.例2的第二问是求弦长的最小值，问题解决的思路与例1是一致的.第三问是研究在第二问的条件下，判断符合条件的点T的个数，这个问题的解决要注意用数形结合的思想去分析，构造与AS平行的直线系，在这个直线系中，找到与椭圆相切的两条直线，不难得出问题的答案.进一步引导学生思考，当我们调整数值时，随着这个数值的变化，问题的结论会发生什么变化？（五）关于动点轨迹的研究对于不同基础的学生可以采用不同的研究方式.基础中等的学生，可以从教师示范，学生模仿开始.之后再进行创造.模仿的过程中，教师要揭示解题的思路和关键要点，而不是简单的解题步骤.例1 已知圆O的方程为：，点A（3，0），P是圆O上的动点，M是线段PA的中点.求点M 的轨迹方程.分析：首先我们设动点M的坐标为，点P的坐标为，依据题意找到这两个点坐标之间的关系.，进一步得到，因为P是圆O上的点，代入得到：为所求轨迹方程.我们的教学应该避免就题论题的模式.在解决一个问题的同时，应该揭示问题的本质，使得学生掌握一类问题的解题策略.本题的特点是动点M是随着点P的运动而运动，通常把这两个点称为相关点.解题的关键是找到相关点的坐标之间的关系.利用其中一个点在曲线上，将这个点的坐标代入曲线的方程即可得到所求轨迹的方程.如何训练学生从一个问题的解决，提升为对一类问题的深刻认识？当一个题目解决之后，建议作一些变式的工作，一方面使得学生对于解题的思路有深入的理解和认识，同时也有助于学生跳出题海.具体的说，变式可以从相关点的关联性入手，这个题目点M是AP的中点，可以变为三等点，甚至MA与MP 的长度比值为λ等等；从另外一个角度，可以变换动点P所在曲线的方程，不难看出，将圆换成椭圆、双曲线、抛物线，其解决问题的思路完全相同，只是在问题的最后一步有所不同. 更进一步说，点P所在的曲线只要能用解析式描述，上述方法就可以运用，不限制一定是圆锥曲线.常用的求轨迹方程的方法有：相关点法、参数法、几何法、定义法……等等，因篇幅所限，这里再举例2，分析一下定义法.定义法的思路是：先设动点的坐标，找到动点满足的几何条件，在依据几何条件，变换为代数条件，之后对这个代数条件做适当的化简工作，得出所求轨迹方程.例2 已知直线上有一个动点,过点作直线垂直于轴,动点在上,且满足(为坐标原点),记点的轨迹为.求曲线的方程.解:设点的坐标为,则点的坐标为.∵, 几何条件∴. 代数条件当时,得,化简得. 代数方程当时, 、、三点共线，不符合题意，故.∴曲线的方程为. 轨迹方程这个方法是求轨迹方程的最基础的方法，让学生在理解的基础上，较好的掌握这个方法.（六）向量与圆锥曲线向量知识的出现，使得解析几何命题的思路又开了一扇门.但是有一些题目表面上与向量有关，实际上与向量无关.例如原来在解析几何中关于垂直的描述，现在表现为两个向量的点积为0.我们可以戏称为假向量.即题目的本质与向量并没有关系.还有一类真的与向量有关，主要反映在一些计算的问题上.例1 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，椭圆上的点到焦点距离的最大值为3．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若过点的直线与椭圆交于不同的两点，且，求实数的取值范围．解：（Ⅰ）设所求的椭圆方程为：由题意：所求椭圆方程为：．（Ⅱ）若过点的斜率不存在，则．若过点的直线斜率为，即：时，直线的方程为由因为和椭圆交于不同两点所以，所以①设由已知，则②③将③代入②得：整理得：所以代入①式得，解得．所以或．综上可得，实数的取值范围为：．前面提到过学习圆锥曲线的问题，要注意与其他模块的内容相结合.在这里特别强调与向量知识的结合.因为向量的知识内容，与解析几何有一个共同的特点，用数量关系来描述图形的性质.教师在讲解问题的过程中，应特别突出如何运用向量的知识，解决解析几何的综合题.例如本题题目解答的思路主体上与其他的解析几何题目是相同的. 将直线的方程代入圆锥曲线的方程，整理后得到一个关于x的一元二次方程.不同点在于有了向量的相关条件之后，A、B、P三点的坐标之间除了原有的一元二次方程的根系关系之外，还有由向量条件得到的特定的关系“”，只有充分利用好这个条件，才能使本题得到顺利的解决.三、学生学习目标的检测（一）课程标准与高考对“解析几何初步”内容的要求以下摘自普通高中数学课程标准：圆锥曲线与方程（约16课时）（1）圆锥曲线①了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.②经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质.③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质.④能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题.⑤通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想.（2）曲线与方程结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想.课程标准对于圆锥曲线的教学要求具体明确.我们认为重点还是放在以下三个方面：首先是进一步体现解析几何中用代数的方法研究几何图形性质的基本思想；其次应该突出对于圆锥曲线的研究.既有对圆锥曲线基本性质的研究，也有对于圆锥曲线教委复杂问题的研究；第三是渗透和培养常见的数学思想以及方法，使得学生在学习知识的同时，学会分析问题、解决问题的方法，进而达到培养学生能力的目的.（二）典型题目的检测分析检测的题目选择的原则，既要强调注重基础知识和基本方法，同时还要体现能力的要求.例1双曲线的离心率为______；若椭圆与双曲线有相同的焦点，则______.例1就是以离心率、焦点坐标这些基础的知识为检测目标. 在圆锥曲线的学习过程中，学生对于椭圆、双曲线中出现的字母a、b、c容易混淆，特别是这几个字母之间的关系. 针对学生出现的问题，教师可以结合图形强调：在椭圆中a、b、c的关系是：，而在双曲线中a、b、c的关系是：.对于检测题目的选择要重视考查学生综合运用知识的能力. 既要检测学生对圆锥曲线内容的掌握情况，同时要检测学生将以往所学知识与圆锥曲线知识综合运用的能力.例2 已知椭圆的焦点为，，在长轴上任取一点，过作垂直于的直线交椭圆于点，则使得的点的概率为（）A．B．C．D．例2涉及了三个模块的知识. 有椭圆的知识，也是本题的主干；有向量的知识，由向量的点积小于0可以得出∠是个钝角；还有概率的知识.这里涉及的是一个几何概型.从以上分析可以看出，在学习新的知识的同时，要适时的与之前学习的内容进行有机的整合.例3已知椭圆经过点，离心率为，动点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）求以OM为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程；（Ⅲ）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，证明线段ON的长为定值，并求出这个定值.例3 一共分为3个小题.第1个小题是利用曲线与方程的概念确定椭圆的方程.这是一个基本的问题，用到了待定系数法等，难度不大，一般同学都可以顺利解决；第2问就是解决一类圆锥曲线的问题，用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题，确定圆的方程.如果使用弦长公式解决，运算量较大，如果使用平面几何的知识，将直线被圆所截得弦长的问题转化为点到直线的距离问题，体现了思维多样性、灵活性的考查；第3问是进一步研究曲线的性质，证明线段ON的长为定值，并求出这个定值，既可以使用解析几何的的知识解决，也可以运用向量的知识来解决，体现了对综合分析问题、解决问题能力的考查.详解如下：（Ⅰ）由题意得①因为椭圆经过点，所以②又③由①②③解得，.所以椭圆方程为.（Ⅱ）以OM为直径的圆的圆心为,半径，方程为：因为以OM为直径的圆被直线截得的弦长为2，。