期权定价理论介绍

期权定价理论介绍（1）期权是一种独特的衍生金融产品，它使买方能够避免坏的结果，同时，又能从好的结果中获益。

金融期权创立于20世纪70年代，并在80年代得到了广泛的应用。

今天，期权已经成为所有金融工具中功能最多和最激动人心的工具。

因此，了解期权的定价对于了解几乎所有证券的定价，具有极其重要的意义。

而期权定价理论被认为是经济学中唯一一个先于实践的理论。

当布莱克（Black ）和斯科尔斯（Scholes ）于1971年完成其论文，并于1973年发表时，世界上第一个期权交易所——芝加哥期权交易所（CBOE ）才刚刚成立一个月（1973年4月26日成立），定价模型马上被期权投资者所采用。

后来默顿对此进行了改进。

布莱克—斯科尔斯期权定价理论为金融衍生产品市场的快速发展奠定了基础。

期权定价理论并不是起源于布莱克—斯科尔斯定价模型（以下记为B —S 定价模型）。

在此之前，许多学者都研究过这一问题。

最早的是法国数学家路易·巴舍利耶（Lowis Bachelier ）于1900年提出的模型。

随后，卡苏夫(Kassouf ，1969年)、斯普里克尔（Sprekle ，1961年）、博内斯（Boness ，1964年）、萨缪尔森（Samuelson ，1965年）等分别提出了不同的期权定价模型。

但他们都没能完全解出具体的方程。

本讲主要讨论以股票为基础资产的欧式期权的B —S 定价理论。

一、预备知识（一）连续复利我们一般比较熟悉的是以年为单位计算的利率，但在期权以及其它复杂的衍生证券定价中，连续复利得到广泛的应用。

因而，熟悉连续复利的计算是十分必要的。

假设数额为A 的资金，以年利率r 投资了n 年，如果利率按一年计一次算，则该笔投资的终值为nr A )1(+。

如果每年计m 次利息，则终值为：mnmr A )1(+。

当m 趋于无穷大时，以这种结果计息的方式就称为连续复利。

在连续复利的情况下，金额A 以利率r 投资n 年后，将达到：rnAe。

对一笔以利率r 连续复利n 年的资金，其终值为现值乘以rne ，而对一笔以利率r 连续复利贴现n 年的资金，其现值为终值是乘上rne-。

在股票投资中，我们一般都以连续复利计息。

也就是说，现在金额为S 投资股票，期望以复利μ计息，经过T 时期后（T 一般以年为单位），股票的期望价格为：TT Se S μ=，从而可得：SS T T ln 1=μ。

也就是说，股票价格的期望收益率为股票价格比的对数。

（二）股票价格的行为过程众所周知，股价运动一般没有规律可循，但我们可以用一种随机过程来刻划股价的运动。

随机过程是指：如果某变量的价值以某种不确定的方式随时间变化，则称该变量遵循某种随机过程。

特别地，当一个随机过程变量的未来预测值只与该变量的当前值有关，而与该变量的过去值无关时，我们称该随机过程为马尔可夫过程。

以下我们要介绍几种特殊的马尔可夫过程。

1、基本的维纳过程要理解遵循维纳过程的变量z 的行为，可以考虑在短时间间隔上变量z 值的变化。

设一个小的时间间隔长度为Δt ，定义Δz 为在Δt 时间内z 的变化。

如果满足：（1）Δz εt ∆=（6.1）其中，ε是服从标准正态分布N （0，1）的一个随机变量； （2）对于任何两个不同的时间间隔Δt ，Δz 的值相互独立。

则称变量z 遵循基本维纳过程。

由（1）知，Δz 也服从正态分布，且其均值为0，方差为Δt ，标准差为t ∆。

由（2)知，z 遵循马尔科夫过程。

设z 值在时间T 后的增量为)0()(z T z -，这可以被看作在N 个长度为Δt 的小时间间隔后z 的变化的总量。

其中tT N ∆=，从而i Ni t z T z ε∑=∆=-1)0()( (6.2)其中),,2,1(N i i ⋅⋅⋅=ε是服从标准正态分布的随机抽样值，且相互独立。

从而)0()(z T z -也服从正态分布，其均值为0，方差为)(t N T ∆⋅=，标准差为T 。

另外，6.1式的极限形式可表示为：εdt dz = (6.3)2、一般化的维纳过程变量x 的一般化维纳过程定义如下：bdz adt dx +=(6.4)其中b a ,为常数，dz 为同6.3式的基本维纳过程。

adt 项表示变量x 在单位时间内的漂移量，其期望值为a 。

bdz 项可被看作为增加到x 轨迹上的波动率或噪声，其值为维纳过程的b 倍。

在缺省bdz 项的情况下，方程变为：adt dx = 对其积分可得：at x x +=0其中x 0为变量x 在零时刻的值。

经过t 时间后，x 增加的值为at 。

6.4式的离散形式为：εt b t a z b t a x ∆+∆=∆+∆=∆(6.5)从而，x ∆具有正态分布，且x ∆的均值为t a ∆，方差为t b ∆2，标准差为t b ∆。

经过时间T 后，x 值的变化具有正态分布，同样，可以求得其均值为aT ，方差为T b 2，标准差为T b 。

方程6.4给出了一般性维纳过程。

其漂移率（单位时间的平均漂移）的期望值为a ，方差率（即单位时间的方差）的期望值为2b 。

如图6.1所示。

3、ITO 过程（ITO process ）ITO 过程是一个更一般化的维纳过程，其数学表达式为：dz t x b dt t x a dx ),(),(+=ITO 过程的期望漂移率和方差率都随时间的变化而变化。

在B —S 期权定价模型中，很重要的一点就是假定股价的变动遵循ITO 过程。

但如何定义这一过程的期望漂移率和方差率是关键。

一个合理的假设就是股价S 的变动可用瞬时期望漂移率为S μ，瞬时方差率为22S σ的ITO 过程来表达。

表示为：Sdz Sdt dS σμ+=(6.6)dz dt SdS σμ+=(6.7)这是因为投资者要求来自股票的期望百分比收益与股票价格无关。

当股价的方差率恒为0时：Sdt dS μ=，得：t e S S ⋅=μ0 。

其中，0S 是零时刻的股价。

这说明了当方差率为0 时，股价以单位时间为μ的连续复利方式增长。

6.7式的离散形式为：t t z t SS ∆+∆=∆+∆=∆σεμσμ(6.8)例：考虑一种不付红利的股票，波动率为每年30%，预期收益率以连续复利计每年15%，即30.0,15.0==σμ，则股票价格的行为过程为：dz dt SdS 30.015.0+= 化为离散形式：t t SS ∆+∆=∆ε30.015.0方程6.8的左边是短时间t ∆后股票的收益比, t ∆μ项是这一收益的期望值,t ∆σε项是收益的随机部分,其方差(也是整个收益的方差)为t ∆2σ,该方程表明SS ∆服从均值为t ∆μ,方差为t ∆2σ的正态分布。

即：),(~t t N SS ∆∆∆σμ4、ITO 定理和股票价格的对数正态分布由前面的讨论知道，股价S 的运动遵循ITO 过程：Sdz Sdt dS σμ+= 如果变量G 是股价S 和时间t 的函数，即G=G （S ，t ） 由泰勒展开式，有： ⋅⋅⋅+∆∂∂+∆∆∂∂∂+∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂=∆22222222121t tG t S tS G SSG t t G S SG G(6.9)由6.8式得，t S t S z S t S S ∆+∆=∆+∆=∆εσμσμ因此，)(2222t o t S S∆+∆=∆εσ由于ε服从标准正态分布，所以101)()()(22=-=-=εεεE D E因此t ∆2ε的期望值为t ∆，其方差的阶数为2t ∆。

当t ∆趋于0时，t ∆2ε变为非随机项，且等于该值对t ∆的期望值，所以t S ∆222εσ就变成非随机项，且当t ∆趋向于零时，其值等于t S ∆22σ。

将上述结果代入6.9式，且令S ∆和t ∆趋向于零，得其微分形式：Sdz SG dt S SG tG S SG dG σσμ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=)21(2222(6.10)这就是ITO 定理。

它表明ITO 过程S 和时间t 的函数G 也遵循ITO 过程。

由于G 是S 的函数，因此G 与S 都受到同一个基本的不确定性来源的影响。

上式中，令S G ln =，得：dz dt dG σσμ+-=)2(2这表明G 遵循恒定的漂移率为22σμ-，方差率为2σ的一般化维纳过程。

由前面的结果知，在当前时刻t 0和将来某一时刻t 1之间G 的变化是正态分布，均值为：T )2(2σμ-方差为：T 2σ其中T 为时间间隔t 1－t 0。

t 0时刻G 的值为0ln S ，t 1时刻G 的值为T S ln 。

其中S T 是T 时刻的股票价格，因此在T 期间G 的变化为：0ln ln S S T -。

从而⎥⎦⎤⎢⎣⎡--T T N S S Tσσμ,)2(~ln ln 20 （6.11） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+T T S N S Tσσμ,)2(ln ~ln 20 ])2/[(02T T T teS S σεσμ+-=这表明，当S 给定时，S T 服从对数正态分布，且有：][)()2/(02tT TT eE eS S E εσσμ-=TT T T eS ee S μσσμ02/)2/(022==-20])2/[(0][)(2TT T T eS eS E S D tμσεσμ-=+-]1[220-=TTee S σμ另外，由6.11式得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-T T N S S Tσσμ,)2(~ln 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-T N S S T Tσσμ,2~ln 12而我们又知道，时刻t 0与t 1之间的连续复利年收益率为：SS TT ln1=η从而有：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-T N σσμη,2~2 也就是说，连续复利年收益率服从均值为：22σμ-，标准差为：Tσ的正态分布。

说明：此处的μ为无限短时间的预期收益率，而)2(2σμη-=是指预期连续复利收益率。