11动量定理
动量定理解析
内力: F i ( i )
内力性质: （1） Fi(i) 0
（2） M O (F i(i))0
（3） Fi(i)dt0
质 点: 质点系:
d(m dtivi)Fi(e)Fi(i)
d(m dtivi) F i(e) F i(i)
得
dp dt
Fi(e)
或 d p F i(e ) d t d I i(e )
F N *m g( tt1)1656kN
二.质点的动量守恒定律
d(mv) F dt
若F=0，则有
mv常矢量
质点的动量守恒定律：若质点不受力或作用于质点上的合 力恒为零，则质点的动量保持不变。，此时质点将作匀速 直线运动或静止。这个结论就是牛顿第一定律。
三、质点系的动量定理
外力: F i ( e ),
【解】 pm2e
pxm2esint
py m2ecost
由
dpx dt
Fx
dpy dt
Fy
m1gm2g
v
ωt
得 Fxm2e2cots
F y(m 1 m 2)g m 2 e2sin t
Fxm2e2cots
F y(m 1 m 2)g m 2 e2sin t
电机不转时, Fx 0,Fy (m1m2)g称静约束力;
几个有意义的实际问题
？ 地面拔河与太空拔河，谁胜谁负
偏心转子电动机 工作时为什么会左 右运动；
这种运动有什么 规律；
会不会上下跳动；
？ 利弊得失。
？ 蹲在磅秤上的人站起来时
磅秤指示数会不会发生的变化
？ 台式风扇放置在光滑的台面上的台
式风扇工作时，会发生什么现象
隔板
抽去隔板后将
水池
动量变化与动量定理
“动量变化”与“动量定理” ——’11备考综合热身辅导系列谈到物体或系统的动量、冲量，必须首先注意到其方向性；而动量变化指末、初动量之差。
又，动量变化等于其合外力的冲量，即动量定理。
本文讨论动量变化与动量定理在高中物理中的重要应用。
一、破解依据 欲解决此类问题，归纳以下几条依据： ㈠动量和冲量⑴大小：mv p =，方向：与速度一致；⑵大小：；Ft I =，方向：与合外力一致。
㈡动量定理（应用仅限一维情形）⑴大小：)(//t t F mv mv -=-，或I p p =-/（此指合外力的冲量）；或⋯⋯+++=332211t F t F t F I ⑵方向：动量变化与合外力方向一致。
㈢坐标正方向的选取：⑴初速度方向；⑵或合外力方向。
二、精选例题[例题1]（07广东物理） 机车从静止开始沿平直轨道做匀加速运动，所受的阻力始终不变，在此过程中，下列说法正确的是 ( )A ．机车输出功率逐渐增大B ．机车输出功率不变C ．在任意两相等时间内，机车动能变化相等D ．在任意两相等时间内，机车动量变化大小相等[例题2] (06江苏物理) 一质量为m 的物体放在光滑的水平面上，今以恒力F 沿水平方向推该物体，在相同的时间间隔内，下列说法正确的是（ ）A ．物体的位移相等B ．物体动能的变化量相等C ．F 对物体做的功相等D ．物体动量的变化量相等[例题3]（07全国Ⅱ） 如图所示，PQS 是固定于竖直平面内的光滑的1/4圆周轨道，圆心O 在S 的正上方，在S 和P 两点各有一质量为m 的小物块a 和b ，从同一时刻开始，a 自由下落，b 沿圆弧下滑。
以下说法正确的是（ ）A a 比b 先到达S ，它们在S 点的动量不相等B a 与b 同时到达S ，它们在S 点的动量不相等C a 比b 先到达S ，它们在S 点的动量相等D b 比a 先到达S ，它们在S 点的动量不相等[例题4] （06全国Ⅰ）一位质量为m 的运动员从下蹲状态向上起跳，经Δt 时间，身体伸直并刚好离开地面，速度为v 。
质点系动量定理
h
T
2H g
取铅垂轴y向上为正，根据动量定理有：
mv2 mv1 p
p 0。则有 由题意知， v1 0 ，经过（T+t）秒后，
p Nt Q(T t ) 0
由此得
1 T N Q( 1) Q t t 2H 1 g
1 2 1.5 16.9 KN N 300 1 0.01 9.8
e i
质点系外力： R
e
Fi
e
2、内力：所研究得质点系内部的各质点之间的相互 i 作用力；用 F i 表示。
质点系内力： R
i
Fi
i
质点系内力系的主矩、主矢为：
R Fi 0
i
i
M o mo Fi i 0
i
结论：
质点系质心的运动，是可以看成为一个质点的运 动，同时假想地把整个质点系的质量集中于这一点， 作用于质点系的全部外力也都集中于这一点。 同时：质点系的内力不影响质心的运动，只有外 力才能改变质心的运动。
例1、锤重Q=300N，从高度H=1.5m处自由落到锻 件上，如图所示，锻件发生变形，历时t=0.01s. 求锤对锻件的平均压力。 解：取锤为研究对象。作用在锤 上的力有重力Q锤与锻件接触后 锻件的反力。但锻件的反力是变 力。设平均反力为N. 锤下落高度H所需时间T为：
i i
§11－3 质心运动定理 1、质心：质点系的质量中心 质点系的运动不仅与各质点质量有关，而且与质 量的分布情况有关。 2、质心的确定
直角坐标下的质心计算公式：
mi xi xC M
mi yi yC M
mi zi zC M
动量定理
翻滚式：1.8m－0.1m=1.7m
C
横杆高度
背越式：1.8m＋0.1m=1.9m
例题
第11章 动量定理
例题
电动机的外壳用螺栓固定在水平基础上，定子的质量是
m1，转子的质量是 m2，转子的轴线通过定子的质心 O1。制造 和安装的误差，使转子的质心 O2对它的轴线有一个很小的偏
心距 b（图中有意夸张）。试求电动机转子以匀角速度 转动
设质点系有n个质点，第i个质点的质量为mi，速度为vi，质点系以外的物体
对该质点的作用力为Fi(e)，即外力；质点系内部其他质点对该质点的作用力
为Fi(i)，即内力。
d (mivi )
(
F (e) i
Fi(i) )dt
Fi ( e ) dt
Fi(i)dt
对于该质点系，类似的方程有n个。n个方程相加得：
P P0 恒矢量
如果作用于质点系的外力主矢在某一坐标 轴上的投影恒等于零，质点系的动量在该坐 标轴上的投影保持不变。
px p0x 恒量
只有外力才能使质点系的动量发生变化， 而内力不能改变整个质系的动量;但是， 内力可以改变质点系内部分质点的动量. 对仅受内力作用的质点系，如果其中某 一部分的动量发生变化，则另一部分的 动量也必然变化.0
M x&&C
M y&&C
其投影式为：
Fx Fy
Macn Fn Mac F
若作用在质点系上的合外力ΣF=0，则 ac=0，VC=常量，即
质系的质心做惯性运动；若初始 vc= 0，则质心保持静止不动。
若作用在质点系上的合外力在某轴上的投影ΣX=0，则 acx=0，
理论力学第十一章 质点系动量定理讲解
结论与讨论
牛顿第二定律与 动量守恒
牛顿第二定律 动量定理 动量守恒定理
工程力学中的动量定理和动量守恒定理比 物理学中的相应的定理更加具有一般性，应 用的领域更加广泛，主要研究以地球为惯性 参考系的宏观动力学问题，特别是非自由质 点系的动力学问题。这些问题的一般运动中 的动量往往是不守恒的。
结论与讨论
O
第一种方法：先计算各个质点 的动量，再求其矢量和。
第二种方法：先确定系统 的质心，以及质心的速度， B 然后计算系统的动量。
质点系动量定理应用于简单的刚体系统
例题1
y vA
A
O
解： 第一种方法：先计算各个质点 的动量，再求其矢量和。
p mA v A mB vB
建立Oxy坐标系。在角度为任 意值的情形下
p mi vi
i
§11-1 质点系动量定理
动量系的矢量和，称为质点系的动量，又称 为动量系的主矢量，简称为动量主矢。
p mi vi
i
根据质点系质心的位矢公式
mi ri
rC
i
m
mi vi
vC i m
p mvC
§11-1 质点系动量定理
质点系动量定理
对于质点
d pi dt
质点系动量定理应用
动量定理的
于开放质点系－定常质量流 定常流形式
考察1－2小段质量流，其 受力：
F1、F2－入口和出口 处横截面所受相邻质量流 的压力；
W－质量流的重力； FN－管壁约束力合力。
考察1－2小段质量流， v1、v2－入口和出口处质量流的速度； 1－2 ：t 瞬时质量流所在位置； 1´－2´ ：t ＋ t 瞬时质量流所在位置；
和11章例题动量定理动量矩定理
5
5
cos cos(450 ) 3 ,
sin sin(450 ) 1 ,
10
K2 mvC2
滑块B：
10
5 ml(
3
i
2
10
K3 mvC3 mvC31i
1
j)
2
ml
(3
i
1 j)
10 4
K3 2ml i 3
总动量： K K1 K2 K3
K1 K2
式中：
A
m π R2
JO
R 0
(2π
r Adr
r2)
2π
A
R4 4
即
JO
1 2
mR2
1
26
（4）匀质圆柱，半径为R,质量为M 。
对质心z轴的转动惯量
Jz
1 2
MR2
（5）匀质实心球，半径为R,质量为M 。
对质心z轴的转动惯量
z
z
R
y
x
C
Jx
Jy
Jz
2 5
MR2
x
y
CR
1
27
四. 平行移轴定理 刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行的
（1）杆与圆盘固结在一起；
（2）杆与圆盘不固结，盘相对于杆的角速度- ；
（3）行星轮机构，轮O固结不动。
（1）
（2） 1
（3）
20
解：（1）杆与圆盘固结： 盘作定轴转动
JO
1 2
mr2
ml 2
1 2
m(r2
2l2 )
GO
JO
1 2
m(r2
2l2 )
转向：顺时针
（2）杆与圆盘不固结，盘相对于杆的角速度- ；
理论力学第11章(动量矩定理)
解：以系统为研究对象，系统所受的外力有小球的重力和轴承处的反
力，这些力对转轴之矩都等于零。所以系统对转轴的动量矩守恒，即
Lz1 Lz2
z
z
Lz1 2(ma0 )a 2ma20
质点系对任一固定点的动量矩 对时间的导数，等于作用在质 点系上所有外力对同一点之矩 的矢量和（外力系的主矩）。
将上式在通过固定点O的三个固定直角坐标轴上投影，得:
dLx dt
Mx(F(e))
,
dLy dt
M y(F(e))
,
dLz dt
Mz(F(e))
上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任 一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有 外力对同一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。
理论力学
9
将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得
d dt
M
x
(mv
)
M
x
(F
),
d dt
M
y
(mv )
M
y
( F ),
d dt
M
z
(mv )
M
z
(F
)
上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定 理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数， 等于作用在质点上的力对同一轴之矩。
理论力学
14
[例3] 已知: PA PB ; P ; r 。求 。
解: 取整个系统为研究对象，
受力分析如图示。
运动分析： v =r
动量与角动量11
变质量问题（低速，v << c）有两类： 粘附 — 主体的质量增加（如滚雪球） 抛射 — 主体的质量减少（如火箭发射）
还有另一类变质量问题：在高速（ c）情况 下，即使没有粘附和抛射，质量也可以改变— 随 速度变化 m = m()，这是相对论情形，不在本节 讨论之列。 下面仅以火箭飞行原理为例，讨论变质量问题。
基本要求
1. 掌握质点的动量及角动量表达式； 2.掌握冲量及动量定理 3. 理解质点系的动量定理 4. 掌握动量守恒定律及角动量守恒定律
牛顿定律
F ma 是瞬时的规律。
但在有些问题中，我们需要关心力的作用效果
——力对时间和空间的积累效应。
力对空间的积累效应：
功
改变能量
力对时间的积累效应：
平动
冲量
P92 题15
解: M=0
mr00 mr 0r0 / r
L = mR
又
d
dt
常量
0 d 0t dt
0 t
类比匀速 直线运动
x x0 t
若质点做匀变速转动：
α = const.
= 0 +α t
-0
=
0t
+
1 2
α
t
2
2 - 02 = 2α( -0)
证 d ,d dt
dt
0 d otdt 0 t
<2. 椭圆运动的角动量 L=m r sinφ
[例]已知小球m以速度1碰墙， y
•m
碰后速度为2(大小等于1)。
求：墙所受的冲量。
o
解：用分量法
研究对象m
1
2
x
x向 Ix = m2cos -(- m1cos) y向 Iy = (-m2sin) -(- m1sin)
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102
第11章 动量定理
11-1 汽车以36 km/h的速度在平直道上行驶。设车轮在制动后立即停止转动。问车轮对地
面的动滑动摩擦因数f应为多大方能使汽车在制动后6 s停止。
解：将汽车作为质点进行研究，制动后汽车受重力W，地面约束反力FN和与运动方向相反
的摩擦阻力F作用，以汽车运动方向为Ox轴，如图（a）。
根据动量定理在x轴的投影式，有
xOxx
Imvmv
其中 m/s 10km/h 36,0Oxxvv
fWttfFFtIx
N
当t = 6 s时，有
6100fW
g
W
， f=0.17
11-3 图示浮动起重机举起质量m1=2 000 kg的重物。设起重机质量m2=20 000 kg，杆长OA=8
m；开始时杆与铅直位置成60°角，水的阻力和杆重均略去不计。当起重杆OA转到与铅直
位置成30°角时，求起重机的位移。
解：取浮动起重机与重物为研究对象，由于不受水平方向外力
作用且系统原来静止，故其质心的水平坐标不变，取坐标系
xyO
，其中yO轴通过船体中心的初位置。设起重机位移为
x，船宽一半为a，由质心坐标公式得
1）起重杆OA与铅直线成60°角时（图b）
)60sin8()60sin(2112111ammmmmaAOmx
C
2）起重杆OA与铅直线成30°角时（图a）
)30sin8()30sin(21121212ammmxmmxmAOaxmx
C
21CC
xx
m266.0202)2123(28)30sin60(sin8211mmmx
故起重机位置向左移动了0.266 m。
11-5 平台车质量kg 5001m，可沿水平轨道运动。平台车上站有一人，质量kg 702m，
车与人以共同速度0v向右方运动。如人相对平台车以速度m/s 2rv向左方跳出，不计平
台车水平方向的阻力及摩擦，问平台车增加的速度为多少？
解：以车与人为质点系进行研究，因为质点系在水平方向不受外力作用，见图（a），故系统
在水平方向动量守恒。设以水平向右为x轴正向，人跳出时平台车速度为v，则有
)()(r21021vvmvmvmm
代入数据解得 246.00vv
m/s 246.00vvv
11-7 图示椭圆规尺AB的质量为2m1，曲柄OC的质量为m1，而滑块A和B的质量均为
m2。已知：OC=AC=CB=l；曲柄和尺的质心分别在其中点上；曲柄绕O轴转动的角速度
为常数。当开始时，曲柄水平向右，求此时质点系的动量。
103
解：将质点系统分为两部分，第一部分为尺AB和滑块A、B，由于对称其质心在C点，第
二部分为曲柄OC，其质心在OC的中点C1上，根据质点系的动量计算式，有
1
121)22(CC
mmmvvp
因为vC和vC1均垂直于OC曲柄，故动量p也垂直于OC。将lvvCC12 代入上
式得 )45(221mmlp （方向如图）
11-9 求题11-4中三棱柱A运动的加速度及地面的支持力。
解：1）水平方向外力为零，设A的加速度为aA，由图（a），
reaaaB
0)cos(33,reBABBAAeaamam
mmaa
即 cos4rBABamam，cos4rAaa （1）
2）B块受力和加速度分析如图（b）
ar方向：)cos(sinerBBaamgm
式（1）代入上式，即
coscos4sinAaagA
2
A
cos4cossinaAag
（2）
22
sin3cossincos4cossin
gga
A
（3）
3）图（a），NF方向
sin3rBNBBamFgmgm
（4）
式（3）代入式（1），得 2Arcos4sin4cos4gaa
代入式（4）得： 2B2B22BBNsin312sin334cos4sin44gmgmgmgmF
11-11 在图示曲柄滑杆机构中曲柄以等角速度绕O轴转动。开始时，曲柄OA水平向右。
已知：曲柄的质量为m1，滑块A的质量为m2，滑杆的质量为m3，曲柄的质心在OA的中点，
lOA
；滑杆的质心在点C，而2lBC。求：（1）机构质量中心的运动方程；（2）作用
点O的最大水平力。
解：1）以整个系统为研究对象，建立如图所示直角坐标Oxy。求得系统的质心坐标为
104
tlmmmmmmmmtlmtlmytlmmmmmmmmmlmmmmltlmtlmtlmxCCsin)(22sinsin2cos)(222)(2)2cos(coscos232121321213213213213321321
2）以整个系统为研究对象，其受力分析如图（a），在x方向系统只受O点反力OxF作
用，根据质心运动定理在x轴上的投影式得： COxammmF)(321
其中 tlmmmmmmxaCCcos)(2222321321
则 tlmmmFOxcos2222321
故作用在O处最大水平反力 2321max222lmmmFOx
11-13 水流以速度v0=2 m/s流入固定水道，速度方向与水平面成90角，如图所示。水流
进口截面积为0.02 m2，出口速度v1=4 m/s，它与水平面成30角。求水作用在水道壁上的水
平和铅直的附加压力。
解：将水道中的水流作为研究对象，由教材例12-2知管壁对于流体的附加动反力为
)(01vvFVq
（1）
3
kg/m 1000
由不可压缩流体的连续性定律知
1100AvAvqV
将式（1）参照题图向x，y轴投影，得
)(30sin30cos0100100vvAvFvAvFyx
将 ,m 02.0 ,m/s 2200Avm/s 41v 代入，得
N 139xF
（方向向左）， 0yF
水对管壁作用的附加压力
N 139xF
（方向向右），0yF
x
F
方向与xF方向相反。
105
11-15 图示传送带的运煤量恒为20 kg/s，胶带速度恒为1.5 m/s。求胶带对煤块作用的水平
总推力。
解：设皮带作用煤块的总水平推力为xF，皮带在dt时间内
输送量为qVdt，由动量定理微分形式得
N 305.120ddvqF
tFvtq
Vx
xV