频域抽样定理
数字信号处理实验报告 3
数字信号处理实验报告姓名：班级：通信学号：实验名称：频域抽样定理验证实验类型：验证试验指导教师:实习日期：2013.频域采样定理验证实验一． 实验目的：1. 加深对离散序列频域抽样定理的理解2.了解由频谱通过IFFT 计算连续时间信号的方法3.掌握用MATLAB 语言进行频域抽样与恢复时程序的编写方法 4、用MATLAB 语言将X(k)恢复为X(z)及X(e jw )。
二． 实验原理：1、1、频域采样定理： 如果序列x(n)的长度为M ，频域抽样点数为N ，则只有当频域采样点数N ≥M 时，才有x N (n)=IDFT[X(k)]=x(n),即可由频域采样X(k)无失真的恢复原序列 x(n)。
2、用X(k)表示X(z)的内插公式：∑-=-----=10111)(1)(N k kNNzWz k X Nz X内插函数： zWzkNNN z 1k111)(-----=ϕ频域内插公式：∑-=-=10)2()()(N K j k Nk X e X πωϕω频域内插函数：e N j N N )21()2sin()2sin(1)(--=ωωωωϕ三． 实验任务与步骤：实验一：长度为26的三角形序列x(n)如图(b)所示，编写MATLAB 程序验证频域抽样定理。
实验二：已知一个时间序列的频谱为X(e jw )=2+4e -jw +6e -j2w +4e -j3w +2e -j4w分别取频域抽样点数N为3、5和10，用IPPT计算并求出其时间序列x(n)，用图形显示各时间序列。
由此讨论原时域信号不失真地由频域抽样恢复的条件。
实验三：由X32(k)恢复X(z)和X(e jw)。
四．实验结论与分析：实验一：源程序：M=26;N=32;n=0:M; %产生M长三角波序列x(n)xa=0:floor(M/2);xb= ceil(M/2)-1:-1:0; xn=[xa,xb];Xk=fft(xn,512); %1024点FFT[x(n)], 用于近似序列x(n)的TFX32k=fft(xn,32); %32点FFT[x(n)]x32n=ifft(X32k); %32点IFFT[X32(k)]得到x32(n)X16k=X32k(1:2:N); %隔点抽取X32k得到X16(K)x16n=ifft(X16k,N/2); %16点IFFT[X16(k)]得到x16(n)subplot(3,2,2);stem(n,xn,'.');box ontitle('(b) 三角波序列x(n)');xlabel('n');ylabel('x(n)');axis([0,32,0,20])k=0:511;wk=2*k/512;subplot(3,2,1);plot(wk,abs(Xk));title('(a)FT[x(n)]');xlabel('\omega/\pi');ylabel('|X(e^j^\omega)|');axis([0,1,0,200])k=0:N/2-1;subplot(3,2,3);stem(k,abs(X16k),'.');box ontitle('(c) 16点频域');xlabel('k');ylabel('|X_1_6(k)|');axis([0,8,0,200])n1=0:N/2-1;subplot(3,2,4);stem(n1,x16n,'.');box ontitle('(d) 16点IDFT[X_1_6(k)]');xlabel('n');ylabel('x_1_6(n)');axis([0,32,0,20])k=0:N-1;subplot(3,2,5);stem(k,abs(X32k),'.');box ontitle('(e) 32点频域采样');xlabel('k');ylabel('|X_3_2(k)|');axis([0,16,0,200])n1=0:N-1;subplot(3,2,6);stem(n1,x32n,'.');box ontitle('(f) 32点IDFT[X_3_2(k)]');xlabel('n');ylabel('x_3_2(n)');axis([0,32,0,20])结果如下所示：实验一分析：序列x(n)的长度M=26，由图中可以看出，当采样点数N=16<M时，x16(n)确实等于原三角序列x(n)以16为周期的周期延拓序列的主值序列。
实验三(时域抽样与频域抽样)
时域抽样与频域抽样
一、实验目的
1. 加深理解连续时间信号的离散化过程中的数学概念和物 理概念，掌握时域抽样定理（奈奎斯特采样定理）的基 本内容。 2. 加深对时域取样后信号频谱变化的认识。掌握由抽样序 列重建原连续信号的基本原理与实现方法，理解其工程 概念。 3. 加深理解频谱离散化过程中的数学概念和物理概念，掌 握频域抽样定理的基本内容。
二. 实验原理——时域抽样
1、时域抽样概述
时域抽样定理给出了连续信号抽样过程中信 号不失真的约束条件：信号抽样频率 fs 大于等于2 倍的信号最高频率fm，即 fs 2fm。
时域抽样先把连续信号 x(t)变成适合数字系统 处理的离散信号x[k]；然后根据抽样后的离散信号 x[k]恢复原始连续时间信号x(t)完成信号重建。
0
0.01
0.02
0.03
三. 程序示例——频域抽样
2.已知序列 x [ k ] {1, 1, 1; k 0,1,2} 对其频谱X(ej)进行抽样， 分别取N=2，3，10，观察频域抽样造成的混叠现象。
x=[1,1,1]; P=256; omega=[0:P-1]*2*pi/P; X0=1+exp(-j*omega)+exp(-2*j*omega); N=input('Type in N= '); omegam=[0:N-1]*2*pi/N; Xm=1+exp(-j*omegam)+exp(-2*j*omegam); subplot(2,1,1); plot(omega./pi,abs(X0)); xlabel('Omega/PI'); hold on stem(omegam./pi,abs(Xm),'r','o'); hold off x1=[zeros(1,2*N) x zeros(1,2*N)]; x2=[zeros(1,N) x zeros(1,3*N)]; x3=[x zeros(1,4*N)]; x4=[zeros(1,3*N) x zeros(1,N)]; x5=[zeros(1,4*N) x]; xx=x1+x2+x3+x4+x5; k=-2*N:2*N+length(x)-1; subplot(2,1,2); stem(k,x1); hold on subplot(2,1,2); stem(k,xx,'r','*'); hold off
12系统的频域分析及其应用_第四节抽样与抽样定理
1 T
1 m 0
...
m
14
0
m
s
思考题
(1) 根据时域抽样定理，对连续时间信号进行抽 样时，只需抽样速率 fs 2fm。在工程应用中，
抽样速率常设为 fs (3~5)fm，为什么？
(2) 若连续时间信号 f (t) 的最高频率 fm 未知， 如何确定抽样间隔T？
冲激串 ->序列
f [k ]
...
T
T (t )
... t
0 T
信号理想抽样模型
A/D
f [k ] ...
fs (t )
...
T 0 T
...
1 0 1
...
k
t
3
f s (t ) f (t ) T (t )
3
1、信号抽样的理论分析
理想抽样信号的频谱分析
若连续信号f(t)的频谱函数为F(j)，则抽样信号
c(t ) cosct y(t ) f (t ) cosct
c(t )
幅度调制方块图
1 Y () F () * [π ( c ) π ( c )] 2π 1 1 Y ( ) F ( c ) F ( c ) 2 2
21
一、双边带调幅 (Amplitute Modulation)
1 f (2t ) F ( j ) 2 2
最高频率： 2fm 最小抽样频率： 4fm
10
例1 已知实信号f(t)的最高频率为fm (Hz)， 试计算对各信号f(2t)， f(t)*f(2t)， f(t)f(2t)抽样不混叠的最小抽样频率。 解： 根据信号时域与频域的对应关系及抽样定理得：
关于频域采样定理的理论证明和验证
关于频域采样定理的理论证明和验证作者：陈艾伦来源：《中国新通信》2012年第14期1引言采样的理论基础是采样定理。
它在连续时间信号与离散时间信号之间架起了一座桥梁，为连续时间信号与离散时间信号的相互转换提供了依据。
而采样定理又分为时域采样定理和频域采样定理。
时域采样定理大家都比较熟悉，笔者发现频域采样定理对于初学者较为陌生，因此在这里着重证明和验证频域采样定理。
2频域采样定理的理论证明我们以冲激取样为例，设有一个信号f（t）为有限时间信号（简称时限信号），我们假设它在时间区间（-tm，tm）以外为零。
f（t）的频谱函数为F（jw），且为连续谱。
我们对连续谱F（jw）进行间隔为ws的冲激采样，抽样函数的数学形式为：啄ws（w）=∑∞n=-∞δ（w-nws）取样后信号fs（t）的频谱函数为：Fs（jw）= F（jw）∑∞n=-∞δ（w-nws）=∑∞n=-∞F（jnws）δ(w-nws)有限时间信号f（t）的频谱函数在被间隔为ws的冲激序列采样之后，则被采样之后的频谱函数Fs（jw）所对应的时域信号fs（t）以Ts为周期而重复。
所以为了从fs（t）中无失真地恢复f（t），我们在时域上选择一个理想的低通滤波器与fs（t）相乘，得到其在区间（-Ts/2，Ts/2）的一个周期。
在这里我们设理想低通滤波器的频率响应的幅度为ws，截止时间为tm（tm≤Ts/2），即3频域采样定理最后我们可以得到著名的频域采样定理：一个在时间区间（-tm，tm）以外为零的有限时间信号f（t）的频谱函数F（jw），可唯一地由其在均匀频率间隔fs（fsF（jw）=∑∞n=-∞F（jnπ/tm）·Sa（w·tm-nπ）其中tm=1/（2fs）。
4频域采样定理的matlab验证对频谱函数X（ej棕）=FT[x（n）]在区间[0，2仔]上等间隔32点采样，得到X32（k）。
再对X32（k）进行32点IFFT。
分别画出X（ej棕）、X32（k）的幅度谱，并绘图显示x（n）、X32（n）的波形。
抽样定理
抽样定理定义:在一个频带限制在（0，f h）内的时间连续信号f（t），如果以1/2 f h的时间间隔对它进行抽样，那么根据这些抽样值就能完全恢复原信号。
或者说，如果一个连续信号f（t）的频谱中最高频率不超过f h，当抽样频率f S≥2 f h时，抽样后的信号就包含原连续的全部信息。
抽样定理在实际应用中应注意在抽样前后模拟信号进行滤波，把高于二分之一抽样频率的频率滤掉。
这是抽样中必不可少的步骤。
07年的抽样定理：设时间连续信号f（t），其最高截止频率为f m ，如果用时间间隔为T<=1/2f m的开关信号对f（t）进行抽样时，则f（t）就可被样值信号唯一地表示。
什么是A/D转换和D/A转换？什么是A/D转换和D/A转换？一。
什么是a/d.d/a转换：随着数字技术，特别是信息技术的飞速发展与普及，在现代控制。
通信及检测等领域，为了提高系统的性能指标，对信号的处理广泛采用了数字计算机技术。
由于系统的实际对象往往都是一些模拟量(如温度。
压力。
位移。
图像等),要使计算机或数字仪表能识别。
处理这些信号，必须首先将这些模拟信号转换成数字信号；而经计算机分析。
处理后输出的数字量也往往需要将其转换为相应模拟信号才能为执行机构所接受。
这样，就需要一种能在模拟信号与数字信号之间起桥梁作用的电路-模数和数模转换器。
将模拟信号转换成数字信号的电路，称为模数转换器(简称a/d转换器或adc,analog to digital converter)；将数字信号转换为模拟信号的电路称为数模转换器(简称d/a转换器或dac,digital to analog converter)；a/d转换器和d/a转换器已成为信息系统中不可缺俚慕涌诘缏贰？br>为确保系统处理结果的精确度，a/d转换器和d/a转换器必须具有足够的转换精度；如果要实现快速变化信号的实时控制与检测，a/d与d/a转换器还要求具有较高的转换速度。
转换精度与转换速度是衡量a/d与d/a转换器的重要技术指标。
抽样定理
抽样定理是通信理论中的一个重要定理，它是模拟信号数字化的理论基础，包括时域抽样定理和频域抽样定理。
抽样定理，也称为香农采样定律和奈奎斯特采样定律，是信息论特别是通信和信号处理中的重要基础结论。
E.T.惠特克（统计理论发表于1915年），克劳德·香农和哈里·奈奎斯特对此做出了重要贡献。
此外，V。
A. Kotelnikov也对该定理做出了重要贡献。
采样是将信号（即空间中的连续函数）转换为数字序列（即空间中的离散函数）。
采样后的离散信号通过保持器后，获得具有零阶保持器特性的阶跃信号。
如果信号受频带限制，并且采样频率高于信号最高频率的两倍，则可以从采样样本中完全重建原始连续信号。
限带信号转换的速度受到其最高频率分量的限制，也就是说，其在离散时间采样和表达信号细节的能力非常有限。
抽样定理意味着，如果信号带宽小于奈奎斯特频率（即采样频率的一半），那么这些离散采样点就可以完全代表原始信号。
高于或处于奈奎斯特频率的频率分量将导致混叠。
大多数应用都需要避免混叠，混叠的严重程度与这些混叠频率分量的相对强度有关。
采样过程中应遵循的定律也称为抽样定理和抽样定理。
抽样定理解释了采样频率和信号频谱之间的关系，这是连续信号离散化的基本基础。
抽样定理最早是由美国电信工程师H. Nyquist于1928年提出的，因此被称为Nyquist抽样定理。
1933年，苏联工程师科特尔尼科夫首次严格地通过公式表达了这一原理，因此在苏联文学中被称为科特尔尼科夫抽样定理。
1948年，信息理论的创始人C.E. Shannon 清楚地解释了这一原理，并将其正式引用为一个定理，因此在许多文献中也称为Shannon抽样定理。
抽样定理有很多表达式，但是最基本的表达式是时域抽样定理和频域抽样定理。
抽样定理广泛应用于数字遥测系统，时分遥测系统，信息处理，数字通信和采样控制理论中。
抽样定理
抽样定理词义就是对时间连续的信号隔一定的时间间隔T抽取一个瞬时幅度值分类时域抽样定理、频域抽样定理基本定义所谓抽样，就是对时间连续的信号隔一定的时间间隔T 抽取一个瞬时幅度值（样值），抽样是由抽样门完成的。
在一个频带限制在（0，f h）内的时间连续信号f（t），如果以小于等于1/(2 f h)的时间间隔对它进行抽样，那么根据这些抽样值就能完全恢复原信号。
或者说，如果一个连续信号f（t）的频谱中最高频率不超过f h，这种信号必定是个周期性的信号，当抽样频率f S≥2 f h时，抽样后的信号就包含原连续信号的全部信息，而不会有信息丢失，当需要时，可以根据这些抽样信号的样本来还原原来的连续信号。
根据这一特性，可以完成信号的模-数转换和数-模转换过程。
意义介绍抽样定理指出，由样值序列无失真恢复原信号的条件是f S≥2 f h ，为了满足抽样定理，要求模拟信号的频谱限制在0～f h之内（fh为模拟信号的最高频率）。
为此，在抽样之前，先设置一个前置低通滤波器，将模拟信号的带宽限制在fh以下，如果前置低通滤波器特性不良或者抽样频率过低都会产生噪声。
例如，话音信号的最高频率限制在3400HZ，这时满足抽样定理的最低的抽样频率应为fS=6800HZ，为了留有一定的防卫带，CCITT规定话音信号的抽样率fS=8000HZ，这样就留出了8000-6800=1200HZ作为滤波器的防卫带。
应当指出，抽样频率fS不是越高越好，太高时，将会降低信道的利用率（因为随着fS升高，数据传输速率也增大，则数字信号的带宽变宽，导致信道利用率降低。
）所以只要能满足fS≥2f h,并有一定频带的防卫带即可。
以上讨论的抽样定理实际上是对低通信号的情况而言的，设模拟信号的频率范围为f0～fh，带宽B=fh - f0.如果f0<B，称之为低通型信号，例如，话音信号就是低通型信号的，弱f0>B，则称之为带通信号，载波12路群信号（频率范围为60～108KHZ）就属于带通型信号。
3.10 抽样定理(1)
fs 2 fm
信号无失真恢复
抽样频谱 连续信号： 在满足时域抽样定理条件下使
恢复
s T s 2 F Fs H , 其中H 0 s 2
矩形函数H(w)与Fs(w)相乘。
即将f (t )的抽样f s t 施于“理想低通滤波器”H , 可从f s t 的频谱Fs 无失真地选出f (t )的F ， 再由滤波器输出端恢复f(t)。
2
对于指数形式的傅里叶级数
P
T
1
T
0
f ( t ) d t F n 1
2
2
Fn
n
2
F0 a0
n
总平均功率=各次谐波的平均功率之和
已知f ( t ) 1 sin 1 t 2 cos 1 t cos 2 1 t ， 4
n
2.24 c2
c2 1
2 0.25
c0
1
0
1
1
2 1
1
0
2 1
0.15
X
化为指数形式
f (t ) 1 1 2j
e
j 1 t
e
2 j n 1 t 2 j 1t 1 j 1 t 4 4 e e e e 2 整理 2 1 j 1t 1 j 1t 1 j 4 j 2 1t 1 j 4 j 2 1t e e f (t ) 1 1 1 e e e e 2 j 2 j 2 2 2
f (t ) d t
t0
与平方可积条件相同，这一条件保证了每一系数Fn都 是有限值，因为
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N 1
1 zN 内插公式：X ( z ) N
X (k ) 1 W k z 1 k 0 N
N 1
1 1 zN 内插函数： k ( z ) N 1 WN k z 1
则内插公式简化为： X ( z ) X ( k ) k ( z )
k 0 N 1
三、用频域采样 X ( k )表示 X ( z )
M点有限长序列 x(n)，频域N点等间隔抽样，且 N ≥ M
M 1 n 0 N 1 n 0
X ( z ) x(n ) z n x(n ) z n
1 n 0 N
N 1
X (k )W
k 0
N 1
x(n rN )
1 0 m n rN 其它m
正交性
W
k 0
N 1
( mn ) k N
r为任意整数
结论： ~ ~ 1. 由 X ( k ) 得到的周期序列 x N ( n) 是非周期序列
x(n)的周期延拓。其周期为频域抽样点数 N。 频域抽样造成时域周期延拓
时域抽样造成频域周期延拓 2. x(n)为无限长序列，时域周期延拓必然会造成
n X (k ) WN z k 0 n 0
N 1
1 N
1 WN Nk z N 1 z N X ( k ) 1 W k z 1 N k 0 N N 1
X (k ) 1 W k z 1 k 0 N
n
x( n) Z n
由于x(n)绝对可和,故其傅氏变换存在且连续,也 即其Z变换收敛域包括单位圆。这样,对X(Z)在单位 ~ 圆上N等份抽样, 就得到 X ( k )
~ X ( k ) X ( Z ) z W k
N
n
x( n)W
nk N
~ 作反变换, 并令其为 ~ 对 X (k ) x N ( n) , 则
零点：z e
极点：z e
j
2 r N
，r 0,1,..., N 1
， 0 ( N -1)阶
j
2 k N
四、用频域采样 X ( k ) 表示 X ( e )
X ( e j ) X ( z )
z e j
j
X ( k ) k ( e j )
k 0
N 1
sin N k k 2 N j N ( N 1) j N21 1 k ( e j ) k ( z ) z e j e e N sin k 2 2 N ( k )
1 N 1 x N ( n ) IDFS [ X (k )] X (k )WN nk N k 0 1 N 1 mk [ x(m)WN ]WN nk N k 0 m 1 x ( m )[ N m
1 N
r ( WNm n ) k ] k 0 N 1
混叠失真
x(n)为长度M的有限长序列
N≥M 时，不失真
N<M， 混叠失真
3. 频域抽样定理 若序列长度为M，则只有当频域采样点数:
NM
时，才有
x N ( n ) RN ( n ) IDFS [ X ( k )]RN ( n ) x ( n )
即可由频域采样 X(k)不失真地恢复原信号 x(n)， 否则产生时域混叠现象。
N
内插函数： N sin j N 1 1 2 e 2 ( ) N sin 2
§3.6 抽样Z变换——频域抽样定理
一、频域抽样定理研究的问题
M点 序列傅立叶变换DTFT
j
x M (n)
X (e )
单位圆上取N点 （频域采样）
= ？
x N (n)
N点 离散傅立叶反变换IDFT
X (k )
二、由频域抽样点恢复原始序列
一个绝对可和的非周期序列 x(n)的Z变换为
X (Z )