频域抽样定理
数字信号处理实验报告 3
数字信号处理实验报告姓名：班级：通信学号：实验名称：频域抽样定理验证实验类型：验证试验指导教师:实习日期：2013.频域采样定理验证实验一． 实验目的：1. 加深对离散序列频域抽样定理的理解2.了解由频谱通过IFFT 计算连续时间信号的方法3.掌握用MATLAB 语言进行频域抽样与恢复时程序的编写方法 4、用MATLAB 语言将X(k)恢复为X(z)及X(e jw )。
二． 实验原理：1、1、频域采样定理： 如果序列x(n)的长度为M ，频域抽样点数为N ，则只有当频域采样点数N ≥M 时，才有x N (n)=IDFT[X(k)]=x(n),即可由频域采样X(k)无失真的恢复原序列 x(n)。
2、用X(k)表示X(z)的内插公式：∑-=-----=10111)(1)(N k kNNzWz k X Nz X内插函数： zWzkNNN z 1k111)(-----=ϕ频域内插公式：∑-=-=10)2()()(N K j k Nk X e X πωϕω频域内插函数：e N j N N )21()2sin()2sin(1)(--=ωωωωϕ三． 实验任务与步骤：实验一：长度为26的三角形序列x(n)如图(b)所示，编写MATLAB 程序验证频域抽样定理。
实验二：已知一个时间序列的频谱为X(e jw )=2+4e -jw +6e -j2w +4e -j3w +2e -j4w分别取频域抽样点数N为3、5和10，用IPPT计算并求出其时间序列x(n)，用图形显示各时间序列。
由此讨论原时域信号不失真地由频域抽样恢复的条件。
实验三：由X32(k)恢复X(z)和X(e jw)。
四．实验结论与分析：实验一：源程序：M=26;N=32;n=0:M; %产生M长三角波序列x(n)xa=0:floor(M/2);xb= ceil(M/2)-1:-1:0; xn=[xa,xb];Xk=fft(xn,512); %1024点FFT[x(n)], 用于近似序列x(n)的TFX32k=fft(xn,32); %32点FFT[x(n)]x32n=ifft(X32k); %32点IFFT[X32(k)]得到x32(n)X16k=X32k(1:2:N); %隔点抽取X32k得到X16(K)x16n=ifft(X16k,N/2); %16点IFFT[X16(k)]得到x16(n)subplot(3,2,2);stem(n,xn,'.');box ontitle('(b) 三角波序列x(n)');xlabel('n');ylabel('x(n)');axis([0,32,0,20])k=0:511;wk=2*k/512;subplot(3,2,1);plot(wk,abs(Xk));title('(a)FT[x(n)]');xlabel('\omega/\pi');ylabel('|X(e^j^\omega)|');axis([0,1,0,200])k=0:N/2-1;subplot(3,2,3);stem(k,abs(X16k),'.');box ontitle('(c) 16点频域');xlabel('k');ylabel('|X_1_6(k)|');axis([0,8,0,200])n1=0:N/2-1;subplot(3,2,4);stem(n1,x16n,'.');box ontitle('(d) 16点IDFT[X_1_6(k)]');xlabel('n');ylabel('x_1_6(n)');axis([0,32,0,20])k=0:N-1;subplot(3,2,5);stem(k,abs(X32k),'.');box ontitle('(e) 32点频域采样');xlabel('k');ylabel('|X_3_2(k)|');axis([0,16,0,200])n1=0:N-1;subplot(3,2,6);stem(n1,x32n,'.');box ontitle('(f) 32点IDFT[X_3_2(k)]');xlabel('n');ylabel('x_3_2(n)');axis([0,32,0,20])结果如下所示：实验一分析：序列x(n)的长度M=26，由图中可以看出，当采样点数N=16<M时，x16(n)确实等于原三角序列x(n)以16为周期的周期延拓序列的主值序列。
12系统的频域分析及其应用_第四节抽样与抽样定理
1 T
1 m 0
...
m
14
0
m
s
思考题
(1) 根据时域抽样定理，对连续时间信号进行抽 样时，只需抽样速率 fs 2fm。在工程应用中，
抽样速率常设为 fs (3~5)fm，为什么？
(2) 若连续时间信号 f (t) 的最高频率 fm 未知， 如何确定抽样间隔T？
冲激串 ->序列
f [k ]
...
T
T (t )
... t
0 T
信号理想抽样模型
A/D
f [k ] ...
fs (t )
...
T 0 T
...
1 0 1
...
k
t
3
f s (t ) f (t ) T (t )
3
1、信号抽样的理论分析
理想抽样信号的频谱分析
若连续信号f(t)的频谱函数为F(j)，则抽样信号
c(t ) cosct y(t ) f (t ) cosct
c(t )
幅度调制方块图
1 Y () F () * [π ( c ) π ( c )] 2π 1 1 Y ( ) F ( c ) F ( c ) 2 2
21
一、双边带调幅 (Amplitute Modulation)
1 f (2t ) F ( j ) 2 2
最高频率： 2fm 最小抽样频率： 4fm
10
例1 已知实信号f(t)的最高频率为fm (Hz)， 试计算对各信号f(2t)， f(t)*f(2t)， f(t)f(2t)抽样不混叠的最小抽样频率。 解： 根据信号时域与频域的对应关系及抽样定理得：
抽样定理
抽样定理定义:在一个频带限制在（0，f h）内的时间连续信号f（t），如果以1/2 f h的时间间隔对它进行抽样，那么根据这些抽样值就能完全恢复原信号。
或者说，如果一个连续信号f（t）的频谱中最高频率不超过f h，当抽样频率f S≥2 f h时，抽样后的信号就包含原连续的全部信息。
抽样定理在实际应用中应注意在抽样前后模拟信号进行滤波，把高于二分之一抽样频率的频率滤掉。
这是抽样中必不可少的步骤。
07年的抽样定理：设时间连续信号f（t），其最高截止频率为f m ，如果用时间间隔为T<=1/2f m的开关信号对f（t）进行抽样时，则f（t）就可被样值信号唯一地表示。
什么是A/D转换和D/A转换？什么是A/D转换和D/A转换？一。
什么是a/d.d/a转换：随着数字技术，特别是信息技术的飞速发展与普及，在现代控制。
通信及检测等领域，为了提高系统的性能指标，对信号的处理广泛采用了数字计算机技术。
由于系统的实际对象往往都是一些模拟量(如温度。
压力。
位移。
图像等),要使计算机或数字仪表能识别。
处理这些信号，必须首先将这些模拟信号转换成数字信号；而经计算机分析。
处理后输出的数字量也往往需要将其转换为相应模拟信号才能为执行机构所接受。
这样，就需要一种能在模拟信号与数字信号之间起桥梁作用的电路-模数和数模转换器。
将模拟信号转换成数字信号的电路，称为模数转换器(简称a/d转换器或adc,analog to digital converter)；将数字信号转换为模拟信号的电路称为数模转换器(简称d/a转换器或dac,digital to analog converter)；a/d转换器和d/a转换器已成为信息系统中不可缺俚慕涌诘缏贰？br>为确保系统处理结果的精确度，a/d转换器和d/a转换器必须具有足够的转换精度；如果要实现快速变化信号的实时控制与检测，a/d与d/a转换器还要求具有较高的转换速度。
转换精度与转换速度是衡量a/d与d/a转换器的重要技术指标。
抽样定理的理论证明与实际应用分析
信号与线性系统分析综合练习题目：抽样定理的理论证明与实际应用一、抽样和抽样定理数字信号处理技术的优势和快速发展使得数字设备和数字媒体广泛应用，如手机、MP3、CD 和DVD 等。
抽样定理是通信理论中的一个重要定理，是模拟信号数字化的理论依据，包括时域抽样定理和频域抽样定理两部分，又称取样定理、采样定理，是由奈奎斯特(Nyquist)和香农(Shannon)分别于1928年和1949年提出的，故又称为奈奎斯特抽样定理或香农抽样定理。
“抽样”就是利用周期抽样脉冲p(t)从连续信号f(t)中抽取离散样值的过程，得到的离散信号为抽样信号，也称为抽样信号，以ƒs (t )表示。
抽样过程的数学模型就是连续信号与抽样脉冲序列相乘。
抽样过程所应遵循的规律，称抽样定理。
抽样定理说明抽样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。
在进行模A/D 转换过程中，当抽样频率f s.max 大于信号中最高频率f max 的2倍时(f s.max >2f max )，抽样之后的数字信号完整地保留了原始信号中的信息，一般实际应用中保证抽样频率为信号最高频率的5～10倍。
抽样定理描述了在一定条件下，一个连续的信号完全可以用该信号在等时间间隔上的瞬时样本值表示，这些样本值包含了该连续时间信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原来的连续信号。
也就是说，抽样定理将连续信号与离散信号之间紧密的联系起来，为连续信号与离散信号的相互转换提供了依据。
通过观察抽样信号的频谱，发现它只是原信号频谱的线性重复搬移，只要给它乘以一个门函数，就可以在频域恢复原信号的频谱，然后再利用频域时域的对称关系，就能在时域上恢复原信号。
二、时域抽样定理的理论证明时域抽样定理的完整描述是这样：一个频谱在区间（-ωm ，ωm ）以外为零的频带有限信号ƒ(t),可唯一地由其在均匀间隔T s （T s<1/2ƒm ）上的样点值ƒs (t )=ƒ（nT s ）确定。
《频域抽样定理》课件
频域抽样定理是信号处理中的重要概念，用于描述信号在频域和时域之间的 相互转换关系。
频域抽样定理的公式及原理解 析
频域抽样定理通过公式和原理解析来说明在频域中如何对信号进行采样，以 便在时域中进行准确重构。
频域抽样定理的应用领域
音频信号处理
频域抽样定理广泛应用于音频信号的压缩、 编码和解码等处理过程。
3
更广阔的应用领域
随着技术的不断推进，频域抽样定理将在更多领域中发挥作用，如虚拟现实、人 机交互等。
结论及展望
频域抽样定理作为信号处理的重要基础理论，为实现高效、精确的信号处理和数据分析提供了强有力的 支持。 未来，我们可以期待频域抽样定理在更多领域的应用和发展，助力科技和人类社会的进步。
பைடு நூலகம்
频域抽样定理在处理非平稳信号和信噪比 低的情况下可能存在一定的误差和限制。
频域抽样定理的实际案例分析
无线通信
频域抽样定理在无线通信中的信号调制和解调 过程中起到了至关重要的作用。
医学成像
利用频域抽样定理，可以实现医学图像的采集、 处理和诊断，促进医学成像技术的进步。
音频压缩
频域抽样定理被广泛应用于音频压缩算法中， 实现了音频数据的高效传输和存储。
通信系统
频域抽样定理在调制解调、通信信道的分析 和设计等各个方面都起到了重要的作用。
图像处理
通过频域抽样，可以对图像进行压缩、增强 和恢复，为图像处理提供强大的工具。
信号分析与识别
利用频域抽样进行信号分析和识别，可以提 取信号特征并实现模式识别。
频域抽样定理的优势和局限性
1 优势
2 局限性
频域抽样定理可以实现高效的信号处理和 数据压缩，提高系统的性能和效率。
信号抽样与抽样定理
（1）信号在时域周期化，周期为 T ，则频谱离散化，
抽样间隔为 ω0＝2π/T。 （2）信号在时域抽样，抽样间隔为 TS ，则频谱周期化，
重复周期为 ωS＝2π/TS 。
四、频域抽样与频域抽样定理
矩形单脉冲信号的频谱 F ( ) E Sa 0
2
m0 Sa 2 m
( ns m0 )
四、频域抽样与频域抽样定理
f 0 t
E
F0 ( )
E
2
0
a
E
2
t
2
0
2
f1 t
b
F1
E 0
T 0
2
T
c
E
2
t
2
0
2
d
f s t
E 0 Ts
T
Fs
二、时域抽样定理
时域抽样定理：一个频谱受限的信号 f (t) ，如果频谱只占据 , m m
的范围，则信号 f (t)可以用等间隔的抽样值
样间隔 Ts 不大于 2f
1
m
f (nTs ) 唯一地表示，只要抽
，其中 f m为信号的最高频率，
或者说，抽样频率 f s 满足条件
通常把满足抽样定理要求的最低抽样频率 f s 2 f m 称为奈奎斯特频率， 1 1 把最大允许的抽样间隔 Ts 称为奈奎斯特间隔 。 fs 2 fm
如何从抽样信号中恢复原连续信号，以及在什么条件下才可以无失
真地由抽样信号恢复原连续信号。著名的抽样定理对此作了明确而精 辟的回答。
抽样定理在通信系统、信息传输理论、数字信号处理等方面占有十 分重要的地位，该定理在连续时间信号与系统和离散时间信号与系统、 数字信号与系统之间架起了一座桥梁。该定理从理论上回答了为什么 可以用数字信号处理手段解决连续时间信号与系统问题。
采样定理简介
关于采样定理的介绍一、采样定理简介采样定理，又称香农采样定律、奈奎斯特采样定律，是信息论，特别是通讯与信号处理学科中的一个重要基本结论.E. T. Whittaker（1915年发表的统计理论），克劳德·香农与Harry Nyquist都对它作出了重要贡献。
另外，V. A. Kotelnikov 也对这个定理做了重要贡献。
采样是将一个信号（即时间或空间上的连续函数）转换成一个数值序列（即时间或空间上的离散函数）。
采样得到的离散信号经保持器后，得到的是阶梯信号，即具有零阶保持器的特性。
如果信号是带限的，并且采样频率高于信号最高频率的一倍，那么，原来的连续信号可以从采样样本中完全重建出来。
带限信号变换的快慢受到它的最高频率分量的限制，也就是说它的离散时刻采样表现信号细节的能力是非常有限的。
采样定理是指，如果信号带宽小于奈奎斯特频率（即采样频率的二分之一），那么此时这些离散的采样点能够完全表示原信号。
高于或处于奈奎斯特频率的频率分量会导致混叠现象。
大多数应用都要求避免混叠，混叠问题的严重程度与这些混叠频率分量的相对强度有关。
采样过程所应遵循的规律，又称取样定理、抽样定理。
采样定理说明采样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。
采样定理是1928年由美国电信工程师H.奈奎斯特首先提出来的，因此称为奈奎斯特采样定理。
1933年由苏联工程师科捷利尼科夫首次用公式严格地表述这一定理，因此在苏联文献中称为科捷利尼科夫采样定理。
1948年信息论的创始人C.E.香农对这一定理加以明确地说明并正式作为定理引用，因此在许多文献中又称为香农采样定理。
采样定理有许多表述形式，但最基本的表述方式是时域采样定理和频域采样定理。
采样定理在数字式遥测系统、时分制遥测系统、信息处理、数字通信和采样控制理论等领域得到广泛的应用。
时域采样定理频带为F的连续信号f(t)可用一系列离散的采样值f(t1),f(t1±Δt)，f(t1±2Δt)，...来表示,只要这些采样点的时间间隔Δt≤1/2F，便可根据各采样值完全恢复原来的信号f(t)。
抽样定理
y com b g x, y Y
n m
g nX , m Y x nX , y m Y
4 Bx By sinc 2 Bx x sinc 2By y
f f h x, y F rect x rect y 2B 2 Bx y
这里提供一种逆向的思维，我们可以从与输入函数对 应的输出函数的频谱中制造出一个具有相同输出频谱 的输入限带函数，这并不困难，进一步再对这样一个 函数进行抽样就一定能够得到需要的等效输入。
21
抽样定理例题（ 1.8 ）解
1 9 0 6
设系统的传递函数为 H f x , f y ，因为它在频率域的区间
fy rect 2 B y
fy rect 2 B y fy fx H f x , f y rect f x A0 f x , f y rect rect 2B 2B y 2Bx x fx A0 f x , f y H f x , f y rect 2B x
抽样定理例题（ 1.8 ）解法一
1 9 0 6
本题给出了一个传递函数为限带函数 需要证明两个不同的输入 U 0 和 x, y 的输出 ，即要证明 x, y U i和 U i x, y
x, y U i x, y U 0
Hfx , f y
的系统， 具有相等 x, y U0
1
A f
0
x
, f y
1
fy fx F A0 f x , f y * F rect 2B rect 2 B x y U 0 x, y * 4 B x B y sinc2 B x x sinc2 B y y
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1 N
sin
N
2
N
k
sin
2
N
k
j k ( N 1) j N 1
eN e 2
N
内插函数：
( )
1
sin
N
2
e
j
N 1 2
N
sin
2
第六节 频域抽样定理
1、频域抽样定理要研究的问题
M点
xM (n)
序列傅立叶变换
X (e j )
=？
单位圆上取N点 （频域采样）
离散傅立叶反变换
xN (n)
X (k )
N点
2、由频域抽样恢复序列
一个绝对可和的非周期序列x(n)的Z变换为
X ( Z )
x(n)Z n
n
由于x(n)绝对可和,故其傅氏变换存在且连续,也
k 0 m
m
x(m)[ 1 N
N 1
W (mn N
)
k
]
k 0
x(n rN )
r
1
N
N 1
W (mn)k N
k 0
1 0
m n rN 其它m
r为任意整数
可见，由 X~ (k)得到的周期序列 x~N (n)是非
周期序列x(n)的周期延拓。其周期为频域抽样点 数N。
所以：时域抽样造成频域周期延拓 同样，频域抽样造成时域周期延拓
即其Z变换收敛域包括单位圆。这样,对X(Z)在单位
圆上N等份抽样,就得到 X~ (k )
X~ (k)
X(Z)
z
W
N
k
x(n)W
nk N
n
对 X~ (k )进行反变换,并令其为 x~N (n),则
xN (n)
IDFS[ X (k)]
1 N
N 1
X (k )WNnk
k 0
1 N
N 1
[ x(m)WNmk ]WNnk
3、用频域采样 X (k)表示 X (z) 的内插公式
M点有限长序列x(n)，频域N点等间隔抽样，且 NM
M 1
N 1
X (z) x(n)zn x(n)zn
n0
n0
N 1 1 n0 N
N 1 k 0
X
(k
)WN
nk
z
n
1 N
N 1 k 0
X
(
k
)
N 1
WN
n0
nk
z
n
x(n)为无限长序列—混叠失真 x(n)为有限长序列，长度为M
1) N≥M ，不失真 2) N<M， 混叠失真
频率采样定理
若序列长度为M，则只有当频域采样点数:
时，才有
NM
xN (n)RN (n) IDFS[ X (k)]RN (n) x(n)
即可由频域采样X(k)不失真地恢复原信号x(n) ，否则产生时域混叠现象。
k 0
零点：z
e
j
2 N
r，r
0,1,...,
N
1
极点：z
e
j 2 N
k，
0
(N -1)阶
4、用频域采样 X (k) 表示 X (e j ) 的内插公式
N 1
X (e j ) X (z) ze j X (k )k (e j )
k 0
k (e j ) k (z)
( k 2 )
ze jΒιβλιοθήκη 1 NN 1 k 0
X
(k
)
1 WN Nk 1 WNk
zN z 1
1 zN N
N 1 X (k ) k0 1 WNk z1
内插公式：X (z)
1 zN N
N 1 X (k ) k0 1 WNk z1
内插函数：k (z)
1 N
1
1
zN WNk z
1
则内插公式简化为：
N 1
X (z) X (k)k (z)