两角和差公式(公开课)
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两角和与差的正切公式 课件
＝－ 3.
● 3．六个和与差三角函数公式之间的逻辑关系
题型一 两角和与差的正切公式的应用 例1 已知 tan(α＋β)＝5，tan(α－β)＝3，求 tan 2α，
tan 2β，tan(2α＋π4)． 【解】 tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]
＝1t－antaαn＋αβ＋＋βttaannαα－－ββ
● 【名师点评】 对于这类问题，以下两个步骤缺一不可： ● (1)根据题设条件求角的某一三角函数值； ● (2)讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范围，从而确定角的大小．
题型二 两角和与差的正切公式活用 例2 求下列各式的值
(1)1t＋ant7a5n°7－5°ttaann1155°°； (2)1＋3－3ttaann1155°°； (3)tan 20°＋tan 40°＋ 3tan 20°·tan 40°. 【解】 (1)原式＝tan(75°－15°)＝tan 60°＝ 3. (2)原式＝1t＋ant6a0n°6－0°ttaann1155°°＝tan(60°－15°)＝tan 45°＝1.
● 【名师点评】 (1)解答此类题型一般要用诱导公式把角化正、化小、化切为弦(统一函数 名称)，然后根据角的关系和式子的结构选择公式．
● (2)公式的变形运用：
● 只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，就要有灵活应用公式T(α±β)的意识，从而不难获 得解题思路．
题型三 给值求角 例3 已知 tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且 α，β∈(0，π)，
● 做一做
tan 70°＋tan 50°－ 3tan 70°tan 50°等于( )
A. 3
B.
3 3
C．－
3 3
《两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第一课时)》示范公开课教学PPT课件
目标检测
1
已知
sin θ
15 17
，θ是第二象限角，求
cos
θ
π 3
的值．
答案：15 3 8 ． 34
2 已知 π α π β 3π ，且 sin α 2 ，cos β 3 ，
2
2
3
4
求cos(α β) 的值．
答案：3 5 2 7 ． 12
敬请各位老师提出宝贵意见 ！
新知探究
问题5 结合例1可见，两角差的余弦公式中，含有两个任 意角，这与我们之前学习的诱导公式（含有一个任意角和 一个特殊角）相比，具有更高的自由度．由此你能解读诱 导公式与公式之间的关系吗？试一试． 差角余弦公式适用于关于两个任意角的差角的余弦值的恒等变换问题， 第二，功能不同，诱导公式可以实现改变函数名称， 将求任意角的三角函值转化为求锐角三角函数值的问题等功能， 这些功能是 C(αβ) 不具备的．
1 2 3 2 2 6；
22 2 2
4
新知探究
例2 借助公式 C(αβ) ，解答以下题目：
（1）计算cos 15°的值；
（2）已知
sin α
4 5
，α
π ，π 2
，cos
β
5 13
，β是第三象限角，
求 cos(α β) 的值．
解：
（2）因为
α
π 2
，π
，故
cos
α
1 sin2 α 3 ， 5
＝PA．
新知探究
追问2 你能证明这个等量关系吗？
可以借助圆的旋转对称性证明 A1P1＝AP ，进而得到A1P1＝AP；
可以借助圆的旋转对称性证明三角形OAP与三角形OA1P1全等， 进而得到AP＝A1P1； 或者直接利用圆的旋转对称性证明线段A1P1端点
高中数学两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件
Thanks.
小结：
1.掌握C ( ) , C( ) 公式的推导,小心
它们的差别与联系;
2.注意角的拆分与组合,如:
( ) , 2 ( ) ,
2 ( ) ( ),
2 ( ) ( ),
( − ) = − .
公式五
( − ) = ，
( − ) = .
公式六
( + ) = ，
2
( + ) = − .
2
3.两点间的距离公式
平面上任取两点A(x 1 , y1 ), B(x 2 , y 2 )
2
2
sin cos cos sin
两角差的正弦公式
两角和的正弦公式：sin( ) sin cos cos sin
两角差的正弦公式：sin( ) sin cos cos sin
法一：
sin( )
sin[ ( )]
A(x 1 , y 1 )
y
| y1 y 2 |
B(x 2 , y 2 )
| x1 x 2 |
0
x
2
2
AB (x1 x2 ) (y 1 y 2 )
02
两角和与差的余弦公式
终边
两角差的余弦公式
y
P1 (cos , sin )
终边
A1 (cos , sin )源自,
2
2
2
3.注意整体代换思想的应用.
2
;
1
④ cos
两角和与差的正弦课件
03
CHAPTER
两角和与差的正弦公式的扩 展
半角公式
半角公式
sin(A/2) = ±√[(1-cosA)/2]
应用
在解三角形问题中，利用半角公式可以求得角度的半角值，进而求得角度的精确值。
积化和差与和差化积公式
积化和差公式
sinAcosB = 1/2[sin(A+B) + sin(A-B)]
05
CHAPTER
两角和与差的正弦公式的注 意事项
公式使用的条件
01
02
03
公式适用范围
两角和与差的正弦公式适 用于角度在$0$到$pi$之 间的情况，超出此范围需 要特别处理。
角度单位统一
在使用公式时，需要确保 角度的单位统一，一般以 弧度为单位。
特殊角的处理
对于一些特殊角，如 $frac{pi}{2}$，需要特别 注意公式的应用，避免出 现错误的结果。
在三角函数图象和性质中的应用
两角和与差的正弦公式在研究三角函数的图象和性质时也 具有重要意义。通过运用正弦公式，可以推导出一些三角 函数的性质，如周期性、奇偶性等。
在绘制三角函数的图象时，可以利用正弦公式计算出不同 角度下的正弦值，从而绘制出完整的正弦函数图象。此外 ，在研究三角函数的对称性和周期性时，也需要用到两角 和与差的正弦公式。
公式推导过程
总结词
详细描述了如何推导两角和与差的正弦公式。
详细描述
首先，利用三角函数的加法公式，将sin(α+β)表示为sinαcosβ + cosαsinβ。然后， 利用三角函数的减法公式，将sin(α-β)表示为sinαcosβ - cosαsinβ。通过这两个公 式，可以方便地计算出任意两个角度的和与差的正弦值。
两角和与差的三角函数课件
[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)
3．(2012·赣州模拟)已知sin α＋π6＋cos α＝45 3，则sin α＋π3
的值为
()
A.45
B.35
C.
3 2
D.
3 5
解析：由条件得 23sin α＋32cos α＝45 3，
即12sin α＋ 23cos α＝45. ∴sin α＋π3＝45.
[自主解答] (1)∵tan π4＋α＝2，
∴1t－antπ4a＋nπ4ttaannαα＝2，∴11＋ －ttaann αα＝2.
2 ∴tan α＝13，∴tan 2α＝1－2tatannα2α＝1－3 19＝34.
sinα＋β－2sin αcos β (2)2sin αsin β＋cosα＋β
[冲关锦囊] (1)运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准
确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝ tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种 变形等． (2)应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的， 但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和 变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维 转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后， 才能真正掌握公式的应用.
2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、 变式”；变角为：对角的分拆要尽可能化成同名、同 角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对 式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数 等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角 度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差 异，再选择适当的三角公式恒等变形．
∵0<x<π2，∴－π3<2x－π3<23π.
两角和与差的三角函数说课稿PPT公开课一等奖课件省赛课获奖课件
例4、若、 （0， ），co（s ） 3 ，
2
22
sin（ ） 1 ，求cos( )的值。
2
2
小结
设co（s ） 4，co（s ） 12， （ ，）
5
13
2
（3 ，2），求cos2，cos2。 题设条件
2
若co（s x） 3，7 x 7 ,
中普通不 会直接给
4
5 12
4 出某个单
求 sin 2x 2sin2 x 的值. 1 tan x
角的三角 函数值。
1、化简优先原则 2、抓住条件和结论中角的联系，已知角的 整体性（特殊状况特殊解决）
例、已知α，β均为锐角且 cos（α+β）=sin（α-β），求tanα。
练习：
（1）已知0＜x＜ 4，sin（
求
cos 2x
co（ s 4
x）的值。
4
-x）=
5 13
，
（2）若sin（ ） 1 ，sin（ ） 1，
2
3
求 tan tan
3、给值求角问题
例4、已知tan（α-β）=1/2，tanβ=-1/7，且α， β∈（0， π ） ，求2α-β的值。
小结：给角求值问题本质上是给值求值问题， 核心是要先探索所求角的范畴，拟定计算所 求角的哪一种三角函数值。
2x 2x
特例：
tan x
3
sin
x
3 cos cos x
x
2
sin（x cos
x
3
）
（2）1 cos x
2
|
cos
x 2
|
1 cos x
2
|
sin
两角和与差的正切公式公开课课件高教版
tan[ ( )] tan tan( ) = tan - tan 1 tan tan( ) 1+ tantan
tan(
-
)=
tan - tan 1+ tantan
记T( - )
注意：1、必须在定义域范围内使用上述公式。
即：tan，tan，tan(±)只要有一个不存在
就不能使用这个公式。
2、注意公式的结构，尤其是符号。
（2）、tan105°
tan 5 tan
（4）、 1
12 tan
5
6
tan
12
6
（6）、1 tan75 1 tan75
（8）、 3 tan 750 1 3tan750
例题讲解
例2.已知sin a 3 ,是第四象限的角，求 tan( )的值。
5
4
课堂练习
1.已知tan
=
3 4
，求tan
tan(α+β)= tanα+ tanβ 1- tanαtanβ
tan(α-β)= tanα- tanβ 1+ tanαtanβ
2 、利用公式可以求非特殊角的三角函数值,化简三角 函数式和证明三角恒等式,灵活使用使用公式.
作业布置
1 、必做：学案21-23页 2、选做：学式的值
（1）tan75°
tan17 tan43
（2）
1 tan17tan43
课堂练习
求下列代数式的值 （1）、tan15°
（3）、tan12 tan 33 1- tan12tan33
（5）、1 tan15 1 tan15
（7）、 3 tan150 1 3tan150
1
2.已知 tan3,ta n ()3；求 tan
两角和与差正弦余弦公式课件
于信号的合成、滤波等操作。
在数学竞赛中的应用
代数问题
在数学竞赛中，两角和与差的正弦、 余弦公式常与其他数学知识结合，用 于解决代数问题，例如求值、证明等 。
几何问题
在几何学中，两角和与差的正弦、余 弦公式常用于证明几何定理或解决几 何问题，例如角度计算、面积计算等 。
03
两角和与差正弦余弦公式的 扩展
案例三：数学竞赛中的应用
总结词
用于解决数学竞赛中的三角函数问题
详细描述
在数学竞赛中，两角和与差正弦余弦公式是解决三角函数问题的关键工具。通过这些公 式，可以快速求解复杂的三角函数表达式，解决诸如求三角函数的最值、判断三角函数 的单调性等问题。同时，这些公式也是数学竞赛中考察学生数学思维和解题能力的重要
两角和与差正弦余弦公式ppt课件
$number {01}
目录
• 两角和与差正弦余弦公式的基本 概念
• 两角和与差正弦余弦公式的应用 • 两角和与差正弦余弦公式的扩展 • 两角和与差正弦余弦公式的变种 • 两角和与差正弦余弦公式的实际
应用案例
01
两角和与差正弦余弦公式的 基本概念
定义
1 3
定义
两角和与差正弦余弦公式是三角函数中重要的公式之一，用 于计算两个角度的和或差的三角函数值。
利用扩展公式解决一些实 际问题，如测量、物理、 工程等领域的问题。
简化计算
扩展公式可以简化一些复 杂的三角函数计算，提高 计算的效率和准确性。
推广到其他领域
扩展公式可以推广到其他 领域，如复数、矩阵等领 域，促进数学和其他学科 的交叉融合。
扩展公式的证明
证明方法
利用三角函数的性质、三角恒等变换和代数运算等工具，证明扩展公式的正确 性。
在数学竞赛中的应用
代数问题
在数学竞赛中，两角和与差的正弦、 余弦公式常与其他数学知识结合，用 于解决代数问题，例如求值、证明等 。
几何问题
在几何学中，两角和与差的正弦、余 弦公式常用于证明几何定理或解决几 何问题，例如角度计算、面积计算等 。
03
两角和与差正弦余弦公式的 扩展
案例三：数学竞赛中的应用
总结词
用于解决数学竞赛中的三角函数问题
详细描述
在数学竞赛中，两角和与差正弦余弦公式是解决三角函数问题的关键工具。通过这些公 式，可以快速求解复杂的三角函数表达式，解决诸如求三角函数的最值、判断三角函数 的单调性等问题。同时，这些公式也是数学竞赛中考察学生数学思维和解题能力的重要
两角和与差正弦余弦公式ppt课件
$number {01}
目录
• 两角和与差正弦余弦公式的基本 概念
• 两角和与差正弦余弦公式的应用 • 两角和与差正弦余弦公式的扩展 • 两角和与差正弦余弦公式的变种 • 两角和与差正弦余弦公式的实际
应用案例
01
两角和与差正弦余弦公式的 基本概念
定义
1 3
定义
两角和与差正弦余弦公式是三角函数中重要的公式之一，用 于计算两个角度的和或差的三角函数值。
利用扩展公式解决一些实 际问题，如测量、物理、 工程等领域的问题。
简化计算
扩展公式可以简化一些复 杂的三角函数计算，提高 计算的效率和准确性。
推广到其他领域
扩展公式可以推广到其他 领域，如复数、矩阵等领 域，促进数学和其他学科 的交叉融合。
扩展公式的证明
证明方法
利用三角函数的性质、三角恒等变换和代数运算等工具，证明扩展公式的正确 性。
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借助它们即可求出150的正弦.
sin150 =sin（450- 300）
0cos30 0 - cos450sin300 你会求 sin75 °的值了吗？ =sin45
=
=
16:41:11
×
-
×
应用
4 例2，已知sinα＝ ,α∈( 90,180),cosβ= - 5 , β 5 13 是第三象限角，求cos(α-β)的值。 分析:由Cα-β和本题的条件，要计算cos(α-β),还应求什么？ 小结：要求cos(α-β)应先求出α,β的正余弦， 4 解:由sinα＝ 5 , α∈( 90 ,180),得
现在，我们猜想，对任意角α
，β 有：
16:41:11
sin（α+β）=CF
sinα=AB；cosα=OB； sinβ=CD；cosβ=OD
C
D 0 F A
B
所以
16:41:11
16:41:11
接下来我们该如何把握公式的特点来很好的记住 sinαsinβ+cosαsinβ
cosαcosβ-sinαsinβ
33 3 5 4 12 65 5 13 5 13
应用
公式的逆用
1 0 0 0 0 2 练习： 1. cos175 cos55 sin 175 sin 55
Sin(2x+210)cos(2x-240)-cos(2x+210)sin(2x-240) =
1
sin(120° cos120° cos60° sin120° sin60° + 60°) 0
16:41:11
1 2
3 2
3 2
1 2
1 2
1 2
3 2
3 2
从表中,可以发现:
sin(60° + 30°)=sin60°cos30°+cos 60°sin30° sin(120° + 60°) =sin120°cos60°+cos 120°sin60°
3 4 cos 1 sin 2 1 5 5
2 2
所以cos(α-β)＝ cosβcosα+sinβsinα
16:41:11
12 5 sin 1 cos2 1 13 13
5 又由cosβ= 13 ，β是第三象限的角，得
主讲人：陈会勤
16:41:11
本节课的主要任务是：
1.理解公式的是怎么来的 2.熟悉公式并记住
16:41:11
一、 新课引入
问题1:
sin75°＝？ ° = ？ Sin(45° + 45°sin15 )=sin 45° +sin 45°
sin15°＝sin（ 45° -30°） ＝sin45°－ sin30°？
2 2
16:41:11
• 作业：P课本127.131的练习
16:41:11
16:41:11
sin75°＝sin（45°+ 30°）
问题2:
＝ sin45°+ sin30° ?
sin(α+β) =
16:41:11
?
思考2：我们知道sin(α +β )的值与α ，β 的 三角函数值有一定关系，观察下表中的数据， 你有什么发现？
sin(60°+ cos30° sin60° sin30° cos60 ° 30°)
1.公式的展开式函数名的分布有什么特点，可以想什么方法来记忆
2，公式展开式中的加，减号与角的和差有什么规律 sinαcosβ+cosrsinβ Sin(2x+30)cos30-cos(2x+30)sin30
3.角的分布有什么规律
16:41:11
〖公式应用〗
引例:求sin15°的值.
分析：将150可以看成450-300而450和300均为特殊角，