高等工程数学试题
高等工程数学练习题
一. 判断正误（ ）1.若线性空间s V V V V ⊕⊕⊕= 21，又T 是V 的一个线性变换，且s V V V ,,,21 都是T的不变子空间，则存在V 的一组基，T 在此基下的矩阵是分块对角形的，且每个子块的阶恰好分别等于子空间s V V V ,,,21 的维数。
（ ）3.设n m ij n m ij y Y x X ⨯⨯==)(,)(是任意实矩阵，定义∑∑===mi nj ij ijy xY X 11),(，则),(Y X 是nm R⨯上的一个内积。
（ ）4.设(),()ij n n ij n n X x Y y ⨯⨯==是任意实矩阵，定义11(,)()===+∑∑nnij ij i j X Y i j x y ，则),(Y X 是n n R ⨯上的一个内积。
（ ）5. 设B A ,都是n 阶方阵，则有22sin(2)cos sin A A A =-。
（ ）6. 设B A ,都是n 阶方阵，则有cos()cos cos sin sin A B A B A B +=-。
二. 填空1. 设n 阶矩阵)(z A 可逆，且)(z A 及其逆矩阵)(1z A -都可导，则)(1=-z Adzd 。
2. 设n 阶矩阵()A u 可导，且()u f t =关于t 可导，则(())d A f t dt= 。
3.设∑∞==)(m mmZCZ f 的收敛半径是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=<000011,,λλλλJ R R ，则∑∞=0m mm J C 收敛到=)(0J f4.矩阵幂级数2112101kk k ∞=-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦∑的和函数为____________________.。
5.矩阵幂级数10.10.80.60.3kk ∞=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑ ____________________.。
6.若n 阶矩阵A 的任一行中n 个元素的和都是a ，则a =λ是A 的一个特征值，A 的对应于a 的一个特征向量是 。
高等工程数学题
1高等工程数学题一、非空集合V 为数域P 上的线性空间，α∈V ，λ∈P ，θ为零元素，证明性质：1、0·α=θ 2、λ·θ=θ 3、（-1）α=-α 证明：1、∵α+0·α=（1+0）·α=α，由线性空间运算规则第3条规则 ∴0·α=θ 2、∵当λ≠0时，α+λ·θ=λ·（1/λ·α）+λ·θ=λ·(1/λ·α+θ) /由线性空间运算规则第3条规则λ·(1/λ·α+θ)= λ·(1/λ·α)= α /当λ=0时，α+λ·θ=α+0=α/由线性空间运算规则第3条规则 ∴λ·θ=θ3、∵α+（-1）α=（1+（-1））α=0·α=θ 由线性空间运算规则第4条规则 ∴（-1）α=-α二、在R 4中，有两组基：（1）α1=（1,0,0,0）；α2=（0,1,0,0）；α3=（0,0,1,0）；α4=（0,0,0,1）. （2）β1=（2,1,-1,1）；β2=（0,3,1,0）；β3=（5,3,2,1）；β4=（6,6,1,3）.求：1）从第（1）组到第（2）组基的过渡矩阵；2）向量χ=（ξ1，ξ2，ξ3，ξ4）对第（2）组基的坐标；3）对两组基有相同坐标的非零向量。
解：1）根据题意可得：β1=2α1+α2-α3+α4；β2=3α2+α3；β3=5α1+3α2+2α3+α4；β4=6α1+6α2+α3+3α 4由上式及（α1，α2，α3，α4）·A=（β1，β2，β3，β4）可得过渡矩阵A 为：A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-3111211633165022) 设χ´为χ对第(2)基的坐标,则χ´=A -1·χ,下面通过坐标变换求A -1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-10003101010012110010633100016502=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-10003101010012110001650200106331=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------10103230011075400021616000106331=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----10103230110043102001030000106331=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--43109700200103001100431010003101=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----3/26313/79003/2003/10100310140103/5003/13001=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------27/263/19/127/710003/2003/1010027/233/19/427/100109/1113/19/40001=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------27/263/19/127/710003/2003/1010027/233/19/427/100109/1113/19/40001 ∴A -1=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------27/263/19/127/73/2003/127/233/19/427/19/1113/19/4 ∴向量χ对第（2）组基的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++--=-=--+=--+=432144134321243211*27/263/1*9/1*27/7'*3/2*3/1'*27/23*3/1*9/4*27/1'*9/11*3/1*9/4'ξξξξξξξξξξξξξξξξξξ3)根据题意令χ´=χ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++--=-=--+=--+=432144134321243211*27/263/1*9/1*27/7*3/2*3/1*27/23*3/1*9/4*27/1*9/11*3/1*9/4ξξξξξξξξξξξξξξξξξξ 解方程组得ξ1=ξ2=ξ3=-ξ4,根据题意,存在任意非零向量(c,c,c,-c)(c ≠0)对两组基有相同坐标.三、设向量组1）α1=（1,0,2,1）；α2=（2,0,1,-1）；α3=（3,0,3,0），2）β1=（1,1,0,1）；β2=（4,1,3,1）. 若V 1=L(α1,α2,α3),V 2=L(β1,β2),求V 1+ V 2的维数及一组基。
高等数学试题及答案大全
高等数学试题及答案大全一、选择题1. 下列函数中，不是周期函数的是（）。
A. y = sin(x)B. y = cos(x)C. y = e^xD. y = tan(x)2. 函数f(x) = x^2 + 3x - 2在区间[-5, 2]上的最大值是（）。
A. 0B. 3C. 4D. 5二、填空题1. 若函数f(x) = 2x - 3在x = 1处的导数为5，则原函数在x = 1处的值为______。
2. 曲线y = x^3 - 2x^2 + x在x = 2处的切线斜率为______。
三、解答题1. 求函数f(x) = ln(x) + 1的导数，并说明其在x = e处的导数值。
2. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求其极值点。
四、证明题1. 证明函数f(x) = x^3在R上的单调性。
2. 证明等差数列的前n项和公式S_n = n(a_1 + a_n)/2。
五、应用题1. 某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x) = 3x + 200，销售价格为P(x) = 50 - 0.05x，其中x表示产品数量。
求该工厂的盈利函数，并求出其盈利最大时的产品数量。
2. 一个圆的半径为r，求其面积与周长的比值。
答案：一、选择题1. C解析：函数y = e^x不是周期函数，其他选项都是周期函数。
2. D解析：函数f(x) = x^2 + 3x - 2的导数为f'(x) = 2x + 3，令其等于0，解得x = -3/2，但x = -3/2不在区间[-5, 2]内。
检查区间端点，f(-5) = -8，f(2) = 5，因此最大值为5。
二、填空题1. -1解析：由f'(x) = 2，且f'(1) = 5，可得f(1) = f'(1) * (1 - 0) + f(0) = 5 + f(0)，又因为f(0) = -3，所以f(1) = 5 - 3 = 2。
2. -4解析：由y' = 3x^2 - 4x + 1，代入x = 2，得y' = 3 * 2^2 - 4 * 2 + 1 = 12 - 8 + 1 = 5。
高等工程数学习题
5
1 2 0 2 -1 1 3 3
AA+b=
0
1
0 2
1
0
1 15
4
-5
-2 10
2
3
=
3
=b
，线性方程组
Ax=b
相容
5 6 6
通解为 x=A+b+(I-A+A)y,y∈Rn
2 0 0 00
0
0
易得 S 与Λ 相合且Λ 正定，所以 S
0
n
正定，又有 S2 =UΛ UHUΛ UH =UΛ Λ UH =UΛ UH =A2
3.因为 B>0 ，所以 B3 >0，令 B3 =QH Q,B3 AH A=QH (QHA AHQ )(HQ-，1) 所以 B3AHA 与
∞
4.令 T>0 ，确定幂级数 S(Z)=
1
k=0 (T2 + 1
Zk 的收敛半径，令 h(Z)=S( Z )，
k
)2
2
k2 +1
讨论的 h(A)绝对收敛性
-1 5 0 1. f() det(I-A)= 0 -2 0 (-1)2(-2),1,2 =1,3 =2
2 19 -1
2. 行列式因子：
D1( )=1
1 -i 0
一．设
A=
i
1
1
，求
A
1、
A
2、
A
、
A
F
0 1 1
m
A 1
= max 1≤j≤n
i=1
aij =1+1+1=3
n
A
= max 1≤i≤m
j=1
(建筑工程管理)高等工程数学试题
（建筑工程管理）高等工程数学试题中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷考试日期：2011年月日时间110分钟注：解答全部写于答题纸上壹、填空题(本题24分，每小题3分)（1）对方程，写出其Newton迭代公式【注意重根】，使得由迭代公式产生的序列能够2阶收敛于方程的唯壹正根；（2）于上，设和等价，则当满足，和时，由（）产生的序列收敛于方程的根；（3）用Doolittle分解法求方程：则：= ，= ，解= ；（4）已知，则：；；。
（5）已知于区间上通过点，则其三次样条插值函数是满足，，；（6）设有线性回归模型，其中且相互独立，写出参数的最小二乘估计。
（7）于多元线性回归建模过程中，需要考虑自变量的选择问题。
写出三种常用的自变量的选取方法。
（8）影响数学模型数值求解结果的误差有：，，。
二、（本题8试求三次Newton三、（本题10分）引入人工变量利用大M法求解下面的线性规划（要求写出计算过程）：四、（本题8分）某厂生产甲、乙、丙三种产品，均分别经A,B俩道工序加工，A工序于设备或上完成，B工序于，，三种设备上完成。
已知产品甲可于A，B任何壹种设备上加工；产品乙可于任何规格的A设备上加工，但完成B工序时，只能于设备上加工；产品丙只能于和设备上加工。
加工单位产品所需要工序时间及其他数据见下表。
（1）建立线性优化模型，安排使该厂获利最大的最优生产计划（不要求计算出结果）；（2）写出所建立的模型的对偶形式。
五、（本题12分）壹种生产降血压药品的生产厂家声称，他们生产的壹种降压药服用壹周后能使血压明显降低的效率能够达到80%，今于高血压的人群中随机抽取了200人服用此药品，壹周后有148人血压有明显降低，试问生产厂家的说法是否真实？六、（本题10分）设有数值求积公式，试确定，使该数值积分公式有尽量高的代数精度，且确定其代数精度为多少。
七、（本题二、四列，解答下列问题：（1）它们的交互作用分别位于哪壹列？（2）若按这种表头作试验且测得产量为83.4,84.0,87.3,84.8,87.3,88.0,92.3,90.4，试寻找较好的生产条件。
中南大学高等工程数学试题
中南大学工程硕士“高等工程数学〞考试试卷〔开卷〕考试日期：2021年 4 月 日 时刻110分钟注：解答全数写在答题纸上一、填空题(此题24分，每题3分)1. 假设函数1()[,]x C a b ϕ∈,且[,]x a b ∀∈有()[,]x a b ϕ∈和1)('<≤L x ϕ, 那么方程()x x ϕ=在[,]a b 上的解存在唯一，对 任意[]b a x ,0∈为初值由迭代公式)(1n n x x ϕ=+产生的序列{}n x 必然收敛于方程()x x ϕ=在[,]a b 上的解*x ，且有误差估量式*x x k-≤L-1ε；2. 成立最优化问题数学模型的三要素是： 确信决策变量 、 成立适当的约束条件 、 成立目标函数 ； 3．求解无约束非线性最优化问题的最速下降法会产生“锯齿现象〞，其缘故是： 最速下降法前后两个搜索方向老是垂直的 ； 4．函数)(x f y =过点(,),0,1,2,,i i x y i n =，[,]i x a b ∈，设函数)(x S 是()f x 的三次样条插值函数，那么)(x S 知足的三个条件〔1〕在每一个子区间[]i i x x ,1-〔i=1，2，…，n 〕上是不高于三次的多项式；〔2〕S 〔x 〕，S ’〔x 〕，S ’’〔x 〕在[]b a ,上持续；〔3〕知足插值条件S 〔x i 〕=y i 〔i=1，2，…，n 〕； 5．随机变量1210~(3,4),(,,,)X N X X X 为样本，X 是样本均值，那么~X N 〔3，〕；6．正交表()p q N L n m ⨯中各字母代表的含义为 L 表示正交表，N 表示实验次数，n 、m 表示因子水平数，p 、q 表示实验最多能够安排因素的个数 ；7．线性方程组Ax b =其系数矩阵知足 A=LU ，且分解唯一 时，可对A 进展LU 解，选主元素的Gauss 消元法是为了幸免 采纳绝对值很小的主元素 致使误差传播大，按列选取主元素时第k 步消元的主元a kk 为)1,2,......,1(1-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑+=n i a y a b y iin i j i ij i i 8．取步长0.01h =，用Euler 法解'3,[0,1](0)1y x yx y ⎧=-∈⎨=⎩()1002,1,009.003.01 =+=+n y x y n n n的公式为 。
大学工程数学试题及答案
大学工程数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪个选项是微分方程的解？A. \( y = e^x \)B. \( y = e^{-x} \)C. \( y = x^2 \)D. \( y = \ln(x) \)答案：A2. 矩阵的行列式值表示了什么？A. 矩阵的面积B. 矩阵的体积C. 矩阵的旋转角度D. 矩阵的缩放因子答案：D3. 以下哪个是线性代数中的基本概念？A. 微分B. 积分C. 向量空间D. 极限答案：C4. 傅里叶变换用于解决什么问题？A. 微分方程B. 积分方程C. 信号处理D. 线性代数答案：C5. 欧拉公式 \( e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) \) 中，\( i \) 代表什么？A. 虚数单位B. 矩阵C. 行列式D. 向量答案：A6. 以下哪一项是拉普拉斯变换的基本性质？A. 线性性质B. 微分性质C. 积分性质D. 反演性质答案：A7. 泰勒级数展开是用于什么目的？A. 近似计算B. 精确计算C. 矩阵计算D. 向量计算答案：A8. 以下哪个函数是周期函数？A. \( y = x^2 \)B. \( y = e^x \)C. \( y = \sin(x) \)D. \( y = \ln(x) \)答案：C9. 以下哪一项是偏微分方程的解？A. \( u(x, y) = x^2 + y^2 \)B. \( u(x, y) = e^{x+y} \)C. \( u(x, y) = \ln(x+y) \)D. \( u(x, y) = \sin(x)\cos(y) \)答案：D10. 以下哪个选项是复数的性质？A. 可加性B. 可乘性C. 可除性D. 所有选项答案：D二、填空题（每题4分，共20分）1. 如果 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)，则 \( f'(x) \) 等于 _______。
答案：\( 3x^2 - 12x + 11 \)2. 矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \) 的行列式 \( \det(A) \) 等于 _______。
南京理工大学工程硕士高等工程数学题
南京理工大学工程硕士学位课程考试高等工程数学试题注意：每位考生只要选做以下两部分试题，答案必须写在答题纸上矩阵分析部分一．（6分）设，其中1,121,312243122-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+-=i X i i i i A 求21,,AX A A ∞值。
解：A ∞=max{|2|+|-1|+|3+4i|,|-2|+|2i|+|-1|,|-i|+|-3|+|i|}=max{8,5,5}=8 1A =max{|2|+|-2|+|-i|,|-1|+|2i|+|-3|,|3+4i|+|-1|+|i|}=max{5,6,7}=734i AX 34i 6+⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭2AX二．（8分） 已知函数矩阵：22222222222223332t tt t t t Att t t t t t t t t tt t e e e e e e e e ee e e e e e e e e e ⎛⎫--- ⎪=--- ⎪ ⎪---⎝⎭， 求矩阵.A 解：∵()AtAte Ae'=又 ()2t t2t t t 2t At 2t t 2t t t 2t 2t t 2t tt 2t 4e e 2e e e 2e e 2e e 4e e 2e 4e 6e 3e 2e e 3e 4e ⎛⎫--- ⎪'=--- ⎪ ⎪---⎝⎭∴ A=AE=Ae 0=Ae At |t=0=(e At )’|t=0=311132311-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭三．（10分）设向量)5,1,2,3(),4,1,1,2(),1,0,1,1(321---=-=-=ααα与)3,1,1,2(),1,1,0,1(21-==ββ，令),,,(3211αααL V =),(212ββL V =，（1）求21V V +的一组基和维数； （2）求维数)dim(21V V 。
解：(1) 对下列矩阵施行如下初等行变换()TT TT T 12312A =αααββ1231212312112010111101111011111451302201--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪=→⎪ ⎪-- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭1231212312011110111100000000210002100000--⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭∴ r(A)=3 ∴ r(α1,α2,α3,β1,β2)=3 ∴ dim(V 1+V 2)=3可选{α1,α2,β1}为V 1+V 2的一组基(2) ∵ dimV 1=r{α1,α2,α3}=2 dimV2=r{β1,β2}=2∴ dim(V 1∩V 2)=dimV 1+dimV 2-dim(V 1+V 2)=2+2-3=1四．（10分）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=411301621A ，1． 求A 的Jordan 标准形J 及最小多项式)(λm ；2． 求解初值问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==114)0(X AX dt dX解： 1.12613E A 131********λ+-λ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪λ-=λ-→λ+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪λ-λ-⎝⎭⎝⎭210010012330(1)(2)3(1)111011⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→λ+-λ-λλ-→λ-λ+λ- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-λλ-λ-λ-⎝⎭⎝⎭21001000110100(1)(2)3(1)0(1)(2)(1)⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→λ-λ-→λ- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪λ-λ+λ-λ-λ+-λ-⎝⎭⎝⎭210001000(1)⎛⎫ ⎪→λ- ⎪ ⎪λ-⎝⎭∴ d 1(λ)=1 d 2(λ)=λ-1 d 3(λ)=(λ-1)2∴ A 的初等因子为： λ-1，(λ-1)2∴12100100J A J 010J 110J 011001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或 m(λ)=d 3(λ)=(λ-1)22. 设f(z)=e zt （z 为自变量，t 为固定字母），T(λ)=a+b λ 则 f ’(z)=te zt ，T ’(λ)=b令T(1)f (1)T (1)f (1)=⎧⎨''=⎩得t te a b e b ⎧=+⎨=⎩ 解得t a 0b e =⎧⎨=⎩∴ T(λ)=a+b λ=e t λ∴ e At =f(A)=T(A)=aE+bA=t 126e 103114--⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭∴ X=X(t)=e At X(0)=tt t t t 126444e e 1031e 1e 11411e ⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪--=-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭五．（8分） 设},{21αα与},{21ββ是线性空间V 的两个基，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2111P 为从基},{21αα到},{21ββ的过渡矩阵，T 为V 的一个线性变换，T 在基},{21ββ下的矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1011A ，求线性变换T 在基},{21αα下的矩阵B 。
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中南大学专业硕士“高等工程数学Ⅰ”考试试卷（开卷）
考试日期： 年 月 日
时间100分钟
注：解答全部写在答题纸上
一、填空题(本题24分，每小题3分)
（1）如果1111324161,253113344AxbA ，矩阵1A ，A ，利用
Gauss-Seidel迭代法求解此方程组是否收敛 ；
（2）利用迭代法求解非线性方程()20xfxxe的根，取初值00.5x。给出一个根的存在区
间 ，在该区间上收敛的迭代函数为 ；
（3）设事件A发生的概率为p，在n次重复试验中事件A发生次数为m，当n充分大时,
)1(nmmnpm
近似服从的分布为
；
（4）设]1,1[,,,4321xxxx，若数值积分公式)()()()()(4433112211xfAxfAxfAxfAdxxf的代
数精度大于1，则4321AAAA ；
（5）已知)(xfy通过点3,2,1,0),,(iyxii，则其Lagrange插值基函数)(2xl ；
（6）对一元线性回归模型2~(,)YabxN，b的最小二乘估计为ˆb ，且 ˆ~b 。
2
的无偏估计为 ；
（7）算法221212),(xxxxfy，设1x和2x的绝对误差分别为)(1x和)(2x，则
)(y
；
（8）计算函数)(xf在区间],[ba起点a附近的近似值时，应用Newton向前插值公式而不用向后插值
公式的原因是 。
二、（本题12分）已知)(xfy的函数值如下
x
-1.5 0 1 2
)(xf
2 -1 1 9
在区间]2,5.1[上求满足自然边界条件的三次样条插值函数)(xS在第一个小区间的表达式，并计算
)1(f
的近似值。
三、（本题12分）某工厂利用原材料甲、乙、丙生产产品A、B、C，有关资料见下表：
产品
材料消耗
原材料
A B C
可供原材料（Kg）
甲
乙
丙
2 1 1 200
1 2 3 500
2 2 1 600
每件产品利润（万元）
4 1 3
（1）怎样安排生产，使利润最大，建立数学模型．
（2）利用单纯形法求解所建立的模型（要求计算过程和结果）。
四、（本题16分）设方程组为 12341123702103267621133411xxxx
（1）利用雅可比（Jacibi）迭代格式进行迭代计算求近似解， 取初始值0(0.00,0.00,0.00,0.00)TX ,
保留2位小数，迭代2次；
（2）利用矩阵LU直接分解方法求准确解。
五、（本题14分）某大学从来自A，B两市的新生中分别随机抽取5名与6名新生，测其身高（单位：cm）
后算得2212175.9172.011.39.1xyss。假设两市新生身高分别服从正态分
布，221122~(,)~(,)XNYN。（1）两市新生身高的标准差有无差异（05.0）（2）
试求12的置信度为0.95的置信区间。
六、（本题10分）为计算一形状为曲边梯形零件的表面积，在将其分布区间逐次分半测量曲边的高度，
并用复合梯形公式计算其面积的近似值如下表：
n
1 2 4 8
n
T
2.9 3.1 3.131 3.139
请根据表中数据计算该零件表面积精度足够高的近似值。
七、（本题12分）考察四种不同的催化剂对某一化工产品的转化率的影响，在不同的四种催化剂下分别
做试验得如下数据
催化剂 产品转化率 和 平方和
1 2 3 4 0.88 0.85 0.79 0.86 0.85 0.83 0.87 0.92 0.85 0.83 0.90 0.84 0.78 0.81 0.81 0.86 0.90 0.87 5.06 4.37 2.43 3.44 4.2720
3.8247
1.9701
2.9626
15.3 13.0294
试检验在四种不同的催化剂下对某一化工产品的转化率的影响有无差别？（0.05）
产
品
材
料
消
耗
材
料