高中数学人教A版必修一优化练习第二章2.12.1.2第1课时指数函数图象及其性质含解析

[课时作业] [A 组 基础巩固]
1．下列以x 为自变量的函数中，是指数函数的是( ) A ．y ＝(－4)x B.y ＝λx (λ>1)
C ．y ＝－4x
D ．y ＝a x ＋2(a >0且a ≠1)
解析：A 中底数不满足大于0且不等于1；C 中系数不是1；D 中指数不是独立的x ；只有选项B 满足指数函数定义． 答案：B
2.函数f (x )＝a x
－b
的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列
结论正确的是( ) A ．a ＞1，b ＜0 B ．a ＞1，b ＞0 C ． 0＜a ＜1，b ＞0 D ．0＜a ＜1，b ＜0
解析：从曲线的变化趋势，可以得到函数f (x )为减函数，从而有0＜a ＜1；从曲线位置看，是由函数y ＝a x (0＜a ＜1)的图象向左平移|－b |个单位而得，所以－b ＞0，即b ＜0.故选D. 答案：D
3．下列关系中正确的是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1223 <223
<⎝ ⎛⎭
⎪⎫1213 B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12 23
<⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1213<22
3 C ．223
<⎝ ⎛⎭⎪⎫1213<⎝ ⎛⎭⎪⎫1223
D ．223
<⎝ ⎛⎭⎪⎫1223<⎝ ⎛⎭
⎪⎫1213
解析：22
3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122
3-，∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 是R 上的减函数， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1223->⎝ ⎛⎭⎪⎫1213>⎝ ⎛⎭
⎪⎫122
3
，
即223
>⎝ ⎛⎭⎪⎫1213>⎝ ⎛⎭
⎪⎫1223
.
答案：B
4．函数y ＝2－|x |的值域是( ) A ．(0,1) B.(0,1] C ．(0，＋∞)
D ．R
解析：设t ＝－|x |，则t ≤0，作出y ＝2t (t ≤0)的简图，由图象知
0<2t ≤1. 答案：B
5．若⎝ ⎛⎭⎪⎫122a ＋1<⎝ ⎛⎭⎪⎫
123－2a ，则实数a 的取值范围是( )
A ．(1，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，＋∞ C ．(－∞，1)
D ．⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－∞，12
解析：∵y ＝(1
2)x 是减函数，∴原不等式等价于2a ＋1>3－2a ，即4a >2， ∴a >12. 答案：B
6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x ，x ≥⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
，x ＜0，则f [f (－4)]＝________.
解析：依题意，知f (－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4
＝16，
f (16)＝16＝4，∴f [f (－4)]＝f (16)＝4. 答案：4
7．已知(a 2＋a ＋2)x >(a 2＋a ＋2)1－x ，则x 的取值范围是________． 解析：∵a 2＋a ＋2＝(a ＋12)2＋7
4>1， ∴y ＝(a 2＋a ＋2)x 为R 上的增函数． ∴x >1－x .即x >1
2.
答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞
8．已知函数f (x )＝a x 在x ∈[－2,2]上恒有f (x )＜2，则实数a 的取值范围为________．
解析：当a ＞1时，f (x )＝a x 在[－2,2]上的最大值为a 2，由a 2＜2得， 1＜a ＜ 2.
当0＜a ＜1时，f (x )＝a x 在[－2,2]上的最大值为 a －2，由a －2＜2得a ＞
1
2
. 答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫
22，1∪(1，2)
9．(1)已知3x ≥30.5，求实数x 的取值范围； (2)已知0.2x <25，求实数x 的取值范围．
解析：(1)因为3>1，所以指数函数f (x )＝3x 在R 上是增函数．由3x ≥30.5，可得x ≥0.5，即x 的取值范围为[0.5，＋∞)．
(2)因为0<0.2<1，所以指数函数f (x )＝0.2x 在R 上是减函数． 因为25＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
15－2＝0.2－2，所以0.2x <0.2－2.
由此可得x >－2，即x 的取值范围为(－2，＋∞)． 10．比较下列各组数中两个值的大小： (1)0.2－1.5和0.2－1.7；
(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1413和⎝ ⎛⎭
⎪⎫1423
； (3)2－1.5和30.2.
解析：(1)考查函数y ＝0.2x . 因为0<0.2<1，
所以函数y ＝0.2x 在实数集R 上是单调减函数． 又因为－1.5>－1.7， 所以0.2－1.5<0.2－1.7.
(2)考查函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x .因为0<14<1，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
14x 在实数集R 上是单调减函数．
又因为13<23，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1413>⎝ ⎛⎭
⎪⎫142
3
.
(3)2－1.5<20，即2－1.5<1；30<30.2, 即1<30.2，所以2－1.5<30.2.
[B 组 能力提升]
1．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝31x
B.y ＝31－x C ．y ＝3x －1
D ．y ＝1－3x
解析：y ＝31x 的值域为{y |y >0且y ≠1}；
y ＝31－x 的值域为{y |y >0}；y ＝3x －1的值域为[0，＋∞)； y ＝1－3x 的值域为[0,1)． 答案：B
答案：A
3．若函数f (x )＝a x －1(a >0且a ≠1)的定义域值域都是[0,2]，则实数a 的值为________．
解析：当a >1时，函数f (x )＝a x －1在[0,2]上是增函数，
由题意可知，⎩⎨⎧
a 0
－1＝
a 2
－1＝2
，解得a ＝ 3.
当0＜a ＜1时，
函数f (x )＝a x －1在[0,2]上是减函数，
由题意可知，⎩⎨⎧
a 0
－1＝
a 2
－1＝0
，此时a 无解．
综上所述，a ＝ 3. 答案： 3
4．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
a x ，x >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫
4－a 2x ＋2，x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为________．
解析：因为f (x )是R 上的增函数，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
a >1，
4－a
2>0，4－a 2＋2≤a .
解得4≤a ＜8.
答案：[4,8)
5．设f (x )＝2x －1
2x ＋1
，求f (x )的值域．
解析：令y ＝2x －12x ＋1，(2x ＋1)y ＝2x －1,2x (y －1)＝－1－y,2x ＝1＋y
1－y ，
∵2x
>0，∴1＋y
1－y >0，∴⎩⎨
⎧
1＋y >0，1－y >0，
或⎩⎨
⎧
1＋y <0，
1－y <0，
解得－1<y <1.
故值域为{y |－1<y <1}，即f (x )∈(－1,1)．
6．已知函数y ＝a 2
33x x －＋ (a >0且a ≠1)，当x ∈[1,3]时有最小值8，求a 的值． 解析：令y ＝a t ，t ＝x 2－3x ＋3，x ∈[1,3]，对称轴为t ＝32，x ∈⎣⎢⎡
⎦⎥⎤1，32时，t 单调递
减；x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
32，3时，t 单调递增，即x ＝32时，t min ＝34.
①当a >1时，y ＝a t 为增函数，则x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32时，y ＝ax 2－3x ＋3为减函数；x ∈⎣⎢⎡⎦⎥
⎤
32，3时，y ＝a
233
x x －＋为增函数．显然当x ＝32时，y min ＝a 3
4
＝8，a ＝16.
②当0<a <1时，y ＝a t
为减函数，则x ∈⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤1，32时，y ＝ax 2－3x ＋3为增函数，x ∈
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
32，3时，y ＝a 233x x －＋为减函数，这时y min 是x ＝1或x ＝3时，对应函数值中最小的一个，f (1)＝a ，f (3)＝a 3，若a ＝8，与0<a <1矛盾．若a 3＝8，a ＝3
8>1与0<a <1矛盾．故舍掉． 综上所述，a 的值为16.。