Eksbita高一数学典型例题分析：三角函数的图象和性质
三角函数的图像和性质知识点及例题讲解
三角函数的图像和性质1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1) 2 sin y x = cos y x = tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值 当22x k ππ=+时，max 1y =；当22x k ππ=- 时，min 1y =-．当2x k π=时，max 1y =；当2x k ππ=+时，min1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π 2ππ奇偶性奇函数 偶函数 奇函数单调性 在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上是增函数； 在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上是减函数． 在[]2,2k k πππ-上是增函数； 在[]2,2k k πππ+上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭上是增函数．对称性 对称中心(),0k π 对称轴2x k ππ=+对称中心,02k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭对称轴x k π=对称中心,02k π⎛⎫⎪⎝⎭无对称轴函数 性质例作下列函数的简图(1)y=|sinx|，x ∈[0，2π]， (2)y=-cosx ，x ∈[0，2π]例利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合：21sin )1(≥x 21cos )2(≤x3、周期函数定义：对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：()()f x T f x +=，那么函数()y f x =就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。
注意： 周期T 往往是多值的（如sin y x = 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做()y f x =的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）sin y x =, cos y x =的最小正周期为2π （一般称为周期）正弦函数、余弦函数：ωπ=2T 。
高一数学三角函数的图象与性质试题答案及解析
高一数学三角函数的图象与性质试题答案及解析1.已知函数，R（其中）的图象的一部分如图所示，则= ．【答案】1【解析】由函数图像可知：函数的周期为8，所以；且；所以.【考点】三角函数图像的应用.2.同时具有性质“①最小正周期是；②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是（）.A．B．C．D．【答案】C【解析】由于周期，排除，图象关于直线对称，排除,由于，因此满足三个性质.【考点】正弦型函数的性质.3.关于函数f(x)＝4sin(2x＋), (x∈R)有下列命题：①y＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；② y＝f(x)可改写为y＝4cos(2x－)；③y＝f(x)的图象关于(－，0)对称；④ y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称；其中正确的序号为 .【答案】②③.【解析】对于①，由三角函数的周期公式，故①不正确；对于②，因为，故②正确；对于③，当时，，所以y＝f(x)的图象关于(－，0)对称；对于④，当时，，故④不正确.【考点】三角函数的周期公式，诱导公式，三角函数的对称轴与对称中心（本题还可以用公式完成检验，要注意三角函数与x轴的交点一定是对称中心，而且对称轴对应的函数值一定是最大最小值）.4.函数的部分图象如图所示，则的值是（）.A．0B．－1C．2＋2D．2－2【答案】C.【解析】从图可知A=2，，所以，解得，又图像过（2，2），所以有，得，取，所以函数的表达式为：，又==.【考点】根据函数图像求三角函数的解析式，周期公式，诱导公式，特殊角的三角函数值.5.函数的一条对称轴方程是（）.A．B．C．D．【答案】A【解析】的对称轴方程为,即令，得.【考点】诱导公式、三角函数的图像与性质.6.函数(ω＞0)，把函数的图象向右平移个单位长度，所得图象的一条对称轴方程是x＝，则ω的最小值是 .【答案】2.【解析】函数(ω＞0)，把函数的图象向右平移个单位长度，所得图象的解析式为，因为所得图象的一条对称轴方程是x＝，所以,，所以的最小值为.【考点】三角函数的图像变换与性质.7.函数的最小正周期为 ____【答案】【解析】由。
高一数学三角函数的图象与性质试题答案及解析
高一数学三角函数的图象与性质试题答案及解析1.已知函数的周期为,且 ,将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变）,再将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像.（1）求函数与的解析式；（2）是否存在,使得按照某种顺序成等差数列？若存在,请求出的值，若不存在,说明理由；（3）求实数与正整数,使得在内恰有2013个零点．【答案】（1）；（2）假设存在，当时，，，又，则，所以，即，化简得或与矛盾，所以不存在,使得按照某种顺序成等差数列；（3），.【解析】（1）依题意可求得和，利用三角函数的图像变换可求得；（2）依题意，当时，，和，问题转化为方程在内是否有解，通过求解该方程即可判断是否有解即可；（3）将“函数有零点的问题”转化为“方程有实数根”的问题，可分种情况进行讨论：①当时，由题意知其不成立；②当时，先令将其换元为，然后根据函数的图像及其性质判断在内有解所满足的条件，最后由零点的个数，判断出正整数的取值即可.试题解析：（1）由函数的周期为可得，，又由，得，所以；将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（保持纵坐标不变）后可得的图像，再将的图象向右平移个单位长度后得到函数. （2）假设存在，当时，，，又，则，所以，即，化简得或与矛盾，所以不存在,使得按照某种顺序成等差数列.（3）令，即，当时，显然不成立；当时，，令，则当时，.由函数及，的图像可知，当时，在内有3个解.再由可知，，综上所述，，.【考点】函数的图象变换，函数与方程.2.若，则使成立的的取值范围是（）A．（）B．（）C．（）D．（）（）【答案】D【解析】掌握特殊的三角函数值与三角函数的图像.,故选D.【考点】三角函数的基本运算3.已知函数的图象如下图所示，则___________．【答案】【解析】由图象知，即，得，所以，图象中的最低点的坐标为代入，得，得，因此，从而，即．【考点】三角函数的图象和性质．4.若将函数的图像向右平移个单位，所得图像关于轴对称，则的最小正值是________.【答案】【解析】函数的图象向右平移个单位后得到的图象，由题意可得，，即，所以当时，，即的最小正值是.故答案为.【考点】三角函数图象的平移变换.5.已知向量a，b，c，其中.(1)若，求函数b·c的最小值及相应的的值；(2)若a与b的夹角为，且a⊥c,求的值.【答案】（1）函数的最小值为，相应的的值为（2）【解析】（1）由已知易求得，此时再换元令可得，即可求得，然后再反求此时对应的的值，可得结果.（2）利用与的夹角为，可求得，再根据可得，然后联立两式即可求得结果.试题解析：（1），又令则，且当时，，此时即，又，，即所以函数的最小值为，相应的的值为.（2）与的夹角为，.，,即又，.化简得.将代入可得，.【考点】三角恒等变换；换元法求最值.6.下列函数中，周期为的偶函数是A．B．C．D．【答案】B【解析】A,C为奇函数，B中,周期为；D中周期为，故选B.【考点】函数周期.7.下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为减函数的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】首先满足最小正周期为有B和D，而且还要是在区间上为减函数，只有B符合条件，故选择B.这里特别要关注的图象，它是将在轴下方的图象沿轴翻折上去，这样最小正周期就变为原来的一半，即为.【考点】三角函数的周期性、单调性和图象变换.8.已知函数，将图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的2倍,然后把所得到的图象沿轴向左平移个单位,这样得到的曲线与的图象相同, 那么的解析式为（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】由题意可知，首先将的图象向右平移个单位，得到的函数图象，再将的图象的横坐标缩小为原来的，纵坐标保持不变，得到的函数图象，∴.【考点】三角函数的图象与性质.9.在中，角所对的边分别为，且（1）求函数的最大值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）．【解析】解题思路：（1）利用二倍角公式及其变形将化成的形式，再求最值；（2)利用正弦定理进行求解.规律总结：（1）涉及三角函数的最值或求值问题，往往先根据三角函数恒等变形化为的形式，再利用三角函数的图像与性质进行求解；（2）解三角形，要根据条件合理选择正弦定理或余弦定理.试题解析：（1）当，即当时，取得最大值，且最大值为（2）由题意得又由（1）知.由，得所以的值为．【考点】1.三角函数的图像与性质；2.解三角形.10.函数的图象的一条对称轴方程是（）.A．B．C．D．【答案】C.【解析】因为，令，得，取，得，故选C.本题也可以由选项代入中，的值为即可.【考点】正弦函数的对称轴公式.11.函数y＝2sin(ωx＋)(，)的部分图象如图所示，则ω和的值分别是__________．【答案】【解析】∵∴T=π∴ω=2，∵当2x+φ=时，x=，∵|φ|＜∴φ=，故答案为：【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式;五点法12.已知且，那么必有()A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，∵，∴而正切函数的单调性可知，其在上单调递增，∴，即，∴C正确，D错误A,B,无法判断其正确与否，故选C.【考点】正切函数的单调性.13.已知函数，.（1）若，求函数的解析式；（2）若时，的图像与轴有交点，求实数的取值范围.【答案】(1) ;(2) .【解析】(1),代入可求得;(2) ，，所以，的图像与轴有交点，根据图形可得：,可以得到的取值范围.（1）（2分）（2） .（4分）又，所以要使的图像与轴有交点，则（8分）解得（10分）【考点】1.三角函数的性质；2.零点问题.14.已知函数y=3sin（1）用五点法在给定的坐标系中作出函数一个周期的图象；（2）求此函数的振幅、周期和初相；（3）求此函数图象的对称轴方程、对称中心．【答案】（1）详见解析;（2）振幅A=3，初相是-；（3）对称轴：x=+2k；中心为．【解析】（1）利用五点作图法即可做出图像；（2）根据周期、振幅、初相的概念即可求出结果；（3）令=+k，解出x即为对称轴；令x-=k，解出x，即可求出对称中心．解：（1）列表：23sin描点、连线,如图所示：5（2）周期T===4，振幅A=3，初相是-．．8(3)令=+k(k∈Z),得x=2k+(k∈Z),此为对称轴方程．令x-=k(k∈Z)得x=+2k(k∈Z)．对称中心为 (k∈Z) ．．12【考点】1．“五点作”图法；2．y=Asin（ωx+φ）的函数性质．15.已知：函数（1）求函数的周期T，与单调增区间.（2）函数的图象有几个公共交点.（3）设关于的函数的最小值为，试确定满足的的值，并对此时的值求的最小值．【答案】（1）函数的周期为，单调增区间为.（2）函数的图象有3个公共交点.（3），此时.【解析】（1）分类讨论去掉绝对值，即可求函数的周期T与单调增区间.（2）分别画出函数的图象，由图知有3个公共交点.（3）由题知：令，把看成关于的二次函数，分情况讨论即可.1）T= .......1分增区间： .........3分(2）作函数的图象，从图象可以看出函数的图象有三个交点..................6分3）解：整理得：令，则，对称轴，当，即时，是函数g(x)的递增区间，；当，即时，是函数的递减区间，得，与矛盾；当，即时，，得或，舍，此时．..........12分【考点】三角函数的图象和性质、分类讨论思想.16.已知，若，则下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】法一：因为，所以，故选C；法二：设，则易知该函数为上的奇函数，所以即也就是，而，所以即，选C.【考点】1.正弦函数的图像与性质；2.函数的奇偶性.17.已知函数（）的最小正周期为．（1）求函数的单调增区间；（2）将函数的图像向左平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图像．求在区间上零点的个数．【答案】（1）函数的单调增区间；（2）在上有个零点.【解析】（1）先由三角函数的周期计算公式得到，从而可确定，将当成一个整体，由正弦函数的性质得到，解出的范围，写成区间即是所求函数的单调递增区间；(2)将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到的图像，即，由正弦函数的图像与性质得到该函数在一个周期内函数零点的个数，而恰为个周期，从而可得在上零点的个数.试题解析：（1）由周期为，得，得由正弦函数的单调增区间得，得所以函数的单调增区间（2）将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位得到的图像，所以令，得或所以函数在每个周期上恰有两个零点，恰为个周期，故在上有个零点.【考点】1.三角函数的图像与性质；2.函数的零点.18.已知函数f(x)＝sin2x＋2cos2x＋m在区间[0，]上的最大值为3，则（1）m＝；(2)对任意a∈R，f(x)在[a，a＋20π]上的零点个数为．【答案】（1）0(2)40或41.【解析】（1）,在区间[0，]上的函数值范围为，又最大值为3，刚.(2)原函数周期，区间[a，a＋20π]间距为，则与X轴交点个数为40或41.【考点】二倍角公式，辅助角公式，的图角与性质.19.已知函数.（1）求的最小正周期.（2）若将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的值域.【答案】(1);(2).【解析】(1)利用二倍角公式，诱导公式，化一公式进行化简为,利用;(2)利用左加右减得到的图像，求的范围，再根据的图像，计算的值域.试题解析：解：由题设可得（1）函数最小正周期为2（2）易知由值域为【考点】1.三角函数的化简；2.性质；3.图像变换.20.已知函数的部分图像如图所示.（1）求的值；（2）求函数的单调递增区间.【答案】（1）；（2）的单调递增区间是.【解析】（1）从图中观察到该函数的最小正周期，从而由公式得到的值；再由得到的值，进而用得到的值；（2）由的表达式确定，将当成整体，由正弦函数的单调递增区间可求得该函数的单调递增区间. 试题解析：（1）由题设图像知，周期 2分，由，得 4分5分所以 6分（2）由（1）得 7分10分由，得的单调递增区间是 12分.【考点】三角函数的图像与性质.21.为了得到函数的图像，只需将函数图像上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度【答案】A【解析】，故要得到的图像，只需将函数的图像向左平移个单位长度，故选A.【考点】三角函数的图像变换.22.函数的图象和直线围成一个封闭的平面图形，这个封闭图形的面积是_____________；【答案】．【解析】本题用切割法求面积，如图，由余弦函数图象的对称性，我们可以把区域（2）放到区域（1）位置，区域（3）放到区域（4）位置，则构成四条直线，，，围成的矩形，其面积为．【考点】余弦函数图象的对称性．23.设函数f(x)＝cos2ωx＋sinωxcosωx＋a(其中ω>0，a∈R)，且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.(1)求ω的值；(2)如果f(x)在区间上的最小值为，求a的值．【答案】(1)ω＝.(2) a＝.【解析】(1)f(x)＝cos2ωx＋sin2ωx＋＋a＝sin＋＋a.依题意得2ω·＋＝，解得ω＝.(2)由(1)知，f(x)＝sin＋＋a.又当x∈时，x＋∈，故≤sin≤1，从而f(x)在上取得最小值＋＋a.由题设知＋＋a＝，故a＝.【考点】和差倍半的三角函数，三角函数的图象和性质。
高一数学三角函数的图象与性质试题答案及解析
高一数学三角函数的图象与性质试题答案及解析1.函数y=sin（x+）的一个单调增区间是（）.A．[﹣π，0]B．[0，]C．[，]D．[，π]【答案】B【解析】由，得，因此函数的单调递增区间为，当时，对应区间.【考点】正弦型函数的单调区间.2.关于函数，有下列命题：①②③④其中正确的例题的序号是A．①③④B．③④C．①④D．①③【答案】D【解析】由，故①正确；,故②错误；令，则，即对称中心坐标为,取,对称中心为，故③正确；令，则，即对称轴为，故④错误，综上①③，故选D.【考点】三角函数变换，周期，对称轴，对称中心.3.已知，，函数的部分图象如图所.示．为了得到函数的图象，只要将的图象（）.A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【答案】B【解析】有最小值得，，，，为五点做图的第三个点，，解得，向右平移个单位长度得【考点】由三角函数的图像求函数解析式和图像平移的应用.4.函数的最小正周期是 .【答案】【解析】由于函数，所以其最小正周期为，故应填入：．【考点】三角函数的周期．5.已知函数在曲线与直线的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则的最小正周期为（）.A．B．C．D．【答案】C.【解析】因为原来函数即为，令，则，令，又因为若相邻交点距离的最小值为，则以正弦函数为研究对象，取符合要求的两角：，对应有，此时，所以.【考点】辅助角公式，正弦函数的图像，三角函数的周期公式.6.关于函数f(x)＝4sin(2x＋), (x∈R)有下列命题：①y＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；② y＝f(x)可改写为y＝4cos(2x－)；③y＝f(x)的图象关于(－，0)对称；④ y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称；其中正确的序号为 .【答案】②③.【解析】对于①，由三角函数的周期公式，故①不正确；对于②，因为，故②正确；对于③，当时，，所以y＝f(x)的图象关于(－，0)对称；对于④，当时，，故④不正确.【考点】三角函数的周期公式，诱导公式，三角函数的对称轴与对称中心（本题还可以用公式完成检验，要注意三角函数与x轴的交点一定是对称中心，而且对称轴对应的函数值一定是最大最小值）.7.函数，的图象与轴交于点，过点的直线与函数的图象交于两点，则 ( )A．4B．8C．16D．32【答案】D.【解析】当时，，∴，又∵的图象关于点中心对称，∴，，∴.【考点】三角函数的图象与性质.8.设函数的图象的一条对称轴是直线.求；求函数的单调增区间；画出函数在区间上的图象.【答案】（1）；（2）；（3）图像略．【解析】解题思路：（1）利用“对称轴是取得最值时的所在直线”求解；（2）利用求解即可；（3）利用“五点作图法”作图即可.规律总结：涉及的图像与性质问题，一要熟练记住的图像与性质，二要掌握整体意识，将看作成一个整体.试题解析：是函数的图象的一条对称轴，，即由知由题意得所以函数的单调增区间为由可知故函数在区间上的图象为【考点】三角函数的图像与性质.9.若数列满足，且有一个形如的通项公式，其中、均为实数，且，，则________， .【答案】；【解析】根据递推关系式可得，所以该数列是周期数列，周期为，又因为是该数列的一个通项公式，所以，又因为当时，，因为，所以由可得或，进而可得或；当时，，此时当时，，不符合题意，舍去；当时，，此时时，分别得到，满足题意，综上可知，.【考点】1.数列的周期性；2.三角函数的图像与性质.10.函数的部分图象如图所示，则 +的值等于．【答案】【解析】由图可知，,周期，又∵图像过点，∴，即，∴可取，∴，∴．【考点】正弦型函数三角函数的图像与性质．11.设偶函数的部分图象如下图,KLM为等腰直角三角形,∠KML=90°,KL=1，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由函数为偶函数，且KL=1得，函数的最小正周期为2，则，，KLM 为等腰直角三角形，求得，即，，得.所以，.【考点】考察图象的基本性质及各数据的确定.12.动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间时，坐标是，则当时，动点纵坐标关于（秒）的函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．和【答案】D，【解析】由题12秒旋转一周，则周期为12，，知；时，坐标是，得，所以关于（秒）的函数为，单调增区间可化为，与求交集可得和．【考点】的性质．13.函数y= -8cosx的单调递减区间为.【答案】【解析】的单调性与的单调性相反，所以,写成区间形式，.【考点】三角函数的单调区间14.已知向量，函数的图象的两相邻对称轴间的距离为.（1）求的值；（2）若，，求的值；（3）若，且有且仅有一个实根，求实数的值.【答案】(1);(2)；（3）.【解析】(1)根据数量积公式将进行化简，得到,两相邻对称轴之间的距离为半个周期，所以根据周期公式，得到的值；（2）根据第一问，可得,所以,用已知角表示未知角，根据的范围，求出的范围，最后求的值；（3）画出,的图像，令,与其只有一个交点，即可求出的值.解：由题意，，（1）∵两相邻对称轴间的距离为，∴，∴. 4分（2）由（1）得，，∵，∴，∴，∴. 8分（3），且余弦函数在上是减函数，∴，令=，，在同一直角坐标系中作出两个函数的图象，可知. 13分【考点】1.三角函数的化简求值；2.函数图像.15.函数的部分图象如图，其中两点之间的距离为5，则（）A．2B．C．D．－2【答案】A【解析】由图知，解得，，解得。
高考数学：三角函数的图像和性质问题(解析版)
【高考地位】近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是高考的重点和难点。
要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。
在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题.【方法点评】类型一求三角函数的单调区间使用情景：一般三角函数类型解题模板：第一步先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意参数A, 的正负；第二步利用三角函数的辅助角公式一般将其化为同名函数，且在同一单调区间；第三步运用三角函数的图像与性质确定其单调区间.例1 函数cos( 2 )y x 的单调递增区间是（）4A．[k π＋，kπ＋8 58π] B ．[k π－38π，kπ＋8]C．[2k π＋，2kπ＋8 58π] D ．[2k π－38π，2kπ＋8] （以上k∈Z）【答案】 B.考点：三角函数单调性.【点评】本题解题的关键是将 2x作为一个整体，利用余弦函数的图像将函数y cos( 2x)的单调44递增区间转化为2x 在区间2k ,2k 上递减的.4【变式演练1】已知函数 f (x) sin( 2 x )( 0), 直线x x1,x x2 是y f (x) 图像的任意两条对称6轴，且x1 x 的最小值为2 2．求函数 f (x) 的单调增区间；【答案】[ k , k ], k Z .3 6【解析】试题分析：根据两条对称轴之间的最小距离求周期，根据周期求，根据公式求此函数的单调递增区间.试题解析：由题意得T , 则1, f (x) sin(2 x ). 由2k 2x 2k , 解得6 2 6 23 k , Z. 故 f ( x) 的单调增区间是k k ], k Z x k k [ .,6 3 6考点：1．y A sin x 的单调性；【变式演练2】已知函数sin( )+ ( 0 0 )f x A x B A ，，的一系列对应值如下表：2x6 3 5643116 [73176y 2 4 2 4 （1）根据表格提供的数据求函数 f x 的解析式；（2）求函数 f x 的单调递增区间和对称中心；【答案】（1） f x 3sin x 1（2）352k ，2k (k Z)（k + ，1）(k Z).6 6 3（2）当2 2 ( )k x k k Z，即2 3 25x k ，k k Z时，函数f x 单调递2 2 ( )6 6增．令= ( x k k Z)，所以函数 f x 的对称中心为+ 1 ( x k k Z)，得= + ( k k Z)（，）．3 33考点：1．三角函数解析式及基本性质；2．数形结合法[ 来源:Z*xx*]类型二由y A sin( x ) 的图象求其函数式使用情景：一般函数y A s in( x ) 求其函数式解题模板：第一步观察所给的图像及其图像特征如振幅、周期、与x轴交点坐标等；第二步利用特殊点代入函数解析式计算得出参数A, , 中一个或两个或三个；第三步要从图象的升降情况找准第一个零点的位置，并进一步地确定参数；第四步得出结论.例2 已知函数y A sin( x ) y A s in( x )( 0, , x R) 的图象如图所示，则该函数的2解析式是（）（A）y 4 sin( x ) （B）y 4 s in( x )8 4 8 4（C）y 4 s in( x ) （D）y 4 sin( x )8 4 8 4【答案】 D考点：y Asin x 的图像【点评】本题的解题步骤是：首先根据已知图像与x轴的交点坐标可得其周期为T ，进而可得的大小；然后观察图像知其振幅 A 的大小；最后将图像与x 轴的交点坐标代入函数的解析式即可得到的大小.【变式演练3】已知函数 f x A sin x （其中 A 0, 0, ）的部分图象如图所示，则f x2的解析式为（）6A．2sinf x x B．f x2sin2x36C．2sin2f x x D．f x2sin4x6【答案】B【解析】考点：由y A s in(x)的部分图像确定解析式。
高中 三角函数的图象与性质 知识点+例题 全面
辅导讲义――三角函数的图象与性质余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数 y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域 R R {x |x ≠π2＋k π，k ∈Z}值域[－1，1][－1，1]R单调性[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )上递增；[π2＋2k π，3π2＋2k π](k ∈Z )上递减[－π＋2k π，2k π](k ∈Z )上递增；[2k π，π＋2k π](k ∈Z )上递减(－π2＋k π，π2＋k π)(k ∈Z )上递增最值x ＝π2＋2k π(k ∈Z )时， y max ＝1；x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1x ＝2k π(k ∈Z )时， y max ＝1；x ＝π＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 (k π，0)(k ∈Z ) (π2＋k π，0) (k ∈Z ) (k π2，0)(k ∈Z ) 对称轴方程 x ＝π2＋k π(k ∈Z ) x ＝k π(k ∈Z )周期2π2ππ1．定义域和值域[例1] 函数216sin x x y -+=的定义域是______________.],0[],4[ππ --[巩固1] 函数x x y sin 3sin 3+-=的值域为________.]2,21[精典例题透析答案 (1) 2－3 (2){x |x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z }解析 (1)利用三角函数的性质先求出函数的最值． ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1. ∴y ∈[]－3，2，∴y max ＋y min ＝2－ 3.(2)要使函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≠0，x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即⎩⎨⎧x ≠π4＋k π，k ∈Z ，x ≠π2＋k π，k ∈Z .故函数的定义域为{x |x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z }．[巩固]（1）函数y ＝sin x －cos x 的定义域是________．（2）(2013·天津)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为____________. 答案 (1){x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋54π，k ∈Z } (2) －22解析 (1)要使函数有意义，必须有sin x －cos x ≥0，即sin x ≥cos x ，同一坐标系中作出y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象如图所示．结合图象及正、余弦函数的周期是2π知， 函数的定义域为{x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z }．(2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π4，令y ＝2x －π4，则sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝sin y 在y ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上的最小值为sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝－22.题型二：三角函数的单调性、周期性 [例] 写出下列函数的单调区间及周期： （1）y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3；（2）y ＝|tan x |. 解 (1)y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 它的增区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的减区间， 它的减区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的增区间． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k ∈Z .故所给函数的减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ； 增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z . 最小正周期T ＝2π2＝π.(2)观察图象可知，y ＝|tan x |的增区间是⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，减区间是⎝⎛⎦⎤k π－π2，k π，k ∈Z . 最小正周期T ＝π.[巩固] (2014·北京)求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6的周期、单调区间及最大、最小值． 解 ∵⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋⎝⎛⎭⎫π6－4x ＝π2， ∴cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－4x ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x . ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3，周期T ＝2π4＝π2. 当－π2＋2k π≤4x ＋π3≤π2＋2k π (k ∈Z )时，函数单调递增，∴函数的递增区间为⎣⎡⎦⎤－5π24＋k π2，π24＋k π2 (k ∈Z )． 当π2＋2k π≤4x ＋π3≤3π2＋2k π (k ∈Z )时，函数单调递减， ∴函数的递减区间为⎣⎡⎦⎤π24＋k π2，7π24＋k π2(k ∈Z )． 当x ＝π24＋k π2 (k ∈Z )时，y max ＝2；当x ＝－5π24＋k π2 (k ∈Z )时，y min ＝－2.题型三：三角函数的奇偶性和对称性[例]（1）已知f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R )，函数y ＝f (x ＋φ) ⎝⎛⎭⎫|φ|≤π2的图象关于直线x ＝0对称，则φ的值为________． （2）如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为_________. 答案 (1)π6 (2) π6解析 (1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， y ＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋φ图象关于x ＝0对称，7所以函数的单调减区间为[k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z )． 6．设函数f (x )＝3sin(π2x ＋π4)，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．答案 2解析 f (x )＝3sin(π2x ＋π4)的周期T ＝2π×2π＝4， f (x 1)，f (x 2)应分别为函数f (x )的最小值和最大值，故|x 1－x 2|的最小值为T 2＝2. 7．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)＝________. 答案 3解析 由题中图象可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝π4，即最小正周期为π2， 所以ω＝2.由题意可知，图象过定点(3π8，0)， 所以0＝A tan(2×3π8＋φ)， 即3π4＋φ＝k π(k ∈Z )， 所以φ＝k π－3π4(k ∈Z )， 又|φ|<π2，所以φ＝π4. 又图象过定点(0,1)，所以A ＝1.综上可知，f (x )＝tan(2x ＋π4)， 故有f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3. 8．设函数f (x )＝sin ()2x ＋φ (－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8. （1）求φ；（2）求函数y ＝f (x )的单调增区间．解 (1)令2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝k π＋π4，k ∈Z ， 又－π<φ<0，则φ＝－3π4. (2)由(1)得：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4， 令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π，k ∈Z ， 可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，77。
高一数学三角函数的图像与性质试题答案及解析
高一数学三角函数的图像与性质试题答案及解析1.下列函数中，以为π最小正周期的偶函数，且在（0，）内递增的是（）A．y=sin|x|B．y=|sinx|C．y=|cosx|D．y=cos|x|【答案】C【解析】本题考查三角函数的图像和周期的定义，先画出三角函数的图像，再根据周期的定义及单调性得答案为C.【考点】三角函数的图像与性质2.已知,函数在上单调递减.则的取值范围（）A．B．C．D．【答案】B【解析】结合正弦函数的图象可知，要使函数在上单调递减，需要，解得的取值范围是.【考点】本小题主要考查三角函数图象的应用和由三角函数的单调性求参数的取值范围，考查学生综合应用函数图象解决问题的能力.点评：函数在上单调递减，则应该是函数的单调区间的一个子区间.3.对于函数＝，给出下列四个命题：①该函数是以为最小正周期的周期函数；②当且仅当 (k∈Z)时，该函数取得最小值－1；③该函数的图象关于 (k∈Z)对称；④当且仅当 (k∈Z)时，0＜≤.其中正确命题的序号是________(请将所有正确命题的序号都填上)【答案】③④【解析】画出函数的图象可知该函数是以为最小正周期的周期函数，当 (k∈Z)或(k∈Z)时，该函数取得最小值－1，所以①②均不正确.【考点】本小题主要考查分段函数图象的画法和三角函数的图象和性质的应用，考查学生数形结合思想的应用.点评：解决本小题的关键是正确画出分段函数的图象，根据图象求解判断即可.4.已知函数（其中）图象的相邻两条对称轴间的距离为，且图象上一个最高点的坐标为.(1)求的解析式；(2)将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，求函数的单调递减区间.【答案】; (2)【解析】（1）由题意知，函数的周期为，所以，……2分因为图象上一个最高点的坐标为，所以，所以……7分（2）将函数的图象向右平移个单位后，得到函数，……10分令，解得函数的单调递减区间为. ……14分【考点】本小题主要考查由三角函数图象求三角函数解析式和由解析式求函数的性质，考查学生数形结合思想的应用.点评：求参数时要注意参数的取值范围，求单调区间时要注意不要忘记5.角α的终边过点P(－1,2)，则sinα＝()A．B．C．－D．－【答案】B【解析】由三角函数的定义知，x＝－1，y＝2，r＝＝，∴sinα＝＝.6.函数y＝2cos在上的最大值与最小值的和为________．【答案】2－【解析】∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤，∴－≤cos≤1，∴－≤y≤2.7.已知函数f(x)＝2a sin＋b的定义域为，函数最大值为1，最小值为－5，求a和b的值．【答案】a＝12－6，b＝－23＋12，或a＝－12＋6，b＝19－12.【解析】∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.∴－≤sin≤1.若a>0，则，解得，若a<0，则，解得，综上可知，a＝12－6，b＝－23＋12，或a＝－12＋6，b＝19－12.8.已知函数y＝tan(2x＋φ)的图象过点，则φ可以是()A．－B．C．－D．【答案】A【解析】∵函数的图象过点，∴tan＝0，∴＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝kπ－，k∈Z，令k＝0，则φ＝－.9.下列直线中，与函数y＝tan的图象不相交的是()A．x＝B．y＝C．x＝D．y＝【答案】C【解析】由2x＋＝kπ＋得，x＝＋(k∈Z)，令k＝0得，x＝.10.下列不等式中，正确的是()A．tan>tanB．tan<tanC．tan<tanD．tan>tan【答案】D【解析】tan＝tan<tan；tan＝tan<tan，tan＝tan，tan＝tan，∵tan>tan，∴tan>tan，tan＝tan＝tan＝－tan，tan＝tan＝tan＝－tan.又tan>tan，所以tan<tan，故选D.11.要得到f(x)＝tan的图象，只须将f(x)＝tan2x的图象()A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位【答案】C【解析】因为要得到f(x)＝tan的图象，那么则f(x)＝tan，那么利用图像的平移变换可知，只需将f(x)＝tan2x的图象向右平移个单位即可，故选C12.函数y＝2sin x与函数y＝x图象的交点有()A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解析】在同一坐标系中作出函数y＝2sin x与y＝x的图象可见有3个交点．13.化简＝________.【答案】1【解析】原式＝＝1.14.求值sin＝________.【答案】【解析】sin＝sin＝sin＝sin＝sin＝.15.作出函数y＝2cos的图象，观察图象回答．(1)此函数的最大值是多少？(2)此函数图象关于哪些点中心对称(至少写出2个)．【答案】(1)2 (2)，.【解析】描点作出图象如图．(1)最大值为2.(2)，.16.函数y＝sin在()A．上是增函数B．上是增函数C．[－π，0]上是增函数D．上是增函数【答案】B【解析】由2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z得，2kπ－π≤x≤2kπ＋，令k＝0得B正确17.已知f(x)是定义在(－3,3)上的奇函数，当0<x<3时，f(x)的图象如图所示，那么不等式f(x)cos x<0的解集是()A．(－3，－)∪(0,1)∪(，3)B．(－，－1)∪(0,1)∪(，3)C．(－3，－1)∪(0,1)∪(1,3)D．(－3，－)∪(0,1)∪(1,3)【答案】B【解析】f(x)>0的解集为(－1,0)∪(1,3)，f(x)<0的解集为(－3，－1)∪(0,1)，当x∈(－3,3)时，cos x>0的解集为(－，)，cos x<0的解集为(－3，－)∪(，3)，∴f(x)·cos x<0的解集为(－，－1)∪(0,1)∪(，3)．18.已知函数f(x)＝2cos－5的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值是________．【答案】13【解析】∵T＝＝≤2，∴k≥4π＝12.56，∴k的最小值是13.19.若函数f(x)＝2cos的最小正周期为T，且T∈(1,3)，则正整数ω的最大值是_______【答案】6【解析】∵1<<3，∴<ω<2π，∴正整数ω的最大值是6.20.已知函数f(x)＝sin，其中k≠0，当自变量x在任何两个整数间(包括整数本身)变化时，至少含有一个周期，求最小正整数k的值．【答案】63【解析】函数f(x)＝sin的周期为T＝＝.由题意知T≤1，即≤1，|k|≥20π≈62.8.所以最小正整数k的值为63.。
三角函数图像与性质-知识点总结及题型归纳讲义
专题七《三角函数》讲义7.3 三角函数的图像与性质知识梳理.三角函数的图像与性质1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象定义域R R错误!值域[－1,1][－1,1]R奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在⎣⎡⎦⎤－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)上是递增函数，在⎣⎡⎦⎤π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k∈Z)上是递减函数在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数在⎝⎛⎭⎫－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上是递增函数周期性周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π对称性对称轴是x＝π2＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z)对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是⎝⎛⎭⎫kπ＋π2，0(k∈Z)对称中心是⎝⎛⎭⎫kπ2，0(k∈Z)题型一. 三角函数图像的伸缩变换1．要得到函数y ＝3sin （2x +π3）的图象，只需要将函数y ＝3cos2x 的图象（ ） A ．向右平行移动π12个单位 B ．向左平行移动π12个单位C ．向右平行移动π6个单位D ．向左平行移动π6个单位2．（2017•新课标Ⅰ）已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin （2x +2π3），则下面结论正确的是（ ）A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 23．（2021春•闵行区校级期中）函数y ＝cos （2x +φ）的图象向右平移π2个单位长度后与函数y ＝sin （2x +2π3）的图象重合，则|φ|的最小值为 ．4．（2016春•南通期末）将函数f(x)=sin(ωx +φ)，(ω＞0，−π2＜φ＜π2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π4个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f(π6)= ．5．（2015•湖南）将函数f （x ）＝sin2x 的图象向右平移φ（0＜φ＜π2）个单位后得到函数g （x ）的图象．若对满足|f （x 1）﹣g （x 2）|＝2的x 1、x 2，有|x 1﹣x 2|min =π3，则φ＝（ ） A ．5π12B ．π3C ．π4D ．π6题型二. 已知图像求解析式1．图是函数y ＝A sin （ωx +φ）（x ∈R ）在区间[−π6，5π6]上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y ＝sin x （x ∈R ）的图象上所有的点（ ）A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变2．已知函数y =sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则（ ）A ．ω=π2，φ=−π4 B ．ω=π2，φ=π4C ．ω=π，φ=−π4D ．ω=π，φ=π43．已知函数f （x ）＝A cos （ωx +φ）的图象如图所示，f （π2）=−23，则f （0）＝（ ）A ．−23B ．−12C ．23D ．124．已知函数f （x ）＝A tan （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，下列关于函数g （x ）＝A cos （ωx +φ）（x ∈R ）的表述正确的是（ ）A ．函数g （x ）的图象关于点（π4，0）对称B ．函数g （x ）在[−π8，3π8]递减 C ．函数g （x ）的图象关于直线x =π8对称D ．函数h （x ）＝cos2x 的图象上所有点向左平移π4个单位得到函数g （x ）的图象题型三. 三角函数的性质 考点1.单调性1．函数y ＝sin （﹣2x +π3）的单调递减区间是（ ） A ．[k π−π12，k π+5π12]，k ∈Z B ．[2k π−π12，2k π+5π12]，k ∈ZC ．[k π−π6，k π+5π6]，k ∈ZD ．[2k π−π6，2k π+5π6]，k ∈Z2．已知函数f(x)=Asin(x +φ)(A ＞0，−π2＜φ＜0)在x =5π6时取得最大值，则f （x ）在[﹣π，0]上的单调增区间是（ ） A ．[−π，−5π6] B ．[−5π6，−π6] C ．[−π3，0]D ．[−π6，0]3．已知函数f （x ）＝sin （2x +π3）在区间[0，a ]（其中a ＞0）上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．{a |0＜a ≤π12} B ．{a |0＜a ≤π2} C ．{a |a ＝k π+π12，k ∈N *} D ．{a |2k π＜a ≤2k π+π12，k ∈N *} 4．已知ω＞0，函数f （x ）＝sin （ωx +π4）在区间（π2，π）上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ） A ．[12，54] B ．[12，34]C ．(0，12]D ．（0，2]考点2.周期性、奇偶性、对称性1．已知函数f （x ）＝cos 2x +sin 2（x +π6），则（ ）A ．f （x ）的最小正周期为π，最小值为12B ．f （x ）的最小正周期为π，最小值为−12C ．f （x ）的最小正周期为2π，最小值为12D ．f （x ）的最小正周期为2π，最小值为−122．已知f （x ）＝sin2x +|sin2x |（x ∈R ），则下列判断正确的是（ ） A ．f （x ）是周期为2π的奇函数 B ．f （x ）是值域为[0，2]周期为π的函数 C ．f （x ）是周期为2π的偶函数 D ．f （x ）是值域为[0，1]周期为π的函数3．将函数y ＝sin2x −√3cos2x 的图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0）所得图象关于y 轴对称，则a 的最小值是（ ） A ．712π B ．π4C ．π12D ．π64．已知函数f （x ）＝a sin x ﹣b cos x （ab ≠0，x ∈R ）在x =π4处取得最大值，则函数y ＝f （π4−x ）是（ ）A ．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称B ．偶函数且它的图象关于点(3π2，0)对称 C ．奇函数且它的图象关于点(3π2，0)对称 D ．奇函数且它的图象关于点 （π，0）对称考点3.三角函数性质综合1．（2019•天津）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）是奇函数，将y ＝f （x ）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g （x ）．若g （x ）的最小正周期为2π，且g （π4）=√2，则f （3π8）＝（ ）A ．﹣2B ．−√2C ．√2D ．22．（2015•天津）已知函数f （x ）＝sin ωx +cos ωx （ω＞0），x ∈R ，若函数f （x ）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y ＝f （x ）的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为 ．3．（2014•大纲版）若函数f （x ）＝cos2x +a sin x 在区间（π6，π2）是减函数，则a 的取值范围是 ．4．（2016•新课标Ⅰ）若函数f （x ）＝x −13sin2x +a sin x 在（﹣∞，+∞）单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．[﹣1，1]B ．[﹣1，13]C ．[−13，13]D ．[﹣1，−13]5．（2013•安庆二模）已知函数f （x ）＝sin （ωx +π6），其中ω＞0，若f （π6）＝f （π3），且f （x ）在区间（π6，π3）上有最小值、无最大值，则ω等于（ ）A ．403B ．283C ．163D ．436．（2014•北京）设函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0）若f （x ）在区间[π6，π2]上具有单调性，且f （π2）＝f（2π3）＝﹣f （π6），则f （x ）的最小正周期为 ．题型四. 三角函数最值1．函数f （x ）=15sin （x +π3）+cos （x −π6）的最大值为（ ） A ．65B ．1C ．35D ．152．函数f （x ）＝cos （ωx +π3）（ω＞0）在[0，π]内的值域为[﹣1，12]，则ω的取值范围为（ ） A ．[32，53]B ．[23，43]C ．[23，+∞)D ．[23，32]3．已知函数f （x ）＝cos2x +sin x ，则下列说法中正确的是（ ） A ．f （x ）的一条对称轴为x =π4 B ．f （x ）在（π6，π2）上是单调递减函数C ．f （x ）的对称中心为（π2，0）D ．f （x ）的最大值为14．若0＜x ≤π3，则函数y ＝sin x +cos x +sin x cos x 的值域为 ．5．已知函数f(x)=2sinωx ⋅cos 2(ωx 2−π4)−sin 2ωx(ω＞0)在区间[−2π5，5π6]上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值1，则ω的取值范围是（ ） A ．(0，35]B ．[12，35]C ．[12，34]D ．[12，52)6．已知函数f （x ）＝cos x •sin （x +π3）−√3cos 2x +√34，x ∈R （1）求f （x ）的最小正周期；（2）求f （x ）在闭区间[0，π2]上的最大值和最小值及相应的x 值；（3）若不等式|f （x ）﹣m |＜2在x ∈[0，π2]上恒成立，求实数m 的取值范围．题型五.三角函数零点1．已知函数f （x ）＝sin ωx −√3cos ωx （ω＞0），若方程f （x ）＝﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为 ．2．已知函数f （x ）=√3sin ωx cos ωx +cos 2ωx −12，（ω＞0，x ∈R ），若函数f （x ）在区间（π2，π）内没有零点，则ω的取值范围（ ） A ．（0，512] B ．（0，512]∪[56，1112]C ．（0，58]D ．（0，56]∪[1112，1）3．函数f(x)=2sin(2ωx +π6)(ω＞0)图象上有两点A （s ，t ），B （s +2π，t ）（﹣2＜t ＜2），若对任意s ∈R ，线段AB 与函数图象都有五个不同交点，若f （x ）在[x 1，x 2]和[x 3，x 4]上单调递增，在[x 2，x 3]上单调递减，且x 4−x 3=x 2−x 1=23(x 3−x 2)，则x 1的所有可能值是课后作业. 三角函数的图像与性质1．函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，为了得到g （x ）＝A sin ωx 的图象，只需将函数y ＝f （x ）的图象（ ）A ．向左平移π3个单位长度B ．向左平移π12个单位长度 C ．向右平移π3个单位长度D ．向右平移π12个单位长度2．关于函数y ＝2sin （3x +π4）+1，下列叙述正确的是（ ） A ．其图象关于直线x =−π4对称 B ．其图象关于点（π12，1）对称 C ．其值域是[﹣1，3]D ．其图象可由y ＝2sin （x +π4）+1图象上所有点的横坐标变为原来的13得到 3．已知函数f （x ）＝（12a −√3）sin x +（√32a +1）cos x ，将f （x ）的图象向右平移π3个单位长度得到函数g （x ）的图象，若对任意x ∈R ，都有g （x ）≤g （π4），则a 的值为 ． 4．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞1，0≤φ≤π）是R 上的偶函数，其图象关于点M （3π4，0）对称，且在区间[0，π2]上是单调函数，则ω和φ的值分别为（ ）A ．23，π4B ．2，π3C ．2，π2D ．103，π25．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ），其中ω＞0，|φ|≤π2，−π4为f （x ）的零点：且f （x ）≤|f （π4）|恒成立，f （x ）在区间（−π12，π24）上有最小值无最大值，则ω的最大值是（ ）A ．11B ．13C ．15D ．176．已知函数f （x ）＝2sin （ωx −π6）sin （ωx +π3）（ω＞0），若函数g （x ）＝f （x ）+√32在[0，π2]上有且只有三个零点，则ω的取值范围为（ ）A ．[2，113） B ．（2，113） C ．[73，103） D ．（73，103）。
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Time will pierce the surface or youth, will be on the beauty of the ditch dug a shallow groove ; Jane will eat rare!A born beauty, anything to escape his sickle sweep.-- Shakespeare三角函数的图象和性质·典型例题解：在单位圆中，作出锐角α在正弦线MP，如图2-9所示在△MPO中，MP+OM＞OP=1即MP+OM＞1∴sinα+cosα＞1于P1，P2两点，过P1，P2分别作P1M1⊥x轴，P2M2⊥x轴，垂足分k∈Z}【说明】学会利用单位圆求解三角函数的一些问题，借助单位圆求解不等式的一般方法是：①用边界值定出角的终边位置；②根据不等式定出角的范围；③在[0，2π]中找出角的代表；④求交集，找单位圆中重叠的部分；⑤写出角的范围的表达式，注意加周期．【例3】求下列函数的定义域：解：(1)为使函数有意义，需满足2sin2x+cosx-1≥0由单位圆，如图2-12所示k∈Z}【说明】求函数的定义域通常是解不等式组，利用“数形结合”，借助于数轴画线求交集的方法进行．在求解三角函数，特别是综合性较强的三角函数的定义域，我们同样可以利用“数形结合”，在单位圆中画三角函数线，求表示各三角不等式解集的扇形区域的交集来完成．(4)为使函数有意义，需满足：取k=0和-1时，得交集为-4＜x≤-π或0≤x≤π∴函数的定义域为(-4，-π]∪[0，π]【说明】求三角函数的定义域要注意三角函数本身的特征和性质，如在转化为不等式或不等式组后要注意三角函数的符号及单调性，在进行三角函数的变形时，要注意三角函数的每一步变形都保持恒等，即不能改变原函数的自变量的取值范围．【例4】求下列函数的值域：∴此函数的值域为{y|0≤y＜1}∵1+sinx+cosx≠0 ∴t≠-1【说明】求三角函数的值域，除正确运用必要的变换外，还要注意函数的概念的指导作用，注意利用正、余弦函数的有界性．【例5】判断下列函数的奇偶性：【分析】先确定函数的定义域，然后根据奇函数成偶函数的定义判断函数的奇偶性．∵f(1-x)=-sin(-2x)=sin2x=-f(x)(2)函数的定义域为R，且f(-x)=sin[cos(-x))=sin(cosx)=f(x)∴函数f(x)=sin(cosx)是偶函数．(3)因1+sinx≠0，∴sinx≠-1，函数的定义域为{x|x∈R且x≠2k既不是奇函数，也不是偶函数．【例6】求下列函数的最小正周期：【分析】欲求三角函数的周期，一般是把三角函数f(x)化成易求周期的函数y=Asin(ωx+ϕ)+b或y=Acos(ωx+ϕ)+b的等形式．函数y=Asin(ω“多个化一个，高次化一次”，将所给函数化成单角单函数．(2)y=cos4x+sin4x=(cos2x+sin2x)2-2sin2xcos2x=|cosx|+|sinx|=f(x)正周期．(x+T)|+|cos(x+T)|=|sinx|+|cosx|都成立．特别当x=0时，有|sinT|+|cosT|=sinT【例8】求下列各函数的最大值、最小值，并且求使函数取得最大值、最小值的x的集合．∴使y取得最大值的x的集合为{x|x=(2kπ+1)π，k∈Z}∴使y取得最小值的x的集合为{x|x=2kπ，k∈Z}当cosx=1，即x=2kπ(k∈Z)时，y取得最大值3．【说明】求三角函数的最值的类型与方法：1．形如y=asinx+b或y=acosx+b，可根据sinx，cosx的有界性来求最值；2．形如y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c看成是关于sinx或cosx的二次函数，变为y=a(sinx+m)2+k或y=a(cosx+m)2+k，但要注意它与二次函数求最值的区别，此时|sinx|≤1，|cosx|≤1【例9】求下列函数的单调区间：【分析】复杂三角函数的单调区间是运用基本函数的单调性及单调区间得出的．(2)函数y=sin2x-2sinx+2，是由y=u2-2u+2及u=sinx及复合而成，∴|u|≤1【例10】当a≥0，求函数f(x)=(sinx+a)(cosx+a)的最大值、最小值，及相应的x的取值．【分析】本题对f(x)解析式的变换关键在于认识解析式中两项间的内在联系，从而断定f(x)解析式中的平方关系，另外本题含字母系数，要分清常数和变量，还要有对字母a作分类讨论的准备．解：f(x)=(sinx+a)(cosx+a)=sinxcosx+a(sinx+cosx)+a2由于a是常数，故这里只要求y=(sinx+cosx+a)2的最大值、最小值．合物线的图象如图2-14所示两种可能．【说明】象本例这种解析式中含字母系数的函数研究其性质，常常要运用分类讨论的思想，其中为什么要分类，怎么分类和讨论是两个基本问题．【例11】函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)的图象如图2-15，试依图指出(1)f(x)的最小正周期；(2)使f(x)=0的x的取值集合；(3)使f(x)＜0的x的取值集合；(4)f(x)的单调递增区间和递减区间；(5)求使f(x)取最小值的x的集合；(6)图象的对称轴方程；(7)图象的对称中心．【分析】这是一道依图象读出相应函数性质的典型例题，本身就是数形结合思想的体现，它根据f(x)=Asin(ωx+ϕ)的图象与函数y=sinx的图象的关系得出．注：得出函数f(x)的最小正周期之后，研究f(x)的其他性质，总是先在包含锐角在内的一个周期中研究，再延伸到整个定义域中．注：实际上f(x)图象的对称轴方程为x=x0，而其中x0使f(x0)=1或f(x0)=-1注：f(x)的图象的对称中心为(x0，0)，其中x0使f(x0)=0【说明】这种依图读性的问题是提高数形结合能力的重要训练题，其中有两点要注意反思：①周期性在研究中的化简作用，②三角函数的“多对一”性．【例12】求如图2-16所示的函数解析式．(ω＞0，θ∈[0，2π])【分析】由图象确定函数的解析式，就要观察图象的特性，形状位置和所给的条件．通过判断、分析和计算确定A，ω、θ得到函数的解析式．【例13】设y=Asin(ωx+ϕ)(A＞0，ω＞0，|ϕ|＜π)最高点D的标为(6，0)，(1)求A、ω、ϕ的值；(2)求出该函数的频率，初相和单调区间．y单调递增故递增区间为[16k-6，16k+2]，k∈Zy单调递减故递减区间为[16k+2，16k+10]，k∈ZA．sinθ＜cosθ＜ctgθB．cosθ＜sinθ＜ctgθC．sinθ＜ctgθ＜cosθD．cosθ＜ctgθ＜sinθ解一(直接法)：故选A．解二(图解法)：作出三角函数线，如图2-17MP=sinθ，OM=cosθ，BS=ctgθ通过观察和度量得MP＜OM＜BS从而有sinθ＜cosθ＜ctgθ∴应选A∴cosθ＞sinθ从而可剔除B、D．再由sinθ＜ctgθ，故可剔除C故选A解四(特殊值法)：B、C、D，应选A．【说明】此例题用多种方法求解选项，指出3种选择题的技巧．∴应选Dx轴交点中在原点右边最接近原点的交点，而在原点左边与x轴交点中最的图象．∴选D【说明】 y=Asin(ωx+ϕ)(A＞0，ω＞0)x∈R的图象可由y=sinx的图象经下列各种顺序变换得到的．(1)先平移，后伸缩：①把y=sinx的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0)沿x轴方向平移|ϕ|个单位；(相位变换)(周期变换)③把所有各点纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)到原来的A倍，横坐标不变(振幅变换)(2)先伸缩，后平移①把y=sinx图象上各点的横坐标缩短(ω＞1)或伸长(0＜ω＜1)到原(相位变换)③把所有各点纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)到原来的A倍横坐标不变(振幅变换)再把横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的4倍，则所得的图象的解析式是 [ ]∴选A．【例17】方程sin2x=sinx在区间(0，2π)内解的个数是[ ]A．1 B．2 C．3 D．4【分析】本题有两类解法(1)求出方程在(0，2π)内的所有解，再数其解的个数．而决定选项，对于选择题，此法一般不用．(2)在同一坐标系中作出函数y=sin2x和y=sinx的图象，如图2-18所示．它们在(0，2π)内交点个数，即为所求方程解的个数，从而应选C．它体现了数、形的结合．【例18】设函数f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(1)=2，则f(5)=____解：∵f(x)是奇函数，且f(1)=2，∴f(-1)=-2又∵f(x)是周期为3的函数．∴f(3+x)=f(x)∴f(-1+3)=f(-1)=-2 即f(2)=-2f(2+3)=f(2)=-2 即f(5)=-2【例19】有一块扇形铁板，半径为R，圆心角为60°，从这个扇形中切割下一个内接矩形，即矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上，求这个内接矩形的最大面积．【分析】本题入手要解决好两个问题．(1)内接矩形的放置有两种情况，如图2-19所示，应该分别予以处理．(2)求最大值问题这里应构造函数，怎么选择便于以此表达矩形面积的自变量．解：如图2-19(1)设∠FOA=θ，则FG＝Rsinθ又设矩形EFGH的面积为S，那么又∵0°＜θ＜60°，故当cos(2θ－60°)＝1，即θ=30′时，如图2-19 (2)，设∠FOA＝θ，则EF＝2Rsin(30°-θ)，在△OFG中，∠OGF ＝150°设矩形的面积为S．那么S＝EFFG＝4R2sinθsin(30°-θ)＝2R2［cos(2θ-30°)－cos30°]又∵0＜θ＜30°，故当cos(2θ-30°)＝1。