中考数学总复习 第一部分 考点全解 第二章 方程(组)与不等式(组)第6讲 一元二次方程及其应用(3

A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
4．(2016·河南 11 题)若关于 x 的一元二次方程 x2＋3x－k＝0 有两个不相等的实 数根，则 k 的取值范围是__k_＞__－__94__.
5．(2015·河南 19 题)已知关于 x 的一元二次方程(x－3)(x－2)＝|m|. (1)求证：对于任意实数 m，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是 1，求 m 的值及方程的另一个根．
2．利率问题：本息和＝本金＋利息；利息＝__本__金__×__年__利__率__×__年__数_________. 3．销售利润问题：利润＝售价－成本；
利润 利润率＝成本×100%.
4．面积问题常见图形
(1)如图 1，设空白部分的宽为 x，则 S 阴影＝_(_a_－__2_x_)_(b_－__2_x_)______. (2)如图 2，设空白部分的宽为 x，则 S 阴影＝__(a_－__3_x_)_(_b_－__2_x_) ____. (3)如图 3，设阴影部分的宽为 x，则 S 空白＝___(_a_－__x_)(_b_－__x_)_____. (4)如图 4，设阴影部分的宽为 x，则 S 空白＝_(_a_－__x_)_(b_－__x_)_____.
(1)证明：一元二次方程(x－3)(x－2)＝|m|化成一般形式为 x2－5x＋6－|m|＝0. ∵Δ＝25－4(6－|m|)＝1＋4|m|＞0， ∴对于任意实数 m，方程总有两个不相等的实数根； (2)解：把 x＝1 代入 x2－5x＋6－|m|＝0，得|m|＝2， ∴m＝±2. 解方程 x2－5x＋6－2＝0，得 x1＝1，x2＝4， 即方程的另一个根为 x＝4.
考点三 一元二次方程的实际应用 1．增长率问题
增长量 (1)增长率＝基础量×100%； (2)设 a 为原来的量，m 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量，则 _a_(1_＋__m__)_n＝__b___________，当 m 为平均下降率，n 为下降次数，b 为下降后的量时为 _a_(1_－__m__)n_＝__b_________.
类型一 一元二次方程的定义
下列方程中是一元二次方程的是( )
A．xy＋2＝1
B．x2＋21x－9＝0
C．x2＝0
D．ax2＋bx＋c＝0
【答案】 C
1.构成一元二次方程的四个条件：①等式两边都是整式方程；②只含有一个未知
数一元；③未知数的最高次数是 2二次；④能化成 ax2＋bx＋c＝0a≠0的形式.不满
2 ． 解 一 元 二 次 方 程 的 基 本 思 路 是 _______降__次_____ ， 基 本 解 法 有 ： __直__接__开__平__方__法____________、__配__方__法___、__公__式__法___、___因__式__分__解__法______；还可以 用图象法估算一元二次方程的近似根．
A．x＝2
B．x＝－3
C．x1＝－2，x2＝3
D．x1＝2，x2＝－3
命题点二 一元二次方程根的判别式8年4考
2．(2018·河南 7 题)下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是( B )
A．x2＋6x＋9＝0
B．x2＝x
C．x2＋3＝2x
D．(x－1)2＋1＝0
3．(2017·河南 6 题)一元二次方程 2x2－5x－2＝0 的根的情况是( B )
足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程.
2.这里说的整式是关于未知数的整式，在有些含有字母系数的方程中，尽管分母 中含有字母，但只要分母中不含有未知数，这样的方程仍是整式方程.
3.“a≠0”是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0a≠0的重要组成部分，如果明确了 ax2＋bx＋c＝0 是一元二次方程，就隐含了 a≠0 这个条件，当 a＝0，b≠0 时，它就 成为一元一次方程.若方程 ax2＋bx＋c＝0 未指明 a≠0，则它不一定是一元二次方程.
第6讲 一元二次方程及其应用(3～9分)
考点一 一元二次方程的概念及一般解法高频考点 1．只含有__1____个未知数 x 的整式方程，并且能化成__a_x_2＋__b_x_＋__c_＝__0________ _(_a_，__b_，__c_为__常__数__，__a_≠__0_)____的形式，这样的方程叫做一元二次方程．
类型二 一元二次方程的解
(2018·盐城)已知一元二次方程 x2＋k－3＝0 有一个根为 1，则 k 的值为
() A．－2
B．2
C．－4
D．4
【解析】 根据一元二次方程的解的定义，把 x＝1 代入方程得到关于 k 的一次 方程 1－3＋k＝0，然后解一次方程即可．
【答案】 B
解决这类问பைடு நூலகம்，只需要把方程的解代入原方程中，即可求出参数的值，但需要注 意如果题目中给的是一元二次方程，求得的参数值还需满足二次项系数不等于零.
2．一元二次方程根与系数的关系(选学内容)
若关于 x 的一元二次方程 ____－__ba___，x1·x2＝___ac______.
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为
x1，x2，则
x1＋x2＝
3 ． 以 两 个 数 x1 ， x2 为 根 的 一 元 二 次 方 程 ( 二 次 项 系 数 为 1) 是 ____x_2_－__(x_1_＋__x_2_)x_＋__x_1_x_2＝ ___0____________________.
考点二 根的判别式及应用
1．关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为 b2－4ac，记作 Δ ＝b2－4ac.
判别式与根的关系：当 Δ＞0 时，方程有__两__个__不__相__等____的实数根；当 Δ＝0 时， 方程有__两__个__相__等____的实数根；当 Δ＜0 时，方程__没__有____实数根．反之，也成立．
5．列一元二次方程解决实际问题的一般步骤与解一元一次方程应用题的一般步 骤相同，关键是分析清楚题中的等量关系，然后列出方程并求解．
注意：解方程后既要检验所求结果是否为所列方程的解，还要检验是否为原问题 的解．
命题点一 解一元二次方程8年1考
1．(2013·河南 3 题)方程(x－2)(x＋3)＝0 的解( D )