第二章 方程与不等式(组)复习教案

普文镇中学2014----2015学年下学期九年级面对面第二章

方程（组）与不等式（组）教案

主备人：唐泽燕

参与教师：兰艳李玉娇郭兵

肖兴斌李朝阳

授课班级：

授课教师：

第一节一次方程式（组）

教学目标：

1.理解方程、方程组，以及方程和方程组的解的概念

2.掌握解一元一次方程和二元一次方程组的一般步骤与方法，体会

“消元”的数学思想，会求二元一次方程的正整数解

3.能根据实际问题中的数量关系，列出一元一次方程或二元一次方

程组来解决简单的实际问题，并能检验解的合理性

教学重点：

解一元一次方程和二元一次方程组的一般步骤和方法

教学难点：

根据实际问题中的数量关系，列出一元一次方程或二元一次方程组学情分析：

教学手段及运用：

多媒体课件，运用多媒体课件让学生更容易观察理解

教学方法运用：

复习知识，教师讲解，学生练习

教学过程：

一、知识点复习

考点一等式的性质(2011版新课标新增内容)

性质1：等式两边加(或减）同一个数(或式子），结果仍相等.如果a=b,

那么

性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相

等.如果a=b，那么ac=bc；如果a=b(c≠0)，那么

考点二一元一次方程及解法

1. 方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方

程叫做一元一次方程.

2. 形式：任何一个一元一次方程都可以化成ax+b=0(a、b是常数，

且a≠0)的形式.

3. 方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就

是方程的解.

4. 一元一次方程的解法

步骤具体做法

去分母在方程两边都乘以各分母的①____________(若未知数的

系数含有分母，则先去分母)

去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号(若方程含有括

号，则去括号)

移项把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到

方程的另一边，注意移项时一定要改变符号

合并把方程化成ax=b(a≠0)的形式

系数化为1 方程两边都除以未知数的②______，得到方程的解③__________.

考点三二元一次方程（组）及其解法

1. 二元一次方程：方程含有两个未知数（x和y），并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.

2. 二元一次方程组：方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组.

3. 二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程

的解，且解应写成的形式.

4. 解二元一次方程组的基本思想是④______,将二元一次方程组转化为⑤_________方程然后求解.

5. 二元一次方程组的解法

常用的消元法有代入消元法和加减消元法.

（1）代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解,这种方法叫做代入消元法，简称代入法.

（2）加减消元法：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程,这种方法叫做加减消元法.

考点四三元一次方程组（2011版新课标新增内容）

1. 三元一次方程组：一个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做

三元一次方程组.

2. 解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.

考点五一次方程（组）的应用（高频考点）

1. 列方程解应用题的一般步骤:

（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系；（2）设元：设未知数（可设直接或间接未知数）；

（3）列方程（组）：挖掘题目中的关系，找两个等量关系，列方程（组）；（4）求解；

（5）检验作答：检验所求未知数的值是否符合题意，写出答案. 2.一次方程(组)常考应用类型及关系式

常见类型重要的关系式

销售打折问题销售额＝售价×销量，利润=售价-成本价

利润率=利润×100%，售价＝标价×折扣

工程问题工作量=工作效率×工作时间

行程问题相遇问题:全路程=甲走的路程+乙走的路程

追及问题:同地不同时出发:前者走的路程=追者走

的路程;同时不同地出发:前者走的路程+两地间距

离=追者走的路程

水中航行问题:顺水速度=静水速度+水流速度;逆

水速度=静水速度-水流速度

二、常考类型剖析

类型一二元一次方程组的解法

例1（’14滨州）解方程组：

解：由①，得y=3x-7③,

把③代入②，得x+3(3x-7)=-1,

解这个方程，得x=2,

把x=2代入③，得y=3×2-7,

解这个方程，得y=-1,

所以，方程组的解是x=2

y=-1.

【方法指导】1. 当方程组中某一个未知数的系数为1或-1时，选用代入消元法较合适.

2. 当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法较合适.

3. 当两个方程中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选用加减消元法较合适.

4. 当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法较合适.

拓展变式1（’14泰安）方程5x+2y=-9与下列方

程构成的方程组的解为的是( )

A.x+2y=1

B. 3x+2y=-8

C. 5x+4y=-3

D. 3x-4y=-8

【解析】本题考查二元一次方程组解的意义.可将x=-2,y=12分别代入各个选项验证.

选项正误逐项分析

A ×-2+2×12＝-1≠1

B ×3×（-2）+2×12＝-5≠-8

C ×5×（-2）+4×12＝-8≠-3

D √3×（-2）-4×12＝-8

类型二一次方程（组）的应用

例2（’14黄冈）浠州县为了改善全县中、小学办学条件，计划集中采购一批电子白板和投影机，已知购买2块电子白板比购买3台投影机多4000元，购买4块电子白板和3台投影机共需44000元.问购买一块电子白板和一台投影机各需要多少元？

【信息梳理】设购买一块电子白板需要x元，购买一台投影机需要y 元，

原题信息整理后的信息

2x-3y=4000

一购买2块电子白板比购买3台

投影机多4000元

4x+3y=44000

二购买4块电子白板和3台投影

机共需44000元

解：设购买一块电子白板需要x元，购买一台投影机需要y元，（1分）

根据题意列方程组：

2x-3y=4000

4x+3y=44000，（3分）

解得x=8000

y=4000.（5分）

答：购买一台电子白板需8000元，购买一台投影机需要4000元.（6分）

【踩分答题】

1. 理清题目中已知未知量的关系，设出未知数可得分;

2. 根据题意列出方程组可得分;

3. 正确解出方程组可得分;

4. 写出答可得分.

总结：解答此类题时，根据题意进行信息梳理列出方程（组）是解题的关键.

拓展变式2 (’14抚州)情景:

试根据图中的信息，解答下列问题:

（1）购买6根跳绳需_________元，购买12根跳绳需________元.

（2）小红比小明多买2根，付款时小红反而比小明少5元.你认为有这种可能吗？若有，请求出小红购买跳绳的根数；若没有，请说明理由.

解：有这种可能．

设小红购买跳绳x根，则25×0.8x=25（x-2）-5，

解得x=11．

故小红购买跳绳11根．

（1）【思路分析】根据总价=单价×数量，现价=原价×0.8，列式计算即可求解；

解：25×6=150（元），

25×12×0.8=300×0.8=240（元）．

即购买6根跳绳需150元，购买12根跳绳需240元．

（2）【思路分析】设小红购买跳绳x根，根据等量关系：小红比小明多买2根，付款时小红反而比小明少5元；即可列出方程求解．解：有这种可能．

设小红购买跳绳x根，则25×0.8x=25（x-2）-5，

解得x=11．

故小红购买跳绳11根．

三、练习：面对面P23

四、小结：

五、作业：面对面P25

六、教学反思：

第二节一元二次方程

教学目标

1.理解一元二次方程的概念和一般形式，能把一个一元二次方程

化为一般形式

2.理解配方法，会用因式分解法，直接开平方法和公式法解简单

的一元二次方程，掌握一元二次方程的求根公式

3.能用一元二次方程解决实际问题，能根据具体问题的实际意义

检验结果的合理性

教学重点

用因式分解法，直接开平方法和公式法解简单的一元二次方程

教学难点

配方法，一元二次方程解决实际问题，能检验结果的合理性

学情分析：

教学手段及运用：

多媒体课件，运用多媒体课件让学生更容易观察理解

教学方法运用：

复习知识，教师讲解，学生练习

教学过程：

一、知识点复习

考点一一元二次方程及有关概念

1. 一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程.

2. 一般形式:ax2+bx+c=0(其中a、b、c为常数，a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数.

3. 一元二次方程必须具备三个条件：(1)必须是①________方程；(2)必须只含有②__________未知数；(3)所含未知数的最高次数是③____________.

【温馨提示】在一元二次方程的一般形式中要注意a≠0.因为当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程.

4. 一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 考点二一元二次方程的解法

1. 解一元二次方程的基本思想——转化，即把一元二次方程转化为一元一次方程来求解.

2. 一元二次方程的解法

适用题型方法或步骤

直接开平方法x2=m(m≥

0)或

(x±

m)2=n(n

≥0)

1.观察方程是否符合

x2=m(m≥0)或(x±m)2=n(n≥0)的形式

2.直接开方，得两个一元一次方程

3. 解这两个一元一次方程得原方程的两个根

配方法所有一元

二次方程

ax2+bx+c

=0(a≠0)

1.将二次项系数④___________，即方程两边同

除以二次项系数a，得

2. 移项，使方程左边只含有二次项和一次项，

右边为⑤___________，即

3. 方程两边都加上一次项系数一半的平方；

4. 原方程变为⑥__________________,

5. 直接开平方，得两个一元一次方程；

6. 解这两个一元一次方程得原方程的两个根

公式法所有有根

的一元二

次方程

1.把方程化为

ax2+bx+c=0(a≠0)的形式；

2. 确定a、b、c的值；

3. 求出b2-4ac的值；

4.将a、b、c的值代入x=⑦

因式分解法左边能分

解因式，

右边为0

的方程

1. 将方程右边化为0；

2. 将方程左边进行因式分解；

3. 令每个因式⑧____________，得两个一元一

次方程；

4. 解这两个一元一次方程得方程的两个根

1. 根的判别式：一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ=b2-4ac.

2. 一元二次方程根的情况与判别式的关系：

(1)b2-4ac＞0 方程有⑨__________的实数根；

(2)b2-4ac=0 方程有⑩__________的实数根；

(3)b2-4ac＜0 方程 ____________实数根.

【温馨提示】在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有

字母，要加上二次项系数不为0这个限制条件.

3. 一元二次方程根与系数的关系：

若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两实根分别为x1，x2，则x1+x2= _____,x1x2= _____.

考点四一元二次方程的应用

1. 列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程（组）解应用

题的步骤相同，即审、设、列、解、验答五步.

2. 列一元二次方程解应用题中，经济类和面积类问题是常考类型，

解决这些问题应掌握以下内容：

(1)增长率等量关系:

A.增长率＝×100%；

B.设a为原来量，m为平均增长率,n为增长次数，b为增长后的量，

则a(1+m)n=b;当m为平均下降率，n为下降次数，b为下降后的量时，

则有a(1-m)n=b.

(2)利润等量关系:

A.利润＝售价-成本；

B.利润率＝利润成本×100%.

(3)面积问题常见图形归纳如下：

第一：如图①,矩形ABCD长为a，宽为b，空白部分的宽为x，则阴影部分的面积表示为(a-2x)(b-2x).

第二：如图②,矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积为(a-x)(b-x).

第三：如图③,矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积为(a-x)(b-x).

二、常考类型剖析

类型一解一元二次方程

例1 (’14岳阳改编)一元二次方程x2+2x-8=0的根是( ) A. x1=2，x2=4 B. x1=2，x2=-4

C. x1=-2，x2=4

D. x1=-2，x2=-4

【解析】用因式分解法，∵x2+2x-8=0，

∴(x-2)（x+4）=0，即x1=2，x2=-4．

【归纳总结】一元二次方程有四种解法:因式分解法、直接开平方法、配方法和公式法.

（1）若一元二次方程缺少常数项,且方程的右边为0,可考虑用因式

分解法求解;

（2）若一元二次方程缺少一次项,可考虑用因式分解法或直接开平方法求解;

（3）若一元二次方程的二次项系数为1,且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时,可考虑用配方法求解;

（4）若用以上三种方法都不容易求解时,可考虑用公式法求解.

拓展变式1 (’14宁夏) 一元二次方程x2=2x+1的解是（）

A. x1=x2=1

B. x1=1 ，x2＝-1

C. x1＝1 ，x2＝1

D. x1=-1 ，x2＝-1

【解析】方程x2＝2x+1,变形得：x2-2x=1,配方得：x2-2x+1=2,即（x-1）

2=2,开方得：x-1=± ,解得：x1=1+ ,x2=1-

类型二一元二次方程的判别式及其根与系数的关系

例2（’14深圳）下列方程没有实数根的是( )

A. x2+4x=10

B. 3x2+8x-3=0

C. x2-2x+3=0

D. （x-2）（x-3）=12

【解析】分别计算出判别式b2-4ac的值，然后根据b2-4ac的意义分别判断，

选项正误逐项分析

A ×方程变形为：x2+4x-10=0，b2-4ac=42-4×1×

（-10）=56＞0，所以方程有两个不相等的实数

根

B ×b2-4ac=82-4×3×（-3）=100＞0，所以方程有

两个不相等的实数根

C √b2-4ac=（-2）2-4×1×3=-8＜0，所以方程没有

实数根

D ×方程变形为：x2-5x-6=0，b2-4ac=（-5）2-4×1

×（-6）=49＞0，所以方程有两个不相等的实数

根

【方法指导】1. 如果是判断一元二次方程根的个数可以用判别式与0的大小判断决定；

2. 求两根之和与两根之积可直接利用根与系数关系；

3. 已知方程的一个根求另一个根，可用方程解的意义，也可用根与系数的关系，后者更简单.

拓展变式2 (’14黄冈) 若α、β是一元二次方程x2+2x-6=0的两根，则α2+β2=( )

A. -8

B. 32

C. 16

D. 40

【解析】根据根与系数的关系得到α+β=-2，

αβ=-6，再利用完全平方公式得到α2+β2=（α+β）2-2αβ，然后利用整体代入的方法计算．根据题意得α+β=-2，αβ=-6，所以α2+β2=（α+β）2-2αβ=（-2）2-2×（-6）=16.故选C．

类型三一元二次方程的应用

例3(’15原创)巴西世界杯的某纪念品原价188元，连续两次降价

a%后售价为118元，下列所列方程中正确的是( )

A. 188（1+a%）2=118

B. 188（1- a%）2=118

C. 188（1-2a%）=118

D. 188（1- a2%）=118

【解析】由题意得：第一次降价后的售价为188（1-a%）元，第二次降价后的售价为188（1-a%）(1-a%)元，则所列方程为188（1-a%）2=118.

拓展变式3 (’14泰安)某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是( )

A. （3+x）（4-0.5x）=15

B. （x+3）（4+0.5x）=15

C. （x+4）（3-0.5x）=15

D. （x+1）（4-0.5x）=15

【解析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（4-0.5x）元，由题意得（x+3）（4-0.5x）=15. 失分点8 一元二次方程的解法

方程x(x-1)=2(x-1)2的根为( )

A. 1

B. 2

C. 1和2

D. 1和-2 【解析】方程两边同时除以公因式得：x=2(x-1),………第一步

方程移项得：x-2(x-1)=0,………………第二步

去括号得：-x+2=0,………………………第三步

解得：x=2.………………………………第四步

上述解析过程是从第__________步开始出现错误的，应该改为________________，此题最终的结果是___________

【名师提醒】对于缺少常数项的一元二次方程，方程两边不能同时除以未知数或含有未知数的项.

三、练习：面对面P28

四、小结：

五、作业：面对面P30

六、教学反思：

第三节分式方程

教学目标

1.了解分式方程的概念，能将实际问题中的等量关系用分式方程表

示出来

2.会解可化为一元一次方程（或一元二次方程）的分式方程，体验

转化的数学思想，了解增根的概念，会进行分式方程的验根

3.能根据实际问题中的数量关系，列出分式方程来解决简单的实际

问题，并能检验解的合理性

教学重点

解可化为一元一次方程（或一元二次方程）的分式方程的一般步骤和方法

教学难点

根据实际问题中的数量关系，列出分式方程来解决简单的实际问题，并能检验解的合理性

学情分析：

教学手段及运用：

多媒体课件，运用多媒体课件让学生更容易观察理解

教学方法运用：

复习知识，教师讲解，学生练习

教学过程：

一、知识点复习

考点一分式方程及其解法

1. 概念：①______中含有未知数的方程叫做分式方程.

2. 解分式方程的基本思路：

分式方程整式方程解整式方程

检验确定原方程的根.

3. 解分式方程的步骤:

（1）去分母，在方程的两边都乘以②___________ ，化成整式方程；（2）解这个整式方程；

（3）验根，把整式方程的根代入最简公分母，如果③______，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. 【温馨提示】分式方程的增根与无解并非同一个概念，分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解，分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根.

考点二分式方程的应用

1. 与列整式方程解应用题的思考方法与步骤相同：审题、设未知数、找等量关系、列方程、解方程、检验、作答.不同点是要检验两次，既要检验求出的解是否为原方程的根，又要检验是否符合题意.

2. 常考类型及公式

分式方程的应用题主要涉及工程问题，工作量问题，行程问题等，每个问题中涉及到三个量的关系，如：

工作时间＝，时间＝