电磁场与电磁波第3章
3电磁场与电磁波-第三章new
对于体、 对于体、面、线电荷的电位，可用场源积分法分别求得： 线电荷的电位，可用场源积分法分别求得： 总结： 总结： 求解电场强度时， 求解电场强度时，可先求 电位函数， 电位函数，然后计算电 位函数的负梯度便得电 场强度E(r)。 场强度 。 可见电位的计算式简便得多(标 可见电位的计算式简便得多( 量积分) 再求场强时， 量积分)，再求场强时，微分 总是可计算的 也简单。 总是可计算的，也简单。
∮E.dl l
= 0
3.2.2
无旋场， 静电场为无旋场 静电场为无旋场， 一定是保守场 一定是保守场
3.2.11
因上式积分路径及面元是任意的， 因上式积分路径及面元是任意的，有： x E = 0
总结真空中静电场的基本方程(微分形式 为 总结真空中静电场的基本方程 微分形式)为： 微分形式
在场源变量ρ已知的情况下，通过D 在场源变量ρ已知的情况下，通过D0=ε0E， 联立求解上述两个矢量方程就能求得E 联立求解上述两个矢量方程就能求得E。 据亥姆霍兹定理：场可由散度与旋度共同确定， 据亥姆霍兹定理：场可由散度与旋度共同确定， 只有在给定散度与旋度方程的条件下才能唯一的 只有在给定散度与旋度方程的条件下才能唯一的 的确定此矢量场。 的确定此矢量场。 当电荷对称分布时，适当选取坐标系，可使D 当电荷对称分布时，适当选取坐标系，可使D0 只有一个分量，且仅是坐标的函数， 或E只有一个分量，且仅是坐标的函数，则 E自动 =0，此时只要计算∮ ds=q即可得场解 即可得场解。 满足xE =0，此时只要计算∮D0.ds=q即可得场解。
R
3
4π
B(r ) =
0 I
4
∫ π
dl ′ X R
l
R3
> ε0 > 1/0 > 电荷 > 电流 > 标量源 > 矢量源 叉积
《电磁场与电磁波》第3章(3.2之后的章节)
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
13
恒定电场与静电场的比拟
静电场（ 区0域）
恒定电场（电源外）
基本方程 本构关系
位函数 边界条件
S D dS 0, C E dl 0
D 0, E 0
D E
E ,2 0
E1t E2t D1n D2n
1 2 ,
1
1 n
2
2 n
静电场
ED
对应物理量 恒定电场 E J
S J dS 0, C E dl 0
J 0, E 0
J E
E ,2 0
E1t E2t J1n J2n
1 2 ,
1
1 n
2
2 n
q C I G
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
14
3.2.3 漏电导
工程上常在电容器两极板之间，同轴电缆的芯线与外壳之间， 填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小于金 属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压U 时， 必定会有微小的漏电流 J 存在。
漏电流与电压之比为漏电导，即
G I U
其倒数称为绝缘电阻，即
l
ba
R 1 U GI
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
15
例3.2.2 求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为a、b， 长度为l ，其间媒质的电导率为σ、介电常数为ε。
解：1) 直接用恒定电场的计算方法
设由内导体流向外导体的电流为I。
• 导电媒质分界面上的电荷面密度
即 E1t E2t
媒质1
en 1
E1
1
媒质2
E2
电磁场与电磁波(西安交大第三版)第3章课后答案
第3章习题3-1 半径为a 的薄圆盘上电荷面密度为s ρ，绕其圆弧轴线以角频率ω旋转形成电流，求电流面密度。
解：圆盘以角频率ω旋转，圆盘上半径为r 处的速度为r ω，因此电流面密度为ϕωρρˆr v J s s s ==3-2 在铜中，每立方米体积中大约有28105.8⨯个自由电子。
如果铜线的横截面为210cm ，电流为A 1500。
计算1） 电子的平均漂移速度； 2） 电流密度； 解：2）电流密度 m A S I J /105.11010150064⨯=⨯==- 1） 电子的平均漂移速度v J ρ= ， 3102819/1036.1105.8106.1m C eN ⨯=⨯⨯⨯==-ρs m Jv /101.11036.1105.14106-⨯=⨯⨯==ρ3-3 一宽度为cm 30传输带上电荷均匀分布，以速度s m /20匀速运动，形成的电流，对应的电流强度为A μ50，计算传输带上的电荷面密度。
解：电流面密度为 m A L I J S /7.1663.050μ=== 因为 v J S S ρ=2/33.8207.166m C v J S S μρ===3-4 如果ρ是运动电荷密度，U是运动电荷的平均运动速度，证明：0=∂∂+∇⋅+⋅∇tU U ρρρ解：如果ρ是运动电荷密度，U是运动电荷的平均运动速度，则电流密度为U Jρ=代入电荷守恒定律t J ∂∂-=⋅∇ρ得 0=∂∂+∇⋅+⋅∇t U U ρρρ 3-5 由m S /1012.17⨯=σ的铁制作的圆锥台，高为m 2，两端面的半径分别为cm 10和cm 12。
求两端面之间的电阻。
解：用两种方法（1）⎰⎰===21222)(tan zz z dz S dl R ασπσ)11()(tan 1212z z -=ασπ01.0202.0tan ==α题3.5图m r z .1001.0/1.0tan /11===α，m r z 1201.0/12.0tan /21===αΩ⨯=-⨯⨯⨯=-=--647212107.4)121101(101012.11)11()(tan 1πασπz z R （2）设流过的电流为I ，电流密度为2r IS I J π==电场强度为 2r I J E πσσ== 电压为 dz z IEdz V z z z z ⎰⎰==21212)tan (σαπ ⎰==2122)(tan zz zdz I V R απσΩ⨯=-6107.4 3-6 在两种媒质分界面上，媒质1的参数为2,/10011==r m S εσ，电流密度的大小为2/50m A ，方向和界面法向的夹角为030；媒质2的参数为4,/1022==r m S εσ。
电磁场与电磁波第三章习题及参考答案
第3章习题3-1 半径为的薄圆盘上电荷面密度为s ρ，绕其圆弧轴线以角频率旋转形成电流，求电流面密度。
解：圆盘以角频率旋转，圆盘上半径为r 处的速度为r ω，因此电流面密度为ϕωρρˆr v J s s s ==3-2 在铜中，每立方米体积中大约有28105.8⨯个自由电子。
如果铜线的横截面为210cm ，电流为A 1500。
计算 1） 电流密度；2） 电子的平均漂移速度； 解：1）电流密度m A S I J /105.11010150064⨯=⨯==- 2) 电子的平均漂移速度 v J ρ=，3102819/1036.1105.8106.1m C eN ⨯=⨯⨯⨯==-ρs m J v /101.11036.1105.14106-⨯=⨯⨯==ρ 3-3 一宽度为cm 30传输带上电荷均匀分布，以速度s m /20匀速运动，形成的电流，对应的电流强度为A μ50，计算传输带上的电荷面密度。
解：电流面密度为m A L I J S /7.1663.050μ===因为 v J S S ρ= 所以 2/33.8207.166m C v J S S μρ=== 3-4 如果ρ是运动电荷密度，U是运动电荷的平均运动速度，证明：0=∂∂+∇⋅+⋅∇tU U ρρρ证：如果ρ是运动电荷密度，U是运动电荷的平均运动速度，则电流密度为U J ρ=代入电荷守恒定律tJ ∂∂-=⋅∇ρ得0=∂∂+∇⋅+⋅∇t U U ρρρ3-5 由m S /1012.17⨯=σ的铁制作的圆锥台，高为m 2，两端面的半径分别为cm 10和cm 12。
求两端面之间的电阻。
解：用两种方法（1）如题图3.5所示⎰⎰==2122)(tan zz lz dzS dl R ασπσ)11()(tan 1212z z -=ασπ 01.0202.0tan ==α题3.5图m r z .1001.0/1.0tan /11===α，m r z 1201.0/12.0tan /22===αΩ⨯=-⨯⨯⨯=-=--647212107.4)121101(101012.11)11()(tan 1πασπz z R （2）设流过的电流为I ，电流密度为2rI S I J π==电场强度为 2r IJ E πσσ== 电压为 dz z IEdz V z z z z ⎰⎰==21212)tan (σαπ ⎰==2122)(tan zz zdz I V R απσΩ⨯=-6107.4 3-6 在两种媒质分界面上，媒质1的参数为2,/10011==r m S εσ，电流密度的大小为2/50m A ，方向和界面法向的夹角为030；媒质2的参数为4,/1022==r m S εσ。
电磁场与电磁波第3章解读
已知： P
e 0 E
令： r 1 e
D r 0 E
其中： r 称为相对介电常数。
电介质的物态方程
材料的介电常数表示为： r 0
电磁场与电磁波
第3章 媒质的电磁性质和边界条件
高斯定律： D V
积分形式： S D dS V V dV
电磁场与电磁波
第3章 媒质的电磁性质和边界条件
2、电介质的极化 定义：这种在外电场作用下，电介质中出 现有序排列的电偶极子，表面上出现束缚 电荷的现象，称为电介质的极化。
(1)无极分子的极化：位移极化演示
在外电场作用下，由无极分子组成的电介质中，分子的正 负电荷“重心”将发生相对位移，形成等效电偶极子。 (2)有极分子的极化：转向极化演示 在外电场作用下，由有极分子组成的电介质，各分子的 电偶极矩转向电场的方向。
其中：表面 S 是体积 V 的封闭界面。
束缚电荷的面密度为：
束缚电荷的体密度为：
ˆ PS Pn P n
P P
若电介质中还存在自由电荷分布时，电介质中一点总的电位为： V P PS 1 1 A dV dS 4π 0 V R 4π 0 S R
R2
D
r
R1
O
R1
R2
R
P
O
R1
R2
R
电磁场与电磁波
第3章 媒质的电磁性质和边界条件
三、磁介质
1. 什么是磁介质？
在外磁场作用下，呈现出明显磁性的物质称为磁介质。 电子轨道磁矩 原子磁矩： 电子自旋磁矩 原子核自旋磁矩
2. 磁介质的磁化 演示
在外磁场作用下，物质中的原子磁矩都将受到一个扭矩 作用，所有原子磁矩都趋于和外磁场方向一致排列，结果 对外产生磁效应，这种现象称为物质的磁化。
电磁场与电磁波(第三章)
dS
O
S S1
eR
4 Ω= 0
Ω2
O 点在闭合曲面内
O 点在闭合曲面外
Ω1
O
二、静电场的散度
q
r'
r
qer 4 R
2
R r r'
P
o
设真空中存在某点电荷 q r ，则 P 点的电位移 D 0
对任意闭合曲面S 积分
S
D0 dS
4 R
S
qer
2
dS
其正电荷的中心与负电荷的中心不再重合。
电子极化：电子云与原子核发生位移而出现电矩。 ◇ 分类 离子极化：正负离子发生位移而出现电矩。 取向极化：分子固有电矩在外电场作用时产生合成电矩。
三、极化强度
◇ 定义：单位体积内的电偶极矩数。用p 表示极化的程度，即
P
lim
0
P
i
N p av
例：电荷按体密度 r 0 1 r 2 / a 2 分布于半径为a 的球形区域内，其中 0 为 常数，试计算球内外的电通密度（电位移矢量）。 解：由于电荷分布具有球对称性，则电场也具有球对称性，E 和D0 方向均为径向。 根据电位移的表达式 D r 当 r≤a
则
aU e E r e r r r2 r 0
r a r a
3.7 唯一性定理
◇ 静电场的边值问题是在给定边界条件下求泊松方程或拉普拉斯方程的解。
s f 1 第一类边界条件 第二类边界条件 f2 ◇ 实际边值问题的边界条件分为三类 s n 第三类边界条件 s f3 n
第3章 静电场分析
电磁场与电磁波第三版-郭辉萍-第三章习题答案
电磁场与电磁波第三版-郭辉萍-第三章习题答案第一题问题一个磁感应强度为B的均匀磁场，在其中有一个长为l、电阻为R的长直导线。
导线与磁感应强度方向成夹角θ。
若导线被引出的两个端头A、B相距d，则导线两个端头的电势差是多大？解答根据电磁感应定律，导线两个端头的电势差可以通过导线所受的磁场力与电阻的乘积来计算。
设电流的方向与磁场方向成夹角α，则磁场力的大小为F = BIL sinα，其中I为电流的大小。
电流可以通过欧姆定律来计算，即I = U / R，其中U为电阻两端的电势差。
将电流的表达式代入磁场力的表达式中，得到F = B(U / R)l sinα。
根据电势差的定义，有U = Fd = B(U / R)l sinα * d. 移项整理得到U(1 - Bld sinα / R) = 0，解得U = 0 或者 1 - Bld sinα / R = 0。
如果U = 0，则代表导线两个端头的电势差为0，即没有电势差。
这种情况下，导线两个端头之间的电势相等。
如果1 - Bld sinα / R = 0，则导线两个端头的电势差为U = Bld sinα / R。
综上所述，导线两个端头的电势差为U = Bld sinα / R。
第二题问题一个半径为R的导线圈，通过其中的电流为I，产生的磁感应强度为B。
若导线圈的匝数为N，导线圈中心处的磁感应强度是多少？解答根据长直导线的磁场公式，通过导线圈中心点的磁感应强度的大小可以通过长直导线的磁场公式来计算。
长直导线的磁场公式为B = μ0I / (2πd)，其中B为磁感应强度，μ0为真空中的磁导率，I为电流的大小，d为测量点到导线的距离。
对于导线圈来说，可以将导线分成无数个长直导线，然后将它们对应的磁场强度相加。
考虑到导线圈的几何形状，可以得到导线圈中心处的磁感应强度的大小为Bm = N * B，其中Bm为导线圈中心处的磁感应强度，N为导线圈的匝数，B为单根导线产生的磁感应强度。
电磁场与电磁波_第四版_第三章
能量。
静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量 任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终 电荷分布的建立(或充电)过程。在此过程中，外加电源必须克服
电荷之间的相互作用力而作功。
如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过 程中外加电源所作的总功将全部转换成电场能量，或者说电场能
Da
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
16
例3.3 同轴线内导体半径为a，外导体半径为为b，内外导体间
填充的介电常数为 的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。 解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为 l 和 l ， 应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为
l E ( ) e 2
1 0 q d 2 q 根据能量守恒定律，此功也就是电量为 q 的带电体具有的电
1
场能量We ，即
1 We q 2 对于电荷体密度ρ为的体分布电荷，体积元dV中的电荷ρdV具 1 dWe dV 2
有的电场能量为
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
19
1 We dV 2 V 对于面分布电荷，电场能量为 W 1 dS e S S 2 对于多导体组成的带电系统，则有
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
3
3.1 静电场分析
学习内容 3.1.1 静电场的基本方程和边界条件
3.1.2 电位函数
3.1.3 3.1.4 导体系统的电容 静电场的能量
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
4
3.1.1 静电场的基本方程和边界条件 1. 基本方程
D dS q D S 微分形式： 积分形式： E dl 0 E 0 C 本构关系： D E D1n D2 n S 2. 边界条件 en ( D1 D2 ) S 或 E1t E2t 0 e ( E E ) 0 1 2 n
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是Wb(韦伯)，用Φ表示：
s B dS
SB dS
38
B dS
S
0 S 4
Idl 'R
C R3 dS
0Idl ' C 4
R dS S R3
第三章 恒定电流的电场和磁场
3.1 恒定电流的电场 3.2 3.3 恒定磁场的基本方程 3.4 矢量磁位 3.5 磁偶极子 3.6 磁介质中的场方程 3.7 恒定磁场的边界条件 3.8 3.9 互感和自感 3.10 磁场能量 3.11 磁场力
1
磁的基本现象
•十一世纪北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中第一 次明确记载了指南针； •磁极（北极N，南极S）； •同号的磁极互相排斥，异号的磁极互相吸引；
运流电流密度： J
v
9
3.1.2 电荷守恒定律
电流连续方程 （积分形式）
电流连续方程 （微分形式）
S
J
dS
dq dt
d dt
V
dV
SJ
dS
V
t
dV
V
J
t
dV
0
J
0
t
J
n
2
2
n
S
D2n
D1n
2 2
J2n
1 1
J1n
J
n
2 2
1 1
式中，Jn=J1n=J2n,当 2
1 时，分界面上的面电荷密度为零。
2
1
22
应用边界条件，可得
tan1 1 tan2 2
可以看出，当σ1>>σ2，即第一种媒质为良导体时，第二种媒 质为不良导体时，只要θ1≠π/2, θ2≈0，即在不良导体中， 电力线近似地与界面垂直。这样，可以将良导体的表面看作等 位面。
R
上式中，
R3
1 R
，故可将其改写为
B dS
S
0Idl' C 4
S
1 R
dS
由矢量恒定式
V AdV SA dS
39
则有
B dS
0Idl ' 1 dV
p J E
焦耳定律不适应于运流电流。因为对于运流电流而言，电场力 对电荷所作的功转变为电荷的动能，而不是转变为电荷与晶格 碰撞的热能。
运流电流的定义：电荷在不导电的空间，如真空或极稀薄气体中 的有规则运动所形成的电流。真空电子管中由阴极发射到阳极的 电子流,带电的运动着的雷云运动所形成的电流都是运流电流。
解：媒质内的漏电电流沿径向从内导体流向外导体，设流过
半径为r的任一同心球面的漏电电流为I，则媒质内任一点的
电流密度和电场为
J
I
4r 2
er
E
I
4 r
2
er
内、外导体间的电压为
26
U
b
Edr
a
I
4
1 a
1
b
漏电电导为
G
I
4ab
U ba
取在φ=0，即场点坐标为(r,0,z)，源点坐标为(0,0,z′)。
r rer zez , r ' z'ez , R r r '
z' z r tan, dz' r sec2 d
dl
'
ez
dz'
ez
r
s
ec2
d
R r sec
28
小结
（1）电流连续方程 （积分形式）
S
J
dS
dq dt
（微分形式） （2）电流稳恒条件
J
t
SJ dS 0
0
t
J 0
（3）欧姆定律的微分形式 J E
29
3.2 磁感应强度
图3-8 安培定律
30
安培定律指出：在真空中载有电流I1的回路C1上任一线元 dl1 对
积 S 的电流就等于电流密度 J 在 S 上的通量，即
I SJ dS SJ cosdS
7
JS
lim
l 0
I l
n
dI dl
n
图3-2 面电流密度
8
传导电流： 导体中的自由电子或半导体中的自由电荷在电场作用下作定向运 动所形成的电流。
运流电流：带电粒子在真空中或气体中运动时形成的电流。
到的电磁力为
F
q(E
v
B)
上式称为洛仑兹力公式。
33
例3-4 求载流I的有限长直导线(参见图3-9)外任一点的磁场。
图3-9 例3-4用图 34
解：取直导线的中心为坐标原点，导线和z轴重合，在圆柱坐标
中计算。
B(r )
0
4
Idl 'R C R3
从对称关系能够看出磁场与坐标φ无关。不失一般性，将场点
11
3.1.3 欧姆定律的微分形式
R l
S
1
R l
S
电阻率 电导率
I U R
将 I JS
U El R l
S
带入
J E
12
表3-1 常用材料的电导率
材料 铁(99.98 % )
黄铜 铝 金 铅 铜 银 硅
电导率σ/(S/m) 107
R
31
毕奥-萨伐尔（Biot-Savart）定律
实验指出，一个电流元 Idl 在磁场中所受的力可以表示为
令
dF Idl
B
0
B I1dl1
R
4 C1 R3
(3-29)
若电流不是线电流，而是具有体/面分布的电流 J ，则上式改为
B(r )
0
4
3.1.1 电流密度
图3-1 电流密度 1.方向：导体中正电荷运动方向 2.大小：通过垂直于正电荷运动方向的单位面积的电流强度
6
设通过ΔS的电流为ΔI，则该点处的电流密度 J 为
J
lim
I
n
dI
n
S0 S dS
可以从电流密度 J 求出流过任意面积 S 的电流强度。一般情况 下，电流密度 J 和面积元 dS 的方向并不相同。此时，通过面
23
例3-1 设同轴线的内导体半径为a, 外导体的内半径为b，内、 外导体间填充电导率为σ的导电媒质，如图3-5所示，求同轴线
单位长度的漏电电导。
图3-5 同轴线横截面
24
解：漏电电流的方向是沿半径方向从内导体到外体，如令沿轴向
方向单位长度(L=1)从内导体流到外导体的电流为I，则在媒质内
(a<r<b)，电流密度为
35
dl ' R ezdz '[rer (z z ')ez ]
e rdz ' e r 2 sec2 d
所以
B 0I
4
l/2 dl ' R
R l / 2
3
e
0 I 4 r
2 cos d
1
e
0 I 4 r
(sin 1
----电源内电势升高的方向
3.当非静电力存在于整个电流回路中时，回路中的电动势为
L E'dl
14
电动势和电势是两个不同的物理量 电动势：与非静电力的功相联系 电势：与静电力的功相联系
15
3.1.4 焦耳定律
当导体两端的电压为U，流过的电流为I时，则在单位时间内电
场力对电荷所作的功，即功率是
另一载有电流I2的回路C2上任一线元 dl2 的作用力表示为
dF12
0 4
I2dl2 (I1dl1 R)
R3
F12
0 4
C2 C1
I2dl2 (I1dl1 R)
R3
F12
C2
I
2dl2
u0
4
C1
I1dl1 R
3
S
C 4 V R
1 0 R
磁通连续定律
（积分形式）
B dS 0
S
40
使用散度定理，得到
S B dS V BdV 0
磁通连续定律 （微分形式）
B 0
上式是磁通连续性原理的微分形式，它表明磁感应强度 B 是 一个无源(指散度源)场。
1.46×107 3.54×107 3.10×107 4.55×107 5.80×107 6.20×107 1.56×10-3
13
1.电源电动势：在电源内部，将单位 正电荷从负极移到正极，非静电力
所作的功 A
B E'dl
单位：伏特(V)
图3-3 电动势
2.方向：电源内从负极到正极的方向