1平面向量基本定理(完整)
2.2.1平面向量的基本定理
e1 a a=λ1e1+0e2
e2 a
a=0e1+λ2e2
如果 e1 , e2 是同一平面内的两个
不共线的向量，那么对于这一平面内
的任意向量 a ，有且只有一对实数λ 1
λ 、 2 ，使
a =λe1 +λe2 1 2
我们把不共线的向量 e1 ，e2 叫做 表示这一平面内所有向量的一组基底.
B.平行于第一、三象限的角平分线
C.平行于y轴
D.平行于第二、四象限的角平分线
解析： 本题考查平面向量的基本概念、坐标运算。 a b (0,1 x 2 ) 取y轴的单位向量j=（0，1），则a+b= （1+x2）j ∴（a+b）∥j,故向量a+b平行于y轴，故选C
2（2007全国）把函数y=ex的图像按向量a=(2,0)平 移，得到y=f (x)的图像，则f (x)=( C ) A.ex+2 C. ex-2 B.ex-2 D.ex+2
C
B
A
O -3e1
2e2
例2 : 如图，ABCD的两条对角线相交于点M,且 AB = a AD = b ， ，用a、表示MA、 、 和MD. b MB MC
解：在 ABCD中， ∵ AC = AB + AD = a + b DB = AB - AD = a - b
例1：已知向量e1 ,e2 （如图），求作向量 - 3e1 + 2e2 .
作法: 1.如图，任取一点O , 作OA = -3e1 , OB = 2e2 .
平面向量的基本定理
2.3 平面向量的基本定理极坐标表示2.3.1平面向量的基本定理班级： 姓名： 编者：兰学琴 高一数学备课组 问题引航1. 平面向量基本定理的内容是什么？2. 基底的概念是什么？平面中的基底唯一吗？3. 两向量的夹角是如何定义的？怎样求两向量的夹角？ 自主探究1.平面向量基本定理如果1e 和2e 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1和λ2，使得 ，其中把不共线的向量1e 和2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组 ．基底不唯一。
2. 两向量的夹角（1）定义：如图，作OA a = ，OB b = ，则 叫做向量a 与b 的夹角。
（2）特例：当0θ= 时，a 与b 当90θ= 时，a 与b 当180θ= 时，a 与b 互动探究例1.已知向量1e ，2e ，求作向量-2.51e +32e当堂检测1.如图2.3-4在矩形ABCD 中，若BC =51e ,DC =32e ,则OC =( )A.21( 51e +32e )B.21( 51e -32e ) C.21( 32e -51e ) D.21( 52e -31e ) 2.设1e ，2e 是平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是（ ）A. 1e ，2e B . 1e +2e ，31e +32eC. 1e ，52eD. 1e ，1e +2e3.若向量a ，b 的夹角为30 ，则向量a - ，b - 的夹角为 （ ）A. 30B. 120C. 150D. 30-4. 如图，OA ，OB 不共线，AP =t AB (t ∈R)用OA ，OB 表示OP .作业1、如图，平行四边形ABCD 的两条对角线交于点M ，且AB =a ，AD =b ，用a ，b 表示MA ，MB ，MC 和MD . 自我评价你对本节课知识掌握的如何 （ ）A.较好B.好C.一般D.差。
平面向量基本定理
平面向量基本定理
平面向量基本定理：
1、定义：平面向量基本定理是一种数学定理，它将向量的矢量乘积和其他数学定理结合在一起。
2、证明：平面向量基本定理可以由叉积定理和等价矢量乘积定理来证明：
A×B = C×A+B , 其中A和B是两个向量，C是其叉积。
同时有：A⋅(B×C) = B⋅(C×A) + C⋅(A×B)
将C×A替换成A×B，得到A⋅B×C= B⋅C×A + A⋅A×B，再将A⋅A×B 替换成C×A，即得到A⋅B×C = B⋅C×A + C⋅A×B。
故A×B=C×A+B，即平面向量基本定理得证。
3、应用：平面向量基本定理主要应用于平面向量运算。
它可以用于求解三角形和圆的关系，计算叉积和点面积，求解抛物线的中心，解决线性方程组的特殊解，以及证明连续多边形的属性等。
4、例题：
（1）已知AB、BC、CD是相互垂直的向量，若AB=2，BC=3，则
AC⋅CD的值为？
（2）A、B、C、D四点不共线，且AB⋅BC=2，BC⋅CD=3，若AC=4，求CD的值？
解：（1）由题意可知，ABCD四点不共线，AB、BC、CD相互垂直，由矢量乘积的叉积定理可得，AB×BC=AC×CD，故
AC⋅CD=AB⋅BC=2×3=6。
（2）由题意可知，AB⋅BC=2，BC⋅CD=3，且AC=4，因为AB、BC、CD相互垂直，所以有：AB×BC=AC×CD，由于有AB⋅BC=2，AC=4，故CD=2/4=1/2。
2.2.1 平面向量基本定理
张喜林制2.2.1 平面向量基本定理考点知识清单1．平面向量基本定理如果21e e 、是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数,21a a 、使不共线的向量21e e 、叫做表示这一平面内所有向量的一组 记为 . 叫做向量a 关于基底,{1e }2e 的分解式． 2．直线l 的向量参数方程式A 、B 是直线l 上任意两点，O 是l 外一点，则对于l 上任意一点P ，存在实数t ，使= 3．线段中点的向量表达式A 、B 是直线l 上任意两点，O 是l 外一点，M 是线段AB 的中点，则=要点核心解读1．平面向量基本定理平面向量基本定理如果1e 和2e 是同一平面内的两个不平行的向量，那么对该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数,,21a a 使⋅+=2211e a e a a我们把不共线向量21e e 、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为221121},{e a e a e e +⋅叫做向量a 关于基底,{1e }2e 的分解式．2．直线l 的向量参数方程式及线段的中点的向量表达式已知A 、B 是直线L 上任意两点，O 是l 外一点（如图2 -2 -1-1所示），求证：对直线L 上任一点P ，存在实数t ，使OP 关于基底},{OB OA 的分解式为（﹡）并且，满足（﹡）式的点P 一定在L 上． (1)证明如下：证明：设点P 在直线L 上，则由平行向量基本定理知，存在实数t ，使).(t t -==所以AP OA OP +=t t -+=.)1(OB t OA t +-=设点P 满足等式,)1(t t +-=则=-),t -得到,t =即P 在L 上． (2)由上面证明可知，对直线L 上任意一点P ，一定存在唯一的实数t 满足向量等式（﹡）；反之，对每一个数值t ，在直线L 上都有唯一的一个点P 与之对应，向量等式（﹡）叫做直线L 的向量参数方程式，其中实数t 叫做参变数，简称参数．(3)在（﹡）中，令,21=t 点M 是AB 的中点，则这是线段AB 的中点的向量表达式，典例分类抛析考点1概念辨析问题[例2] 如图2-2-1-2，设O 是平行四边形ABCD 两对角的交点，下列向量组：;与①;与②;与③,与④其中可作为这个平行四边形所在平面内表示它的所有向量的基底的是( )．①②.A ①③.B ①④.C ③④.D[试解] （做后再看答案，发挥母题功能） [解析] AB AD 与①不共线，BC DA BC DA BC DA 与②,//,-=共线， ③不共线．与④,//,-=共线，由平面向量基底的概念知①③可构成平面内所有向量的基底 [答案] B[点拨] 关键是看向量组中向量是否共线．1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（其中i ，j 是不共线的一组向量）( )．;75,221j i e j i e +=+-=① ;10,5321j e j i e +=+=α② ⋅-=-=j i e j i e 4321,3221③ .A ① .B ①③ .C ②③ .D ①②③考点2 向量的基底表示问题[例2] 在平行四边形ABCD 中，设,,b BD a AC ==试用a 、b 表示.BC AB 、 [解析] 可以用转化法，也可用方程的思想求解， 解法一：设BD AC 、相交于点0，则有,2121,21b a ==== ∴ ,2121b a -=-=+=.2121b a +=+=+=解法二：设,,y x ==则有⎪⎩⎪⎨⎧=-=+,,BD AB AD AC BC AB 且,y BC AD ==即⎩⎨⎧=-=+,,b x y a y x ),(21),(21b a x b a y -=+=∴ 即 .2121,2121b a BC b a AB +=-=[点拨] 本题事实上是平面向量基本定理的应用，由于.BD AC 、不共线．所以平面内的所有向量都可以用它们表示．以上两种解法，思想方法有所不同，解法一通过观察图形，直接寻求向量之间的关系；解法二则采用了方程思想，即直接用、表示a 、b ，然后将、看做是未知量，利用方程思想，解得、AB ,BC 为使问题表达简单，采用了代换⋅==y BC x AB 、2．(1)如图2-2 -1 -3，已知梯形ABCD 中，//AB N M CD CD 、且,2AB .=分别是DC 、AB 的中点，设,,b a ==试以b a 、为基底表示.、、(2)设M 、N 、P 是△ABC 三边上的点，它们使,31,31,31BM ===若==AC a AB , ,b 试用a ，b 将表示出来．考点3 直线的向量参数方程应用[例3] 如图2 -2 -1-4，设一直线上三点A 、B 、P 满足O ),1(-=/=λλ是平面上任一点，则( )．λλ++=10.OB A A λλ-+=10.OB A B λλ+-=1.OB OA C λλ--=10.OBA D[试解] ．（做后再看答案，发挥母题功能）[解析] 本题可直接运用直线l 的向量参数方程式判断，由直线的向量参数方程式，若P 在直线AB 上（或P 、A 、B 共线），则一定存在实数t ，使得,)1(t t +-=注意（1-,1)=+t t 本题也可直接利用向量减法的几何意义，构造向量方程．从而解出.解法一：∵ A 、B 、P 三点共线,∴ 一定存在实数t ，使得=,)1(OB t OA t +-而t 满足,1)1(=+-t t 选项中只有++λ11:A 1111=++=+λλλλ符合， 解法二：由,λ=得),.(-=-λ⋅-=/++=∴)1(10λλλ[答案] A[点拨] 本题实质上是直线向量参数方程的变式．3．设、不共线， P 点在AB 上，求证：μλ+=且⋅∈=+),(1R μλμλ 考点4证明几何问题[例4] 平面内有一个△ABC 和一点o(如图2-2 -1-5)，线段OA 、OB 、OC 的中点分别为E 、F 、G ，BC 、CA 、AB 的中点分别为L 、M 、N ，设.,,c OC b OB a OA ===(1)试用a 、b 、c 表示向量;GN FM EL 、、⋅(2)证明线段GN FM EL 、、交于-点且互相平分．[解析] (1)结合图形，利用向量的加、减法容易表示出向量.(2)要证三条线段交于一点且互相平分，可考虑证明P 点到三条线段中点的向量相等．(1)如图2-2 -1-5．),(21,21c b a +==⋅-+=-=∴)(21a cb OE OL EL 同理⋅-+=-+=)(21),(21c b a GN b c a FM(2)证明：设线段EL 的中点为,1P 则).(41)0(211C b a L OP ++=+=设FM 、GN 的中点分别为,P 32、P 同理可求得).(41),(4132C b a OP C b a OP ++=++=,321OP ==∴即GN FM EL 、、交于一点，且互相平分． [点拨] 用向量法证明三线相交于一点且互相平分常用的方法是：在平面上找一点，证明这点到三条线段中点的向量相等，找点时，要考虑运算的简便性．4．证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。
平面向量的基本定理及坐标运算
一、平面向量的基本定理（1）平面向量基本定理：如果1e 和2e 是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数1a ，2a ，使a =1122a e a e +．（2） 基底：我们把不共线向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记作{}12,e e ．1122a e a e +叫做向量a 关于基底{}12,e e 的分解式． 注：①定理中1e ，2e 是两个不共线向量；②a 是平面内的任一向量，且实数对1a ，2a 是惟一的； ③平面的任意两个不共线向量都可作为一组基底．（3）平面向量基本定理的证明：在平面内任取一点O ，作11OE e =，22OE e =，OA a =．由于1e 与2e 不平行，可以进行如下作图：过点A 作2OE 的平行（或重合）直线，交直线1OE 于点M ，过点A 作1OE 的平行（或重合）直线，交直线2OE 于点N ，于是依据平行向量基本定理，存在两个唯一的实数1a 和2a 分别有11OM a e =，22ON a e =，所以1122a OA OM ON a e a e ==+=+证明表示的唯一性：如果存在另对实数x ，y 使12OA xe ye =+，则112212a e a e xe ye +=+，即1122()()0x a e y a e -+-=，由于1e 与2e 不平行，如果1x a -与2y a -中有一个不等于0，不妨设20y a -≠，则1212x a e e y a -=--，由平行向量基本定理，得1e 与2e 平行，这与假设矛盾，因此10x a -=，20y a -=，即1x a =，2y a =．二、向量的正交分解与向量的直角坐标运算：（1）向量的直角坐标：如果基底的两个基向量1e ，2e 互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．（2）向量的坐标表示：在直角坐标系中，一点A 的位置被点A 的位置向量OA 所唯一确定．设点A 的坐标为(,)x y ，由平面向量基本定理，有12(,)OA xe ye x y =+=，即点A 的位置向量OA 的坐标(,)x y ，也就是点A 的坐标；反之，点A 的坐标也是点A 相对于坐标原点的位置向量OA 的坐标．E 2E 1e 2e 1O ANMae1e 2axyO O yxae 2e 1平面向量的基本定理及坐标运算（3）向量的直角坐标运算：设12(,)a a a =，12(,)b b b =，则 ①1122(,)a b a b a b +=++；②1122(,)a b a b a b -=--；③1212(,)(,)a a a a a λλλλ==注：①两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差；②数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积．（4）若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则向量2121(,)AB OB OA x x y y =-=--；即：一个向量的坐标等于向量的终点的坐标减去始点的坐标．（5）用平面向量坐标表示向量共线条件：设12(,)a a a =，12(,)b b b =，则12210a b a b -=就是两个向量平行的条件．若向量b 不平行于坐标轴，即10b ≠，20b ≠，则两个向量平行的条件是，相应坐标成比例．题型一、平面向量的基本定理【例1】 若已知1e 、2e 是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是（ ）A ．1e 与2e -B ．31e 与22eC ．1e ＋2e 与1e —2eD ．1e 与21e【例2】 线段与互相平分，则可以表示为（ ）A ．B ．C ．D ． 【例3】 已知ABCD □的两条对角线交于点O ，设AB a =，AD b =，用向量a 和b 表示向量BD ，AO ．【例4】 如图，平行四边形ABCD 中，E F 、分别是BC DC 、的中点，G 为DE BF 、的交点，若AB =a ，AD =b ，试以a ，b 为基底表示DE 、BF 、CG ．AB CD BD AB CD -1122AB CD -+1()2AB CD -()AB CD --GFE DCBA【例5】 设P 是正六边形OABCDE 的中心，若OA a =，OE b =，试用向量a ，b 表示OB 、OC 、OD【例6】 已知向量a ，b 不共线，()R c ka b k =+∈，d a b =-，如果c d ∥，那么（ ）A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向【例7】 已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A ，C ），则AP 等于（ ）A ．()AB AD λ+，(01)λ∈， B ．()AB BC λ+，202λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭， C ．()AB AD λ+，202λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，D ．()AB BC λ-，202λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭， 【例8】 已知向量a b ，不共线，m n ，为实数，则当0ma nb +=时，有m n += 【例9】 在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC AE AF λμ=+，其中λ，R μ∈，则λμ+= ．【例10】证明：若向量,,OA OB OC 的终点A B C 、、共线，当且仅当存在实数,λμ满足等式1λμ+=，使得OC OB OA λμ=+．POE DCBAFEDCBAOCBA题型二、平面向量的坐标表示与运算【例11】设向量(23),AB =，且点A 的坐标为(12),，则点B 的坐标为 ． 【例12】若(21),a =，(34),b =-则34a b +的坐标为_________． 【例13】设平面向量()()3,5,2,1a b ==-，则2a b -=（ ）A ．()6,3B ．()7,3C ．()2,1D ．()7,2【例14】已知(2,3),(1,2)a x b y =-=+，若a b =，则x = ，y = ． 【例15】若()0,1A ，()1,2B ，()3,4C ，则AB -2BC = 【例16】若()3,2M -，()5,1N --且12MP =MN ，求P 点的坐标．【例17】已知向量()1,0a =，()0,1b =，()R c ka b k =+∈，d a b =-，如果那么（ ）A ．且与同向B ．且与反向C ．且与同向D ．且与反向【例18】已知向量()11a =，，()2b x =，若a b +与42b a -平行，则实数的值是（ ） A ．2- B ．0 C ．1 D ．2【例19】在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB DC ∥，AD BC ∥，已知点()2,0A -，()6,8B ，()8,6C ，则D 点的坐标为___________．【例20】已知向量()3,1a =，()1,3b =，(),7c k =，若()a c -∥b ，则= ． 【例21】已知()12a =，，()32b =-，，当ka b +与3a b -平行，k 为何值（ ）A ．14 B ．－14 C ．－13 D ．13【例22】已知(1,2),(3,2)a b ==-，当实数k 取何值时，k a ＋2b 与2a -4b 平行？//c d 1k =c d 1k =c d 1k =-c d 1k =-c d x k【例23】点(23),A 、(54),B 、(710),C ，若()R AP AB AC λλ=+∈，试求λ为何值时，点P 在一、三象限角平分线上．【练1】 在ABC △中，AB c =，AC b =．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ）A ．2133b c +B ．5233c b -C ．2133b c -D ．1233b c +【练2】 如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为．【练3】 已知两个向量()()121a b x ==，，，，若a b ∥，则x 的值等于（ ） A ．12-B ．12C ．2-D ．2【练4】 若平面向量a ，b 满足1a b +=，a b +平行于轴，()21b =-，，则a = ．DCBAONMCBAx 随堂练习【题1】 若向量()1,1a =，()1,1b =-，()4,2c =，则c = （ ）A ．3a +bB ． 3a -bC ．-a +3bD ．a +3b【题2】 已知a ＝（4，2），b ＝（x ，3），且a ∥b ，则x 等于（ ）A ．9B ．6C ．5D ．3【题3】 已知平面向量a ＝（x ，1），b ＝（－x ，x 2），则向量a ＋b （ ）A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第一、四象限的角平分线【题4】 已知向量e 1与e 2不共线，实数x ，y 满足（3x －4y ）e 1＋（2x －3y ）e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y 等于（ ）A ．3B ．－3C ．0D ．2【题5】 已知向量(1,2)a =，(0,1)b =，设u a kb =+，2v a b =-，若u ∥v ，则实数k 的值为（ ）A ．－1B ．－12C ．12D ．1【题6】 设点A （2，0），B （4，2），若点P 在直线AB 上，且|AB |＝2|AP |，则点P 的坐标为（ ）A ．（3，1)B ．（1，－1）C ．（3，1）或（1，－1)D ．无数多个【题7】 设(1,2),(2,3),a b ==若向量a b λ+与向量(4,7)c =--共线，则λ=．【题8】 已知向量a ＝（2，－1），b ＝（－1，m ），c ＝（－1，2），若（a ＋b ）∥c ，则m ＝________．【题9】 已知A （－2，4），B （3，－1），C （－3，－4）．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN→＝－2b ．（1）求：3a ＋b －3c ；（2）求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ．【题10】 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝（ ） A ．14a ＋12b B ．23a ＋13b C ．12a ＋14bD ．13a ＋23b课后作业。
第二章 2.3 2.3.1 平面向量基本定理
2．3.1平面向量基本定理1．平面向量基本定理条件e1，e2是同一平面内的两个不共线向量结论这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2基底不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底[点睛]对平面向量基本定理的理解应注意以下三点：①e1，e2是同一平面内的两个不共线向量；②该平面内任意向量a都可以用e1，e2线性表示，且这种表示是唯一的；③基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底．2．向量的夹角条件两个非零向量a和b产生过程作向量OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角范围0°≤θ≤180°特殊情况θ＝0°a与b同向θ＝90°a与b垂直，记作a⊥bθ＝180°a与b反向[点睛]当a与b共线同向时，夹角θ为0°，共线反向时，夹角θ为180°，所以两个向量的夹角的范围是0°≤θ≤180°.用基底表示向量[典例]如图，在平行四边形ABCD中，设对角线AC＝a，BD＝b，试用基底a，b表示AB，BC.[活学活用]如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AD，BC边上的中点，且BC＝3AD，BA＝a，BC＝b.试以a，b为基底表示EF，DF，CD.向量夹角的简单求解[典例]已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b 与a的夹角又是多少？[活学活用]如图，已知△ABC是等边三角形．(1)求向量AB与向量BC的夹角；(2)若E为BC的中点，求向量AE与EC的夹角．平面向量基本定理的应用[典例]NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN.[一题多变]1．[变设问]在本例条件下，若CM＝a，CN＝b，试用a，b表示CP，2．[变条件]若本例中的点N 为AC 的中点，其它条件不变，求AP ∶PM 与BP ∶PN .层级一 学业水平达标1．已知平行四边形ABCD 中∠DAB ＝30°，则AD 与CD 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°2．设点O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是( )①AD 与AB ；②DA 与BC ；③CA 与DC ；④OD 与OB . A ．①② B ．①③ C ．①④D ．③④3．若AD 是△ABC 的中线，已知AB ＝a ，AC ＝b ，则以a ，b 为基底表示AD ＝( ) A ．12(a －b )B ．12(a ＋b )C ．12(b －a )D ．12b ＋a4．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC ＝e 1，DC ＝e 2，则OC ＝( ) A ．12(e 1＋e 2)B ．12(e 1－e 2)C ．12(2e 2－e 1)D ．12(e 2－e 1)5．设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ＝3CD ，则( ) A ．AD ＝－13AB ＋43AC B ．AD ＝13AB －43ACC ．AD ＝43AB ＋13AC D ．AD ＝43AB －13AC6．已知向量a ，b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为______．7．已知e 1，e 2是两个不共线向量，a ＝k 2e 1＋⎝⎛⎭⎫1－5k2e 2与b ＝2e 1＋3e 2共线，则实数k ＝______.8．如下图，在正方形ABCD 中，设AB ＝a ，AD ＝b ，BD ＝c ，则在以a ，b 为基底时，AC 可表示为______，在以a ，c 为基底时，AC 可表示为______．9.如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM ＝13BC ，CN ＝13CA ，AP ＝13AB ，若AB ＝a ，AC ＝b ，试用a ，b 将MN ，NP ，PM 表示出来．10．证明：三角形的三条中线共点．层级二 应试能力达标1．在△ABC 中，点D 在BC 边上，且BD ＝2DC ，设AB ＝a ，AC ＝b ，则AD 可用基底a ，b 表示为( )A ．12(a ＋b )B ．23a ＋13bC ．13a ＋23bD ．13(a ＋b )2．AD 与BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，且AD ＝a ，BE ＝b ，则BC ＝( ) A ．43a ＋23bB ．23a ＋43bC ．23a －23bD ．－23a ＋23b3．如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么，下列命题中正确的是( ) A ．若存在实数λ1，λ2，使得λ1e 1＋λ2e 1＝0，则λ1＝λ2＝0B ．平面α内任一向量a 都可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中λ1，λ2∈RC ．λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内，λ1，λ2∈RD ．对于平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对4．已知非零向量OA ，OB 不共线，且2OP ＝x OA ＋y OB ，若PA ＝λAB (λ∈R)，则x ，y 满足的关系是( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝05．设e1，e2是平面内的一组基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则e1＋e2＝________a ＋________b.6．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为________．7．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.(1)证明：a，b可以作为一组基底；(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．8．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：AM＝34AB＋14AC.(1)求△ABM与△ABC的面积之比．(2)若N为AB中点，AM与CN交于点O，设BO＝x BM＋y BN，求x，y的值．。
(完整版)平面向量基本定理
例2.在等边三角形中，求 (1)AB与AC的夹角； (2)AB与BC的夹角。
C C'
1200
60
A
B
1. 平面向量基本定理 2.平面向量基本定理的应用 3.向量的夹角与垂直 4.转化思想方法及其应用
2.3.2平面向量正交分解及坐标表示
向量的正交分解
ur uur
一一、般地数,乘实数的定与义向量：a 的积是一个向量,记作:a
它的长度和方向规定如下:
(1)| ar (2)当
当 (3)当
||
0
0 0
时时时|| a,,r,或|;aaa的的方方0向向时与与, aaa
的方向相同; 的方向相同;
0
二(((213))、)第结第数一合二乘分 律分的配:配律律运::算(律((ar：ar )b)rar) (ara)rararbr
（2）定理中向量a 是任一向量，实数1与唯2 一.
（3）1e1 叫2 e做2 向量 关于a 基底 的e分1 , 解e2 式. (4)基底给定时,分解形式唯一.
典
基底的概念
例 【例1】若向量a，b不共线，且c 2a b,d 3a 2b,试判断
精 向量c 与d 能否作为基底.
反 (2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则 x－y＝________.
馈
3.如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起， 若A→D＝xA→B＋yA→C，则 x＝_______，y＝______.
知识点二、向r 量的r 夹u角uur 与r垂直: B
两个非零向量 a 和 b ,作OA a ， b
D.A→B，D→A
巩 2.若点o是平行四边形ABCD 的中心，AB 4e1 ,BC 6e2 ,
平面向量的基本定理
DM C
A
N
B
解析：设AB = e1,AD = e2,则有：
DC
=
1
2 AB
=
12e1
BC = BD + DC =(AD–AB)+DC
= e2
- e1+
1 2
e1=
-
1 2
e1
+
e2
MN = DN-DM
DM C
2=0（1=0），使得: a = 1e1 + 2e2 .
例1、已知向量e1、e2，求作 2.5e1 3e2.
C
B
e2
A e1 2.5e1
3e2
·O
例2、如图所示，平行四边形ABCD
的两条对角线相交于点M，且AB
a ，AD b，用a、b表示MCA、MB、MC、
MD.
D
C
M
A
e1 A
·O
B
例3、 如图，已知梯形ABCD， AB//CD，且AB= 2DC,M,N分别
平面向量基本定理
1、向量加法的平行四边 形法则
2、共线向量的基本定理
设e1、e2是同一平面内的两个 不共线向量，a是这一平面内
的任意向量，我们研究a与e1 、e2之间的关系.
e1
a
e2
OC = OM + ON =1OA + 2OB
即 a = 1e1+ 2e2 .
e1 a
e2
M
C
Aa
e1
O
N e2 B
解： A、B、D三点共线
AB与BD共线,则存在实数
平面向量基本定理-完整版课件
中不能作为基底的是
()
A．{e1，e2}
B．{e1＋e2,3e1＋3e2}
C．{e1,5e2}
D．{e1，e1＋e2}
[名师点津]
1．平面向量基本定理包括两个方面的内容：一是存在性，即 存在实数λ1，λ2，使a ＝λ1e1＋λ2e2；二是唯一性，即对任意 向量a ，存在唯一实数对λ1，λ2，使a ＝λ1e1＋λ2e2.
[问题探究] 1.如图所示，OM∥AB，点P在由射线
OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影 区域内(不含边界)运动，且―O→P ＝－12―O→A ＋m―O→B ，求实数m的取值范围．
[迁移应用] 如图所示，在边长为 2 的正六边形 ABCDEF 中，动圆 Q 的半径为 1，圆心在线段 CD(含 端点)上运动，P 是圆 Q 上及其内部的动点， 设向量―A→P ＝m―A→B ＋n―A→F (m，n∈R )，则
提示：都能． 2．基底是否是固定不变的？
提示：不是．
[做一做]
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底．( )
(2)基底中的向量可以是零向量．
()
(3)平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线
性分解形式也是唯一确定的．
()
2．设e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，则以下各组向量
对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否 共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底； (2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都 可以由这组基底唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个
不共线的向量，若x1a ＋y1b ＝x2a ＋y2b ，则x1＝x2且y1＝y2. [提醒] 一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同
平面向量的基本定理及坐标表示
平面向量的基本定理及坐标表示全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：平面向量是我们在高中数学学习中接触到的一个重要知识点，它在几何学和代数学中都有着重要的作用。
平面向量本质上是有大小和方向的量，它可以用箭头表示出来，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
而平面向量的基本定理和坐标表示是我们学习平面向量的重要内容，下面我就来详细介绍一下。
一、平面向量的基本定理1. 平行向量的概念两个向量如果它们的方向相同或者相反，那么我们称这两个向量为平行向量。
平行向量的特点是它们的模相等，方向相同或者相反。
2. 向量的加法如果有两个向量a和b，它们的起点相同，那么我们可以通过平行四边形法则将这两个向量相加，即将向量b平移至向量a的终点，然后连接向量a的起点和向量b的终点，这条连接线就是向量a+b的结果。
3. 向量的数量积向量的数量积，也称为点积或内积，是两个向量的特殊乘积。
设有两个向量a和b，它们之间夹角为θ，那么a·b=|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长。
二、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，我们可以用坐标表示一个向量。
设有一个向量a，它在平面直角坐标系中的起点为O(0,0)，终点为A(x,y)，那么我们可以用坐标(x,y)表示向量a。
在平面直角坐标系中，向量a与坐标轴之间的夹角为θ，那么向量a的方向角为θ。
根据三角函数的定义，我们有cosθ=x/|a|，sinθ=y/|a|，tanθ=y/x，这三个公式可以帮助我们求解向量的方向角。
对于向量的数量积和叉积，我们也可以通过向量的坐标表示来进行计算。
设向量a在坐标系中的起点为O(0,0)，终点为A(x1,y1)，向量b在坐标系中的起点为O(0,0)，终点为B(x2,y2)，那么向量a和向量b 的数量积为x1x2+y1y2，向量a和向量b的叉积为x1y2-x2y1。
平面向量的基本定理和坐标表示是我们学习平面向量的重要内容，通过深入理解这些知识点，我们可以更好地解决平面向量的相关问题，为我们的数学学习打下坚实的基础。
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2.3.1平面向量基本定理
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Problem of comb
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