高二上学期数学第二次月考试卷
高二数学上学期月考试题及答案
界首一中高二上学期第二次月考数学试题（文）命题人 王绍龙 审题人 陈文生一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．若a ∈R ，则“a <1”是“1a >1”成立的( B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2. 在△ABC 中，sin A :sin B :sin C = 3:2:4，则cos C 的值为（ D ）.A ．23B ．－23C ．14D ．－143. 已知首项为正数的等差数列{}n a 满足: 201020090a a +>,20102009a a <,则使其前n 项和0nS >成立的最大自然数n 是（ C ）.A. 4016B. 4017C. 4018D. 40194．在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于( A )A ．2nB ．3nC ．3n －1D ．2n ＋1－2 5．已知不等式(x ＋y )(1x ＋ay )≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( C )A ．8B ．6C ．4D ．2 6．已知锐角三角形三边分别为3，4，a ，则a 的取值范围为（ C ）A ．51<<aB ．71<<a C ．57<<a D ．77<<a7．若不等式组⎩⎨⎧x ≥0x ＋3y ≥43x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( A )A ．73B ．.37C ．43D ．348．设0,0.a b >>1133a bab+与的等比中项，则的最小值为（ B ）A ． 8B ． 4C ． 1D ． 149．如图:B C D ,,三点在地面同一直线上，aDC=，从D C ,两点测得A 点仰角分别是()βαβ<a,，则A 点离地面的高度AB 等于( A ) ．A ．()αββα-⋅sin sin sin a B ． ()βαβα-⋅cos sin sin a C ．()αββα-⋅sin cos sin a D ．()βαβα-⋅cos sin cos a10．数列{}n a 中，相邻两项n a ，1+n a 是方程032=++n b nx x 的两根，已知1710-=a ，则51b 的值等于（ B ）A ．5800B ．5840C ．5860D ．6000二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 命题“对任意的Rx ∈,0123≤+-xx ，”的否定是存在Rx ∈,0123>+-x x12．在ΔABC 中，若ABC S ∆ =41 (a 2+b 2－c 2),那么角∠C=______.45013．给出四个命题：①偶数都能被2整除；②实数的绝对值大于0；③存在一个实数x ，使sin x ＋cos x ＝2；④α，β为第一象限的角，且α>β，则sin α>sin β. 其中既是全称命题又是假命题的是________．②④14．教育储蓄是一种零存整取定期储蓄存款，它享受整存整取利率，利息免税．设月利率为r ，若连续存n 个月后一次支取本息合计S 万元，则每月应存入________元．(用n ，r ，S 表示) 2Sn [(n ＋1)r ＋2]15．已知函数x ，y 满足x ＋2y ＝1，则1＋2y 2xy 的最小值为________．26＋4三、解答题（大题共6题，共75分）16.（12分）若r (x )：sin x ＋cos x >m ，s (x )：x 2＋mx ＋1>0.如果任意x ∈R ，r (x )为假命题，且s (x )为真命题．求实数m 的取值范围． 解： 由于sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[－2，2]，所以若x ∈R ，r (x )为假命题． 则存在x 0∈R ，使r (x 0)≤m 为真命题．故m ≥－ 2.又由x ∈R ，s (x )为真命题，即不等式 x 2＋mx ＋1>0，x ∈R 恒成立．∴Δ＝m 2－4<0. 解得－2<m <2，综上可得－2≤m <2.17.（12分）已知A B C △1，且sin sin A B C+=．（1）求边c 的长； （2）若A B C △的面积为1sin 6C，求角C 的度数．解：（I ）由题意及正弦定理，得1A B B C A C ++=，B C A C B +=，两式相减，得1A B =． （II ）由A B C △的面积11sin sin 26B C A C C C =，得13B C A C =，由余弦定理，得222co s 2A C B C A BC A C B C+-=22()2122A CBC A C B C A BA CB C+--==，所以60C =18.（12分）已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝k ·2n ＋m ，k ≠0，且a 1＝3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1) n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1·k .由a 1＝3得k ＝3，∴a n ＝3·2n －1，又a 1＝2k ＋m ＝3，∴m ＝－3.(2)b n ＝n a n ＝n 3·2n －1，T n ＝13⎝⎛⎭⎫1＋22＋322＋…＋n 2n －1， ②12T n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋222＋ …＋n －12n －1＋n 2n ， ③ ②－③得12T n ＝13⎝⎛⎭⎫1＋12＋222＋…＋12n －1－n 2n ，T n ＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1·⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12－n 2n ＝43⎝⎛⎭⎫1－12n －n 2n ＋1.19.（13分）锐角三角形ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边， 且bcacb =-+222（1）求角A 的大小； （2）求⎪⎭⎫ ⎝⎛++=62sin sin22πB B y的最大值，并求取得最大值时角B 的大小.解：(1) 因为bc ac b =-+222所以A cos =212222=-+bcacb又因为A ⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0π所以A=3π(2) 将⎪⎭⎫ ⎝⎛++=62sin sin22πB B y 的右边展开并整理得：)62sin(1π-+=B y ，20π<<B65626πππ<-<-∴B ，3262πππ==-∴B B 即当时y 有最大值是2。
数学-高二年级第二次月考数学试题
王淦昌高级中学2022-2023学年第二学期高二年级第二次月考数学试题2023．5（考试时间：120分钟分值：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设,a b 均为非零实数且a b <，则下列结论正确的是()A ．11a b > B ．22a b < C ．2211a b<D ．33a b <2．25()x x -的展开式中含5x 项的系数为 （） A ． 1-B ． 5-C ． 1D ． 53．命题“2[1,2],0x x a ∀∈-≤”为真命题的一个充分不必要条件是 （ ）A ． 4a ≥B ．4a ≤C ． 5a ≥D ． 5a ≤4．袁隆平院士是我国的杂交水稻之父，他一生致力于杂交水稻的研究，为解决中国人民的温饱和保障国家粮食安全作出了重大贡献．某杂交水稻研究小组先培育出第一代杂交水稻，再由第一代培育出第二代，带二代培育出第三代，以此类推，且亲代与子代的每穗总粒数之间的关系如下表示：（注：亲代是产生后一代生物的生物，对后代生物来说是亲代，所产生的后一代交子代）通过上面四组数据得到了x 与y 之间的线性回归方程是ˆˆ4.4yx a =+，预测第五代杂交水稻每穗的总粒数为 （ ） A ．211 B ．212C ．213D ．2145． 某班50名同学参加体能测试，经统计成绩c 近似服从2(90,)N σ，()90950.3P c ≤≤=，则可估计该班体能测试成绩低于85分的人数为 （ ） A ． 5B ． 10C ． 15D ． 306． 某校拟从5名班主任及5名班长(3男2女)中选派1名班主任和3名班长去参加“党史主题活动”， 要求2名女班长中至少有1人参加，则不同的安排方案有（ ）种． A ． 9B ． 15C ． 60D ． 457． 现行排球比赛规则为五局三胜制，前四局每局先得25分者为胜，第五局先得15分者为胜，并且每赢1球得1分，每次得分者发球；当出现24平或14平时，要继续比赛至领先2分才能取胜．在一局比赛中，甲队发球赢球的概率为12，甲队接发球赢球的概率为35，在比分为24∶24平且甲队发球的情况下，甲队以27∶25赢下比赛的概率为（ ）A ．18B ．320C ．310D ．7208． 设函数,(),x xx af x e x x a ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，若函数存在最大值，则实数a 的取值范围是（ ）A ． 1a ≤B ． 1a <C ． 1a e ≤D ． 1a e<二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分． 9． 已知a ，b ∈R ，0,0a b >>，且2a b +=，则下列说法正确的为 （ ） A ．ab 的最小值为1 B ．22log log 0a b +≤C ． 224a b +≥D ． 1222a b+≥10． 甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是 （ ） A ． 如果甲，乙必须相邻，那么不同的排法有24种B ． 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C ． 甲乙不相邻的排法种数为72种D ． 甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种11． 某车间加工同一型号零件，第一、二台车床加工的零件分别占总数的40%，60%，各自产品中的次品率分别为6%，5%．记“任取一个零件为第i 台车床加工(1,2)i =”为事件i A ，“任取一个零件是次品”为事件B ，则 （ ） A ．()0.054P B = B ．()20.03P A B = C ．()10.06P B A = D ．()259P A B = 12．已知函数()()2ln f x x ax x a R =--∈，则下列说法正确的是（ ）A ．若1a =-，则()f x 是1(0,)2上的减函数 B ．若01a ≤≤，则()f x 有两个零点 C ．若1a =，则()0f x ≥D ．若1a >，则曲线()y f x =上存在相异两点M ，N 处的切线平行 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，20分．把答案填在题中的横线上． 13．已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++<的解集为{}3|1x x <<，则20cx bx a -+>的解集是___________．14．命题“x ∃∈R ，()()22210a x a x +++-≥”为假命题，则实数a 的取值范围为______．15．某学校有一块绿化用地，其形状如图所示．为了让效果更美观，要求在四个区域内种植花卉，且相邻区域颜色不同．现有五种不同颜色的花卉可供选择，则不同的种植方案共有________种．（用数字作答） 16．已知x >1，y <0，且3y (1－x )＝x ＋8，则x －3y 的最小值为 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17． (本小题满分10分)已知集合{}|132A x m x m =-≤≤-，不等式411x ≥+的解集为B ． （1）当3m =时，求AB ；（2）若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．18．(本小题满分12分)已知在n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是14：3．（1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中含5x 的项．19．(本小题满分12分)从装有2只红球，2只白球和1只黑球的袋中逐一取球，已知每只球被抽取的可能性相同． （1）若抽取后又放回，抽3次．①分别求恰2次为红球的概率及抽全三种颜色球的概率； ②求抽到红球次数η的数学期望及方差．（2）若抽取后不放回，写出抽完红球所需次数ξ的分布列．20．(本小题满分12分)某校成立了生物兴趣小组，该兴趣小组为了探究一定范围内的温度x 与豇豆种子发芽数y该兴趣小组确定的研究方案是：先从这7组数据中任选5组数据建立y 关于x 的线性回归方程，并用该方程对剩下的2组数据进行检验．（1）若选取的是星期一、二、三、六、日这5天的数据，求出y 关于x 的线性回归方程； （2）若由线性回归方程得到的估计数据与选出的检验数据的误差均不超过2个，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为121()()ˆ()niii nii x x yy bx x ==--=-∑∑，ˆˆay b x =-⋅．21．(本小题满分12分)疫情过后，百业复苏，某餐饮店推出了“三红免单”系列促销活动，为了增加活动的趣味性与挑战性，顾客可以从装有3个红球、7个白球的袋子中摸球参与活动，商家提供A 、B 两种活动规则：规则A ：顾客一次性从袋子中摸出3个球，如果3个球都是红球，则本次消费免单；如果摸出的3个球中有2个红球，则获得价值200元的优惠券；如果摸出的3个球中有1个红球，则获得价值100元的优惠券；如果摸出的3个球中没有红球，则不享受优惠．规则B ：顾客分3次从袋子中摸球，每次摸出1只球记下颜色后放回，按照3次摸出的球的颜色计算中奖，中奖优惠方案和规则A 相同．（1）某顾客计划消费300元，若选择规则A 参与活动，求该顾客参加活动后的消费期望； （2）若顾客计划消费300元，则选择哪种规则参与活动更加划算？试说明理由．22．(本小题满分12分)已知函数2()ln (12)1f x x mx m x =-+-+． （1）若1m =，求()f x 的极值；（2）若对任意0x >，()0f x ≤恒成立，求整数m 的最小值．。
咸丰县第一高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
咸丰县第一高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 设n S 是等比数列{}n a 的前项和，425S S =，则此数列的公比q =（ ）A ．-2或-1B ．1或2 C.1±或2 D ．2±或-12． 平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（ ）A ．B ．C ．4D ．123． 函数()()f x x R Î是周期为4的奇函数，且在02[,]上的解析式为(1),01()sin ,12x x x f x x x ì-＃ï=íp <?ïî，则1741()()46f f +=（ ） A ．716 B ．916 C ．1116 D ．1316【命题意图】本题考查函数的奇偶性和周期性、分段函数等基础知识，意在考查转化和化归思想和基本运算能力．4． 空间直角坐标系中，点A （﹣2，1，3）关于点B （1，﹣1，2）的对称点C 的坐标为（ ） A ．（4，1，1） B ．（﹣1，0，5）C ．（4，﹣3，1）D ．（﹣5，3，4）5． △ABC 的三内角A ，B ，C 所对边长分别是a ，b ，c ，设向量，，若，则角B 的大小为（ ）A ．B ．C ．D ．6． 已知定义在R 上的可导函数y=f （x ）是偶函数，且满足xf ′（x ）＜0， =0，则满足的x 的范围为（ ）A ．（﹣∞，）∪（2，+∞）B ．（，1）∪（1，2）C ．（，1）∪（2，+∞）D ．（0，）∪（2，+∞）7． 已知函数f （x ）=2x ﹣+cosx ，设x 1，x 2∈（0，π）（x 1≠x 2），且f （x 1）=f （x 2），若x 1，x 0，x 2成等差数列，f ′（x ）是f （x ）的导函数，则（ ） A ．f ′（x 0）＜0B ．f ′（x 0）=0C ．f ′（x 0）＞0D ．f ′（x 0）的符号无法确定8． 设=（1，2），=（1，1），=+k ，若，则实数k 的值等于（ ）A ．﹣B ．﹣C ．D ．9． 已知，，那么夹角的余弦值（ ）A ．B ．C ．﹣2D ．﹣10．设m 是实数，若函数f （x ）=|x ﹣m|﹣|x ﹣1|是定义在R 上的奇函数，但不是偶函数，则下列关于函数f （x ）的性质叙述正确的是（ ）A ．只有减区间没有增区间B ．是f （x ）的增区间C ．m=±1D ．最小值为﹣311．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若=2， =，则λ=（ ）A ．B ．C ．﹣D ．﹣12．下列式子表示正确的是（ ）A 、{}00,2,3⊆B 、{}{}22,3∈C 、{}1,2φ∈D 、{}0φ⊆二、填空题13．经过A （﹣3，1），且平行于y 轴的直线方程为 ．14．在（x 2﹣）9的二项展开式中，常数项的值为 ．15．若正数m 、n 满足mn ﹣m ﹣n=3，则点（m ，0）到直线x ﹣y+n=0的距离最小值是 ．16．计算sin43°cos13°﹣cos43°sin13°的值为 ．17．在平面直角坐标系中，(1,1)=-a ，(1,2)=b ，记{}(,)|M O M λμλμΩ==+a b ，其中O 为坐标原点，给出结论如下：①若(1,4)(,)λμ-∈Ω，则1λμ==；②对平面任意一点M ，都存在,λμ使得(,)M λμ∈Ω； ③若1λ=，则(,)λμΩ表示一条直线； ④{}(1,)(,2)(1,5)μλΩΩ=；⑤若0λ≥，0μ≥，且2λμ+=，则(,)λμΩ表示的一条线段且长度为 其中所有正确结论的序号是 ．18．在直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=BC=1，侧棱AA 1=，M 为A 1B 1的中点，则AM 与平面AA 1C 1C 所成角的正切值为（ ）A ．B ．C ．D ．三、解答题19．设A=2{x|2x+ax+2=0}，2A ∈,集合2{x |x 1}B ==（1）求a 的值，并写出集合A 的所有子集；（2）若集合{x |bx 1}C ==,且C B ⊆,求实数b 的值。
福建省龙岩第一中学2022-2023学年高二上学期第二次月考数学试题(含答案)
龙岩一中2022-2023学年第一学期高二第二次月考数学试题（考试时间：120分钟 满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1()320y m m --=∈R 的倾斜角为A ．120B ．60C ．30D ．1502．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若378a a +=，则9S = A ．24B ．36C ．48D ．723．直线250x y ++=与直线20kx y +=互相垂直，则它们的交点坐标为 A ．(1,3)--B ．(2,1)--C ．1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(1,2)--4．数列1，12+，2122++，⋯ ，23112222n -+++++，的前n 项和为A ．21n n --B ．122n n +--C ．2nD ．12n n +-5．直线20x y +-=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆22420x y x +++=，则PAB △面积的取值范围是A ．B ．C ．[2,6]D ．[4,12]6．数列122022n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭A ．既有最大项，又有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．既无最大项，又无最小项7．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M ，N 是锐角AQB ∠的一边QA 上的两点，试在QB 边上找一点P ，使得MPN ∠最大．”如图，其结论是：点P 为过M ，N 两点且和射线QB 相切的圆与射线QB 的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy 中，给定两点M （-1，2），N （1，4），点P 在x 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是 A ．1B ．-7C ．1或-1D ．2或-78．已知数列{}n a 满足12a =，26a =，且2122n n n a a a ++-+=，若[]x 表示不超过x 的最大整数（例如[]1.61=，[]1.62-=-）.则222122020232021a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++⋅⋅⋅+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ．2018B ．2019C ．2020D ．2021二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．若两平行线分别经过点A （5，0），B （0，12），则它们之间的距离d 可能等于 A ．14B ．5C ．12D ．1310．等差数列{}n a 中，10a >，公差0d <，n S 为其前n 项和，对任意正整数n ，若点(),n n S 在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线不可能是A ．B ．C ．D ．11．下列说法正确的是A ．过点()1,2P 且在x 、y 轴截距相等的直线方程为30x y +-=B ．过点()1,2-且垂直于直线230x y -+=的直线方程为20x y +=C ．圆的一般方程为D ．直线()24y k x =-+与曲线1y =k 的取值范围12220x y Dx Ey F ++++=53,124⎛⎤⎥⎝⎦．某县位于沙漠边缘，当地居民与风沙进行着艰苦的斗争，到2020年底全县的绿地占全县总面积的70%.从2021年起，市政府决定加大植树造林､开辟绿地的力度，预计每年能将前一年沙漠的18%变成绿地，同时，前一年绿地的2%又被侵蚀变成沙漠.则下列说法正确的是A ．2021年底，该县的绿地面积占全县总面积的74%B ．2023年底，该县的绿地面积将超过全县总面积的80%C ．在这种政策之下，将来的任意一年，全县绿地面积都不能超过90%D ．在这种政策之下，将来的某一年，绿地面积将达到100%全覆盖三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．数列{}n a 中，1111,,21n n n a a a a --==+则n a =_____________．14．设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．已知数列的前项和，则的值是_______．15．在直角坐标系xOy 中，已知直线:cos sin 1l x y θθ⋅+⋅=，当θ变化时，动直线始终没有经过点P ，定点Q 的坐标()2,0-，则PQ 的取值范围为 ． 16．已知动点(,)P m n 在圆22 1O x y +=：上，则31n m --的取值范围是____________，若点1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点，则2||||PA PB +的最小值为____________． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知等比数列 的首项，公比，数列． (1)证明：数列 为等差数列；(2)设数列{}n b 前n 项和为n S ，求使 的所有正整数 的值的和． 18. （12分）已知圆C 的方程为：2224690()x y mx y m m R +--+-=∈. （1）试求m 的值，使圆C 的周长最小；{}n a d {}n b q {}n n a b +n 2*21()nn S n n n N =-+-∈d q +()1,1B 181a =19q =3log n n b a ={}n a {}n b n 36n S >-（2）求与满足（1）中条件的圆C 相切，且过点()1,2-的直线方程． 19．（12分）记为数列的前项和，已知是公差为的等差数列．(1)求的通项公式；(2)记，试判断与2的大小并证明． 20. （12分）已知圆()22:15C x y +-=，直线:10l mx y m -+-=. (1)求证：对m R ∈ ，直线l 与圆C 总有两个不同的交点；(2)若直线l 与圆C 交于,A B 两点，当AB =l 的倾斜角． 21．（12分）已知数列{}n a 满足11a =，()*1121n n a a n N n +⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭．（1）求证：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列{}n a 的前n 项中最大值为n M ，最小值为n m ，令2n nn M m b +=，称数列{}n b 是数列{}n a 的“中程数数列”．（i ）求“中程数数列”{}n b 的前n 项和n S ； （ii ）若m k b a =（*,m k N ∈且m k >），求所有满足条件的实数对(),m k ．22．（12分）平面直角坐标系中，圆M 经过点A ，(0,4)B ，(2,2)C -． (1)求圆M 的标准方程；(2)设(0,1)D ，过点D 作直线1l ，交圆M 于PQ 两点，PQ 不在y 轴上．（i ）过点D 作与直线1l 垂直的直线2l ，交圆M 于EF 两点，记四边形EPFQ 的面积为S ，求S 的最大值；（ii ）设直线OP ，BQ 相交于点N ，试讨论点N 是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．n S {}n a n 11,n n S a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭13{}n a n T 12111n nT a a a =+++龙岩一中2022-2023学年第一学期高二第二次月考数学试题参考答案13．121n - 14．4 15．()1,3 16．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭17.(1)证明：因为等比数列{}n a 的首项181a =，公比19q =， 所以1162118139n n n n a a q---⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，...................2分所以6233log log 362n n n n b a -==-=，............................3分 所以()()1621622n n n b n b +--+-=-=-，14b =，所以{}n b 是首项为4，公差为2-的等差数列；.................5分 (2)解：由（1）可得62n b n =-，所以()()46252n n nn n S +-==-，....................6分令36nS >-，解得49n -<<，........................8分又N*n ∈，所以1n =、2、3、4、5、6、7、8，.........................9分 ∴1+2+3+4+5+6+7+8=36∴所有正整数n 的值的和为36..............................10分 18.（1）2224690x y mx y m +--+-=，配方得：222()(2)(3)4x m y m -+-=-+，................2分 当3m =时，圆C 的半径有最小值2，此时圆的周长最小...................4分 （2）由（1）得，3m =，圆的方程为：22(3)(2)4x y -+-=.当直线与x 轴垂直时，1x =，此时直线与圆相切，符合条件；..............6分 当直线与x 轴不垂直时，设()12y k x =--，............7分2=，解得34k =，..............10分 所以切线方程为31144y x =-，即34110x y --=..................................11分 综上，直线方程为1x =或34110x y --=......................12分19.(1)∵ ，∴ ,∴,又∵是公差为的等差数列，∴,∴,...............3分∴当 时，，........................4分∴,......................5分整理得： , 即,..........................6分∴，显然对于 也成立， ∴ 的通项公式；...........................8分(2)....................10分∴∴...................12分20.（1）证明：直线 的方程可化为，令1010x y -=⎧⎨-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩．∴直线l 恒过定点()1,1P ．..............3分∵||1PC =<3451(1)1123212n n n n n n ++=⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯=--2n T <l ()11y m x -=-∴点P 在圆C 内，∴直线l 与圆C 总有两个不同的交点. ...............6分（2）由()2215,10,x y mx y m ⎧+-=⎪⎨-+-=⎪⎩消去y 整理得()22221250mx m x m +-+-=，显然()22222(2)41(5)4(45)0m m m m ∆=--+-=+>． ....................8分 设()()1122,,,A x y B x y ，12,x x 则是一元二次方程的两个实根，∴2212122225,11m m x x x x m m -+==++，....................9分∵12AB x =-=....................10分=，解得23,m =∴m =l的斜率为分∴直线l 的倾斜角为3π或23π....................12分21.解：（1）证明：依题意，()*1121n n a a n N n +⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，即11111122n n n n a a a n n ++⎛⎫==+⋅⎪⎝⎭， 故1112n n a a n n +=⋅+，故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，首项为111a =，公比为12的等比数列， 故1112n n a n -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，即112n n a n -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭；....................4分（2）因为11112n n a a n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即11112n n n a a +⎛=⎫+ ⎪⎝⎭， 故1n =时11n na a +=，即12a a =，1n >时，11n n aa +<，即1n n a a +<， 故1234...a a a a =>>>，故11n M a ==，112n n n m a n -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭=，所以1111122222n nn n n n M m b n -⎛⎫+⋅ ⎪+⎛⎫⎝⎭===+⋅ ⎪⎝⎭.......................6分①设数列12n n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫⋅⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n T ，则1231111123...2222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，234111111123...22222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式作差得，1231111111...222222n n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即01211111111122...21222222212nn n nn n n T n n -⎛⎫- ⎪+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=++++-⋅=-⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-，故123112 (2222)n n n n n b b b b T n S n +=++++=+=+-；....................8分 ②因为1122mm b m ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，1102k k a k -⎛⎫=⋅> ⎪⎝⎭，m k b a =，所以1111111222222m m m k b m a a -⎛⎫=+⋅=+=> ⎪⎝⎭，即1122k m a a -=， 又因为3411422a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，2313324a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，121a a ==，且1234...a a a a =>>>，可知4k <且k *∈N ，即1,2,3k =，由1122k m a a -=知，1k =时，11111222m m a a a -=-=，故1m a =，即1,2m =，但m k >，故2m =符合题意；2k =时，21111222m m a a a -=-=，故1m a =，即1,2m =，但m k >，故无解； 3k =时，313112422m m a a a -=-=，故12m a =，即4m =，又m k >，故4m =符合题意；综上，所有满足条件的实数对(),m k 有()()2,1,4,3．...................12分 22.(1)解：设圆M 的方程为()()222x a y b r -+-=，则)()()()()()22222222210422a b r a b r a b r ⎧+-=⎪⎪-+-=⎨⎪--+-=⎪⎩，解得2024a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩， 所以圆M 的标准方程为()2224x y +-=；....................4分 (2)解：设直线1l 的方程为1y kx =+，即10kx y -+=， 则圆心()0,2到直线1l的距离1d ==所以PQ == （i ）若0k =，则直线2l 斜率不存在，则PQ =4EF =，则12S EF PQ =⋅= 若0k ≠，则直线2l 得方程为11y x k =-+，即0x ky k +-=，则圆心()0,2到直线1l的距离2d =所以EF = 则12S EF PQ =⋅=7===， 当且仅当221k k =，即1k =±时，取等号，综上所述，因为7 所以S 的最大值为7；.................8分 （ii ）设()()1122,,,P x y Q x y ，10 联立()22241x y y kx ⎧+-=⎪⎨=+⎪⎩，消y 得()221230k x kx +--=， 则12122223,11k x x x x k k -+==++， 直线OP 的方程为11y y x x =， 直线BQ 的方程为2244y y x x -=+， 联立112244y y x x y y x x ⎧=⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩，解得121243x x x x x =+， 则()121121211212124144333kx x y x x y x y x x x x x x x +=⋅==+++ 1221212124462233kx x x x x x x x x +--===-++， 所以12124,23x x N x x ⎛⎫- ⎪+⎝⎭， 所以点N 在定直线2y =-上...................12分。
肥西实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
肥西县实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．下面是关于复数的四个命题：p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为1．其中真命题为（）A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p42．将n2个正整数1、2、3、…、n2（n≥2）任意排成n行n列的数表．对于某一个数表，计算某行或某列中的任意两个数a、b（a＞b）的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”．当n=2时，数表的所有可能的“特征值”的最大值为（）A．B．C．2 D．33．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，点E，F分别是线段AB，C1D1上的动点，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，且满足点P到点F的距离等于点P到平面ABB1A1的距离，则当点P运动时，PE的最小值是（）A．5 B．4 C．4D．24． 定义某种运算S=a ⊗b ，运算原理如图所示，则式子+的值为（）A ．4B ．8C ．10D ．135． 将正方形的每条边8等分，再取分点为顶点（不包括正方形的顶点），可以得到不同的三角形个数为（ ） A ．1372 B ．2024 C ．3136 D ．44956． 设函数()''y f x =是()'y f x =的导数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠都有对称中心()()00,x f x ，其中0x 满足()0''0f x =.已知函数()3211533212f x x x x =-+-，则1232016...2017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．2013 B ．2014 C ．2015 D ．20161111] 7． 定义在R 上的偶函数()f x 满足(3)()f x f x -=-，对12,[0,3]x x ∀∈且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-，则有（ ）A ．(49)(64)(81)f f f <<B ．(49)(81)(64)f f f << C. (64)(49)(81)f f f << D ．(64)(81)(49)f f f << 8． 函数f （x ）=有且只有一个零点时，a 的取值范围是（ ）A ．a ≤0B ．0＜a＜ C．＜a ＜1 D ．a ≤0或a ＞19． 已知实数[1,1]x ∈-，[0,2]y ∈，则点(,)P x y 落在区域20210220x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪-+⎩……… 内的概率为（ ）A.34B.38C.14D.18【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识，意在考查数形结合思想及基本运算能力.10．若圆心坐标为()2,1-的圆在直线10x y --=上截得的弦长为 ） A ．()()22210x y -++= B ．()()22214x y -++= C ．()()22218x y -++= D ．()()222116x y -++=11．函数f （x ）=Asin （ωx+θ）（A ＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f （）的值为（ ）A ．B ．0C ．D ．12．若复数z 满足=i ，其中i 为虚数单位，则z=（ ）A ．1﹣iB ．1+iC ．﹣1﹣iD ．﹣1+i二、填空题13．直线l ：（t 为参数）与圆C ：（θ为参数）相交所得的弦长的取值范围是 ．14．设f （x ）是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1]上，f （x ）=其中a ，b ∈R ．若=，则a+3b 的值为 ．15．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60︒角；④DM 与BN 是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是 （写出所有你认为正确的命题）．16．抛物线C 1：y 2=2px （p ＞0）与双曲线C 2：交于A ，B 两点，C 1与C 2的两条渐近线分别交于异于原点的两点C ，D ，且AB ，CD 分别过C 2，C 1的焦点，则= ．17．函数y=lgx 的定义域为 ．18．直线20x y t +-=与抛物线216y x =交于A ，B 两点，且与x 轴负半轴相交，若O 为坐标原点，则OAB ∆面积的最大值为 .【命题意图】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，意在考查分析问题以及解决问题的能力.三、解答题19．设函数f （x ）=kx 2+2x （k 为实常数）为奇函数，函数g （x ）=a f （x ）﹣1（a ＞0且a ≠1）．（Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）求g （x ）在[﹣1，2]上的最大值；（Ⅲ）当时，g （x ）≤t 2﹣2mt+1对所有的x ∈[﹣1，1]及m ∈[﹣1，1]恒成立，求实数t 的取值范围．20．在平面直角坐标系中，矩阵M 对应的变换将平面上任意一点P （x ，y ）变换为点P （2x+y ，3x ）．（Ⅰ）求矩阵M 的逆矩阵M ﹣1；（Ⅱ）求曲线4x+y ﹣1=0在矩阵M 的变换作用后得到的曲线C ′的方程．21．如图的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）．（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结BC′，证明：BC′∥面EFG．22．．（1）求证：（2），若．23．从某中学高三某个班级第一组的7名女生，8名男生中，随机一次挑选出4名去参加体育达标测试．（Ⅰ）若选出的4名同学是同一性别，求全为女生的概率；（Ⅱ）若设选出男生的人数为X，求X的分布列和EX．24．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）与双曲线﹣y2=1的离心率互为倒数，且直线x﹣y﹣2=0经过椭圆的右顶点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设不过原点O的直线与椭圆C交于M、N两点，且直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列，求△OMN 面积的取值范围．肥西县实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1．【答案】C【解析】解：p：|z|==，故命题为假；1p2：z2===2i，故命题为真；，∴z的共轭复数为1﹣i，故命题p3为假；∵，∴p4：z的虚部为1，故命题为真．故真命题为p2，p4故选：C．【点评】本题考查命题真假的判定，考查复数知识，考查学生的计算能力，属于基础题．2．【答案】B【解析】解：当n=2时，这4个数分别为1、2、3、4，排成了两行两列的数表，当1、2同行或同列时，这个数表的“特征值”为；当1、3同行或同列时，这个数表的特征值分别为或；当1、4同行或同列时，这个数表的“特征值”为或，故这些可能的“特征值”的最大值为．故选：B．【点评】题考查类比推理和归纳推理，属基础题．3．【答案】D【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设AE=a，D1F=b，0≤a≤4，0≤b≤4，P（x，y，4），0≤x≤4，0≤y≤4，则F（0，b，4），E（4，a，0），=（﹣x，b﹣y，0），∵点P到点F的距离等于点P到平面ABB1A1的距离，∴当E、F分别是AB、C1D1上的中点，P为正方形A1B1C1D1时，PE取最小值，此时，P（2，2，4），E（4，2，0），∴|PE|min==2．故选：D．【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系、空间向量的运算等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力、空间想象能力，考查数形结合、转化与化归等数学思想方法及创新意识．4．【答案】C【解析】解：模拟执行程序，可得，当a≥b时，则输出a（b+1），反之，则输出b（a+1），∵2tan=2，lg=﹣1，∴（2tan）⊗lg=（2tan）×（lg+1）=2×（﹣1+1）=0，∵lne=1，（）﹣1=5，∴lne⊗（）﹣1=（）﹣1×（lne+1）=5×（1+1）=10，∴+=0+10=10．故选：C．5．【答案】C【解析】【专题】排列组合．【分析】分两类，第一类，三点分别在三条边上，第二类，三角形的两个顶点在正方形的一条边上，第三个顶点在另一条边，根据分类计数原理可得．【解答】解：首先注意到三角形的三个顶点不在正方形的同一边上．任选正方形的三边，使三个顶点分别在其上，有4种方法，再在选出的三条边上各选一点，有73种方法．这类三角形共有4×73=1372个．另外，若三角形有两个顶点在正方形的一条边上，第三个顶点在另一条边上，则先取一边使其上有三角形的两个顶点，有4种方法， 再在这条边上任取两点有21种方法，然后在其余的21个分点中任取一点作为第三个顶点．这类三角形共有4×21×21=1764个． 综上可知，可得不同三角形的个数为1372+1764=3136．故选：C ．【点评】本题考查了分类计数原理，关键是分类，还要结合几何图形，属于中档题．6． 【答案】D 【解析】1120142201520161...2201720172017201720172017f f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()12201620162=⨯⨯=，故选D. 1 考点：1、转化与划归思想及导数的运算；2、函数对称的性质及求和问题.【方法点睛】本题通过 “三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠都有对称中心()()00,x f x ”这一探索性结论考查转化与划归思想及导数的运算、函数对称的性质及求和问题，属于难题.遇到探索性结论问题，应耐心读题，分析新结论的特点，弄清新结论的性质，按新结论的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题的解答就是根据新结论性质求出()311533212f x x x x =-+-的对称中心后再利用对称性和的.第Ⅱ卷（非选择题共90分）7． 【答案】A【解析】考点：1、函数的周期性；2、奇偶性与单调性的综合.1111]8．【答案】D【解析】解：∵f（1）=lg1=0，∴当x≤0时，函数f（x）没有零点，故﹣2x+a＞0或﹣2x+a＜0在（﹣∞，0]上恒成立，即a＞2x，或a＜2x在（﹣∞，0]上恒成立，故a＞1或a≤0；故选D．【点评】本题考查了分段函数的应用，函数零点与方程的关系应用及恒成立问题，属于基础题．9．【答案】B【解析】10．【答案】B【解析】考点：圆的方程.1111]11．【答案】C【解析】解：由图象可得A=，=﹣（﹣），解得T=π，ω==2．再由五点法作图可得2×（﹣）+θ=﹣π，解得：θ=﹣，故f（x）=sin（2x﹣），故f（）=sin（﹣）=sin=，故选：C．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+θ）的部分图象求函数的解析式，属于中档题．12．【答案】A【解析】解：=i，则=i（1﹣i）=1+i，可得z=1﹣i．故选：A．二、填空题13．【答案】[4，16]．【解析】解：直线l：（t为参数），化为普通方程是=，即y=tanα•x+1；圆C的参数方程（θ为参数），化为普通方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=64；画出图形，如图所示；∵直线过定点（0，1），∴直线被圆截得的弦长的最大值是2r=16，最小值是2=2×=2×=4∴弦长的取值范围是[4，16]．故答案为：[4，16]．【点评】本题考查了直线与圆的参数方程的应用问题，解题时先把参数方程化为普通方程，再画出图形，数形结合，容易解答本题．14．【答案】﹣10．【解析】解：∵f（x）是定义在R上且周期为2的函数，f（x）=，∴f（）=f（﹣）=1﹣a，f（）=；又=，∴1﹣a=①又f（﹣1）=f（1），∴2a+b=0，②由①②解得a=2，b=﹣4；∴a+3b=﹣10．故答案为：﹣10．15．【答案】③④【解析】试题分析：把展开图复原成正方体，如图，由正方体的性质，可知：①BM与ED是异面直线，所以是错误AN AC，由于几何体是正方体，所以三角形ANC 的；②DN与BE是平行直线，所以是错误的；③从图中连接,AN AC所成的角为60 ，所以是正确的；④DM与BN是异面直线，所以是正确的．为等边三角形，所以,考点：空间中直线与直线的位置关系．16．【答案】．【解析】解：由题意，CD过C1的焦点，根据，得x C=，∴b=2a；由AB过C2的焦点，得A（c，），即A（c，4a），∵A（c，4a）在C1上，∴16a2=2pc，又c=a，∴a=，∴==．故答案为：．【点评】本题考查双曲线、抛物线的简单性质，考查学生的计算能力，属于中档题．17．【答案】{x|x＞0}．【解析】解：对数函数y=lgx的定义域为：{x|x＞0}．故答案为：{x|x＞0}．【点评】本题考查基本函数的定义域的求法．18．【答案】9【解析】三、解答题19．【答案】【解析】解：（Ⅰ）由f（﹣x）=﹣f（x）得kx2﹣2x=﹣kx2﹣2x，∴k=0．（Ⅱ）∵g（x）=a f（x）﹣1=a2x﹣1=（a2）x﹣1①当a2＞1，即a＞1时，g（x）=（a2）x﹣1在[﹣1，2]上为增函数，∴g（x）最大值为g（2）=a4﹣1．②当a2＜1，即0＜a＜1时，∴g（x）=（a2）x在[﹣1，2]上为减函数，∴g（x）最大值为．∴（Ⅲ）由（Ⅱ）得g（x）在x∈[﹣1，1]上的最大值为，∴1≤t2﹣2mt+1即t2﹣2mt≥0在[﹣1，1]上恒成立令h（m）=﹣2mt+t2，∴即所以t∈（﹣∞，﹣2]∪{0}∪[2，+∞）．【点评】本题考查函数的奇偶性，考查函数的最值，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．【答案】【解析】解：（Ⅰ）设点P（x，y）在矩阵M对应的变换作用下所得的点为P′（x′，y′），则即=，∴M=．又det（M）=﹣3，∴M﹣1=；（Ⅱ）设点A（x，y）在矩阵M对应的变换作用下所得的点为A′（x′，y′），则=M﹣1=，即，∴代入4x+y﹣1=0，得，即变换后的曲线方程为x+2y+1=0．【点评】本题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力及化归与转化思想，属于中档题．21．【答案】【解析】解：（1）如图（2）它可以看成一个长方体截去一个小三棱锥，设长方体体积为V1，小三棱锥的体积为V2，则根据图中所给条件得：V1=6×4×4=96cm3，V2=••2•2•2=cm3，∴V=v1﹣v2=cm3（3）证明：如图，在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，连接AD′，则AD′∥BC′因为E，G分别为AA′，A′D′中点，所以AD′∥EG，从而EG∥BC′，又EG⊂平面EFG，所以BC′∥平面EFG；2016年4月26日22．【答案】【解析】解：（1）∵，∴a n+1=f（a n）=，则，∴{}是首项为1，公差为3的等差数列；（2）由（1）得，=3n﹣2，∵{b n}的前n项和为，∴当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，而b1=S1=1，也满足上式，则b n=2n﹣1，∴==（3n﹣2）2n﹣1，∴=20+4•21+7•22+…+（3n﹣2）2n﹣1，①则2T n=21+4•22+7•23+…+（3n﹣2）2n，②①﹣②得：﹣T n=1+3•21+3•22+3•23+…+3•2n﹣1﹣（3n﹣2）2n，∴T n=（3n﹣5）2n+5．23．【答案】【解析】解：（Ⅰ）若4人全是女生，共有C74=35种情况；若4人全是男生，共有C84=70种情况；故全为女生的概率为=．…（Ⅱ）共15人，任意选出4名同学的方法总数是C154，选出男生的人数为X=0，1，2，3，4…P（X=0）==；P（X=1）==；P（X=2）==；P（X=3）==；P（X=4）==．…0 1 2 3 4EX=0×+1×+2×+3×+4×=．…【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、期望及古典概型的概率加法公式，正确理解题意是解决问题的基础．24．【答案】【解析】解：（Ⅰ）∵双曲线的离心率为，所以椭圆的离心率，又∵直线x﹣y﹣2=0经过椭圆的右顶点，∴右顶点为（2，0），即a=2，c=，b=1，…∴椭圆方程为：．…（Ⅱ）由题意可设直线的方程为：y=kx+m•（k≠0，m≠0），M（x1，y1）、N（x2，y2）联立消去y并整理得：（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0…则，于是…又直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列．∴…由m≠0得：又由△=64k2m2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）=16（4k2﹣m2+1）＞0，得：0＜m2＜2显然m2≠1（否则：x1x2=0，则x1，x2中至少有一个为0，直线OM、ON中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾）…设原点O到直线的距离为d，则∴故由m的取值范围可得△OMN面积的取值范围为（0，1）…【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，弦长公式以及三角形的面积的表式，考查转化思想以及计算能力．。
天津市第四十七中学2021-2022学年高二上学期第二次月考数学试题(含答案解析)
天津市第四十七中学2021-2022学年高二上学期第二次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，直线l 的斜率是（）ABC ．D ．2．已知()2,1,3=- a ，()4,2,b x =- ，且a b ∥，则x 的值为（）A ．103B ．103-C ．6D ．-63．已知等差数列{}n a 的公差为2，若134,,a a a 成等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，则9S 等于（）A ．8-B ．6-C ．10D ．04．已知ABC 的两个顶点A ，B 的坐标分别是(2,0)-、(2,0)，且AC ，BC 所在直线的斜率之积等于2，则顶点C 的轨迹方程是（）A ．22148x y -=（2x ≠±）B ．2212y x -=C ．22148x y -=D ．2212x y -=（2x ≠±）5．在三棱锥-P ABC 中，点D ，E ，F 分别是BC ，PC ，AD 的中点，设PA a = ，PB b =，PC c = ，则EF =（）A ．111244a b c --B ．111+244a b c- C ．111+244a b c -D ．111++244a b c- 6．已知过抛物线y 2＝4x 焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点（点A 在第一象限），若AF = 3FB ，则直线l 的斜率为（）A ．2B ．12C D7．直线:20l kx y --=与曲线1C x =-只有一个公共点，则实数k 范围是（）A ．(3,)(,3)+∞-∞- B ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．4(2,4]3⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．(-8．设1F 是双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的一个焦点，1A ，2A 是C 的两个顶点，C 上存在一点P ，使得1PF 与以12A A 为直径的圆相切于Q ，且Q 是线段1PF 的中点，则C 的渐近线方程为A ．y =B ．y =C ．12y x =±D ．2y x=±9．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为1F ，2F ，且它们在第一象限的交点为P ，12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形.若110PF =，双曲线的离心率的取值范围为(1,2)，则该椭圆的焦距的取值范围是（）A ．55,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．205,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,53⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．510,23⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题10．抛物线28y x =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离是__________.11．已知C ：224630x y x y +---=，点()20M -，是C 外一点，则过点M 的圆的切线的方程是__________．12．空间直角坐标系中，四面体ABCD 的各顶点(0,0,2)A ，(2,2,0)B ，(1,2,1)C ，(2,2,2)D ，则点B 到平面ACD 的距离是_______________.13．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>l 与椭圆C 交于A ，B 两点且线段AB 的中点为()3,2M ，则直线l 的斜率为________.14．设点P 是曲线221(0)3x y x -=>上一动点，点Q 是圆()2221x y +-=上一动点，点()20A -，，则PA PQ +的最小值是_____________15．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为H ，点P 在C 上，且PH =，则PFH ∆的面积为______．三、解答题16．（1）已知直线1l ：60x ay ++=和直线2l ：(2)320a x y a -++=，若12l l ⊥，求a 值.（2）求与直线220x y --=平行且纵截距是2-的直线3l 的一般式方程.（3）若直线l 经过(2,1)A 、()21,B m （R m ∈）两点，求直线l 的倾斜角α的取值范围.17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,//ABCD AB CD ，且2,1CD AB ==，1,,BC PA AB BC N ==⊥为PD 的中点.(1)求证：//AN 平面PBC ；(2)求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值；(3)在线段PD 上是否存在一点M ，使得直线CM 与平面PBC ，若存在，求出DMDP的值；若不存在，说明理由.18．已知正项等比数列{}n a 满足12a =，2432a a a =-，数列{}n b 满足212log n n b a =+.(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)令n n n c a b =⋅求数列{}n c 的前n 项和n S .(3)设{}n b 的前n 项和为n T ，求n a T 19．(1)若圆M 的圆心在直线1y x =-上，且圆M 过点(0,1)A ，B ，求圆M 标准方程(2)已知直线0mx ny c ++=和圆O ：221x y +=交于A ，B 两点，且O 到此直线的距离为12，求OA OB ⋅的值.(3)两圆1C ：222240x y ax a +++-=和2C ：2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R ，且0ab ≠，求2211a b +的最小值.20．如图，椭圆22221x y a b +=（0a b >>为A ，B ，C ，D ，且||2AB =.(1)求椭圆的方程；(2)P是椭圆上位于x轴上方的动点，直线CP，DP与直线l：4x=分别交于G、H两点.若||4GH=，求点P的坐标；(3)直线AM，BM分别与椭圆交于E，F两点，其中点1,2M t⎛⎫⎪⎝⎭满足0t≠且t贡若BME面积是AMF面积的5倍，求t的值.参考答案：1．B【分析】由图中求出直线l 的倾斜角，再根据斜率公式求出直线l 的斜率.【详解】如图，直线l 的倾斜角为30°，tan30°=l .故选：B.2．D【分析】由向量a b ∥可得21342x-==-，从而得出答案.【详解】由a b ∥，则21342x-==-，则6x =-故选：D 3．D【分析】由a1，a3，a4成等比数列，可得23a =a1a4，再利用等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出．【详解】∵a1，a3，a4成等比数列，∴23a =a1a4，∴21(22)a +⨯=a1•（a1+3×2），化为2a1=-16，解得a1=-8．∴则S9=-8×9+982⨯×2=0，故选D ．【点睛】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．A【分析】首先设点(),,2C x y x ≠±，根据条件列式，再化简求解.【详解】设(),,2C x y x ≠±，2AC BC k k ⋅=，所以222y y x x ⋅=+-，整理为：22148x y -=，2x ≠±，故选：A 5．B【分析】连接DE 由中位线性质可知12DE b =-；利用空间向量的加减法和数乘运算可表示出结果.【详解】连接DE ,D ，E 分别是BC ,PC 的中点111222DE BP PB b∴==-=-()1111122444EF DF DE DA DE AD DE AB AC DE AB AC DE∴=-=-=--=-+-=---()()1111111144442244EF AB AC DE PB PA PC PA PB PA PB PC∴=---=----+=+-PA a = ，PB b =，PC c = 111111244244EF PA PB PC a b c∴=+-=+- 故选：B 6．D【分析】作出抛物线的准线，设A 、B 在l 上的射影分别是C 、D ，连接AC 、BD ，过B 作BE ⊥AC 于E.由抛物线的定义结合题中的数据，可算出Rt △ABE 中，cos ∠BAE 12=，得∠BAE ＝60°，即直线AB 的倾斜角为60°，从而得到直线AB 的斜率k 值.【详解】作出抛物线的准线l ：x ＝﹣1，设A 、B 在l 上的射影分别是C 、D ，连接AC 、BD ，过B 作BE ⊥AC 于E.∵AF = 3FB，∴设AF ＝3m ，BF ＝m ，由点A 、B 分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得AC ＝3m ，BD ＝m .因此，Rt △ABE 中，cos ∠BAE 12=，得∠BAE ＝60°所以，直线AB 的倾斜角∠AFx ＝60°，得直线AB 的斜率k ＝tan 60°=故选：D.【点睛】本题给出抛物线的焦点弦被焦点分成3：1的比，求直线的斜率k ，着重考查了抛物线的定义和简单几何性质，直线的斜率等知识点，属于中档题目.7．C【分析】确定直线:20l kx y --=恒过定点(0,2)-，确定曲线1C x -表示圆心为(1,1)，半径为1，且位于直线1x =右侧的半圆，包括点(1,2),(1,0)，由直线与圆位置关系解决即可.【详解】由题知，直线:20l kx y --=恒过定点(0,2)-，曲线1C x -表示圆心为(1,1)，半径为1，且位于直线1x =右侧的半圆，包括点(1,2),(1,0)，当直线l 经过点(1,0)时，l 与曲线C 有2个交点，此时2k =，不满足题意，直线记为1l ，当直线l 经过点(1,2)时，l 与曲线C 有1个交点，此时4k =，满足题意，直线记为3l ，如图，当直线l1=，解得43k =，直线记为2l ，由图知，当24k <≤或43k =，l 与曲线C 有1个交点，故选：C 8．C【分析】根据图形的几何特性转化成双曲线的,,a b c 之间的关系求解.【详解】设另一焦点为2F ，连接2PF ，由于1PF 是圆O 的切线，则OQ a =，且1OQ PF ⊥，又Q 是1PF 的中点，则OQ 是12F PF △的中位线，则22PF a =，且21PF PF ⊥，由双曲线定义可知14PF a =，由勾股定理知2221212F F PF PF =+，2224416c a a =+，225c a =，即224b a =，渐近线方程为a y x b=±，所以渐近线方程为12y x =±．故选C.【点睛】本题考查双曲线的简单的几何性质，属于中档题.9．B【分析】设椭圆的焦距为2c ，双曲线的实轴长为2a ，根据双曲线的定义及双曲线的离心率的取值范围求出c 的范围，进而可得出答案.【详解】解：设椭圆的焦距为2c ，双曲线的实轴长为2a ，则1222F F PF c ==，双曲线的半实轴长为12502PF PF a c -==->，则05c <<，又双曲线的离心率的取值范围为(1,2)，所以125c ca c <=<-，所以51023c <<，所以20523c <<，即该椭圆的焦距的取值范围是205,3⎛⎫⎪⎝⎭.故选：B.10【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】抛物线28y x =的焦点为(2,0)，双曲线2213yx -=的渐近线方程为y =，利用点到直线的距离公式可得：d =11．20x +=或724140x y ++=【分析】按切线斜率存在不存在分类讨论，利用点到直线的距离求解.【详解】由题意得圆C ：22(2)(3)16x y -+-=，圆C 是以()23，为圆心，4为半径的圆．当直线的斜率不存在时，2x =-，与圆相切，满足题意，当直线斜率存在时，可设切线l 的方程为()2y k x =+．由圆C 到直线l的距离等于半径，可得4d ==．解得724k =-．所以切线方程为20x +=或724140x y ++=．故答案为：20x +=或724140x y ++=．12【分析】先求出平面ACD 的法向量n，则点B 到平面ACD 的距离是BA n n ⋅.【详解】由题可得()()121220,,，,,AC AD =-=，则设平面ACD 的法向量为(),,n x y z = ，则20220n AC x y z n AD x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取()1,1,1n =--.又()222,,BA =-- ，则点B 到平面ACD的距离BA nd n ⋅===13．1-【分析】由椭圆离心率和,,a b c 关系可得,a b 关系，再由点差法和中点坐标公式、两点的斜率公式可得所求值.【详解】解：由题意可得c e a ==a =，设()()1122,,,A x y B x y ，则2222112222221,1x y x y a b a b+=+=，两式相减可得()()()()12121212220x x x x y y y y a b-+-++=，AB 的中点为(3,2)M ，12126,4x x y y +=+=∴，则直线斜率212122121226134y y x x b k x x a y y -+==-⋅=-⨯=--+.故答案为：1-.14．1【分析】通过双曲线的定义得PA PQ PQ PF +=++【详解】解：设双曲线2213x y -=的右焦点为()20F ，，圆()2221x y +-=的圆心为()02M ，，如图所示：由双曲线的定义得PA PF -=，所以PA PF =，所以2221PA PQ PQ PF FQ FM MQ +=+++-+，当且仅当P ，Q 分别为线段FM 与双曲线的右支，圆的交点时取等号．故PA PQ +的最小值为1．故答案为：1．【点睛】方法点睛：本题考查双曲线的定义，双曲线的性质和几何意义，点与圆的位置关系，属于中档题．在解决线段的和或差的最值，常运用圆锥曲线的定义，化曲为直得以解决.15．4±【解析】设2,4t P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0t >，则214t PF PM ==+，PH =由PH =，可得2840t t -+=，解得4t =±即可求解．【详解】解：由抛物线C ：24y x =，得焦点()1,0F ，准线方程为 1.x =-过P 作PM 垂直准线于M ，设2,4t P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0t >，则214t PF PM ==+，PH =由PH =，可得2840t t -+=，解得4t =±．则PFH ∆的面积为1242t ⨯⨯=±故答案为：4±【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．16．（1）12a =；（2）240x y --=；（3）ππ0,π42α⎡⎤⎛⎫∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭【分析】（1）根据两直线垂直的公式求解即可；（2）设3:l 20x y a -+=，再根据截距求解即可；（3）根据倾斜角与斜率的关系可得tan 1α≤，再根据倾斜角的范围求解即可.【详解】（1）因为12l l ⊥，故()1230a a ⨯-+=，解得12a =；（2）设3:l 20x y a -+=，因为纵截距是2-，故()0220a -⨯-+=，解得4a =-.故3:l 240x y --=；（3）直线l 的斜率为221112m m -=--，因为20m ≥，故211m -≤，则tan 1α≤.因为[)0,πα∈，故ππ0,,π42α⎡⎤⎛⎫∈ ⎪⎢⎣⎦⎝⎭17．(1)见解析(2)23(3)存在M ，且23DM DP =.【分析】（1）过A 作AE CD ⊥于E ，以A 为原点建立空间直角坐标系，求出平面PBC 的法向量和直线AN 的向量，从而可证明线面平行.（2）求出平面PAD 的法向量，利用向量求夹角公式解得.（3）令DM DP λ=，[0,1]λ∈，设(),,M x y z ，求出CM ，结合已知条件可列出关于λ的方程，从而可求出DMDP的值.【详解】（1）过A 作AE CD ⊥，垂足为E ，则1DE =，如图，以A 为坐标原点，分别以AE ，AB ，AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()0,1,0B，()E，()1,0D -，()C ，()0,0,1P ，N Q 为PD的中点，11,22N ⎫∴-⎪⎭，则11,22AN ⎫=-⎭ ，设平面PBC 的一个法向量为(),,m x y z = ，(0,1,1)BP =-，BC =，则00m BP y z M BC ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，，，令1y =，解得：()0,1,1m = .11022AN m =∴⋅=-+uuu r r ，即AN m ⊥uuu r u r ，又AN ⊄平面PBC ，所以//AN 平面PBC ．（2）设平面PAD 的一个法向量为(,,)n a b c =，(0,0,1)AP =，1,0)AD =- ，所以00AP n c AD n b ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1a =，解得(1,n =r .所以2cos ,3m n m n m n⋅==⋅u r ru r ru r r .即平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为23.（3）假设线段PD 上存在一点M ，设(,,)M x y z ，DM DP λ=，[0,1]λ∈.(1,)(x y z λ-+=-Q，,1,)M λλ∴-，则(,2,)CM λλ=--又直线CM 与平面PBC ，平面PBC 的一个法向量()0,1,1m =CM m CM m ⋅=uuu r uuu u r r u r ，化简得22150240λλ-+=，即()()327120λλ--=，[0,1]λ∈ ，23λ∴=，故存在M ，且23DM DP =.18．(1)2n n a =，21n b n =+；(2)1(21)22n n S n +=-⋅+；(3)21222n n n n a T T +==+．【分析】（1）由等差数列的基本量法求得公比q 后可得n a ，再计算得n b ；（2）由错位相减法求和；（3）由等差数列的前n 项和公式计算．【详解】（1）设{}n a 的公比为q ，则由已知得22222a a q a q =-，20a ≠，则220q q --=，2q =或1q =-（舍去），∴1222n n n a -=⨯=，212log 221nn b n =+=+；（2）(21)2nn n n c a b n ==+⋅，23252(21)2n n S n =⨯+⨯+++⋅ ，∴23123252(21)2(21)2n n n S n n +=⨯+⨯++-⋅++⋅ ，相减得231322(222)(21)2n n n S n +-=⨯++++-+⋅ 1114(12)62(21)22(12)212n n n n n -++-=+⨯+⋅=-+-⋅-，∴1(21)22n n S n +=-⋅+；（3）由（1）21n b n =+，2n n a =，2122(3221)35(221)222n n n n nn na T T ++⨯+==+++⨯+==+ ．19．(1)()2214x y ++=(2)12-(3)1【分析】（1）设圆心(),1M a a -，由MA MB =求出a ，可得圆心和半径，从而得到答案；（2）根据O 到此直线的距离为12，得到2π3AOB ∠=，再由数量积公式计算可得答案；（3）由圆和圆的位置关系判断出两圆外切，得到2249a b +=，再由基本不等式求解可得答案.【详解】（1）设圆心(),1M a a -，由MA MB ==，解得0a =，所以()0,1M -2=，圆M 标准方程为()2214x y ++=；（2）因为O 到此直线的距离为12，所以112sin 12∠==OAB ，所以π6∠=∠=OAB OBA ，即2π3AOB ∠=，1== OA OB ，所以1cos 2⋅=⋅∠=- OA OB OA OB AOB ；（3）圆1C ：()224x a y ++=，圆心()1,0C a -，半径为2，圆2C ：()2221x y b +-=，圆心()20,2C b ，半径为1，因为两圆1C 和2C 恰有三条公切线，所以两圆外切，所以123C C =3=，整理得2249a b +=，因为a ∈R ，b ∈R ，且0ab ≠，所以()222222222211111145994⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎝⎭⎝⎭a b a b a b b a a b()11559419⎛≥+=+= ⎝，当且仅当22224=a b a b即223,32==b a 时等号成立.所以2211a b+的最小值为1.20．(1)2214x y +=(2)()0,1P 或83,55P ⎛⎫⎪⎝⎭(3)1t =±【分析】（1）根据短轴，离心率的定义与椭圆的基本量的关系求解即可.（2）设直线CP 的方程为()()2,0y k x k =+>，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理表示出点P 的坐标，从而得到点,G H 的坐标，根据4GH =列出方程即可得到结果.（3）分别设直线AM ,直线BM 的方程,联立椭圆的方程,再利用三角形的面积公式表达出BME 面积是AMF 面积的5倍,再代入韦达定理求解即可.【详解】（1）由题意可知22222c e a AB b a b c ⎧=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得222413a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆的方程为2214x y +=（2）设直线CP 的方程为()()2,0y k x k =+>由()42x y k x =⎧⎨=+⎩得()4,6G k 联立直线CP 的方程与椭圆方程()22214y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得()222214161640k x k x k +++-=设()00,P x y ，则()202164214k x k --=+，所以20022284,1414k kx y k k -==++，即222284,1414k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭又因为()2,0D ，所以2224142821414DPkk k k k k --+-+==，所以直线DP 的方程为()124y x k =--，由()1244y x k x ⎧=--⎪⎨⎪=⎩得14,2H k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以1642GH k k =+=，因为0k >，所以12k =或16从而得()0,1P 或83,55P ⎛⎫⎪⎝⎭（3）∵()0,1A ,()0,1B -,1,2M t ⎛⎫⎪⎝⎭,且0t ≠,∴直线AM 的斜率为112k t =-,直线BM 斜率为232k t=,∴直线AM 的方程为112y x t =-+,直线BM 的方程为312y x t=-,由2214112x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得()22140t x tx +-=,∴0x =,241t x t =+,∴22241,11t E t t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭,由2214312x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得()229120t x tx +-=,∴0x =,2129t t x =+,∴222129,99t t F t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭；∵1sin 2AMF S MA MF AMF =∠ ,1sin 2BME S MB ME BME =∠ ,AMF BME ∠=∠,5AMF BME S S =△△,∴5MA MF MB ME =,即5MA MB MEMF=,又t 贡∴22541219t tt t t t tt =--++,整理方程得：()22519t t +=+,解得：1t =±.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.。
濉溪县第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
濉溪县第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 如果对定义在R 上的函数)(x f ，对任意n m ≠，均有0)()()()(>--+m nf n mf n nf m mf 成立，则称 函数)(x f 为“H 函数”.给出下列函数： ①()ln25x f x =-；②34)(3++-=x x x f ；③)cos (sin 222)(x x x x f --=；④⎩⎨⎧=≠=0,00|,|ln )(x x x x f ．其中函数是“H 函数”的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ． 4【命题意图】本题考查学生的知识迁移能力，对函数的单调性定义能从不同角度来刻画，对于较复杂函数也要有利用导数研究函数单调性的能力，由于是给定信息题，因此本题灵活性强，难度大．2． 若椭圆+=1的离心率e=，则m 的值为（ ）A ．1B ．或C ．D ．3或3． 由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（ ）A B1C D4． 设F 1，F 2分别是椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，若∠F 1PQ=60°，|PF 1|=|PQ|，则椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．5． 若a ＞b ，则下列不等式正确的是（ ）A ．B ．a 3＞b 3C ．a 2＞b 2D ．a ＞|b|6． 设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则，类比这个结论可知：四面体S ﹣ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球半径为r ，四面体S ﹣ABC 的体积为V ，则r=（ ）A ．B ．C ．D ．7． 已知双曲线kx 2﹣y 2=1（k ＞0）的一条渐近线与直线2x+y ﹣3=0垂直，则双曲线的离心率是（ ）A ．B ．C ．4D ．8． 若方程C ：x 2+=1（a 是常数）则下列结论正确的是（ ）A ．∀a ∈R +，方程C 表示椭圆B ．∀a ∈R ﹣，方程C 表示双曲线C ．∃a ∈R ﹣，方程C 表示椭圆D ．∃a ∈R ，方程C 表示抛物线 9． 下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（ ）A ．y=x ﹣1B ．y=（）xC ．y=x+D ．y=ln （x+1）10．已知函数()x e f x x=，关于x 的方程2()2()10f x af x a -+-=（a R Î）有3个相异的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．21(,)21e e -+?-B ．21(,)21e e --?-C ．21(0,)21e e --D ．2121e e 禳-镲睚-镲铪【命题意图】本题考查函数和方程、导数的应用等基础知识，意在考查数形结合思想、综合分析问题解决问题的能力．11．直线l 将圆x 2+y 2﹣2x+4y=0平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程是（ ）A ．x ﹣y+1=0，2x ﹣y=0B ．x ﹣y ﹣1=0，x ﹣2y=0C ．x+y+1=0，2x+y=0D ．x ﹣y+1=0，x+2y=012．已知向量=（1，），=（，x ）共线，则实数x 的值为（ ）A ．1B ．C ．tan35°D ．tan35°二、填空题13．已知线性回归方程=9，则b= ．14．平面内两定点M （0，一2）和N （0,2），动点P （x ，y ）满足，动点P 的轨迹为曲线E ，给出以下命题： ①∃m ，使曲线E 过坐标原点； ②对∀m ，曲线E 与x 轴有三个交点；③曲线E 只关于y 轴对称，但不关于x 轴对称；④若P 、M 、N 三点不共线，则△ PMN 周长的最小值为＋4;⑤曲线E 上与M,N 不共线的任意一点G 关于原点对称的另外一点为H ，则四边形GMHN 的面积不大于m 。
贵溪一中2025届高二上学期第二次月考数学试卷 参考答案
贵溪一中2025届高二上学期第二次月考数学试卷参考答案题号123456789101112答案CDCBDADDABCABBCDBC13.414．0.648/8112515．1316．425-/542-+1．C 【详解】,0a b a b ⊥∴⋅=，即()2210m +⨯-=，解得1m =．2．D 【详解】由题意可知，22312c b a a =-=，则2a b =，由该椭球横截面的最大直径为1.8米，可知2 1.8b =米，所以0.9b =米， 1.8a =米，该椭球的高为2 3.6a =米．3．C 【详解】先安排甲乙以外的4个人，然后插空安排甲乙两人，所以不同的传递方案共有4245A A 480=种.4．B 【详解】圆2248160x y x y +--+=化为标准方程为22(2)(4)4x y -+-=，得圆心()2,4，半径为2，当直线l 的斜率不存在时，直线4l x =：，此时直线l 与圆2248160x y x y +--+=相切，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()4y k x =-，即40kx y k --=，圆心()2,4到直线l 的距离为222442411k k k d k k --+==++，由相切得2d r ==，所以22421k k +=+，平方化简得34k =-，求得直线方程为34120x y +-=，综上，直线l 的方程为34120x y +-=或4x =．5．D 【详解】由题意知，24C C n n =，所以6n =，所以336216611C ()()C ()22r r r r rr r T x x x --+=-=-，令33022r r -=⇒=，所以展开式的常数项为2206115C ()24x -=.6．A 【详解】若安排的人中没有甲，安排方法有33A 6=种，若安排的人中有甲，则先安排甲，然后再选两人来安排，则安排的方法有1223A A 12⨯=种，所以总的方法数有61218+=种.7．D 【详解】以A 为坐标原点，AC 为y 轴，AD 为z 轴，过A 垂直于平面CAD 的直线为x 轴建立空间直角坐标系（如图所示），设1CA =，则()1,1,0B ，()0,1,0C ，()0,0,1D ，11,,022E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以11,,122DE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1,1,1BD =--，()1,0,0CB =，所以1211,,3333CF CB BF CB BD ⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭.设直线DE 与CF 所成角的大小为θ，则1cos cos ,6DE CF DE CF DE CF θ⋅===.8．D 【详解】易知()1,0F c -、()2,0F c ，因为直线2PF 与直线by x a=垂直，则直线2PF 的方程为()a y x c b =--，联立()b y x a a y x c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩可得2a x c ab y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以，2221,,a ab a c ab PF c c c c c ⎛⎫⎛⎫+=---=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，则113OQ OP PQ OP PF =+=+，所以，2111111133OQ PF OP PF PF OP PF PF ⎛⎫⋅=+⋅=⋅+ ⎪⎝⎭()()22222222222203a c a b a b a a c cc++++=-=，整理可得3c a =，故该双曲线的离心率为3==ce a.9．ABC 【详解】对于A ，当3a =时，直线1:390l x y +-=，直线2:2260l x y +-=，联立390,2260,x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得3,0,x y =⎧⎨=⎩所以两直线的交点为()3,0，故A 正确；对于B ，直线()1:30l x a y -+=，令30,0,x y -=⎧⎨=⎩解得3,0,x y =⎧⎨=⎩即直线1l 恒过点()3,0，故B 正确；对于C ：若12l l ⊥，则()2110a a ⨯+⨯-=，解得13a =，故C 正确；对于D ，假设存在a ∈R ，使12l l ∥，则()120a a ⨯--=，解得2a =或1a =-，当2a =时，1:260l x y +-=，2:260l x y +-=，两直线重合，舍去，当1a =-时，直线1:30l x y --=，直线2:2260l x y --=，两直线重合，舍去，所以不存在a ∈R ，使12l l ∥，故D 错误.10．AB【详解】在2212x y -=中，2a =，1b =，3c =，12223F F c ==，A 正确；C 的离心率3622c e a ===，B 正确；由双曲线的定义1222PF PF -=或22-，C 错误；C 的渐近线方程为b y x a =±，即22y x =±，D 错误.11．BCD 【详解】对选项A ：1A 发生时B 发生的概率是711，1A 不发生时B 发生的概率是611，由事件的独立性概念知，事件1A 与事件B 不相互独立，A 错误；对选项B ：()()()111477101141110P BA P B A P A ⨯===，B 正确；对选项C ：()4766321011101155P B =⨯+⨯=，C 正确；对选项D ：()()()226691011321655P A B P A B P B ⨯===，D 正确；12．BC 【详解】对于A ：由题意得P 在正方形ABCD 的内部（包括边界），在正方体1111ABCD A B C D -中，11A B ⊥平面11BCC B ，若1AP ⊥平面11BCC B ，则P 在直线11A B 上，不符合题意，A 错误．对于B ：如图，当1,P λμ==与C 重合时，连接1,AC B C ．ABCD 是正方形，1,BD AC AA ∴⊥⊥Q 平面,ABCD BD ⊂平面,ABCD 1BD AA∴⊥，1,AA AC A =I 1,AA AC ⊂平面1,ACA BD ∴⊥平面11,ACA A P ⊂ 平面111,ACC A BD A P ∴⊥．11,BCC B Q 是正方形，1111,BC B C B A ∴⊥⊥Q 平面11,BCC B 1BC ⊂平面11,BCC B 111BC A B ∴⊥，1111,A B B C B ⋂=111,A B B C ⊂平面11,A B C 1BC ∴⊥平面111,A C A P B ⊂Q 平面11111,A BC A P B C ∴⊥．1,BD BC B =Q I 1,BD BC ⊂平面1,BDC 1A P ∴⊥平面1,BDC B 正确．对于CD ：如图，当15A P =时，得22111AP A P AA =-=，则P 在平面ABCD 内的轨迹是以A 为圆心，圆心角为π2，半径为1的圆弧，设ππ,0,,,22PAB BAD αα⎡⎤∠=∈∠=⎢⎥⎣⎦Q 则有cos AP AB αλ=u uur uur u ，得cos 2αλ=，sin AP ABαμ=u uur uur u 得sin 2αμ=，313cos sin sin 223πλμααα⎛⎫∴+=+=+ ⎪⎝⎭，由π0,2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得56ππ3π,3α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则13sin ,13π2λμα⎛⎫⎡⎤+=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，C 正确，D 错误．13．4【详解】因为()2,4A -在22y px =上，故4p =，A 到准线的距离为2242pd x =+=+=，故A 到焦点F 的距离为4.14．0.648/81125【详解】根据题意，甲获胜一种是前两局赢，另一种是前两局赢一局，第三局赢这两种情况，故分别计算这两种情况的概率，前两局赢的概率为0.60.60.36⨯=，前两局赢一局，第三局赢的概率为0.60.40.60.40.60.60.288⨯⨯+⨯⨯=，则甲获胜的概率为0.360.2880.648+=，故答案为：0.64815．13【详解】由分布列可得13a b +=，()11222213n n C C P X C +===，所以2n =，又()2224106C P X a C ====，所以16b =，进而可得()2213E X b +==故()()()()2222101112133D X a b a b =-+-⨯+-=+=，16．425-/542-+【详解】如图，由M 为椭圆C 上任意一点，则124MF MF +=，又N 为圆E ：22(5)(4)1x y -+-=上任意一点，则||1MN ME EN ME ≥-=-（当且仅当M 、N 、E 共线且N 在M 、E 之间时取等号），()124MN MF MN MF ∴-=--，()2224145MN MF ME MF EF =+-≥-+-≥-，当且仅当M 、N 、E 、2F 共线且M 、N 在E 、2F 之间时等号成立．由题意知，()210F ，，()5,4E ，则222(51)(40)42EF =-+-=，1MN MF ∴-的最小值为425-，17．(1)160-(2)180-【详解】（1）若选①，∵264n =，∴6n =．若选②，()12C 12n -=-，∴6n =.所以62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的常数项为333462C 160T x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.（2）()6121x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中含3x 的项为()()()()2442423661C 21C 21180x x x x x ---=-，所以3x 的系数180-．18．(1)81(2)36(3)14【详解】（1）每名同学都有3种分配方法，则不同的分配方案有4381=（种）.（2）先把4个同学分3组，有24C 种方法；再把这3组同学分到A ，B ，C ，3个工厂，有33A 种方法，则不同的分配方案有2343C A 36=（种）.（3）同学甲、乙不能去工厂A ，分配方案分两类：①另外2名同学都去工厂A ，甲、乙去工厂B ，C ，有22A 2=（种）情况；②另外2名同学中有一名去工厂A ，有12223212C C A =（种）情况.所以不同的分配方案共有2＋12＝14（种）.19．(1)216y x =(2)4140x y --=【详解】（1）点()06A y ,在抛物线C 上，由抛物线定义可得6102pAF =+=，解得8p =，故抛物线C 的标准方程为216y x =．（2）设()()1122,,,M x y N x y ，如下图所示：则2112221616y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减可得()22121216y y x x -=-，即()()()12121216y y y y x x -+=-，又线段MN 的中点为()4,2，可得124yy +=；则12124y y x x -=-，故直线l 的斜率为4，所以直线l 的方程为()244y x -=-，即直线l 的方程为4140x y --=．20．(1)49；(2)分布列见解析，4112.【详解】（1）记“小明恰好套中2次”为事件A ，分3种情况第一次，第二次套中；第一次，第三次套中；第二次第三次套中；则：3112221643442339336PA =⨯⨯⨯+⨯⨯==（），小明恰好套中2次的概率为49；（2）由题意可得：X 的可能取值为0，1，2，3，4，5，()1111043336P X ==⨯⨯=，34311(1)3336P X ==⨯⨯=，1214(2)234363P X ==⨯⨯⨯=，32112(3)243336P X ==⨯⨯⨯=，122(4)434633P X ==⨯⨯=，32212(5)43336P X ==⨯⨯=，所以X 的分布列为X012345P13633643612364361236所以1341212341()0123453641236363636361236X =E ++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+.21．(1)证明见解析(2)63【详解】（1）证法一：依题设知，AC 是所作球面的直径，则AM MC ⊥.又因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，则PA CD ⊥，又CD AD ⊥，PA AD A ⋂=，AD ⊂平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，因为AM ⊂平面PAD ，则CD AM ⊥，由AM MC ⊥，CD MC C =∩，CD ⊂平面PCD ，MC ⊂平面PCD ，所以AM ⊥平面PCD ，AM ⊂平面ABM ，所以平面ABM ⊥平面PCD ；证法二：因为PA ⊥平面,4,2ABCD PA AD AB ===，所以PB BD =，又以AC 的中点O 为球心AC 为直径的球面交PD 于点M ，所以BM PD ⊥，故M 为PD 的中点，建立空间直角坐标系如图，则()()()()()()0,0,0,0,0,4,2,0,0,2,4,0,0,4,0,0,2,2A P B C D M ．()()()2,0,0,0,2,2,2,4,0AB AM AC ∴===，()()0,4,4,2,0,0PD CD =-=-设平面ABM 的法向量为()1111,,n x y z =，则()()()()11111111111,,2,0,020,,,0,2,2220.n AB x y z x n AM x y z y z ⎧⋅=⋅==⎪⎨⋅=⋅=+=⎪⎩ 即1110,.x y z =⎧⎨=-⎩取11z =，则110,1x y ==-，∴平面ABM 的一个法向量()10,1,1n =-，设平面PCD 的一个法向量为()2222,,n x y z = ，则()()()()22222222222,,0,4,4440,,,2,0,020.n PD x y z y z n CD x y z x ⎧⋅=⋅-=-=⎪⎨⋅=⋅-=-=⎪⎩即2220,.x y z =⎧⎨=⎩取21z =，则220,1x y ==，所以平面PCD 的一个法向量为()20,1,1n =．120110,n n ⋅=-+= 即12,n n ⊥∴平面ABM ⊥平面PCD ．（2）设平面ACM 的一个法向量(),,m x y z=，又()()2,4,0,0,2,2AC AM == ，()2,0,0CD =- ，由,m AC m AM ⊥⊥，可得：240220x y y z +=⎧⎨+=⎩，令1z =，则()2,1,1m =- ，设所求角为α，则6sin 3||||CD m CD m α⋅==⋅ ，故所求角的正弦值为63．22．(1)22184x y +=(2)过定点，20,3⎛⎫⎪⎝⎭【详解】（1）依题意，得()22222,2221,c a ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩又222a b c =+，解得22,2,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆方程为22184x y +=.（2）因为2,AGE GAF AGE GAF AFG ∠=∠∠=∠+∠，所以,GAF AFG GA GF ∠=∠=，又G 为线段EF 的中点，所以12GA EF =，因此AE AF ⊥.根据题意可知直线l 的斜率一定存在，设l 的方程为()()1122,,,,y kx m E y F x y x =+，联立22,1,84y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()()()()222222214280,Δ442821k x kmx m km m k +++-==--+，。
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高二上学期数学第二次月考试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、填空题 (共14题；共14分)
1. （1分）已知命题p：“存在x∈R＋，”，命题p的否定为命题q，则q是“________”；q的真假为________．(填“真”或“假”)
2. （1分）某学员在一次射击测试中射靶6次，命中环数如下：9,5,8,4,6,10，
则：
平均命中环数为________；命中环数的方差为________．
3. （1分）(2020·海安模拟) 为了了解一批产品的长度（单位：毫米）情况，现抽取容量为400的样本进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间的一等品，在区间
和的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为________．
4. （1分） (2018高三上·江苏期中) “a=b”是“ ”的________条件.
5. （1分）(2017·泰州模拟) 某算法的伪代码如图所示，如果输入的x值为32，则输出的y值为________．
6. （1分） (2019高二下·南宁期末) 双曲线的焦点是，若双曲线上存在点，使
是有一个内角为的等腰三角形，则的离心率是________；
7. （1分） (2017高三上·南通期末) 一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量（单位：辆）如表：
轿车A轿车B轿车C
舒适型100150z
标准型300450600
按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．则z的值为________．
8. （1分）(2019·浙江模拟) 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为________．
9. （1分） (2019高二上·长治月考) 椭圆的焦点坐标为________．
10. （1分） (2019高一下·邢台月考) 如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列四个命题：
① AB∥ 面；② ；③平面平面；④三棱锥的体积不变.其中正确的命题序号是________．
11. （1分） (2018高二上·南京月考) 抛物线上一点的纵坐标为4，则点与抛物线焦点的距离为________.
12. （1分） (2019高三上·建平期中) 如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．
13. （1分）一个棱柱至少有________个面，面数最少的棱柱，有________条棱，有________条侧棱，有________个顶点．
14. （1分） (2019高二上·龙潭期中) 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，当时，的面积为________.
二、解答题 (共6题；共60分)
15. （10分）(2019·河南模拟) 已知命题p：函数有零点；命题q：函数区间内只有一个极值点若为真命题，求实数a的取值范围．
16. （10分） (2018高三上·福建期中) 如图在三棱锥中，分别为棱的中点，已知，
求证：
（1）直线平面；
（2）直线平面；
（3）平面平面 .
（4）平面平面 .
17. （10分）(2018·中山模拟) 如图,三棱柱中,侧面为菱形, .
（1）证明: ;
（2）若 ,且平面平面 ,求点到平面的距离.
18. （10分） (2018高二上·巴彦期中) 设椭圆的右焦点为，过的直线与交于
两点，点的坐标为 .
（1）设为坐标原点，证明： .
（2）当与轴垂直时，求直线的方程；
（3）设为坐标原点，证明： .
19. （10分）(2019·龙岩模拟) 已知椭圆的方程为，点为长轴的右端点．为椭圆
上关于原点对称的两点．直线与直线的斜率满足：．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线与圆相切，且与椭圆相交于两点，求证：以线段为直径的圆恒过原点．
20. （10分）已知椭圆C： + =1和定点A（6，0），O是坐标原点，动点P在椭圆C移动， = ，点D是线段PB的中点，直线OB与AD相交于点M，设=λ ．
（Ⅰ）求λ的值；
（Ⅱ）求点M的轨迹E的方程，如果E是中心对称图形，那么类比圆的方程用配方求对称中心的方法，求轨迹E的对称中心；如果E不是中心对称图形，那么说明理由．
参考答案一、填空题 (共14题；共14分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
二、解答题 (共6题；共60分)
15-1、
16-1、
16-2、
16-3、
16-4、
17-1、
17-2、
18-1、
18-2、
18-3、
19-1、
20-1、
第11 页共11 页。