线性规划第四章

解：
3 2 1 0 0 A ( p1 , p2 , p3 , p4 , p5 ) 2 1 0 1 0 0 3 0 0 1
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1 0 0 第一次迭代：B ( p3 , p4 , p5 ) 0 1 0 , 0 0 1 1 0 0 x3 65 1 1 B 0 1 0 , xB x4 B b 40 b, 0 0 1 x 75 5 f1 cB xB 0 0 0 65 40 75 0.
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最小判别数z2 c2 2500, 下标k = 2，计算y 2，有 1 0 0 2 2 1 y 2 B p 2 0 1 0 1 1 ， 0 0 1 3 3 br 65 40 75 75 min{ ， ， } ，因此r 3. y r2 2 1 3 3 xB中第三个分量x5为离基变量，x2为进基变量， 用p 2替换p5进行下一次迭代。
T
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z1 c1 cB B 1 p1 c1 1 0 0 3 0 0 0 0 1 0 2 1500 1500, 0 0 10 1 z2 c2 cB B p2 c2 1 0 0 2 0 0 0 0 1 0 1 2500 2500, 0 0 1 3
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考虑问题
min f =cx s. t. Ax=b, x≥0, 其中A是m×n矩阵，秩为m，c是n维行向量， x是n维列向量，b ≥0是m维列向量。记 A=(p1, p2, …, pn) 现将A分解成（B，N）(可能经列调换)，使 得其中B是基矩阵， N是非基矩阵，设 B-1b x(0)= 是基本可行解， 0
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1 0 2 第二次迭代：B ( p3 , p4 , p2 ) 0 1 1 , 0 0 3 2 1 0 3 x3 15 1 0 1 1 , x x B 1b 15 b, B B 4 3 x 25 2 1 0 0 3 f 2 cB xB 0 0 2500 15 15 25 62500.
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（4）确定下标 r,使 br /yrk= min{ bi /yik∣yik>0}, xBr为离基变量，xk为进基变量.用 pk替 换 pBr ,得到新的基矩阵B， 返回步骤（1）.
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例：max
s.t.
1500 x1 + 2500 x2 3 x1 + 2 x 2 + x 3 = 65 2 x1 + x 2 + x4 = 40 3 x2 + x5 = 75 x 1 , x2 , x3 , x 4 , x5 ≥ 0
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二、单纯形方法计算步骤：
当目标函数是极小化问题时，首 先给定一个初始基本可行解，设初始 基为B,然后执行下列主要步骤： （1）求得 xB=B-1b=b,令 xN=0，计算目 标函数值 f = cBxB. （2）对所有非基变量，计算判别数 zj – cj.令
zk – ck=max{zj – cj.}.
j m 1
n
n
j m 1
这里假设 zk – ck>0, xk由零变为正数后，得到 方程组 Ax=b的解
xB=B-1b-B-1pkxk =b-ykxk , (2) 其中 b和 yk是 m维列向量，b=B-1b, yk=B-1pk . xN=(0,…,0, xk ,0,…,0)T,
在新得到的点，目标函数是
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最小判别数z1 c1 1500, 下标k =1，计算y1，有 1 y1 B1p1 0 0 0 1 0 2 - 3 3 3 1 2 2 ， 3 0 0 1 3
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（4）确定下标 r,使 br /yrk= min{ bi /yik∣yik>0}, xBr为离基变量，xk为进基变量.用 pk替 换 pBr ,得到新的基矩阵B， 返回步骤（1）.
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当目标函数是极大化问题时，首 先给定一个初始基本可行解，设初始 基为B,然后执行下列主要步骤： （1）求得 xB=B-1b=b,令 xN=0，计算目 标函数值 f = cBxB. （2）对所有非基变量，计算判别数 zj – cj.令
zk – ck=min{zj – cj.}.
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若 zk – ck≥ 0，则对于所有非基变量zj – cj≥ 0,对应基变量的判别数总是零，因 此停止计算，现行基本可行解是最优解. 否则，进行下一步. （3）求解 yk=B-1pk ,若 yk ≤ 0，即 yk 每一个 均非正数，则停止计算，问题不存在有 限最优解（f =f0- (zk – ck )xk）.否则，进 行下一步骤.
第四章 单纯形方法
线性规划问题的计算方法中应用 最广的就是著名的单纯形方法。这种 方法是G.B.Dantzig在1947年提出的， 后来人们又进行一些改进，形成许多 变种。几十年的实践证明，单纯形方 法的确是一种使用方便、行之有效的 重要方法。今天，它已经成为线性规 划的中心内容。
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一、单纯形方法原理 从上一章的知识我们知道，求解 线性规划问题归结为找最优基本可行 解。单纯形方法的基本思想就是从一 个基本可行解出发，求一个使目标函 数值有所改善的基本可行解；通过不 断改进基本可行解，力图达到最优基 本可行解。下面，分析怎样实现这种 基本可行解得转换。
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三、表格形式：
cB
cn+1 cn+2 ┇ cn+m
cj xB
xn+1 xn+2 ┇ xn+m zj –cj
b
b1 b2 ┇ bm
c1 x1
a11 a21 ┇ am1 z1–c1
… …
cn xn
cn+1 … cn+m xn+1 … xn+m θj
… a1n+m … a2n+m ┇ ┇ … amn+m … 0 θ1 θ2 ┇ θm f
f = f0 -(zk - ck) xk . 我们知道虽然 xk取值越大函数值下降越多， 但根据 (2)， xk取值受到可行性的限制。
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xB=B-1b-B-1pkxk =b-ykxk , 对某一个 i，当 yk的分量 yik≤0时，xk 取任何 正值时，总成立 xBi≥0，此时 xk 可以无限增 大，而目标函数值 f = f0 -(zk - ck) xk 可以无 限减小，问题属于无界情形。当 yk的分量 yik ≥ 0时，为保证 xBi = bi - yikxk ≥ 0 就必须取值 xk ≤ bi /yik . 因此，为使 xB ≥0，应令 xk = min{ bi /yik∣yik>0}= br /yrk ,
T
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z3 c3 cB B 1 p3 c3 2 1 3 0 9 1 2 1 1500 0 2500 1 0 0 500, 3 9 0 1 0 0 3 z5 c5 cB B 1 p5 c5 2 1 3 0 9 0 2 1 1500 0 2500 1 0 0 500 3 9 1 1 0 0 3 判别数都为正数，找到最优解(5， )T ,最优值70000. 25
T
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z1 c1 cB B 1 p1 c1 2 1 0 3 3 0 1 1 2 1500 1500, 0 0 2500 3 0 1 0 0 3 z5 c5 cB B 1 p5 c5 2 1 0 3 0 1 2500 0 0 2500 0 1 0 0 , 3 3 1 0 0 1 3
xN
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则由 Ax=b得到
xB=B-1b-B-1NxN ,
在点 x处的目标函数值
f =cx= cB xB+cN xN = cB(B-1b-B-1NxN)+ cN xN = cBB-1b- (cBB-1N - cN )xN = f0 - (cBB-1pj - cj ) xj = f0 - (zj - cj ) xj (1) 其中 zj = cBB-1pj .
br 15 15 15 min{ ， } ，因此r 1. y r1 3 2 3 xB中第一个分量x3为离基变量，x1为进基变量， 用p1替换p3进行下一次迭代。
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3 0 2 第三次迭代：B ( p1 , p4 , p2 ) 2 1 1 , 0 0 3 2 1 3 0 9 x1 5 1 2 1 1 , x x B 1b 5 b, B 3 B 4 9 x 25 2 1 0 0 3 f 2 cB xB 1500 0 2500 5 5 25 70000.
3
在 x(0)处的目标函数值
B-1b f0 = c x(0)=(cB,cN) 0 =cB B-1b,
其中 cB是 c中与基变量对应的分量组成的m 维行向量。cN是 c中与非基变量对应的分量 组成的 n-m维行向量。现从基本可行解 x(0) 出发，求一个改进的基本可行解 。 设 xB x= 是任一个可行解，
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到新的基本可行解
xk 取值 ห้องสมุดไป่ตู้r /yrk后，原来的基变量 xBr=0，得
x=(xB1,…,xBr-1,0,xBr+1,0,…,xk,…,0)T. 经上述转换，xk由原来的非基变量变成 基变量，而原来的基变量 xBr变成非基变量。
在新的基本可行解处，目标函数值比原来减 少了(zk - ck) xk 。重复以上过程，可以进一步 改进基本可行解，直到 判别数zj – cj均非正 数，以致任何一个非基变量取正值都不能使 目标函数值减小时为止。