三角函数恒等变换
三角恒等变换公式大全
三角函数cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβcos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβsin（α+β）=sinα·cosβ+cosα·sinβsin（α-β）=sinα·cosβ-cosα·sinβtan（α+β）=(tanα+tanβ）/（1-tanα·tanβ）tan（α-β）=(tanα-tanβ）/（1+tanα·tanβ）二倍角sin（2α）=2sinα·cosα=2tan（α）/[1-tan^2（α）]cos（2α）=cos^2（α）-sin^2（α）=2cos^2（α）-1=1-2sin^2（α）=[1-tan^2 （α）]/[1+tan^2（α）]tan（2α）=2tanα/[1-tan^2（α）]三倍角sin3α=3sinα-4sin^3（α）cos3α=4cos^3（α）-3cosαtan3α=（3tanα-tan^3（α））÷（1-3tan^2（α））sin3α=4sinα×sin（60-α）sin（60+α）cos3α=4cosα×cos（60-α）cos（60+α)tan3α=tanα×tan（60-α）tan（60+α）半角公式sin^2（α/2）=（1-cosα）/2cos^2（α/2）=（1+cosα）/2tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα半角变形sin^2（α/2）=（1-cosα）/2sin(a/2）=√[（1-cosα）/2]a/2在一、二象限=-√[（1-cosα）/2]a/2在三、四象限cos^2（α/2）=（1+cosα）/2cos(a/2）=√[（1+cosα）/2]a/2在一、四象限=-√[（1+cosα）/2]a/2在二、三象限tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα=√[（1-cosα）/（1+cosα）] a/2在一、三象限=-√[（1-cosα）/（1+cosα）]a/2在二、四象限恒等变形tan(a+π/4）=(tana+1）/（1-tana)tan(a-π/4）=(tana-1）/（1+tana)asinx+bcosx=[√（a^2+b^2）]{[a/√（a^2+b^2）]sinx+[b/√（a^2+b^2）]cosx}=[√（a^2+b^2）]sin(x+y)（辅助角公式）tany=b/a万能代换半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）sinα=2tan（α/2）/[1+tan^2（α/2）]cosα=[1-tan（α/2）]/[1+tan^2（α/2）]tanα=2tan（α/2）/[1-tan^2（α/2）]积和化差sinα·cosβ=（1/2）[sin（α+β）+sin（α-β）]cosα·sinβ=（1/2）[sin（α+β）-sin（α-β）]cosα·cosβ=（1/2）[cos（α+β）+cos（α-β）]sinα·sinβ=-（1/2）[cos（α+β）-cos（α-β）]（注：留意最前面是负号）和差化积sinα+sinβ=2sin[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]sinα-sinβ=2cos[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]cosα-cosβ=-2sin[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]内角公式sinA+sinB+sinC=4cos（A/2）cos（B/2）cos（C/2）cosA+cosB+cosC=1+4sin（A/2）sin（B/2）sin（C/2）tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanCcot（A/2）+cot（B/2）+cot（C/2）=cot（A/2）cot（B/2）cot（C/2）tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1证明方法首先，在三角形ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c若A,B均为锐角，则在三角形ABC中，过C作AB边垂线交AB于D由CD=asinB=bsinA（做另两边的垂线，同理）可证明正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC于是有：AD+BD=cAD=bcosA,BD=acosBAD+BD=代c入正弦定理，可得sinC=sin（180-C)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA即在A,B均为锐角的情况下，可证明正弦和的公式。
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三角函数cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβcos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβsin（α+β）=sinα·cosβ+cosα·sinβsin（α-β）=sinα·cosβ-cosα·sinβtan（α+β）=(tanα+tanβ）/（1-tanα·tanβ）tan（α-β）=(tanα-tanβ）/（1+tanα·tanβ）二倍角sin（2α）=2sinα·cosα=2tan（α）/[1-tan^2（α）]cos（2α）=cos^2（α）-sin^2（α）=2cos^2（α）-1=1-2sin^2（α）=[1-tan^2（α）]/[1+tan^2（α）]tan（2α）=2tanα/[1-tan^2（α）]三倍角sin3α=3sinα-4sin^3（α）cos3α=4cos^3（α）-3cosαtan3α=（3tanα-tan^3（α））÷（1-3tan^2（α））sin3α=4sinα×sin（60-α）sin（60+α）cos3α=4cosα×cos（60-α）cos（60+α)tan3α=tanα×tan（60-α）tan（60+α）半角公式sin^2（α/2）=（1-cosα）/2cos^2（α/2）=（1+cosα）/2tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα半角变形sin^2（α/2）=（1-cosα）/2sin(a/2）=√[（1-cosα）/2] a/2在一、二象限=-√[（1-cosα）/2] a/2在三、四象限cos^2（α/2）=（1+cosα）/2cos(a/2）=√[（1+cosα）/2] a/2在一、四象限=-√[（1+cosα）/2] a/2在二、三象限tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα=√[（1-cosα）/（1+cosα）] a/2在一、三象限=-√[（1-cosα）/（1+cosα）] a/2在二、四象限恒等变形tan(a+π/4）=(tana+1）/（1-tana)tan(a-π/4）=(tana-1）/（1+tana)asinx+b cosx=[√（a^2+b^2）]{[a/√（a^2+b^2）]sinx+[b/√（a^2+b^2）]cosx}=[√（a^2+b^2）]sin(x+y)（辅助角公式）tan y=b/a万能代换半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）sinα=2tan（α/2）/[1+tan^2（α/2）]cosα=[1-tan（α/2）]/[1+tan^2（α/2）]tanα=2tan（α/2）/[1-tan^2（α/2）]积和化差sinα·cosβ=（1/2）[sin（α+β）+sin（α-β）]cosα·sinβ=（1/2）[sin（α+β）-sin（α-β）]cosα·cosβ=（1/2）[cos（α+β）+cos（α-β）]sinα·sinβ= -（1/2）[cos（α+β）-cos（α-β）]（注：留意最前面是负号）和差化积sinα+sinβ=2sin[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]sinα-sinβ=2cos[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]cosα-cosβ=-2sin[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]内角公式sinA+sinB+sinC=4cos（A/2）cos（B/2）cos（C/2）cosA+cosB+cosC=1+4sin（A/2）sin（B/2）sin（C/2）tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanCcot（A/2）+cot（B/2）+cot（C/2）=cot（A/2）cot（B/2）cot（C/2）tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1证明方法首先，在三角形ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c若A,B均为锐角，则在三角形ABC中，过C作AB边垂线交AB于D 由CD=asinB=bsinA（做另两边的垂线，同理）可证明正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC于是有：AD+BD=cAD=bcosA,BD=acosB AD+BD=c代入正弦定理，可得sinC=sin（180-C)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA 即在A,B均为锐角的情况下，可证明正弦和的公式。
三角函数式的恒等变换
三角函数式的恒等变换
三角函数是一种非常重要的数学函数，它主要用于描述和研究函数的变化规律，是高中数学和高等数学的基础。
其中，恒等变换是一种研究三角函数变换特征的重要方法，由它完成的变换也称为恒等变换。
恒等变换是三角函数变换中的一种重要方法，它可以将一个三角函数表示为另一种三角函数的代数形式，这样就可以用更为简单的方式来求解三角函数的变换。
恒等变换的定义：将三角函数表示的函数f（x），用它的恒等变换y，将函数f（x）变换成新的函数Y，即：
Y（x）=f（x）+g（Y）
其中g（Y）是恒等变换的变换函数，不同的恒等变换使用不同的变换函数。
恒等变换可以实现以下几种变换：
（1）函数变换：这是恒等变换最常见的应用，即通过恒等变换将一个三角函数转换成另一种三角函数。
比如，可以将正弦函数转换成余弦函数，或者将正切函数变换成反正切函数。
（2）延拓变换：这是一种很常见的应用，即将一个三角函数的值拓展到其他范围，从而扩大函数的定义域。
比如，将正弦函数从[-π/2,π/2]拓展到[-π,π]，以及将余弦函数从[-π/2,π/2]拓展到[0,2π]。
（3）变量变换：这是将三角函数中的变量变换成另一种变量，
从而使得三角函数可以更容易地求解。
比如将变量t变换成x，从而使正弦函数可以更容易地求解。
恒等变换为研究三角函数的变换规律提供了一种更高效的方式，它不仅可以实现函数的变换，也可以实现函数的拓展和变量的变换，可以说它给三角函数的研究提供了一种全新的途径。
总的来说，恒等变换是三角函数变换的一种重要方法，它可以实现函数的变换、变量的变换以及函数的拓展，使得三角函数变换更加清晰、简明，为三角函数研究提供了新的视角。
三角恒等变换公式大全
三角函数cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβcos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβsin（α+β）=sinα·cosβ+cosα·sinβsin（α-β）=sinα·cosβ-cosα·sinβtan（α+β）=(tanα+tanβ）/（1-tanα·tanβ）tan（α-β）=(tanα-tanβ）/（1+tanα·tanβ）二倍角sin（2α）=2sinα·cosα=2tan（α）/[1-tan^2（α）]cos（2α）=cos^2（α）-sin^2（α）=2cos^2（α）-1=1-2sin^2（α）=[1-tan^2（α）]/[1+tan^2（α）]tan（2α）=2tanα/[1-tan^2（α）]三倍角sin3α=3sinα-4sin^3（α）cos3α=4cos^3（α）-3cosαtan3α=（3tanα-tan^3（α））÷（1-3tan^2（α））sin3α=4sinα×sin（60-α）sin（60+α）cos3α=4cosα×cos（60-α）cos（60+α)tan3α=tanα×tan（60-α）tan（60+α）半角公式sin^2（α/2）=（1-cosα）/2cos^2（α/2）=（1+cosα）/2tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα半角变形sin^2（α/2）=（1-cosα）/2sin(a/2）=√[（1-cosα）/2] a/2在一、二象限=-√[（1-cosα）/2] a/2在三、四象限cos^2（α/2）=（1+cosα）/2cos(a/2）=√[（1+cosα）/2] a/2在一、四象限=-√[（1+cosα）/2] a/2在二、三象限tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα=√[（1-cosα）/（1+cosα）] a/2在一、三象限=-√[（1-cosα）/（1+cosα）] a/2在二、四象限恒等变形tan(a+π/4）=(tana+1）/（1-tana)tan(a-π/4）=(tana-1）/（1+tana)asinx+bcosx=[√（a^2+b^2）]{[a/√（a^2+b^2）]sinx+[b/√（a^2+b^2）]cosx}=[√（a^2+b^2）]sin(x+y)（辅助角公式）tan y=b/a万能代换半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）sinα=2tan（α/2）/[1+tan^2（α/2）]cosα=[1-tan（α/2）]/[1+tan^2（α/2）]tanα=2tan（α/2）/[1-tan^2（α/2）]积和化差sinα·cosβ=（1/2）[sin（α+β）+sin（α-β）]cosα·sinβ=（1/2）[sin（α+β）-sin（α-β）]cosα·cosβ=（1/2）[cos（α+β）+cos（α-β）]sinα·sinβ= -（1/2）[cos（α+β）-cos（α-β）]（注：留意最前面是负号）和差化积sinα+sinβ=2sin[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]sinα-sinβ=2cos[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]cosα-cosβ=-2sin[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]内角公式sinA+sinB+sinC=4cos（A/2）cos（B/2）cos（C/2）cosA+cosB+cosC=1+4sin（A/2）sin（B/2）sin（C/2）tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanCcot（A/2）+cot（B/2）+cot（C/2）=cot（A/2）cot（B/2）cot（C/2）tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1证明方法首先，在三角形ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c若A,B均为锐角，则在三角形ABC中，过C作AB边垂线交AB于D 由CD=asinB=bsinA（做另两边的垂线，同理）可证明正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC于是有：AD+BD=cAD=bcosA,BD=acosB AD+BD=c代入正弦定理，可得sinC=sin（180-C)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA 即在A,B均为锐角的情况下，可证明正弦和的公式。
三角恒等变换公式大全
三角恒等变换公式大全1.正弦和余弦的平方和差关系：sin²x + cos²x = 1sin²x = 1 - cos²xcos²x = 1 - sin²x2.正弦和余弦的和差关系：sin(x + x) = sin x cos x + cos x sin xsin(x - x) = sin x cos x - cos x sin xcos(x + x) = cos x cos x - sin x sin xcos(x - x) = cos x cos x + sin x sin x3.正切和余切的和差关系：tan(x + x) = (tan x + tan x) / (1 - tan x tan x)tan(x - x) = (tan x - tan x) / (1 + tan x tan x)cot(x + x) = (cot x cot x - 1) / (cot x + cot x)cot(x - x) = (cot x cot x + 1) / (cot x - cot x)4.正弦和余弦的二倍角关系：sin(2x) = 2sin x cos xcos(2x) = cos²x - sin²x = 2cos²x - 1 = 1 - 2sin²x 5.正切和余切的二倍角关系：tan(2x) = (2tan x) / (1 - tan²x)cot(2x) = (cot²x - 1) / (2cot x)6.正弦和余弦的三倍角关系：sin(3x) = 3sin x - 4sin³xcos(3x) = 4cos³x - 3cos x7.正切和余切的三倍角关系：tan(3x) = (3tan x - tan³x) / (1 - 3tan²x)cot(3x) = (cot³x - 3cot x) / (3cot²x - 1)8.正弦和余弦的半角关系：sin(x/2) = ± √(1 - cos x) / 2cos(x/2) = ± √(1 + cosx) / 29.正切和余切的半角关系：tan(x/2) = (1 - cos x) / sin x = sin x / (1 + cos x) cot(x/2) = (1 + cos x) / sin x = sin x / (1 - cos x) 10.和差的三角函数关系：sin x + sin x = 2 sin((x + x)/2) cos((x - x)/2) sin x - sin x = 2 cos((x + x)/2) sin((x - x)/2) cos x + cos x = 2 cos((x + x)/2) cos((x - x)/2) cos x - cos x = -2 sin((x + x)/2) sin((x - x)/2)这些是一些常见的三角恒等变换公式，应用在不同的数学问题和物理公式的推导中。
三角恒等变换公式大全
三角恒等变换公式大全三角函数是数学中的重要分支，它在许多科学与工程领域中具有广泛的应用。
而三角恒等变换公式是三角函数的重要性质之一。
它们可以将一个三角函数表达式转换为其他三角函数表达式，从而提供了在解决问题时的灵活性和简化计算的便利性。
在本文中，我们将介绍一些常用的三角恒等变换公式，帮助读者更好地理解和应用三角函数。
1. 正弦、余弦和正切的平方和差公式：- 正弦的平方和差公式：sin²(A ± B) = sin²A*cos²B ±2*sinA*sinB*cosA*cosB- 余弦的平方和差公式：cos²(A ± B) = cos²A*cos²B -2*sinA*sinB*cosA*cosB- 正切的平方和差公式：tan²(A ± B) = (tan²A ± tan²B) / (1 ∓tanA*tanB)2. 正弦和余弦的倍角公式：- 正弦的倍角公式：sin2A = 2*sinA*cosA- 余弦的倍角公式：cos2A = cos²A - sin²A = 2*cos²A - 1 = 1 -2*sin²A3. 正切的倍角公式：- 正切的倍角公式：tan2A = (2*tanA) / (1 - tan²A)4. 正弦、余弦和正切的半角公式：- 正弦的半角公式：sin(A / 2) = ± √[(1 - cosA) / 2]- 余弦的半角公式：cos(A / 2) = ± √[(1 + cosA) / 2]- 正切的半角公式：tan(A / 2) = ± √[(1 - cosA) / (1 + cosA)]5. 正切的和差公式：- 正切的和公式：tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA*tanB)6. 余弦的和差公式：- 余弦的和公式：cos(A ± B) = cosA*cosB ∓ sinA*sinB7. 三角函数的倒数公式：- sin(-A) = -sinA，cos(-A) = cosA，tan(-A) = -tanA8. 三角函数的互余关系：- sin(π/2 - A) = cosA，cos(π/2 - A) = sinA，tan(π/2 - A) = 1/tanA9. 三角函数的余角关系：- sin(π - A) = sinA，cos(π - A) = -cosA，tan(π - A) = -tanA10. 三角函数的化简公式：- sin(2π - A) = -sinA，cos(2π - A) = cosA，tan(2π - A) = tanA这些三角恒等变换公式为解决三角函数相关的数学问题提供了便利，读者在学习和应用时可根据具体情况选择合适的公式进行推导和计算。
三角恒等变换公式大全
三角函数cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβcos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβsin（α+β）=sinα·cosβ+cosα·sinβsin（α-β）=sinα·cosβ-cosα·sinβtan（α+β）=(tanα+tanβ）/（1-tanα·tanβ）tan（α-β）=(tanα-tanβ）/（1+tanα·tanβ）二倍角sin（2α）=2sinα·cosα=2tan（α）/[1-tan^2（α）]cos（2α）=cos^2（α）-sin^2（α）=2cos^2（α）-1=1-2sin^2（α）=[1-tan^2（α）]/[1+tan^2（α）]tan（2α）=2tanα/[1-tan^2（α）]三倍角sin3α=3sinα-4sin^3（α）cos3α=4cos^3（α）-3cosαtan3α=（3tanα-tan^3（α））÷（1-3tan^2（α））sin3α=4sinα×sin（60-α）sin（60+α）cos3α=4cosα×cos（60-α）cos（60+α)tan3α=tanα×tan（60-α）tan（60+α）半角公式sin^2（α/2）=（1-cosα）/2cos^2（α/2）=（1+cosα）/2tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα半角变形sin^2（α/2）=（1-cosα）/2sin(a/2）=√[（1-cosα）/2] a/2在一.二象限=-√[（1-cosα）/2] a/2在三.四象限cos^2（α/2）=（1+cosα）/2cos(a/2）=√[（1+cosα）/2] a/2在一.四象限=-√[（1+cosα）/2] a/2在二.三象限tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα=√[（1-cosα）/（1+cosα）] a/2在一.三象限=-√[（1-cosα）/（1+cosα）] a/2在二.四象限恒等变形tan(a+π/4）=(tana+1）/（1-tana)tan(a-π/4）=(tana-1）/（1+tana)asinx+bcosx=[√（a^2+b^2）]{[a/√（a^2+b^2）]sinx+[b/√（a^2+b^2）]cosx}=[√（a^2+b^2）]sin(x+y)（帮助角公式）tan y=b/a全能代换半角的正弦.余弦和正切公式（降幂扩角公式）sinα=2tan（α/2）/[1+tan^2（α/2）]cosα=[1-tan（α/2）]/[1+tan^2（α/2）]tanα=2tan（α/2）/[1-tan^2（α/2）]积和化差sinα·cosβ=（1/2）[sin（α+β）+sin（α-β）]cosα·sinβ=（1/2）[sin（α+β）-sin（α-β）]cosα·cosβ=（1/2）[cos（α+β）+cos（α-β）]sinα·sinβ= -（1/2）[cos（α+β）-cos（α-β）]（注：留心最前面是负号）和差化积sinα+sinβ=2sin[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]sinα-sinβ=2cos[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]cosα-cosβ=-2sin[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]内角公式sinA+sinB+sinC=4cos（A/2）cos（B/2）cos（C/2）cosA+cosB+cosC=1+4sin（A/2）sin（B/2）sin（C/2）tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanCcot（A/2）+cot（B/2）+cot（C/2）=cot（A/2）cot（B/2）cot （C/2）tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1 cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1证实办法起首,在三角形ABC中,角A,B,C所对边分离为a,b,c若A,B均为锐角,则在三角形ABC中,过C作AB边垂线交AB于D 由CD=asinB=bsinA（做另双方的垂线,同理）可证实正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC于是有：AD+BD=c AD=bcosA,BD=acosB AD+BD=c代入正弦定理,可得sinC=sin（180-C)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA 即在A,B均为锐角的情形下,可证实正弦和的公式.应用正弦和余弦的界说及周期性,可证实该公式对随意率性角成立.于是有 cos(A+B)=sin（90-A-B)=sin （90-A)cos(-B)+cos（90-A)sin（-B）=cosAcosB-sinAsinB由此易得以上全体公式。
三角恒等变换课件
解答
根据三角函数的基本关系式，我们有 $cos^2theta = 1 - sin^2theta$，代入 $sintheta = -frac{2}{3}$， 得到 $cos^2theta = 1 - left(-frac{2}{3}right)^2 = 1 - frac{4}{9} = frac{5}{9}$，所以 $costheta = sqrt{frac{5}{9}} = frac{sqrt{5}}{3}$。再根据 $tantheta = frac{sintheta}{costheta}$，得到 $tantheta = frac{-frac{2}{3}}{frac{sqrt{5}}{3}} = sqrt{frac{2}{5}} = -frac{sqrt{10}}{5}$。
举例
利用诱导公式，将cos(π/2 - x) 转换为sin(x)，通过角度的变换
简化表达式。
函数名称的变换
总结词
通过改变函数名称来简化表达式。
详细描述
在三角恒等变换中，有时可以通过改变函数名称来简化表达式。例如，将cos(x)转换为sin(-x)，或将sin(x)转换为 cos(π/2 - x)等。这种变换通常基于三角函数的性质和恒等式。
三角恒等变换课件
目录
• 三角恒等变换概述 • 三角恒等变换的基本公式 • 三角恒等变换的技巧 • 三角恒等变换的实例解析 • 三角恒等变换的习题与解答
01
三角恒等变换概述
定义与性质
定义
三角恒等变换是数学中一种重要 的变换方法，通过代数运算将一 个三角函数式转换为另一个三角 函数式。
性质
三角恒等变换具有一些重要的性 质，如线性性质、乘积性质、幂 的性质等，这些性质在变换过程 中起着重要的作用。
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§6.3 两 角 和 与 差 的 三 角 函 数【复习目标】1．掌握两角和与差的三角函数公式，掌握二倍角公式；2．能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值． 3．能正确地运用三角公式进行三角函数式的化简与恒等式证明．【双基诊断】（以下巩固公式）1、sin163°sin223°+sin253°sin313°等于 （ ）A.－21 B.21C.－23 D.232、在△ABC 中，已知2sin A cos B =sin C ，那么△ABC 一定是 （ ）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形3、︒︒-︒70sin 20sin 10cos 2的值是 （ ）A.21B.23C.3D.24、已知cos α－cos β=21，sin α－sin β=31，则cos （α－β）=_______.5、已知53sin ),,2(=∈αππα，则=+)4tan(πα 。
6、若t =+)sin(απ，其中α是第二象限的角，则=-)cos(απ 。
7、化简1tan151tan15+-等于 （ ）()A ()B 2()C 3 ()D 18、(1tan 20)(1tan 21)(1tan 24)(1tan 25)++++= （ ）()A 2 ()B 4 ()C 8 ()D 169、已知tan α和tan （4π－α）是方程ax 2+bx +c =0的两个根，则a 、b 、c 的关系是（ ） A.b =a +c B.2b =a +c C.c =b +a D.c =ab10、015tan 75tan += 。
11、设a =sin14°+cos14°，b =sin16°+cos16°，c =66，则a 、b 、c 的大小关系是 （ ） A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜c ＜aD.b ＜a ＜c12、△ABC 中，若b =2a ，B =A +60°，则A =_______.13、f （x ）=xx xx cos sin 1cos sin ++的值域为 （ ）A.（－3－1，－1）∪（－1，3－1）B. （213--，213-） C.［212--，－1］∪（－1，212-） D.［212--，212-］14、已知∈（0，2π），β∈（2π，π），sin （α+β）=6533，cos β=－135，则sin α=____.15、下列各式中，值为21的是 ( ) A.sin15°cos15° B.2cos 212π－1 C.230cos 1︒+ D.︒-︒5.22tan 15.22tan 216、已知sin2θ+cos 2θ=332，那么sin θ的值为____________，cos2θ的值为____________.17、=000080cos 60cos 40cos 20cos 。
18、222cos 12tan()sin ()44αππαα-=-+ ．19212- = ；20、=-+βαβαβα2cos 2cos 21cos cos sin sin 2222. 21、02210sin 21)140cos 1140sin 3(⋅-= 。
22、1sin 4cos 41sin 4cos 4αααα++=+- （ ）()A cot α ()B cot 2α ()C tan α ()D tan 2a23、已知()f x =53(,)42ππα∈时，式子(sin 2)(sin 2)f f αα--可化简（ ） ()A 2sin α ()B 2cos α- ()C 2sin α- ()D 2cos α24、若cos α=53，且α∈（0，2π），则tan 2α=____________.25、(cottan )(1tan tan )222αααα-+⋅= 。
26、若f （tan x ）=sin2x ，则f （－1）的值是 （ ）A.－sin2B.－1C.21D.127、sin 2cos 0αα+=，则sin 2cos2αα+= ．（以下巩固题型） 28、=-++-A A A 222sin )30(sin )30(sin .29、（1）222(3cos 4)tan cot 1cos 4x x x x ++=-； （2）sin(2)sin 2cos()sin sin A B BA B A A+-+=．30、=-0445.67cos 5.67sin 。
3150sin80(13tan10)++= ．32、已知sin （x －4π3）cos （x －4π）=－41，则cos4x 的值为 .33、若)2,0(,,πγβα∈，sin α+sin γ=sin β，cos β+cos γ=cos α，则β－α的值为 .【深化拓展】（巩固三角变换）1．设cos （α－2β）=－91，sin （2α－β）=32，且2π＜α＜π，0＜β＜2π， 求cos （α+β）.2. 已知sin （4π－x ）=135，0＜x ＜4π，求）（x x +4πcos 2cos 的值.3．已知关于x 的方程221)0x x m -+=的两根为sin ,cos ,(0,2)θθθπ∈，求：（1）sin cos 1cot 1tan θθθθ+--的值；（2）m 的值；（3）方程的两根及此时θ的值．4． 已知A 为一三角形的內角，求222cos cos ()3y A A π=++的取值范围．5．已知6sin 2α+sin αcos α－2cos 2α=0，α∈［2π，π］，求sin （2α+3π）的值.6.已知α为第二象限角，cos2α+sin 2α=－25，求sin 2α－cos 2α和sin2α+cos2α的值.7．已知sin2α=53，α∈（4π5，2π3）. （1）求cos α的值；（2）求满足sin （α－x ）－sin （α+x ）+2cos α=－1010的锐角x .8．已知4171217,53)4cos(πππ<<=+x x ，求xxx x tan 1tan 2sin 2sin -+的值。
【回顾思悟】1．寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，把握式子的变形方向，准确运用公式； 2．三角变换主要体现在：函数名称的变换、角的变换、1的变换、和积的变换、幂的变换等方面；3．掌握基本技巧：切割化弦，异名化同名，异角化同角等． 三角函数求值问题一般有三种基本类型：1．给角求值，即在不查表的前提下，求三角函数式的值；2．给值求值，即给出一些三角函数，而求与这些三角函数式有某种联系的三角式的值； 3．给值求角，即给出三角函数值，求符合条件的角． （二）主要方法：1．寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；2．正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值； 3．一些常规技巧：“1”的代换、切割化弦、和积互化、异角化同角等．1.化简要求：（1）能求出值的应求出值. （2）使三角函数种数尽量少. （3）使项数尽量少.（4）尽量使分母不含三角函数. （5）尽量使被开方数不含三角函数. 2.常用方法：（1）直接应用公式.（2）切割化弦，异名化同名，异角化同角.（3）形如cos αcos2αcos22α…cos2n α的函数式，只需将分子、分母分别乘以2n +1sin α，应用二倍角正弦公式即可.1.证明三角恒等式的基本思路，是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更命题等方法，使等式两端的“异”化为“同”.2.条件等式的证明，通过认真观察，发现已知条件和待证等式之间的关系，选择适当的途径把条件用上去.常用方法有代入法、消去法、综合法（即从已知条件出发，以待证式为目标进行代数或三角恒等变形，逐步推出待证式）、分析法等.3.三角函数的应用主要是借用三角函数的值域求最值，这首先应将原函数通过降幂、辅助角公式等化成y =A sin （ωx + ）（A ≠0，ω＞0）的形式，或者通过换元转化成二次函数，然后再求之. 【答案提示】1、解析：原式=sin17°·（－sin43°）+（－sin73°）（－sin47°）=－sin17°sin43°+cos17°cos43°=cos60°=21. 答案：B2、解析：由2sin A cos B =sin C 知2sin A cos B =sin （A +B ），∴2sin A cos B =sin A cos B +cos A sin B . ∴cos A sin B －sin A cos B =0. ∴sin （B －A ）=0.∴B =A . 答案：B3、解析：原式=︒︒-︒-︒70sin 20sin 2030cos 2）（=︒︒-︒⋅︒+︒⋅︒70sin 20sin 20sin 30sin 20cos 30cos 2）（=︒︒20cos 20cos 3=3. 答案：C4、解析：（cos α－cos β）2=41，（sin α－sin β）2=91.两式相加，得2－2cos （α－β）=3613. ∴cos （α－β）=7259. 答案：72597、化简1tan151tan15+-等于 （ A ）8、(1tan 20)(1tan 21)(1tan 24)(1tan 25)++++= （ B ）9、解析：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-+，）（，）（a c a b αααα4πtan tan 4πtan tan ∴tan 4π=a c a b--1=1. ∴－a b =1－a c . ∴－b =a －c .∴c =a +b . 答案：C10、解析一：tan15°+cot15°=︒︒15cos 15sin +︒︒15sin 15cos =︒︒︒+︒15sin 15cos 15cos 15sin 22=︒⋅30sin 211=4.解析二：由tan15°=tan （45°－30°）=︒︒+︒-︒30tan 45tan 130tan 45tan =331331+-=3333+-. ∴原式=3333+-+3333-+=4.11、解析：a =2sin59°，c =2sin60°，b =2sin61°，∴a ＜c ＜b .12、解析：利用正弦定理，由b=2a ⇒sinB=2sinA ⇒sin （A+60°）－2sinA=0⇒3cosA －3sinA=0⇒sin （30°－A ）=0⇒30°－A=0°（或180°）⇒A=30°. 答案：30°13、解析：令t =sin x +cos x =2sin （x +4π）∈［－2，－1］∪（－1，2），则f （x ）=tt +-1212=21-t ∈［212--，－1］∪（－1，212-）. 答案：C14、解析：由0＜α＜2π，2π＜β＜π，得2π＜α+β＜2π3.故由sin （α+β）=6533，得cos （α+β）=－6556. 由cos β=－135，得sin β=1312.∴sin α=sin ［（α+β）－β］=sin （α+β）cos β－cos （α+β）sin β=6533·（－135）－（－6556）·1312=－845507. 答案：－845507 15、解析：︒-︒5.22tan 15.22tan 2=21tan45°=21. 答案：D 16、解析：由sin 2θ+cos 2θ=332，得1+sin θ=34，sin θ=31，cos2θ=1－2sin 2θ=1－2·91=97. 答案：31 9718、 1 ．；19、原式213sin12cos12)3cos12222sin12cos12(2cos 121)sin 24cos 24--==-sin 482==-21、分析：原式=0202020210sin 21140cos 140sin 140sin 140cos 3⋅-16160sin 200sin 1680cos 80sin 200sin 810sin 2180sin 41200sin 80sin 410sin 21)40cos 40sin ()140sin 140cos 3)(140sin 140cos 3(00000020002000000=-=-=⋅⋅-=⋅-+-=注：化简三角函数式过程中，除利用三角变换公式还需用到代数变形公式，如平方差公式。