数学人教b版必修4：1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质 作业 含解析
人教版数学高一人教B版必修四学案1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质(二)
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(二)学习目标 1.了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质.2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题.知识点一 正切函数的图象类比正弦函数图象的作法，可以利用正切线作正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2的图象，阅读课本，了解具体操作过程.思考1 结合正切函数的周期性， 如何画出正切函数在整个定义域内的图象？思考2 一条平行于x 轴的直线与正切曲线相邻两支曲线的交点的距离为多少？梳理 (1)正切函数的图象称作“正切曲线”，如下图所示.(2)正切函数的图象特征正切曲线是由通过点(π2＋k π，0)(k ∈Z )且与y 轴相互平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成的.知识点二 正切函数的性质 思考1 正切函数的定义域是什么？思考2 诱导公式tan(π＋x )＝tan x ，x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z 说明了正切函数的什么性质？思考3 诱导公式tan(－x )＝－tan x ，x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z 说明了正切函数的什么性质？思考4 从正切线上看，在⎝⎛⎭⎫0，π2上正切函数值是增大的吗？思考5 结合正切函数的周期性，正切函数的单调性如何？正切函数在整个定义域内是增函数吗？正切函数会不会在某一区间内是减函数？梳理 函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z 的图象与性质见下表：解析式y ＝tan x图象定义域 值域 周期 奇偶性单调性在开区间________________内都是增函数类型一 正切函数的定义域例1 求下列函数的定义域. (1)y ＝11＋tan x ；(2)y ＝lg(3－tan x ).反思与感悟 求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线.跟踪训练1 求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域.类型二 正切函数的单调性及其应用 命题角度1 求正切函数的单调区间例2 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调区间及最小正周期.反思与感悟 y ＝tan(ωx ＋φ) (ω>0)的单调区间的求法是把ωx ＋φ看成一个整体，解－π2＋k π<ωx ＋φ<π2＋k π，k ∈Z 即可.当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间.跟踪训练2 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调区间.命题角度2 利用正切函数的单调性比较大小 例3 (1)比较大小： ①tan 32°________tan 215°； ②tan 18π5________tan(－28π9).(2)将tan 1，tan 2，tan 3按大小排列为________.(用“<”连接)反思与感悟 比较两个函数值的大小，只需将所涉及的两个角通过诱导公式转化到同一个单调区间内，再借助单调性即可.正切函数的单调递增区间为(－π2＋k π，π2＋k π)，k ∈Z ，故在⎝⎛⎭⎫－π2，π2和⎝⎛⎭⎫π2，3π2上都是增函数.跟踪训练3 比较大小：tan ⎝⎛⎭⎫－7π4________tan ⎝⎛⎭⎫－9π5.类型三 正切函数的奇偶性与对称性问题 例4 (1)判断下列函数的奇偶性. ①y ＝tan 2x －tan x1－tan x ；②y ＝x tan 2x ＋x 4.(2)求y ＝3tan(2x ＋π3)的图象的对称中心.反思与感悟 (1)在利用定义判断与正切函数有关的函数的奇偶性时，必须要坚持定义域优先的原则，即首先要看函数的定义域是否关于原点对称，然后判断f (－x )与f (x )的关系. (2)求函数y ＝tan(ωx ＋φ)的图象的对称中心，方法是把ωx ＋φ看作一个整体，由ωx ＋φ＝k π2(k ∈Z )解出的x 的值为对称中心的横坐标，纵坐标为零.跟踪训练4 判断下列函数的奇偶性. (1)f (x )＝tan x ＋1tan x ；(2)f (x )＝lg|tan x |.类型四 正切函数的图象及应用例5 画出函数y ＝|tan x |的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性.反思与感悟 (1)作出函数y ＝|f (x )|的图象一般利用图象变换方法，具体步骤是： ①保留函数y ＝f (x )图象在x 轴上方的部分；②将函数y ＝f (x )图象在x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折.(2)若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图象，再利用周期性，延拓到定义域上即可. 跟踪训练5 设函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3. (1)求函数f (x )的周期，对称中心；(2)作出函数f (x )在一个周期内的简图.1.函数y ＝tan(2x ＋π6)的最小正周期是( )A.πB.2πC.π2D.π62.函数f (x )＝tan(x ＋π4)的单调递增区间为( )A.(k π－π2，k π＋π2)，k ∈ZB.(k π，(k ＋1)π)，k ∈ZC.(k π－3π4，k π＋π4)，k ∈ZD.(k π－π4，k π＋3π4)，k ∈Z3.在下列函数中同时满足：①在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( ) A.y ＝tan x B.y ＝cos x C.y ＝tan x2D.y ＝－tan x4.方程tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝3在区间[0,2π)上的解的个数是( ) A.5 B.4 C.3 D.25.比较大小：tan 1________tan 4.1.正切函数的图象正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x ＝k π＋π2，k ∈Z ，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增. 2.正切函数的性质(1)正切函数y ＝tan x 的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域是R .(2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ) (Aω≠0)的周期为T ＝π|ω|.(3)正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上单调递增，不能写成闭区间，正切函数无单调减区间.答案精析问题导学 知识点一思考1 我们作出了正切函数一个周期⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的图象，根据正切函数的周期性，把图象向左、右扩展，得到正切函数y ＝tan x (x ∈R 且x ≠π2＋k π(k ∈Z ))的图象．思考2 一条平行于x 轴的直线与相邻两支曲线的交点的距离为此函数的一个周期． 知识点二思考1 {x |x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z }．思考2 周期性． 思考3 奇偶性． 思考4 是．思考5 正切函数在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上都是增函数． 正切函数在整个定义域内不是增函数，而是在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π (k ∈Z )上都是增函数，正切函数不会在某一区间内是减函数．梳理 {x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z } R π 奇 ⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z ) 题型探究例1 解 (1)要使函数y ＝11＋tan x 有意义，必须且只需⎩⎪⎨⎪⎧1＋tan x ≠0，x ≠k π＋π2(k ∈Z )，所以函数的定义域为{x |x ∈R 且x ≠k π－π4，x ≠k π＋π2，k ∈Z }．(2)因为3－tan x >0，所以tan x < 3. 又因为当tan x ＝3时，x ＝π3＋k π(k ∈Z )，根据正切函数图象， 得k π－π2＜x ＜k π＋π3(k ∈Z )，所以函数的定义域是{x |k π－π2＜x ＜k π＋π3，k ∈Z }．跟踪训练1 ⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )．例2 解 y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4 ＝－tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4，由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π2<x <2k π＋32π(k ∈Z )，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋32π，k ∈Z ， 周期T ＝π⎪⎪⎪⎪－12＝2π.跟踪训练2 解 ∵y ＝tan x 在x ∈⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上是增函数，∴－π2＋k π<2x －π3<π2＋k π， k ∈Z ，即－π12＋k π2<x <5π12＋k π2，k ∈Z .∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－π12＋k π2，5π12＋k π2(k ∈Z )． 例3 (1)①< ②< (2)tan 2<tan 3<tan 1 跟踪训练3 >例4 解 (1)①由⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k π＋π2，tan x ≠1，得x ≠k π＋π2且x ≠k π＋π4(k ∈Z )，即定义域为{x |x ≠k π＋π2且x ≠k π＋π4，k ∈Z }，不关于原点对称，∴该函数既不是奇函数，也不是偶函数．②函数定义域为{x |x ≠k π2＋π4，k ∈Z }，关于原点对称．令f (x )＝x tan 2x ＋x 4，则f (－x )＝(－x )tan 2(－x )＋(－x )4 ＝x tan 2x ＋x 4＝f (x )， ∴该函数是偶函数． (2)解 由2x ＋π3＝k π2(k ∈Z )，得x ＝k π4－π6(k ∈Z )．故所求函数图象的对称中心为点(k π4－π6，0)(k ∈Z )． 跟踪训练4 (1)函数f (x )为奇函数 (2)函数f (x )是偶函数． 例5 解 由y ＝|tan x |，得y ＝⎩⎨⎧tan x ，k π≤x <k π＋π2(k ∈Z )，－tan x ，－π2＋k π<x <k π(k ∈Z )，其图象如图所示．由图象可知，函数y ＝|tan x |是偶函数， 单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2(k ∈Z )， 单调递减区间为⎝⎛⎦⎤－π2＋k π，k π (k ∈Z )，周期为π.跟踪训练5 解 (1)∵ω＝12，∴周期T ＝πω＝π12＝2π.令x 2－π3＝k π2(k ∈Z )， 得x ＝k π＋2π3(k ∈Z )，∴f (x )的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π＋2π3，0(k ∈Z )． (2)令x 2－π3＝0，则x ＝2π3；令x 2－π3＝π2，则x ＝5π3； 令x 2－π3＝－π2，则x ＝－π3.∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的图象与x 轴的一个交点坐标是⎝⎛⎭⎫2π3，0，在这个交点左，右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x ＝－π3，x ＝5π3，从而得到函数y ＝f (x )在一个周期⎝⎛⎭⎫－π3，5π3内的简图(如图)． 当堂训练1．C 2.C 3.C 4.B 5.＞。
数学人教B必修4：1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质 课件
题型二 余弦、正切函数的性质
【例 2】 (1)求函数 y＝tan－12x＋π4的单调区间； (2)求函数 y＝3－2cos2x＋3π，x∈－π3，π6的最值． [思路探索] (1)可先将原式转化为 y＝－tan12x－π4，从而把12x －π4整体代入－π2＋kπ，π2＋kπ，k∈Z 这个区间内，解出 x 便可． (2)由 x 的范围先确定 2x＋π3的范围，然后根据余弦函数的单调 性求出最值．
解 (1)y＝tan－12x＋π4＝－tan12x－π4， 由 kπ－2π<12x－π4<kπ＋π2(k∈Z)， 得 2kπ－2π<x<2kπ＋32π，k∈Z， ∴函数 y＝tan－12x＋π4的单调递减区间是 2kπ－2π，2kπ＋32π，k∈Z.
(2)因为 x∈－π3，π6， 所以 2x∈－23π，π3，2x＋3π∈－π3，23π， 从而－12≤cos2x＋π3≤1，－2≤－2cos2x＋3π≤1， 1≤3－2cos 2x＋π3≤4. 故 y＝3－2cos2x＋3π，x∈－π3，π6的最大值为 4，最小值为 1.
名师点睛 1．余弦函数图象性质的理解 (1)余弦函数的图象可由正弦函数的图象平移得到． (2)余弦函数的周期性、最值与正弦函数一致，单调性求法与 正弦函数单调性求法一样． (3)余弦曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形．对称轴 x ＝kπ，k∈Z，对称中心kπ＋π2，0，k∈Z.
2．对正切函数图象与性质的理解
1．3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质
【课标要求】 1．掌握余弦函数的图象及性质． 2．能利用余弦函数的图象及性质解决问题． 3．能画出 y＝tan x 的图象． 4．理解正切函数在－π2，π2上的性质． 【核心扫描】 1．余弦函数的图象及性质．(重点) 2．正切函数的性质．(重点、难点) 3．正切函数定义域及正切曲线的渐近线．(易错点)
高中数学人教B版必修四1.3.2正切函数图象与性质
k
2
(k
Z
)
例题分析
例３ 求函数 y tan 3x 的周期.
解： 因为tan(3x ) tan 3x,
即tan3(x+ )=tan3x,
3
这说明自变量 x ,至少要增加 才能重复取得，所以函数 y
3
tan
，函数的值 3x 的周期
是
3
反馈练习：求下列函数的周期：
(1) y 5 tan x 2
⑵ 值域： R
2
⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性： 奇函数，图象关于原点对称。
⑸ 单调性： 在每一个开区间
( k , k )
2
2
，k Z 内都是增函数。
(6)渐近线方程：x
k
2
,
kZ
(7)对称中心 (kπ,0) 2
问题讨论
问题：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？ (2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
(1)tan167o 与tan173o
（2）tan(-
11π) 与
4
tan(- 13π) 5
解:(1) 900 1670 1730 1800
y
tan
x在
2
，
上是增函数，
tan1670 tan1730
说明：比较两个正切值大小，关键是把相 应的角 化到y=tanx的同一单调区间内，再 利用y=tanx的单调递增性解决。
3、正切函数 y tan x 是否具有奇偶性？
思考
由诱导公式知
f x tan x tan x f x, x R, x k , k Z
2
正切函数是奇函数.
思考
4、能否由正切线的变化规律及正切函数周期性来讨论它的单调性?
人教新课标版数学高一B版必修4学案 1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(一)
1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质(一)明目标、知重点 1.会用“五点法”作出余弦函数的简图.2.理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值.3.理解正弦曲线与余弦曲线的联系.正弦函数、余弦函数的图象、性质对比R R探究点一余弦函数的图象思考如何快速做出余弦函数的图象？答(1)依据诱导公式cos x＝sin⎝⎛⎭⎫x＋π2，要得到y＝cos x的图象，只须把y＝sin x的图象向左平移π2个单位长度即可.余弦函数的图象叫做余弦曲线，图象如图所示：(2)在精确度要求不高时，要画出y＝cos x，x∈的图象，可以通过描出(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫32π，0，(2π，1)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可以得到余弦函数y＝cos x ，x ∈的图象.探究点二 余弦函数的性质思考1 观察余弦曲线，余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？答 余弦函数存在最大值和最小值，分别是1和－1.思考2 当自变量x 分别取何值时，余弦函数y ＝cos x 取得最大值1和最小值－1？余弦函数的周期性如何？答 对于余弦函数y ＝cos x ，x ∈R 有： 当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1； 当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1.和正弦函数一样，余弦函数也是周期函数，最小正周期为2π.思考3 观察余弦曲线，余弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？如何将这些单调区间进行整合？答 在整个定义域R 上，余弦函数不是单调函数.为研究余弦函数y ＝cos x 的变化情况，我们先选取一个周期区间来研究余弦函数单调情况，再借助周期推而广之. 函数y ＝cos x ，x ∈的图象如图所示：观察图象可知：当x ∈时，曲线逐渐上升，是增函数，cos x 的值由－1增大到1； 当x ∈时，曲线逐渐下降，是减函数，cos x 的值由1减小到－1. 推广到整个定义域可得：当x ∈，k ∈Z 时，余弦函数y ＝cos x 是增函数，函数值由－1增大到1； 当x ∈，k ∈Z 时，余弦函数y ＝cos x 是减函数，函数值由1减小到－1. 例1 求函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2的单调递增区间. 解 y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2＝3cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3. 由2k π－π≤x 2－π3≤2k π(k ∈Z )，解得4k π－43π≤x ≤4k π＋23π(k ∈Z )，∴函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤4k π－43π，4k π＋23π(k ∈Z ). 反思与感悟 确定函数y ＝A cos(ωx ＋φ)单调区间的基本思想是整体换元思想.即将ωx ＋φ看作一个整体，利用基本三角函数的单调性来求复杂三角函数的单调区间.若x 的系数为负，通常利用诱导公式化为正数再求解.有时还应兼顾函数的定义域. 跟踪训练1 求函数y ＝log 12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2)的单调递增区间.解 根据复合函数“同增异减”的规律，即求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的单调递减区间，同时x 应使cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3>0.∴2k π≤x 2－π3<2k π＋π2(k ∈Z ). 整理得4k π＋2π3≤x <4k π＋5π3(k ∈Z ).∴函数y ＝log 12cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2的单调递增区间是⎣⎡⎭⎫4k π＋2π3，4k π＋5π3(k ∈Z ). 例2 求函数y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3的值域. 解 y ＝3cos 2x －4cos x ＋1＝3⎝⎛⎭⎫cos x －232－13. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3，∴cos x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12. 从而当cos x ＝－12，即x ＝2π3时，y max ＝154；当cos x ＝12，即x ＝π3时，y min ＝－14.∴函数值域为⎣⎡⎦⎤－14，154. 反思与感悟 求三角函数最值的两种基本类型：(1)将三角函数式化为y ＝A cos(ωx ＋φ)＋k 的形式，结合有界性求最值；(2)将三角函数式化为关于cos x (或sin x )的二次函数的形式，利用二次函数的性质和有界性求最值.跟踪训练2 已知函数y ＝a cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋3，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值为4，求实数a 的值. 解 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，∴－1≤cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤12. 当a >0，cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝12时，y 取得最大值12a ＋3， ∴12a ＋3＝4，∴a ＝2. 当a <0，cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－1时，y 取得最大值－a ＋3， ∴－a ＋3＝4，∴a ＝－1， 综上可知，实数a 的值为2或－1. 探究点三 正弦曲线、余弦曲线的对称性思考1 观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？答 正弦函数y ＝sin x 的图象关于原点对称，余弦函数y ＝cos x 的图象关于y 轴对称. 思考2 上述对称性反映出正、余弦函数分别具有什么性质？如何从理论上加以验证？ 答 正弦函数是R 上的奇函数，余弦函数是R 上的偶函数.根据诱导公式得，sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x 均对一切x ∈R 恒成立.小结 正弦函数y ＝sin x (x ∈R )和余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们的图象如图所示：研究正弦曲线和余弦曲线可以得到以下结论：(1)正弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标为(k π，0)(k ∈Z )；且正弦曲线是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x ＝k π＋π2(k ∈Z ).(2)余弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标是⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0(k ∈Z )；余弦曲线是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x ＝k π(k ∈Z ). 例3 已知函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3.(1)在该函数的对称轴中，求离y 轴距离最近的那条对称轴的方程；(2)把该函数的图象向右平移φ个单位后，图象关于原点对称，求φ的最小正值. 解 (1)令2x ＋2π3＝k π，k ∈Z ，解得：x ＝k π2－π3，k ∈Z (k ∈Z ).令k ＝0，x ＝－π3；令k ＝1，x ＝π6.∴函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3的对称轴中离y 轴最近的一条对称轴的方程是x ＝π6. (2)设该函数向右平移φ个单位后解析式为y ＝f (x )， 则f (x )＝2cos ⎣⎡⎦⎤2(x －φ)＋2π3 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3－2φ. ∵y ＝f (x )的图象关于原点(0,0)对称， ∴f (0)＝2cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2φ＝0.∴2π3－2φ＝k π＋π2，k ∈Z .解得：φ＝π12－k π2(k ∈Z ). 令k ＝0，得：φ＝π12.∴φ的最小正值是π12.反思与感悟 关于正、余弦函数的对称性有以下重要结论：(1)f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(或A cos(ωx ＋φ))的图象关于x ＝x 0对称⇔f (x 0)＝A 或－A . (2)f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(或A cos(ωx ＋φ))的图象关于点(x 0,0)中心对称⇔f (x 0)＝0.跟踪训练3 把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3的图象向右平移φ个单位，正好关于y 轴对称，求φ的最小正值.解 由题意平移后的函数为y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3－φ， 它是偶函数，因此，当x ＝0时，cos ⎝⎛⎭⎫4π3－φ取得最大值1或最小值－1，故4π3－φ＝2n π或(2n ＋1)π (n ∈Z )， 即4π3－φ＝k π (k ∈Z ).∴φ＝4π3－k π (k ∈Z )，当k ＝1时，φ取最小正值π3.1.函数f (x )＝cos 4x ，x ∈R 是( ) A.最小正周期为π的偶函数 B.最小正周期为π的奇函数 C.最小正周期为π2的偶函数D.最小正周期为π2的奇函数答案 C2.如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2答案 A解析 由y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称知，f ⎝⎛⎭⎫4π3＝0，即3cos ⎝⎛⎭⎫8π3＋φ＝0. ∴8π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z ). ∴φ＝k π＋π2－8π3(k ∈Z ).|φ|的最小值为|φ|＝⎪⎪⎪⎪2π＋π2－8π3＝π6. 3.已知0≤x ≤2π，试探索sin x 与cos x 的大小关系. 解 用“五点法”作出y ＝sin x ，y ＝cos x (0≤x ≤2π)的简图.由图象可知①当x ＝π4或x ＝5π4时，sin x ＝cos x ；②当π4<x <5π4时，sin x >cos x ；③当0≤x <π4或5π4<x ≤2π时，sin x <cos x .4.试比较cos ⎝⎛⎭⎫－235π与cos ⎝⎛⎭⎫－174π的大小. 解 cos ⎝⎛⎭⎫－235π＝cos 235π ＝cos(4π＋35π)＝cos 35π，cos ⎝⎛⎭⎫－174π＝cos 174π＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋π4＝cos π4. ∵0<π4<35π<π，且y ＝cos x 在上递减，∴cos 35π<cos π4，即cos ⎝⎛⎭⎫－235π<cos ⎝⎛⎭⎫－174π.1.余弦函数y ＝cos x (x ∈R )是偶函数，而且是周期函数，最小正周期为2π.与y ＝A sin(ωx ＋φ)一样，函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω≠0)的周期也是2π|ω|.2.与正弦曲线类似，函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的图象也可由y ＝cos x 的图象通过变换得到，变换规律相同.3.在研究y ＝A cos(ωx ＋φ)的性质时，注意采用整体代换的思想.如，它在ωx ＋φ＝2k π(k ∈Z )时取得最大值，在ωx ＋φ＝2k π＋π(k ∈Z )时取得最小值.一、基础过关1.若y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 是增函数，那么角x 在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案 C 2.函数y ＝2－cos x的单调递增区间是( )A. (k ∈Z )B. (k ∈Z )C.⎣⎡⎦⎤2k π，2k π＋π2 (k ∈Z ) D. (k ∈Z )答案 D解析 令u ＝－cos x ，则y ＝2u ， ∵y ＝2u 在u ∈(－∞，＋∞)上是增函数， ∴y ＝2－cos x 的增区间，即u ＝－cos x 的增区间， 即v ＝cos x 的减区间 (k ∈Z ).3.下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( ) A.y ＝sin(2x ＋π2)B.y ＝cos(2x ＋π2)C.y ＝sin(x ＋π2)D.y ＝cos(x ＋π2)答案 A解析 因为函数周期为π，所以排除C 、D.又因为y ＝cos(2x ＋π2)＝－sin 2x 在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为增函数，故B 不符合.故选A.4.要得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象( ) A.向左平移π8个单位B.向右平移π8个单位C.向左平移π4个单位D.向右平移π4个单位答案 A解析 y ＝sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4 若设f (x )＝sin 2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4， 则f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，∴向左平移π8个单位. 5.函数y ＝2cos x ＋1的定义域是________________. 答案 ⎣⎡⎦⎤2k π－23π，2k π＋23π，k ∈Z解析 2cos x ＋1≥0，cos x ≥－12，结合图象知x ∈⎣⎡⎦⎤2k π－23π，2k π＋23π，k ∈Z . 6.方程x 2＝cos x 的实数解有________个. 答案 2解析 作函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图象，如图所示， 由图象，可知原方程有两个实数解.7.判断下列函数的奇偶性并求最小正周期. (1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx －π2； (2)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋32π.解 (1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－πx ＝sin πx ， ∴f (－x )＝sin(－πx )＝－sin πx ＝－f (x ). f (x )是奇函数.最小正周期T ＝2ππ＝2. (2)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋32π＝－cos 23x ， ∴f (－x )＝f (x ).f (x )是偶函数.最小正周期T ＝2π23＝3π. 二、能力提升8.在(0,2π)内使sin x >|cos x |的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 B.⎝⎛⎦⎤π4，π2∪⎝⎛⎦⎤5π4，3π2 C.⎝⎛⎭⎫π4，π2 D.⎝⎛⎭⎫5π4，7π4答案 A解析 ∵sin x >|cos x |，∴sin x >0，∴x ∈(0，π)，在同一坐标系中画出y ＝sin x ，x ∈(0，π)与y ＝|cos x |，x ∈(0，π)的图象，观察图象易得x ∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4. 9.设0≤x ≤2π，且|cos x －sin x |＝sin x －cos x ，则x 的取值范围为________. 答案 ⎣⎡⎦⎤π4，5π4解析 由题意知sin x －cos x ≥0，即cos x ≤sin x ，在同一坐标系画出y ＝sin x ，x ∈与y ＝cos x ，x ∈的图象，如图所示：观察图象知x ∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4.10.已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图所示，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f (0)等于________.答案 23解析 首先由图象可知所求函数的周期为2π3，故ω＝2π2π3＝3.将⎝⎛⎭⎫11π12，0代入解析式，其相当于余弦函数“五点法”作图中的第二关键点， ∴11π4＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z . ∴φ＝－9π4＋2k π.令φ＝－π4，代入解析式得f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4， 又∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－A cos π4＝－23， ∴f (0)＝A cos ⎝⎛⎭⎫－π4＝A cos π4＝23. 11.已知函数f (x )＝lg cos 2x .(1)求它的定义域、值域；(2)讨论它的奇偶性；(3)讨论它的周期性；(4)讨论它的单调性.解 (1)要使函数f (x )＝lg cos 2x 有意义，则cos 2x >0，即－π2＋2k π<2x <π2＋2k π，k ∈Z ， －π4＋k π<x <π4＋k π，k ∈Z ， ∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－π4＋k π<x <π4＋k π，k ∈Z . 由于在定义域内0<cos 2x ≤1，∴lg cos 2x ≤0，∴函数的值域为(－∞，02·(－x )0,24，所以0≤t ≤7，或11≤t ≤19，或23≤t ≤24. 再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当.。
人教B版高中数学必修四《1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质》_13
教学设计---《正切函数的图像与性质》教材版本： 人教B 版《正切函数的图像与性质》教学设计一．教材分析本文选自人教B 版必修4第一章《基本初等函数（Ⅱ）》1.3.2第二课时《正切函数的图像与性质》。
本节课是在前面系统的学习了正弦函数和余弦函数的图像及基本性质的基础上，又一个具体的三角函数的学习。
正切函数图像的研究方法继承了正弦函数图像的研究方法，即利用单位圆中的三角函数线，同时也有所改进，渗透了部分正切函数的性质，进而利用函数性质得出正切函数的图像。
同时也为后面已知三角函数值求角做好了铺垫。
本课是数形结合思想的有效载体，是对函数学习规律的总结与探索。
二．教学目标分析1. 利用单位圆中的正切线和正切函数的定义域、周期性、奇偶性画出正切函数图像；通过正切函数图像理解正切函数的性质。
2. 探究正切函数图像及性质过程中，渗透数形结合思想。
3. 体会事物之间相互联系、相互制约的关系4. 培养学生直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养。
三．学情分析1.基础：学生已经会利用单位圆中的正弦线画正弦函数图像，利用图像观察函数性质。
2.优势：高中学生具备了一定的观察、分析和解决问题的能力，思维的目的性、连续性和逻辑性也已初步形成，具备了一定的数学核心素养。
3.对策:教师逐步启发式教学，学生动手作图、加深理解。
四．教学重难点（一）教学重点：正切函数的图像及其主要性质。
（二）教学难点：1.利用正切线画出函数tan ,(0,)2y x x π=∈的图像。
2.认识到直线2x π=±是此图像的两条渐近线。
五．教学手段多媒体课件（FLASH 动画）、展台、作图工具等。
六．教法与学法1.创设情境：创设数学情景，回顾正弦函数图像和余弦函数图像的画法。
2.问题引领教学：设置问题串，引导学生自主探究，循序渐进地解决问题。
3.比较教学法：类比正弦函数图像的画法，探究正切函数的图像，并加以改进完善。
七．教学过程.八、板书设计2、周期性3、奇偶性4、单调性5、对称性。
人教版数学高一人教B版必修四学案1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质(一)
1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质(一)学习目标 1.会用“五点法”作出余弦函数的简图.2.理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值.3.理解正弦曲线与余弦曲线的联系.知识点一余弦函数的图象思考如何快速作出余弦函数的图象？梳理余弦函数y＝cos x的图象叫做余弦曲线.知识点二余弦函数的性质思考1观察余弦曲线，余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？思考2当自变量x分别取何值时，余弦函数y＝cos x取得最大值1和最小值－1？余弦函数的周期性如何？思考3观察余弦曲线，余弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？如何将这些单调区间进行整合？梳理正弦函数、余弦函数的图象、性质对比函数y＝sin x y＝cos x图象定义域值域奇偶性周期性最小正周期：______最小正周期：______单调性在__________________ 上单调递增；在____________________上单调递减在____________________上单调递增；在________________上单调递减最值在________________时，y max＝1；在____________时，y min＝－1在________________时，y max＝1；在____________时，y min＝－1知识点三正弦曲线、余弦曲线的对称性思考1观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？思考2上述对称性反映出正、余弦函数分别具有什么性质？如何从理论上加以验证？梳理正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cos x(x∈R)的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们的图象如图所示：研究正弦曲线和余弦曲线可以得到以下结论：(1)正弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标为(kπ，0)(k∈Z)，且正弦曲线是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x＝kπ＋π2(k∈Z).(2)余弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标是⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0(k ∈Z )；余弦曲线是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x ＝k π(k ∈Z ).类型一 求余弦函数的单调区间例1 求函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2的单调递增区间.反思与感悟 确定函数y ＝A cos(ωx ＋φ)单调区间的基本思想是整体换元思想.即将ωx ＋φ看作一个整体，利用基本三角函数的单调性来求复杂三角函数的单调区间.若x 的系数为负，通常利用诱导公式化为正数再求解.有时还应兼顾函数的定义域. 跟踪训练1 求函数y ＝log 12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2)的单调递增区间.类型二 余弦函数的值域或最值例2 求函数y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3的值域.反思与感悟 求三角函数最值的两种基本类型：(1)将三角函数式化为y ＝A cos(ωx ＋φ)＋k 的形式，结合有界性求最值.(2)将三角函数式化为关于cos x (或sin x )的二次函数的形式，利用二次函数的性质和有界性求最值.跟踪训练2 已知函数y ＝a cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋3，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值为4，求实数a 的值.类型三 余弦函数的对称性 例3 已知函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3. (1)在该函数的对称轴中，求离y 轴距离最近的那条对称轴的方程；(2)把该函数的图象向右平移φ个单位后，图象关于原点对称，求φ的最小正值.反思与感悟 关于正、余弦函数的对称性有以下重要结论：(1)f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(或A cos(ωx ＋φ))的图象关于x ＝x 0对称⇔f (x 0)＝A 或－A . (2)f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(或A cos(ωx ＋φ))的图象关于点(x 0,0)中心对称⇔f (x 0)＝0.跟踪训练3 把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3的图象向右平移φ个单位，正好关于y 轴对称，求φ的最小正值.1.函数f (x )＝cos 4x ，x ∈R 是( ) A.最小正周期为π的偶函数 B.最小正周期为π的奇函数 C.最小正周期为π2的偶函数D.最小正周期为π2的奇函数2.如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π23.函数y ＝cos x ＋|cos x |，x ∈[0,2π]的大致图象为( )4.已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2，则f (x )的图象( ) A.与g (x )的图象相同 B.与g (x )的图象关于y 轴对称 C.向左平移π2个单位，得g (x )的图象D.向右平移π2个单位，得g (x )的图象5.函数f (x )＝lg cos x ＋25－x 2的定义域为________.1.余弦函数y ＝cos x (x ∈R )是偶函数，而且是周期函数，最小正周期为2π.与y ＝A sin(ωx ＋φ)一样，函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω≠0)的周期也是2π|ω|.2.与正弦函数类似，函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的图象也可由y ＝cos x 的图象通过变换得到，变换规律相同.3.在研究y ＝A cos(ωx ＋φ)的性质时，注意采用整体代换的思想.例如它在ωx ＋φ＝2k π(k ∈Z )时取得最大值，在ωx ＋φ＝2k π＋π(k ∈Z )时取得最小值.答案精析问题导学 知识点一思考 (1)依据诱导公式cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，要得到y ＝cos x 的图象，只须把y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位长度即可．余弦函数的图象叫做余弦曲线，图象如图所示：(2)在精确度要求不高时，要画出y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，可以通过描出(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可以得到余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象．知识点二思考1 余弦函数存在最大值和最小值，分别是1和－1. 思考2 对于余弦函数y ＝cos x ，x ∈R 有： 当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1； 当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1.和正弦函数一样，余弦函数也是周期函数，最小正周期为2π.思考3 在整个定义域R 上，余弦函数不是单调函数．为研究余弦函数y ＝cos x 的变化情况，我们先选取一个周期区间[－π，π]来研究余弦函数单调情况，再借助周期推而广之． 函数y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的图象如图所示：观察图象可知，当x ∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，是增函数，cos x 的值由－1增大到1； 当x ∈[0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数，cos x 的值由1减小到－1.推广到整个定义域可得：当x ∈[2k π－π，2k π]，k ∈Z 时，余弦函数y ＝cos x 是增函数，函数值由－1增大到1； 当x ∈[2k π，(2k ＋1)π]，k ∈Z 时，余弦函数y ＝cos x 是减函数，函数值由1减小到－1. 梳理 R R [－1,1] [－1,1] 奇函数 偶函数 2π 2π [－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z ) [π2＋2k π，3π2＋2k π](k ∈Z ) [－π＋2k π，2k π] (k ∈Z ) [2k π，π＋2k π] (k ∈Z ) x ＝π2＋2k π (k ∈Z ) x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )x ＝2k π (k ∈Z ) x ＝π＋2k π (k ∈Z ) 知识点三思考1 正弦函数y ＝sin x 的图象关于原点对称，余弦函数y ＝cos x 的图象关于y 轴对称． 思考2 正弦函数是R 上的奇函数，余弦函数是R 上的偶函数．根据诱导公式，得sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x 对一切x ∈R 恒成立． 题型探究例1 解 y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2 ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3.由2k π－π≤x 2－π3≤2k π(k ∈Z )，得4k π－43π≤x ≤4k π＋23π(k ∈Z )，∴函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤4k π－43π，4k π＋23π(k ∈Z )． 跟踪训练1 解 根据复合函数“同增异减”的规律，即求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的单调递减区间，同时x 应使cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3>0. ∴2k π≤x 2－π3<2k π＋π2(k ∈Z )．整理得4k π＋2π3≤x <4k π＋5π3(k ∈Z )．∴函数y ＝log 12cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2的单调递增区间是⎣⎡⎭⎫4k π＋2π3，4k π＋5π3(k ∈Z )． 例2 解 y ＝3cos 2x －4cos x ＋1 ＝3⎝⎛⎭⎫cos x －232－13.∵x ∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3，∴cos x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12. 从而当cos x ＝－12，即x ＝2π3时，y max ＝154；当cos x ＝12，即x ＝π3时，y min ＝－14.∴函数值域为⎣⎡⎦⎤－14，154. 跟踪训练2 实数a 的值为2或－1. 例3 解 (1)令2x ＋2π3＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π3，k ∈Z .令k ＝0，x ＝－π3；令k ＝1，x ＝π6.∴函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3的对称轴中离y 轴最近的一条对称轴的方程是x ＝π6. (2)设该函数向右平移φ个单位后解析式为y ＝f (x )， 则f (x )＝2cos ⎣⎡⎦⎤2(x －φ)＋2π3 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3－2φ. ∵y ＝f (x )的图象关于原点(0,0)对称， ∴f (0)＝2cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2φ＝0. ∴2π3－2φ＝k π＋π2，k ∈Z ， 解得φ＝π12－k π2(k ∈Z )．令k ＝0，得φ＝π12.∴φ的最小正值是π12.跟踪训练3 解 由题意可知，平移后的函数为y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3－φ， 它是偶函数，因此，当x ＝0时，cos ⎝⎛⎭⎫4π3－φ取得最大值1或最小值－1，故4π3－φ＝2n π或(2n ＋1)π (n ∈Z )， 即4π3－φ＝k π (k ∈Z )．∴φ＝4π3－k π (k ∈Z )，当k ＝1时，φ取最小正值π3.当堂训练1．C 2.A 3.D 4.D5.⎣⎡⎭⎫－5，－3π2∪⎝⎛⎭⎫－π2，π2∪⎝⎛⎦⎤3π2，5。
高一数学人教B版必修4精练：1.3.2 第2课时 正切函数的图象与性质 Word版含解析(数理化网)
第一章 1.3 1.3.2 第2课时一、选择题1．与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象不相交的一条直线是( ) A ．x ＝π2B ．y ＝π2C ．x ＝π8D ．y ＝π8[答案] C[解析] 由正切函数图象知2x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z ，∴x ≠k π2＋π8，k ∈Z ，故符合题意只有C 选项．2．(2015·广东揭阳市世铿中学高一月考)下列函数中，在区间[0，π2]上为减函数的是( )A ．y ＝sin(x －π3)B ．y ＝sin xC ．y ＝tan xD ．y ＝cos x [答案] D[解析] 函数y ＝cos x 在[0，π2]上单调递减，故选D ．3．直线y ＝3与函数y ＝tan ωx (ω>0)的图象相交，则相邻两交点间的距离是( ) A ．π B ．2πωC ．πωD ．π2ω[答案] C[解析] 相邻两交点间的距离，即为函数y ＝tan ωx (ω>0)的最小正周期T ＝πω，故选C ．4．下列命题中，正确的是( ) A ．y ＝tan x 是增函数B ．y ＝tan x 在第一象限是增函数C ．y ＝tan x 在区间(k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z )上是增函数D ．y ＝tan x 在某一区间内是减函数[答案] C[解析] 令x 1＝π3，x 2＝13π6，∴tan x 1＝3，tan x 2＝33，∴x 1<x 2，而tan x 1>tan x 2，故函数y ＝tan x 在第一象限内不是增函数，排除A 、B ，由正切函数的图象知，函数y ＝tan x 在某一区间内不可能是减函数，排除D ，故选C ．5．下列不等式中，正确的是( ) A ．tan 4π7>tan 3π7B ．tan 2π5<tan 3π5C ．tan(－13π7)>tan(－15π8)D ．tan(－13π4)<tan(－12π5)[答案] C[解析] ∵3π7∈(0，π2)，4π7∈(π2，π)，∴tan 4π7<0，tan 3π7>0，∴tan 4π7<tan 3π7；同理tan 2π5>tan 3π5；tan(－13π7)＝－tan 13π7＝－tan(2π－π7)＝tan π7， tan(－15π8)＝－tan 15π8＝－tan(2π－π8)＝tan π8， ∵0<π8<π7<π2，∴tan π8<tan π7，∴tan(－13π7)>tan(－15π8)，故选C ．6．若将函数y ＝tan(ωx ＋π4)(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan(ωx ＋π6)的图象重合，则ω的最小值为( )A ．16B ．14C ．13D ．12[答案] D[解析] y ＝tan(ωx ＋π4)错误!y ＝tan[ω(x －π6)＋π4]＝tan(ωx ＋π6)，∴π4－π6ω＋k π＝π6，∴ω＝6k ＋12(k ∈Z )．又∵ω>0，∴ωmin＝12. 二、填空题7．已知函数f (x )＝tan(ωx －π6)的最小正周期为π5，其中ω>0，则ω＝________.[答案] 5[解析] 由题意知，T ＝πω＝π5，∴ω＝5.8．函数y ＝－2tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4的单调递减区间是________． [答案] ⎝⎛⎭⎫k π3－π4，k π3＋π12(k ∈Z ) [解析] 求函数的递减区间，也就是求y ＝2tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4的递增区间，由k π－π2<3x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z 得：k π3－π4<x <k π3＋π12， ∴减区间是⎝⎛⎭⎫k π3－π4，k π3＋π12，k ∈Z . 三、解答题9.求下列函数的定义域： (1)y ＝1lgtan x ；(2)y ＝－2sin x －11＋tan x.[解析] (1)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧tan x >0tan x ≠1，解得⎩⎨⎧k π<x <π2＋k π(k ∈Z )x ≠π4＋k π(k ∈Z )，∴k π<x <π2＋k π，且x ≠π4＋k π，k ∈Z .∴函数的定义域为{x |k π<x <π2＋k π，且x ≠π4＋k π，k ∈Z }．(2)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧－2sin x －1≥01＋tan x≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≤－12tan x ≠－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧－5π6＋2k π≤x ≤－π6＋2k π(k ∈Z )x ≠－π4＋k π(k ∈Z )x ≠π2＋k π(k ∈Z )，∴函数的定义域是{x |－5π6＋2k π≤x ≤－π6＋2k π，且x ≠－π4＋k π，x ≠π2＋k π，k ∈Z }． 10．已知函数f (x )＝2tan(ωx ＋π3)(ω>0)的最小正周期为π2，求函数f (x )的单调区间．[解析] ∵函数f (x )的最小正周期为π2，∴ω＝2.∴f (x )＝2tan(2x ＋π3)．由2k π－π2<2x ＋π3<2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12<x <k π＋π12，k ∈Z .∴函数f (x )的单调递增区间为(k π－5π12，k π＋π12)，k ∈Z .一、选择题1．要得到y ＝tan2x 的图象，只需把y ＝tan(2x ＋π8)的图象( )A ．向左平移π8个单位B ．向右平移π8个单位C ．向左平移π16个单位D ．向右平移π16个单位[答案] D[解析] 将函数y ＝tan(2x ＋π8)的图象向右平移π16个单位得到函数y ＝tan[2(x －π16)＋π8]＝tan2x 的图象，故选D ．2．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为2，则f (－43)的值是( )A ．－1B ．0C ． 3D ．－33[答案] C[解析] 由题意知，函数f (x )的最小周期T ＝2， ∴πω＝2，∴ω＝π2.∴f (x )＝tan π2x ， ∴f (－43)＝tan(－2π3)＝－tan 2π3＝ 3.3．已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点(π12，0)，则φ可以是( )A ．－π6B ．π6C ．－π12D ．π12[答案] A[解析] 解法一：验证：当φ＝－π6时，2x ＋φ＝2×π12－π6＝π6－π6＝0，∴tan(2x ＋φ)＝0，满足题意，故φ可以是－π6.解法二：由题意，得2×π12＋φ＝k π(k ∈Z )，∴φ＝k π－π6(k ∈Z )，令k ＝0时，φ＝－π6，故φ可以是－π6.4．在区间(－π2，π2)内，函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图象交点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] C[解析] 在同一坐标系中画出函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 在区间(－π2，π2)内的图象，如图所示．由图象可知选C ． 二、填空题5．(2015·河北行唐启明中学高一月考)已知f (x )＝a sin x ＋b tan x ＋1，满足f (5)＝7，则f (－5)＝________.[答案] －5[解析] ∵f (5)＝a sin5＋b tan5＋1＝7， ∴a sin5＋b tan5＝6.∴f (－5)＝a sin(－5)＋b tan(－5)＋1 ＝－a sin5－b tan5＋1 ＝－(a sin5＋b tan5)＋1 ＝－6＋1＝－5.6．函数y ＝lg(tan x )的增区间是________． [答案] ⎝⎛⎭⎫k π，k π＋π2(k ∈Z ) [解析] 函数y ＝lg(tan x )为复合函数，要求其增区间，则需满足tan x >0且函数y ＝tan x 的函数值是随x 的值递增的，所以k π<x <k π＋π2(k ∈Z )，所以原函数的增区间为⎝⎛⎭⎫k π，k π＋π2(k ∈Z )． 三、解答题7．判断函数f (x )＝lg tan x ＋1tan x －1的奇偶性．[解析] 由tan x ＋1tan x －1>0，得tan x >1，或tan x <－1.故函数的定义域为(k π－π2，k π－π4)∪(k π＋π4，k π＋π2)(k ∈Z )．又f (－x )＋f (x ) ＝lgtan (－x )＋1tan (－x )－1＋lg tan x ＋1tan x －1＝lg (tan x －1)(tan x ＋1)(tan x ＋1)(tan x －1)＝0，即f (－x )＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．8.若函数f (x )＝tan 2x －a tan x (|x |≤π4)的最小值为－6，求实数a 的值．[解析] 设t ＝tan x ，∵|x |≤π4，∴t ∈[－1,1]．则原函数化为y ＝t 2－at ＝(t －a 2)2－a 24，对轴称为t ＝a 2. 若－1<a2<1，即－2≤a ≤2时．则当t ＝a 2时，y min ＝－a 24＝－6，∴a 2＝24(舍)．若a2≤－1，即a ≤－2时，二次函数在[－1,1]上单调递增， y min ＝1＋a ＝－6，∴a ＝－7.若a2≥1，即a ≥2时，二次函数在[－1,1]上单调递减， y min ＝1－a ＝－6，∴a ＝7， 综上所述，a ＝－7或7.。
人教版高中必修4(B版)1.3.2余弦函数、正切函数的图像与性质课程设计 (2)
人教版高中必修4(B版)1.3.2余弦函数、正切函数的图像与性质课程设计课程概述本课程介绍了余弦函数和正切函数的图像、定义域、值域、奇偶性等性质。
通过对两种函数的图像进行分析，让学生了解函数的周期性和单调性，掌握其在几何中应用的方法。
教学目标1.理解余弦函数的定义、图像、定义域、值域、奇偶性等基本性质；2.理解正切函数的定义、图像、定义域、值域、奇偶性等基本性质；3.掌握余弦函数和正切函数在几何中的应用。
教学重点1.余弦函数的图像、定义域、值域、奇偶性等基本性质；2.正切函数的图像、定义域、值域、奇偶性等基本性质；3.余弦函数和正切函数在几何中的应用。
教学内容余弦函数的图像余弦函数的图像是一条连续的波浪线，其形状与正弦函数的图像非常相似。
但是，余弦函数的图像在x轴上的交点较正弦函数的图像靠左，也就是说，余弦函数的最大值出现在x轴的0.5个周期之后。
余弦函数的基本性质1.定义域：$(-\\infty,+\\infty)$；2.值域：[−1,1]；3.周期：$2\\pi$；4.奇偶性：偶函数。
正切函数的图像正切函数的图像是一条连续的直线，其形状与余切函数的图像非常相似。
但是，正切函数的图像在x轴上的交点位于每个周期的中点。
正切函数的基本性质1.定义域：$\\{x|x\ eq k\\pi+\\frac{\\pi}{2}(k\\inZ)\\}$；2.值域：$(-\\infty,+\\infty)$；3.周期：$\\pi$；4.奇偶性：奇函数。
余弦函数和正切函数的应用1.余弦函数在三角函数的解析式中有广泛的应用；2.正切函数在物理、工程学等领域中有广泛的应用。
教学方法1.讲解结合举例；2.图像分析结合图形实例。
教学过程第一部分：余弦函数的图像和性质步骤一：引入余弦函数与正弦函数都是高中数学中常见函数，本课程我们将重点学习余弦函数的图像和性质，来了解余弦函数在几何中的应用。
步骤二：分析余弦函数的图像通过一组数据$(0,\\frac{\\pi}{2},\\pi,\\frac{3\\pi}{2},2\\pi)$，绘制出余弦函数的图像，通过展示余弦函数的图像，让学生了解余弦函数的周期性和单调性，同时，与正弦函数的图像进行比较，突出两者之间的异同点。
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1．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π2(x ∈R)是 ( )． A ．奇函数 B ．偶函数
C ．非奇非偶函数
D ．无法确定
解析 ∵y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π2＝－sin x ，∴此函数为奇函数．
答案 A
2．函数y ＝5tan(2x ＋1)的最小正周期为 (
)． A.π4 B.π2
C ．π
D ．2π
解析 T ＝π|ω|＝π2.
答案 B
3．与函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2x ＋π4的图象不相交的一条直线是 (
)． A ．x ＝π2 B ．y ＝π2
C ．x ＝π8
D ．y ＝π8
解析 令2x ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z)得：x ＝k π2＋π8(k ∈Z)，令k ＝0，则x ＝π8.
答案 C
4．函数y ＝tan x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
0，π4的值域是________．
解析 ∵y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π4上单调递增， ∴0≤tan x ≤1，即y ∈[0,1]．
答案 [0,1]
5．函数y ＝cos x 在区间[－π，a]上为增函数，则a 的取值范围是________． 解析 ∵y ＝cos x 在[－π，0]上为增函数，
又在[－π，a]上递增，∴[－π，a]⊆[－π，0]，∴a ≤0.
又∵a>－π，∴－π<a ≤0.
答案 (－π，0]
6．若函数y ＝tan x 是增函数，且y ＝sin x 是减函数，求x 的取值范围．
解 y ＝tan x 的递增区间是⎝ ⎛⎭
⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z)， y ＝sin x 的减区间是⎣
⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z)． 从而满足要求的x 的范围是⎝
⎛⎭⎪⎪⎫2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z)． 综合提高 (限时25分钟)
7．函数y ＝tan(sin x)的值域为
( )．
A.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π4，π4 B.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－22，22 C ．[－tan 1，tan 1] D ．以上均不对 解析 ∵－1≤sin x ≤1，∴sin x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2. 又∵y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2上单调递增，
∴tan (－1)≤y ≤tan 1，即y ∈[－tan 1，tan 1]． 答案 C
8．下列函数同时满足：①在⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是
( )． A ．y ＝tan x
B ．y ＝cos x
C ．y ＝tan x 2
D ．y ＝－tan x
解析 对于A ，其周期为π；对于B ，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递减，对于D ，在⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2亦递减，不符合条件，只有C 符合条件．
答案 C
9．函数y ＝2cos x ＋1的定义域是________．
解析 2cos x ＋1≥0，cos x ≥－12
， 结合图象知x ∈⎣
⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2k π－23π，2k π＋2π3，k ∈Z. 答案 ⎣
⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2k π－23π，2k π＋23π，k ∈Z 10．关于三角函数的图象，有下列命题：
①y ＝sin |x|与y ＝sin x 的图象关于y 轴对称； ②y ＝cos(－x)与y ＝cos |x|的图象相同；
③y ＝|sin x|与y ＝sin(－x)的图象关于x 轴对称；
④y ＝cos x 与y ＝cos(－x)的图象关于y 轴对称．其中正确命题的序号是。