自动控制原理_非线性控制系统3课件
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自动控制原理课件 第7章 非线性控制系统
描述函数法是基于频率域的等效线性化方法。该法不受系统 阶次的限制，但系统必须满足一定的假设条件，且只能提供系 统稳定性和自激振荡的信息。 3. 波波夫法
波波夫法是一个关于系统渐近稳定充分条件的频率域判据。 它可以应用于高阶系统，并且是一个准确判定稳定性的方法。
2020年11月17日
EXIT
第7章第16页
4．可以用频率特性的概念来研究和分析线性系统的固 有特性。不能用频率特性、传递函数等线性系统常用的 方法来研究非线性系统。
2020年11月17日
EXIT
第7章第15页
7.1.4 非线性系统的分析和设计方法
1. 相平面法 相平面法是求解一阶或二阶非线性系统的图解法。这种方法
既能提供的稳定性信息，又能提供时间响应信息。其缺点是只 限于一阶和二阶系统。 2. 描述函数法
齿轮传动的齿隙特性，液压传动的的油隙特性等均属于 这类特性。
当系统中有间隙特性存在时，将使系统输出信号在相位 上产生滞后，从而使系统的稳定裕度减少，动态特性变坏。
间隙的存在常常是系统产生自持振荡的主要原因。
2020年11月17日
EXIT
第7章第9页
4.继电器特性
0 y(t) b0sgn e(t)
在控制系统中若存在饱和特性，将使系统在大信号
作用下的等效放大倍数降低，从而引起瞬态过程时间 的延长和稳态误差的增加。对于条件稳定系统，甚至 可能出现小信号时稳定，而大信号时不稳定的情况。
2020年11月17日
EXIT
第7章第7页
2.死区（不灵敏区）特性
y (t )
0
k
e(t)
a sgn
e(t)
e(t) a e(t) a
2. 线性系统的稳定性与输入响应的性质只由系统本身的 结构及参量决定，而与系统的初始状态无关。而非线性 系统的稳定性及零输入响应的性质不仅取决于系统本身 的结构和参量，而且还与系统的初始状态有关。
波波夫法是一个关于系统渐近稳定充分条件的频率域判据。 它可以应用于高阶系统，并且是一个准确判定稳定性的方法。
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第7章第16页
4．可以用频率特性的概念来研究和分析线性系统的固 有特性。不能用频率特性、传递函数等线性系统常用的 方法来研究非线性系统。
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第7章第15页
7.1.4 非线性系统的分析和设计方法
1. 相平面法 相平面法是求解一阶或二阶非线性系统的图解法。这种方法
既能提供的稳定性信息，又能提供时间响应信息。其缺点是只 限于一阶和二阶系统。 2. 描述函数法
齿轮传动的齿隙特性，液压传动的的油隙特性等均属于 这类特性。
当系统中有间隙特性存在时，将使系统输出信号在相位 上产生滞后，从而使系统的稳定裕度减少，动态特性变坏。
间隙的存在常常是系统产生自持振荡的主要原因。
2020年11月17日
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第7章第9页
4.继电器特性
0 y(t) b0sgn e(t)
在控制系统中若存在饱和特性，将使系统在大信号
作用下的等效放大倍数降低，从而引起瞬态过程时间 的延长和稳态误差的增加。对于条件稳定系统，甚至 可能出现小信号时稳定，而大信号时不稳定的情况。
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第7章第7页
2.死区（不灵敏区）特性
y (t )
0
k
e(t)
a sgn
e(t)
e(t) a e(t) a
2. 线性系统的稳定性与输入响应的性质只由系统本身的 结构及参量决定，而与系统的初始状态无关。而非线性 系统的稳定性及零输入响应的性质不仅取决于系统本身 的结构和参量，而且还与系统的初始状态有关。
自动控制原理—非线性控制系统PPT课件
R(s) -
x2m -a a
320
Y(s)
s(s+4)(s+8)
3.用描述函数法研究非线性控制系统
解:
查非线性元件描述函数表知具有滞环继电特性 (a/x2m=0.5)的描述函数为
N ( A) 4x2m e j
A sin 1 a
A
1 A e j
N ( A) 4x2m
Aa
3.用描述函数法研究非线性控制系统
=-2.5
C
x
=2 =-1 =-0.4
2. 相平面图的绘制
例9。3 试用等倾线法绘制二阶非线性系统
的相平面图。 解：
x.
x (1 x2 )x x 0
(1
x2)
x x
x
x x
1
(1 x2 )
0.2
2. 相平面图的绘制
3) 法
当等倾线为直线时绘制相轨迹比较方便。 当等倾线为直曲线时绘制相轨迹不方便。这 时用法更好。在法中，相轨迹是圆心沿x轴 滑动的一系列圆弧的连续线。
二阶系统的微分方程表达
d2 dt
x
2
a1 (
x,
dx) dt
dx dt
a0
(
x,
dx) dt
x
0
a1，a0为常数时表达线性定常系统。 a1，a0不为常数时表达非线性系统。
1. 基本概念
二阶系统的状态方程表达
令x1=x，x2=x. 1, 有
x1 x2ห้องสมุดไป่ตู้
x2 a0 (x1, x2 )x1 a1(x1, x2 )x2 a0x1 a1x2
Ⅱ)不稳定系统
Im o
Re
Ⅲ)自激振荡
G0(j)
自动控制原理第八章非线性控制系统
稳定性定义
如果一个非线性系统在初始扰动下偏离平衡状态，但在时间推移过程中能够恢复到平衡状态，则称该系统是稳定 的。
线性系统稳定的必要条件
系统矩阵A的所有特征值均具有负实 部。
系统矩阵A的所有特征值均具有非正实 部，且至少有一个特征值为0。
劳斯-赫尔维茨稳定判据
劳斯判据
通过计算系统矩阵A的三次或更高次特征多项式的根的实部来判断系统的稳定性。如果所有根的实部 均为负，则系统稳定；否则，系统不稳定。
输出反馈方法
通过输出反馈来改善非线性系统的性能，实 现系统的稳定性和跟踪性能。
自适应控制方法
通过在线调整控制器参数来适应非线性的变 化，提高系统的跟踪性能和稳定性。
非线性系统的设计方法
根轨迹法
通过绘制根轨迹图来分析系统的稳定性，并 设计适当的控制器。
相平面法
通过绘制相平面图来分析非线性系统的动态 行为，进行系统的分析和设计。
感谢您的观看
THANKS
自动控制原理第八章非线性 控制系统
目录
• 非线性系统的基本概念 • 非线性系统的分析方法 • 非线性系统的稳定性分析 • 非线性系统的校正与设计 • 非线性系统的应用实例
01
非线性系统的基本概念
非线性系统的定义
非线性系统的定义
非线性系统是指系统的输出与输入之 间不满足线性关系的系统。在自动控 制原理中，非线性系统是指系统的动 态特性不能用线性微分方程来描述的 系统。
02
它通过将非线性系统表示为一 个黑箱模型，通过测量系统的 输入输出信号来研究其动态特 性。
03
输入输出法适用于分析具有复 杂结构的非线性系统，通过实 验测量和数据分析，可以了解 系统的动态响应和稳定性。
03
如果一个非线性系统在初始扰动下偏离平衡状态，但在时间推移过程中能够恢复到平衡状态，则称该系统是稳定 的。
线性系统稳定的必要条件
系统矩阵A的所有特征值均具有负实 部。
系统矩阵A的所有特征值均具有非正实 部，且至少有一个特征值为0。
劳斯-赫尔维茨稳定判据
劳斯判据
通过计算系统矩阵A的三次或更高次特征多项式的根的实部来判断系统的稳定性。如果所有根的实部 均为负，则系统稳定；否则，系统不稳定。
输出反馈方法
通过输出反馈来改善非线性系统的性能，实 现系统的稳定性和跟踪性能。
自适应控制方法
通过在线调整控制器参数来适应非线性的变 化，提高系统的跟踪性能和稳定性。
非线性系统的设计方法
根轨迹法
通过绘制根轨迹图来分析系统的稳定性，并 设计适当的控制器。
相平面法
通过绘制相平面图来分析非线性系统的动态 行为，进行系统的分析和设计。
感谢您的观看
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自动控制原理第八章非线性 控制系统
目录
• 非线性系统的基本概念 • 非线性系统的分析方法 • 非线性系统的稳定性分析 • 非线性系统的校正与设计 • 非线性系统的应用实例
01
非线性系统的基本概念
非线性系统的定义
非线性系统的定义
非线性系统是指系统的输出与输入之 间不满足线性关系的系统。在自动控 制原理中，非线性系统是指系统的动 态特性不能用线性微分方程来描述的 系统。
02
它通过将非线性系统表示为一 个黑箱模型，通过测量系统的 输入输出信号来研究其动态特 性。
03
输入输出法适用于分析具有复 杂结构的非线性系统，通过实 验测量和数据分析，可以了解 系统的动态响应和稳定性。
03
自动控制原理第九章非线性控制系统PPT课件
02
非线性系统的数学描述
01
02
04
非线性微分方程
非线性微分方程是描述非线性系统动态行为的数学模型之一。
它通常表示为自变量和因变量的函数，其中包含未知函数的导数。
非线性微分方程的解可以描述系统的输出响应与输入信号之间的关系。
解决非线性微分方程的方法通常包括数值解法和解析解法。
03
非线性传递函数是描述非线性系统的另一种数学模型。
非线性系统的特点
研究非线性系统的方法包括解析法、数值法和实验法等。
总结词
解析法是通过数学推导和求解方程来研究非线性系统的行为和特性。数值法则是通过数值计算和模拟来研究非线性系统的行为和特性。实验法则是通过实际实验来研究非线性系统的行为和特性，通常需要设计和构建实验装置和测试系统。
详细描述
非线性系统的研究方法
它类似于线性系统的传递函数，但包含非线性项和饱和项。
非线性传递函数可以表示系统的输入输出关系，并用于分析系统的性能和稳定性。
分析非线性传递函数的方法包括根轨迹法和相平面法等。
01
02
03
04
非线性传递函数
非线性状态方程是描述非线性系统动态行为的另一种数学模型。
非线性状态方程可以用于分析系统的稳定性和动态行为，并用于控制系统设计。
非线性系统仿真软件
非线性系统仿真实例是通过计算机仿真技术对实际非线性系统进行模拟和分析的实例，它可以帮助用户更好地理解非线性系统的特性和行为，并验证仿真模型的正确性和有效性。
常见的非线性系统仿真实例包括电机控制系统、飞行器控制系统、机器人控制系统等，这些实例可以帮助用户更好地了解非线性系统的控制方法和优化策略。
飞行器控制系统
化工过程控制系统
非线性系统的数学描述
01
02
04
非线性微分方程
非线性微分方程是描述非线性系统动态行为的数学模型之一。
它通常表示为自变量和因变量的函数，其中包含未知函数的导数。
非线性微分方程的解可以描述系统的输出响应与输入信号之间的关系。
解决非线性微分方程的方法通常包括数值解法和解析解法。
03
非线性传递函数是描述非线性系统的另一种数学模型。
非线性系统的特点
研究非线性系统的方法包括解析法、数值法和实验法等。
总结词
解析法是通过数学推导和求解方程来研究非线性系统的行为和特性。数值法则是通过数值计算和模拟来研究非线性系统的行为和特性。实验法则是通过实际实验来研究非线性系统的行为和特性，通常需要设计和构建实验装置和测试系统。
详细描述
非线性系统的研究方法
它类似于线性系统的传递函数，但包含非线性项和饱和项。
非线性传递函数可以表示系统的输入输出关系，并用于分析系统的性能和稳定性。
分析非线性传递函数的方法包括根轨迹法和相平面法等。
01
02
03
04
非线性传递函数
非线性状态方程是描述非线性系统动态行为的另一种数学模型。
非线性状态方程可以用于分析系统的稳定性和动态行为，并用于控制系统设计。
非线性系统仿真软件
非线性系统仿真实例是通过计算机仿真技术对实际非线性系统进行模拟和分析的实例，它可以帮助用户更好地理解非线性系统的特性和行为，并验证仿真模型的正确性和有效性。
常见的非线性系统仿真实例包括电机控制系统、飞行器控制系统、机器人控制系统等，这些实例可以帮助用户更好地了解非线性系统的控制方法和优化策略。
飞行器控制系统
化工过程控制系统
自动控制原理课件 第7章 非线性控制系统
伺服电机的死区电压（启动电压），测量元件的不灵敏 区等都属于死区非线性特性。
由于有死区特性存在，将使系统产生静态误差，特别是 测量元件的不灵敏区影响最为突出。
2020年11月17日
EXIT
第7章第8页
3. 间隙特性
k e(t)
y(t)
k
e(t
)
b sgn e(t)
e(t) 0 e(t) 0 e(t) 0
2020年11月17日
EXIT
第7章第11页
5.变放大系数特性
y
(t
)
k1e(t
)
k2e(t )
e(t) a e(t) a
变放大系数特性使系统在大误差信号时具有较大的 放大系数，系统响应迅速。而在小误差信号时具有较 小的放大系数，使系统响应既缓且稳。
具有这种特性的系统，其动态品质较好。
2020年11月17日
fv
dy t
dt
k
y
y t
F
式中：fv——粘性摩擦系数
k(y)——弹性系数，是 y(t)的函数
2020年11月17日
EXIT
第7章第4页
描述大多数非线性物理系统的数学模型是n阶非线性 微分方程
d
ny dt
t
n
h
t,
y
t
,
dy t
dt
,
,
d
n1
dt
y
n1
t
,
u
t
式中，u(t)为输入函数， y(t)为输出函数
描述函数法是基于频率域的等效线性化方法。该法不受系统 阶次的限制，但系统必须满足一定的假设条件，且只能提供系 统稳定性和自激振荡的信息。 3. 波波夫法
自动控制原理课件：非线性系统的分析
( ) 90 arctan arctan
4
求与负实轴的交点
90 arctan arctan
4
180
5
arctan arctan arctan 4 2 90
4
1
4
2
4
1 2
G ( j )
1
10
称 , 为相变量，它们构成二维平面称为相平面
相变量在相平面上运动的轨迹称为相轨迹, 即在一定
初始条件下满足上述微分方程的解.
相平面模型即 非线性二阶系统的状态空间模型.
x(t )
d x(t ) / dt d x(t ) f ( x(t ), x(t ))
dx(t )
x(t ) dx(t ) / dt
作用的基波分量，近似为“线性系统”。
01
描述函数是非线性特性的一种近似表示，是一种谐波线性化方法，忽略
非线性环节输出中的高次谐波，用基波分量表示其输出。
e(t ) X sin t
c1 (t )
N(X )
表示非线性环节的输出一次谐波分量对正弦输入信号的复数比。
N(X )
使用上常将描述函数表示为的函数.
的初始状态无关。
非线性系统的稳定性和零输入响应的性质不仅取决于系统的结构、参数，而且
与系统的初始状态有关。
2. 系统的自持振荡
线性系统只有两种基本运动形式：发散（不稳定）和收敛（稳定）。
非线性系统除了发散和收敛两种运动形式外，即使无外界作用，也可能会发生
自持振荡。
4
dx(t )
2
x
非线性控制系统分析(《自动控制原理》课件)
出发的相轨迹曲线互不相交. 如果在相平面上某些点的
d x/ dx 0/ 0, 即曲线在这一点上的斜率不定, 可有无穷多
条相轨迹通过这一点, 称这一点为系统的平衡点, 或叫奇
点.
在相平面的上方(如下图) ,
由于
x
0所以
x总是朝大的
x
A(x0 ,
x0 )
方向变化, 故相轨迹上的点总是按图 中箭头所指从左向右移动. 在相平面
u0
0
u(t) u(t) G(s) c(t)
u0
上图中, 大方框表示一具有理想继电特性的非线性环节, G(s) 表示非线性系统中线性部分的传递函数.
非线性的特性是各种各样的, 教材图及 表给出了一些工程上常见的典型非线性特性.
7-2非线性控制系统的特征
非线性控制系统有如下两个基本特征: (1)非线性控制系统的基本数学模型是非线性微分方程 (2)非线性控制系统的性能不仅与系统本身的结构和参
0
x
的下方,
由于
x
0
所以
x
总是朝小的
方向变化, 故相轨迹上的点总是按图中箭
箭头所指从右向左移动. 在 x 轴上, 由于
x 0, 即 x不变化, 达到最大值或最小值, 故相轨迹曲线
与 x 轴的交点处的切线总垂直于x 轴.
2. 相轨迹作图法
先以线性系统为例, 说明相轨迹曲线的画法.
(1)解析法
数有关, 还与系统的初始状态及输入信号的形式和大小 有关.
由于非线性控制系统的基本数学模型是非线性微分 方程, 而从数学上讲, 非线性微分方程没有一个统一的 解法, 再由于第二个特征, 对非线性控制系统也没有一 个统一的分析和设计的方法, 只能具体问题具体对待.
自动控制原理第七章非线性系统ppt课件
7.1.3 非线性系统的分析方法
非线性的数学模型为非线性微分方程，大多数尚无 法直接求解。到目前为止，非线性系统的研究还不成熟， 结论不能像线性系统那样具有普遍意义，一般要针对系 统的结构，输入及初始条件等具体情况进行分析。工程 上常用的方法有以下几种：
（1）描述函数法（本质非线性）：是一种频域分析法，
实质上是应用谐波线性化的方法，将非线性特性线性化， 然后用频域法的结论来研究非线性系统，它是线性理论 中的频率法在非线性系统中的推广，不受系统阶次的限 制。
（2）相平面法（本质非线性）：图解法。通过在相平 面上绘制相轨迹，可以求出微分方程在任何初始条件下 的解。是一种时域分析法，仅适用于一阶和二阶系统。
4M
sin t
故理想继电器特性的描述函数为
N ( A)
Y1 A
1
4M
A
请牢记！
即 N(A)的相位角为零度,幅值是输入正弦信号A的函数.
2.饱和特性
当输入为x(t)＝Asinωt，且A大于线性区宽度a 时，
饱和特性的输出波形如图7-10所示。
y
x
N
M
k 0a
x
yy
0 ψ1
π
2π
ωt
0 x
ψ1
π
A sin 1
x(t) Asint
则其输出一般为周期性的非正弦信号，可以展成傅氏级 数：
y(t ) A0 ( An cos nt Bn sin nt ) n1
若系统满足上述第二个条件，则有A0=0
An
1
2 y(t ) cos ntd t
0
Bn
1
2 y(t ) sin ntd t
0
由于在傅氏级数中n越大,谐波分量的频率越高，An，Bn
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3）对于振荡发散的不稳定系统，当受到饱和特性限制后，系统会出现自 激振荡。
3、间隙特性：
b
y
k
(
x
a)
b
k(x a)
x 0， a b x a b
k
k
x 0，a b x a b
k
k
x 0， a b x a b
k
k
x 0， a b x a b
k
k
y b
a
k
0a
x
b
3）死区能滤除在输入端作小幅度振荡的干扰信号，从而提高系统的抗干 扰能力。
2、饱和特性：
kx y ka sign(x)
x a x a
y
a
k
0a x
饱和特性对系统性能的影响是多种多样的，仅考虑两种情况：
1）对稳定的系统而言，饱和特性带来的开环增益下降，会使系统的超调 量下降，振荡性减弱；
2）对稳定的系统而言，饱和特性带来的开环增益下降，会增大系统的静 态误差；
A
1 N ( A)
N
1 ( A)
轨迹为负实轴
上 1 到 的那一段
2
Im
1 1 N ( A) 2
A1
1 1 2
K 15
K 7.5
0 Re
G( j ) G( j )
由 G( j ) 表达式求得：
G( j )
k
j(0.1 j 1)(0.2 j 1)
K (1
0.3 0.05
例1、求下图所示非线性的描述函数
y
k
B1
1
2
y(t ) s intd (t )
0
2
arcsin
arcsin A k( Asint ) sintd(t) A
x
2kA[ arcsin 1 ( )2 ]
2
AA
A
A0 0 A1 0
kA 2kA[arcsin 1 ( )2 ]
x 2(1 x2)x x u
二、典型的非线性特性及其影响
1、死区特性：又称不灵敏区。
0 y k[x a sign(x)]
x a x a
y
a
k
0a x
对系统性能的影响：
1）死区的存在相当于降低了系统的开环增益，从而提高了系统的稳定性， 减弱了过渡过程的震荡性；
2）死区增大了系统的静态误差；
解：（1）饱和特性描述函数为：
N ( A)
2k
arcsin
a A
a A
1
(
a A
)2
,
Aa
将 k 2, a 1代入 N( A) 的负倒描述函数，得：
1 A
1
N ( A)
2k arcsin
a A
a A
(1
a A
)2
4arcsin
1 A
1 A
1
(
1 A
)2
由上式 A1
1 1 N ( A) 2
AA
A
N ( A) k 2k [arcsin 1 ( )2 ]
AA
A
如 果 某 非 线 性 特 性y f (x)是 两 个 非 线 性y1 f1(x)和 y2 f2 ( x)的 叠 加 ， 即y y1 y2， 则 其 描 述 函 数 是 两 个 描述函数的叠加，即有
N N1 N2
2、描述函数法 适用范围：适用于分析高阶非线性系统，是一种频域分析法。 基本原理：描述函数法可看成是线性系统频率响应法在非线性系统中的有 条件推广应用。
3、李亚普诺夫第二方法 适用范围：理论上适用于任何非线性系统，又称为李亚普诺夫直接法。 基本原理：通过构造李亚普诺夫函数来对系统进行分析。
4、波波夫法
4、描述函数与线性环节频率特性的比较
描述函数：当非线性环节退化成放大系数为k的线性放大器时，此时描述 函数N（A）=k；对于一般非线性环节，N（A）相应地可看成正弦输入的 非线性复增益。该复增益的摸和幅角是输入正弦信号幅值A的函数；
线性环节频率特性：频率特性与正弦输入信号幅值无关。
三、典型非线性环节的描述函数
4、继电器特性 （1）理想继电器特性 y b sign(x)
（2）带死区的继电器特性
b sign(x) x a
y 0
x a
y b
0
x
b
y b
a
0a
x
b
三、非线性系统的特点
1、不满足叠加原理
x x x3 x(1 x2)
x(t)
x(0)
x2(0) [x2(0) 1]e2t
2、平衡点与稳定性特性更加复杂 在线性系统中，稳定性只与其结构和参数有关，而与初始条件和外加输入 信号无关，而对于非线性系统而言，则要复杂得多。
适用范围：是针对非线性系统稳定性的一种频域分析法，适用于由一个线 性环节和一个非线性环节组成的系统。
基本原理：利用线性环节的频率特性分析非线性系统的稳定性。
5.2
描述函数法
主要内容： 描述函数法适用的系统结构 描述函数法的原理 典型非线性特性的描述函数 用描述函数法分析非线性系统的稳定性
一、非线性系统的典型结构
自激振荡的判别：如果在交点处， –1/N(A) 曲线当幅值 X 增大时，向G( j ) 曲线包围区域以内（系统的不稳定区）移动，则该点的等幅振荡是不稳 定的；反之，如果当 X 增大时， –1/N(A) 曲线向 G( j ) 曲线包围区以外 （系统稳定区）移动，则该点的等幅振荡是稳定的，即产生自激振荡。
四、非线性系统的描述函数法分析
r(t)
e(t) N( A) x(t)
G(s)
c(t)
1、非线性系统的稳定性分析
c N( A)G( j )e
e r c
[N( A)G( j ) 1]c N( A)G( j)r
当系统不受外部作用，即r 0时，有
[N( A)G( j) 1]c 0
1 N(A)G( j) 0
Im 0 Re
（2）当 s 循顺时针方向沿 D 形围线连续的变化一周时，如果 –1/N(A) 曲
线被 G(s) 曲线所包围，则系统是不稳定的。换言之，如果系统中出现任 何振幅的某种振荡，其振幅也将不断减小，最后趋于零。
Im
A
ed
f
0 Re
G( j )
0A c a b
（3）当 s 循顺时针方向沿 D 形围线连续的变化一周时，如果 –1/N(A) 曲
线与 G(s) 曲线相交，则系统中存在等幅振荡，其振幅和频率由交点上
–1/N(X) 曲线的 X 值与 G(s) 曲线的 值决定。该等幅振荡可能是具有一
定稳定性的等幅振荡，即产生自激振荡；也可能是不稳定的等幅振荡， 即在一定条件下发散或收敛。
2、自激振荡的判别
自激振荡：要求等幅振荡具有一定的稳定性，即系统受到轻微扰动时状 态会发生偏离，当扰动消失后，系统又能回到原来振幅和频率的等幅振 动状态。
A1
1 A
A1
1 N ( A)
A 2
A
1 2
N ( A) 12 1 1 6 2
1 N ( A)
Im
1
N ( A)
Kc 15
1 2
Kc
7.5
（2）当K=15时，
G(
j )与
1 N ( A)
相交
ReG( j )
5
K 2 15
15 1 15
I
m
G(
j )
5 2 0
1 G( j ) 1
N ( A)
1
4arcsin
1 A
1 A
1
(
1 A
)2
A 2.5 5 2 7.07rad / s
例2 设包含死区继电器特性的非线性系统如图所示。其中，饱和特性输出 b=3, 死区 a=1 。
1
A0
2
x(t)d(t)
0
An
1
2
x(t) co s ntd(t)
0
Bn
1
2
x(t) sin ntd(t)
0
X n An2 Bn2
n
arctg
An Bn
根据假设条件，高次谐波分量已被大大削弱，直流分量为零，因此可用一 次谐波分量（基波分量）来近似。
x(t) x1(t) A1 cos t B1 sint X1 sin(t 1)
4、特殊的频率响应特性
线性系统 ： 当输入量是正弦信号时，系统的稳态响应是同一频率的正弦信号。
非线性系统 ： 在正弦信号作用下的稳态输出一般不是正弦信号，随系统非线性特性 的不同，输出信号中可能包含输入正弦信号的倍频分量或高次谐波等各种 谐波分量。
四、非线性系统的分析方法
1、相平面法 适用范围：适用于一阶和二阶非线性系统，是基于图解法的时域分析法。 基本原理：通过绘制系统相平面图，可以分析出各种初始条件下系统的静、 动态性能，具有物理意义明晰的优点。
非线性特性的负倒特性： G( j) 1
N( A)
推广的奈氏判据：
（1）当 s 循顺时针方向沿 D 形围线连续的变化一周时，如果 –1/N(A) 曲
线没有被 G(s) 曲线所包围，则系统是稳定的。换言之，如果系统中出现 任何振幅的某种振荡，其振幅也将不断减小，最后趋于零。
1 N(A) A
Im 0 Re
间隙特性是非单值函数，对系统性能的主要影响有：
1）增大了系统的稳态误差，降低了控制精度；
2）使系统过渡过程的震荡加剧，甚至使系统变为不稳定。
从能量的观点来分析，当主动轮越过间隙时，系统的执行元件不带动负载， 因而不消耗能量，与没有间隙特性的系统相比，相当于蓄能增多，使得主 动轮通过间隙重新带动负载时的总能量增大，因而使系统的震荡加剧。
x x x3 x(1 x2)
3、间隙特性：
b
y
k
(
x
a)
b
k(x a)
x 0， a b x a b
k
k
x 0，a b x a b
k
k
x 0， a b x a b
k
k
x 0， a b x a b
k
k
y b
a
k
0a
x
b
3）死区能滤除在输入端作小幅度振荡的干扰信号，从而提高系统的抗干 扰能力。
2、饱和特性：
kx y ka sign(x)
x a x a
y
a
k
0a x
饱和特性对系统性能的影响是多种多样的，仅考虑两种情况：
1）对稳定的系统而言，饱和特性带来的开环增益下降，会使系统的超调 量下降，振荡性减弱；
2）对稳定的系统而言，饱和特性带来的开环增益下降，会增大系统的静 态误差；
A
1 N ( A)
N
1 ( A)
轨迹为负实轴
上 1 到 的那一段
2
Im
1 1 N ( A) 2
A1
1 1 2
K 15
K 7.5
0 Re
G( j ) G( j )
由 G( j ) 表达式求得：
G( j )
k
j(0.1 j 1)(0.2 j 1)
K (1
0.3 0.05
例1、求下图所示非线性的描述函数
y
k
B1
1
2
y(t ) s intd (t )
0
2
arcsin
arcsin A k( Asint ) sintd(t) A
x
2kA[ arcsin 1 ( )2 ]
2
AA
A
A0 0 A1 0
kA 2kA[arcsin 1 ( )2 ]
x 2(1 x2)x x u
二、典型的非线性特性及其影响
1、死区特性：又称不灵敏区。
0 y k[x a sign(x)]
x a x a
y
a
k
0a x
对系统性能的影响：
1）死区的存在相当于降低了系统的开环增益，从而提高了系统的稳定性， 减弱了过渡过程的震荡性；
2）死区增大了系统的静态误差；
解：（1）饱和特性描述函数为：
N ( A)
2k
arcsin
a A
a A
1
(
a A
)2
,
Aa
将 k 2, a 1代入 N( A) 的负倒描述函数，得：
1 A
1
N ( A)
2k arcsin
a A
a A
(1
a A
)2
4arcsin
1 A
1 A
1
(
1 A
)2
由上式 A1
1 1 N ( A) 2
AA
A
N ( A) k 2k [arcsin 1 ( )2 ]
AA
A
如 果 某 非 线 性 特 性y f (x)是 两 个 非 线 性y1 f1(x)和 y2 f2 ( x)的 叠 加 ， 即y y1 y2， 则 其 描 述 函 数 是 两 个 描述函数的叠加，即有
N N1 N2
2、描述函数法 适用范围：适用于分析高阶非线性系统，是一种频域分析法。 基本原理：描述函数法可看成是线性系统频率响应法在非线性系统中的有 条件推广应用。
3、李亚普诺夫第二方法 适用范围：理论上适用于任何非线性系统，又称为李亚普诺夫直接法。 基本原理：通过构造李亚普诺夫函数来对系统进行分析。
4、波波夫法
4、描述函数与线性环节频率特性的比较
描述函数：当非线性环节退化成放大系数为k的线性放大器时，此时描述 函数N（A）=k；对于一般非线性环节，N（A）相应地可看成正弦输入的 非线性复增益。该复增益的摸和幅角是输入正弦信号幅值A的函数；
线性环节频率特性：频率特性与正弦输入信号幅值无关。
三、典型非线性环节的描述函数
4、继电器特性 （1）理想继电器特性 y b sign(x)
（2）带死区的继电器特性
b sign(x) x a
y 0
x a
y b
0
x
b
y b
a
0a
x
b
三、非线性系统的特点
1、不满足叠加原理
x x x3 x(1 x2)
x(t)
x(0)
x2(0) [x2(0) 1]e2t
2、平衡点与稳定性特性更加复杂 在线性系统中，稳定性只与其结构和参数有关，而与初始条件和外加输入 信号无关，而对于非线性系统而言，则要复杂得多。
适用范围：是针对非线性系统稳定性的一种频域分析法，适用于由一个线 性环节和一个非线性环节组成的系统。
基本原理：利用线性环节的频率特性分析非线性系统的稳定性。
5.2
描述函数法
主要内容： 描述函数法适用的系统结构 描述函数法的原理 典型非线性特性的描述函数 用描述函数法分析非线性系统的稳定性
一、非线性系统的典型结构
自激振荡的判别：如果在交点处， –1/N(A) 曲线当幅值 X 增大时，向G( j ) 曲线包围区域以内（系统的不稳定区）移动，则该点的等幅振荡是不稳 定的；反之，如果当 X 增大时， –1/N(A) 曲线向 G( j ) 曲线包围区以外 （系统稳定区）移动，则该点的等幅振荡是稳定的，即产生自激振荡。
四、非线性系统的描述函数法分析
r(t)
e(t) N( A) x(t)
G(s)
c(t)
1、非线性系统的稳定性分析
c N( A)G( j )e
e r c
[N( A)G( j ) 1]c N( A)G( j)r
当系统不受外部作用，即r 0时，有
[N( A)G( j) 1]c 0
1 N(A)G( j) 0
Im 0 Re
（2）当 s 循顺时针方向沿 D 形围线连续的变化一周时，如果 –1/N(A) 曲
线被 G(s) 曲线所包围，则系统是不稳定的。换言之，如果系统中出现任 何振幅的某种振荡，其振幅也将不断减小，最后趋于零。
Im
A
ed
f
0 Re
G( j )
0A c a b
（3）当 s 循顺时针方向沿 D 形围线连续的变化一周时，如果 –1/N(A) 曲
线与 G(s) 曲线相交，则系统中存在等幅振荡，其振幅和频率由交点上
–1/N(X) 曲线的 X 值与 G(s) 曲线的 值决定。该等幅振荡可能是具有一
定稳定性的等幅振荡，即产生自激振荡；也可能是不稳定的等幅振荡， 即在一定条件下发散或收敛。
2、自激振荡的判别
自激振荡：要求等幅振荡具有一定的稳定性，即系统受到轻微扰动时状 态会发生偏离，当扰动消失后，系统又能回到原来振幅和频率的等幅振 动状态。
A1
1 A
A1
1 N ( A)
A 2
A
1 2
N ( A) 12 1 1 6 2
1 N ( A)
Im
1
N ( A)
Kc 15
1 2
Kc
7.5
（2）当K=15时，
G(
j )与
1 N ( A)
相交
ReG( j )
5
K 2 15
15 1 15
I
m
G(
j )
5 2 0
1 G( j ) 1
N ( A)
1
4arcsin
1 A
1 A
1
(
1 A
)2
A 2.5 5 2 7.07rad / s
例2 设包含死区继电器特性的非线性系统如图所示。其中，饱和特性输出 b=3, 死区 a=1 。
1
A0
2
x(t)d(t)
0
An
1
2
x(t) co s ntd(t)
0
Bn
1
2
x(t) sin ntd(t)
0
X n An2 Bn2
n
arctg
An Bn
根据假设条件，高次谐波分量已被大大削弱，直流分量为零，因此可用一 次谐波分量（基波分量）来近似。
x(t) x1(t) A1 cos t B1 sint X1 sin(t 1)
4、特殊的频率响应特性
线性系统 ： 当输入量是正弦信号时，系统的稳态响应是同一频率的正弦信号。
非线性系统 ： 在正弦信号作用下的稳态输出一般不是正弦信号，随系统非线性特性 的不同，输出信号中可能包含输入正弦信号的倍频分量或高次谐波等各种 谐波分量。
四、非线性系统的分析方法
1、相平面法 适用范围：适用于一阶和二阶非线性系统，是基于图解法的时域分析法。 基本原理：通过绘制系统相平面图，可以分析出各种初始条件下系统的静、 动态性能，具有物理意义明晰的优点。
非线性特性的负倒特性： G( j) 1
N( A)
推广的奈氏判据：
（1）当 s 循顺时针方向沿 D 形围线连续的变化一周时，如果 –1/N(A) 曲
线没有被 G(s) 曲线所包围，则系统是稳定的。换言之，如果系统中出现 任何振幅的某种振荡，其振幅也将不断减小，最后趋于零。
1 N(A) A
Im 0 Re
间隙特性是非单值函数，对系统性能的主要影响有：
1）增大了系统的稳态误差，降低了控制精度；
2）使系统过渡过程的震荡加剧，甚至使系统变为不稳定。
从能量的观点来分析，当主动轮越过间隙时，系统的执行元件不带动负载， 因而不消耗能量，与没有间隙特性的系统相比，相当于蓄能增多，使得主 动轮通过间隙重新带动负载时的总能量增大，因而使系统的震荡加剧。
x x x3 x(1 x2)