习题22变分法

391．试根据变分原理导出完全柔软的均匀弦的横振动方程。 取弦上足够短的一段 dx ，该段弦的动能为
1 1 ⎛ ∂u ⎞ ⎛ ∂u ⎞ ρ dx ⎜ ⎟ ，势能为 Tdx ⎜ ⎟ ，弦的 2 2 ⎝ ∂t ⎠ ⎝ ∂x ⎠
t1
2
2
Hamilton 作用量 S =
∫ ∫
t0
t1
x1
x0
F ( ut , u x ) dxdt = ∫
(
2
（2） y = c (1 − x ) + c x (1 − x ) ) + c x (1 − x ) ；
。
该边值问题对应泛函
∫
1
−1
y′2 dx 在约束条件 ∫ y 2 dx = C 下的极值问题。后面步骤略。
−1
1
∂F −F =C。 ∂y′
所以 y′
⎧ J [ y ] = 1 1 + y′2 dx ⎪ ∫0 393．求泛函 ⎨ 的极值曲线。 ⎪ ⎩ y ( 0 ) = 0, y (1) = 1
Euler-Lagrange 方程为
d y′ = 0 ，所以 1 + y′2 = Cy′ ，可得 y′ = C1 ，积分得 2 dx 1 + y′
y ( x ) 是第二个泛函极值问题的解。
397．过二已知点 ( x1 , y1 ) ， ( x2 , y2 ) 作一曲线，使此曲线绕 x 轴旋转所得曲面面积最小，求 曲线作满足的微分方程。 旋转面面积为 S = 为 y 1 + y′ −
2
∫(
( x2 , y2 )
x1 , y1 )
2π yds = 2π ∫ y 1 + y′2 dx ，由 392 题结论，Euler-Lagrange 方程
2 2
⎣∇ ⋅ (δ u∇u ) − ∇δ u ⋅∇u + λuδ u ⎤ ⎦ dV ∫∫∫ ( ∇ u + λu ) δ udV = ∫∫∫ ⎡
2 V V
=
∫∫ δ u ∂n dS − ∫∫∫ (δ∇u ⋅∇u − λuδ u ) dV = − ∫∫ β uδ udS − 2 δ ∫∫∫ ( ∇u ⋅∇u − λu ) dV
C = 0 ，所以
dϕ = 0 ，即 ϕ = C1 ，代入 B 点坐标得 ϕ = ϕ1 ，这正是在大圆上。 dθ
395．一质点在重力作用下沿光滑曲线由点 ( x1 , y1 ) 运动至点 ( x2 , y2 ) （见下图） 。试求“捷 线” （即质点沿此曲线运动费时最少）所满足的微分方程。
v=
x2 ( x2 , y2 ) ds ds 1 + y ′2 2 所以 t = ∫ = v0 + 2 g ( y1 − y ) ， =∫ dx 。 2 2 x1 ( x1 , y1 ) dt v0 + 2 g ( y1 − y ) v0 + 2 g ( y1 − y )
1
，代入方程得 y′′ +
ω2
T
(1 + x ) y = 0 。
对应泛函
n ⎡ 2 ω2 2⎤ ′ 的极值。取一组基函数展开 ： y = ckϕ k ( x ) ， − + y 1 x y dx y x ( ) ⎥ ( ) ∑ ∫0 ⎢ T k =1 ⎣ ⎦ n n 1⎡ ⎤ ω2 ′ ′ − + = ϕ ϕ ϕ ϕ c c x x 1 x x x dx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ k l ∫0 ⎢ k ∑ ∑ ck cl f kl 。 l k l ⎥ T k =1 l =1 k =1 l =1 ⎣ ⎦ n n
x1
x2
yy′2 1 + y ′2
= C ，即
y 1 + y ′2
=C。
⎧∇ 2u + λ u = 0 ⎪ 398．试写出本征值问题 ⎨⎛ 所对应的泛函极值问题。设 β ≠ 0 。 ∂u ⎞ ⎪⎜ α u + β ∂n ⎟ = 0 ⎠Σ ⎩⎝
由于 ∇ ⋅ (δ u∇u ) = ∇δ u ⋅∇u + δ u∇ u ，所以 δ u∇ u = ∇ ⋅ (δ u∇u ) − ∇δ u ⋅∇u ，
1 + y ′2 ∂F 记 F ( y, y′ ) = ，由 392 题结论， y′ − F = C ，即 2 ∂y′ v0 + 2 g ( y1 − y )
y ′2
1
2
1 + y′
v + 2 g ( y1 − y )
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0
− 1 + y ′2
1
v + 2 g ( y1 − y )
2 0
= C ，还可写成
1 1 + y′
2
2 = −C v0 + 2 g ( y1 − y ) 。
b ⎧ b ⎪ J [ y ] = ∫a F ( x, y, y′ ) dx 396． 若 y ( x ) 使泛函 ⎨ 在限制条件 J1 [ y ] = ∫ G ( x, y , y ′ ) dx = C 下 a ⎪ ⎩ y ( a ) = A, y ( b ) = B
dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2 ）
A， B 间弧长为 s =
∫
θ1
0
， 1 + sin 2 θϕ ′2 dθ （ ϕ ′ = dϕ dθ ）
Euler-Lagrange 方程为
d sin 2 θϕ ′ sin 2 θϕ ′ = 0 ，即 = C ，代入 A 点坐标可得 dθ 1 + sin 2 θϕ ′2 1 + sin 2 θϕ ′2
a
b
第一个泛函极值问题引入 Lagrange 乘子 λ ，则 y ( x ) 满足 方程：
∫ ( F − λG ) dx 的 Euler-Lagrange
a
b
∂F ∂G ∂F ∂G 1 −λ − y′ + λ y′ = 0 ，由于 λ ≠ 0 ，方程两边乘 得 ∂y ∂y ∂y′ ∂y′ λ
b⎛ 1 ⎞ ∂G 1 ∂F ∂G 1 ∂F − − y′ + y′ = 0 ，这正是 ∫ ⎜ G − F ⎟ dx 的 Euler-Lagrange 方程，即 a ∂y λ ∂y ∂y′ λ ∂y′ λ ⎠ ⎝
t0
∫
x1
x0
2 2 1 ⎡ ⎛ ∂u ⎞ ⎛ ∂u ⎞ ⎤ ⎢ ρ ⎜ ⎟ + Tdx ⎜ ⎟ ⎥ dxdt 。 2⎣ ⎝ ∂x ⎠ ⎦ ⎢ ⎝ ∂t ⎠ ⎥
该泛函的 Euler-Lagrange 方程为
∂ ∂F ∂ ∂F ∂ 2u ∂ 2u + = ρ 2 +T 2 = 0。 ∂t ∂ut ∂x ∂u x ∂t ∂x
⎛ 2 f11 ⎜ ⎜ f 21 n ，写成矩阵式 ⎜ ⎜ ⎜ f n1 ⎜ ⎝
解之即可。
400．用 Ritz 方法求出 ⎨ （1） y = c1 1 − x
⎧ ⎪ y ′′ + λ y = 0 的最低两个本征值的近似值，取试探函数为： ⎪ ⎩ y ( −1) = 0, y (1) = 0
2 2 2 2 2 2 2 1 2
399．设有一长为 1 的弦，由同种质料组成，线密度 ρ ( x ) = 1 + x （ 0 ≤ x ≤ 1 ） ，则振动方程 为 (1 + x )
∂ 2u ∂ 2u ，试用 Ritz 方法求出两端固定时的最低固有频率。 = T ∂t 2 ∂x 2
iωt
令 u ( x, t ) = y ( x ) e
b ⎧ ⎪ J [ y ] = ∫a F ( y, y′ ) dx 392．设 y = y ( x ) ， F ( y, y′ ) 不显含 x ，证明： ⎨ 取极值的必要条件 y a A , y b B = = ⎪ ( ) ( ) ⎩
是 y′
∂F 。 − F = C （常数） ∂y′
b x =b
b ⎛ ∂F ⎛ ∂F ⎞ ⎞ ∂F ∂F d ∂F δ J [ y] = ∫ ⎜ δ y + δ y′ ⎟ dx = δy +∫ ⎜ δy− δ y ⎟ dx a a ∂y′ ∂y′ dx ∂y′ ⎠ ⎝ ∂y ⎠ ⎝ ∂y x=a
b ⎛ ∂F d ∂F ⎞ =∫ ⎜ − ⎟ δ ydx = 0 ， a ⎝ ∂y dx ∂y′ ⎠
所以
∂F d ∂F − = 0。 ∂y dx ∂y′
由于
⎞ ⎛ d ∂F ∂F ⎞ d ⎛ ∂F ∂F d ∂F ∂F ∂F − y′ − y′′ = y′ ⎜ − ⎜ y′ ′ − F ⎟ = y′′ ′ + y′ ⎟ = 0， dx ⎝ ∂y dx ∂y′ ∂y ∂y ∂y′ ⎠ ⎝ dx ∂y′ ∂y ⎠
⎧ J [ y ] = b G ( x, y, y′ ) dx ⎪ 1 ∫a 试证明 y ( x ) 也使泛函 ⎨ 在 取极值， 且相应的 Lagrange 乘子 λ ≠ 0 ， y a = A , y b = B ⎪ ( ) ( ) ⎩
限制条件 J [ y ] =
∫ F ( x, y, y′ ) dx = D 下取极值。
泛函化为
要使它取极值，只需使它对 ck （ k = 1, 2,
n ）的偏导数为 0，即
f12 2 f 22 fn2 … f1n ⎞ ⎟⎛ c ⎞ f2n ⎟ ⎜ 1 ⎟ c ⎟⎜ 2 ⎟ = 0 ， ⎟⎜ ⎟ 2 f nn ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ cn ⎠ ⎠
l =1,l ≠ k
∑
n
cl f kl + 2ck f kk = 0 ， k = 1, 2,
2 Σ V Σ V
∂u
α
1
⎤ 1 ⎡ α = − δ ⎢ ∫∫ u 2 dS + ∫∫∫ ( ∇u ⋅∇u − λu 2 ) dV ⎥ = 0 2 ⎣Σ β V ⎦