板块模型专题

例1.如图1所示，光滑水平面上放置质量分别为m、2m的物块A和木板B，A、B间的最大静摩擦力为μmg，现用水平拉力F拉B，使A、B以同一加速度运动，求拉力F的最大值。

分析：为防止运动过程中A落后于B（A不受拉力F的直接作用，靠A、B间的静摩擦力加速），A、B一起加速的最大加速度由A决定。

解答：物块A能获得的最大加速度为：．

∴A、B一起加速运动时，拉力F的最大值为：

．

变式1.例1中若拉力F作用在A上呢？如图2所示。

解答：木板B能获得的最大加速度为：。

∴A、B一起加速运动时，拉力F的最大值为：

．

变式2.在变式1的基础上再改为：B与水平面间的动摩擦因数为（认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力），使A、B以同一加速度运动，求拉力F的最大值。

解答：木板B能获得的最大加速度为：

设A、B一起加速运动时，拉力F的最大值为F m，则：

解得：

例2. 如图3所示，质量M=8kg的小车放在光滑的水平面上，在小车右端加一水平恒力F，F=8N，当小车速度达到1．5m/s时，在小车的前端轻轻放上一大小不计、质量m=2kg的物体，物体与小车间的动摩擦因数μ=0．2，小车足够长，求物体从放在小车上开始经t=1．5s 通过的位移大小。（g取10m/s2）

解答：物体放上后先加速：a1=μg=2m/s2

此时小车的加速度为：

当小车与物体达到共同速度时：

v共=a1t1=v0+a2t1

解得：t1=1s ，v共=2m/s

以后物体与小车相对静止：（∵，物体不会落后于小车）

物体在t=1．5s内通过的位移为：s=a1t12+v共（t－t1）+ a3（t－t1）2=2．1m

练习1.如图5所示，质量M=1kg的木板静止在粗糙的水平地面上，木板与地面间的动摩擦因数，在木板的左端放置一个质量m=1kg、大小可以忽略的铁块，铁块与木板间的动摩擦因数，取g=10m/s2，试求：

（1）若木板长L=1m，在铁块上加一个水平向右的恒力F=8N，经过多长时间铁块运动到木板的右端？

（2）若在铁块上施加一个大小从零开始连续增加的水平向右的力F，通过分析和计算后，请在图6中画出铁块受到木板的摩擦力f2随拉力F大小变化的图象。（设木板足够长）

（解答略）答案如下：（1）t=1s

（2）①当F≤N时，A、B相对静止且对地静止，f2=F；

②当2N

③当F>6N时，A、B发生相对滑动，N．

画出f2随拉力F大小变化的图象如图7所示。

从以上几例我们可以看到，无论物体的运动情景如何复杂，这类问题的解答有一个基本技巧和方法：在物体运动的每一个过程中，若两个物体的初速度不同，则两物体必然相对滑动；若两个物体的初速度相同（包括初速为0），则要先判定两个物体是否发生相对滑动，其方法是求出不受外力F作用的那个物体的最大临界加速度并用假设法求出在外力F作用下整体的加速度，比较二者的大小即可得出结论。

练习2.如图，在光滑水平面上有一质量为m1的足够长的木板，其上叠放一质量为m2的木块。假定木块和木板之间的最大静摩擦力和滑

动摩擦力相等。现给木块施加一随时间t增大

的水平力F=kt（k是常数），木板和木块加速

度的大小分别为a1和a2，下列反映a1和a2变

化的图线中正确的是（ A ）

解析：主要考查摩擦力和牛顿第二定律。木块和木板之间相对静止时，所受的摩擦力为静摩擦力。在达到最大静摩擦力前，木块和木板以相同加速度运动，根据牛顿第二定律

2121

m m kt a

a +=

=。木块和木板相对运动时， 121m g m a μ=恒定不变，g m kt

a μ-=

2

2。所以正确答案是A 。

例3．一小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央．桌布的一边与桌的AB 边重合，如图．已知盘与桌布间的动摩擦因数为μ1，盘与桌面间的动摩擦因数为μ2．现突然以恒定加速度a 将桌布抽离桌面，加速度方向是水平的且垂直于AB 边．若圆盘最后未从桌面掉下，则加速度a 满足的条件是什么？（以g 表示重力加速度）

【分析与解】 本题涉及到圆盘和桌布两种运动，先定性分析清楚两者运动的大致过程，形成清晰的物理情景，再寻找相互间的制约关系，是解决这一问题的基本思路。

桌布从圆盘下抽出的过程中，圆盘的初速度为零，在水平方向上受桌布对它的摩擦力F 1=μ1mg 作用，做初速为零的匀加速直线运动。桌布从圆盘下抽出后，圆盘由于受到桌面对它的摩擦力F 2=μ2mg 作用，做匀减速直线运动。

设圆盘的质量为m ，桌长为L ，在桌布从圆盘下抽出的过程中，盘的加速度为a 1，则根据牛顿运动定律有 μ1mg =ma 1，

桌布抽出后，盘在桌面上做匀减速运动，以a 2表示加速度的大小，有 μ2mg =ma 2。 设盘刚离开桌布时的速度为v 1，移动的距离为x 1，离开桌布后在桌面上再运动距离x 2后便停下，

则有 112

1

2x a v =，22212x a v =， 盘没有从桌面上掉下的条件是 122

x L

x -≤

， 设桌布从盘下抽出所经历时间为t ，在这段时间内桌布移动的距离为x ，有 22

1at x =

，x 2

a

L/2

x

x 1

桌布

211

2

1

t a x =，

而 12

x L

x +=，

由以上各式解得 g a 12

2

12μμμμ+≥

。 【解题策略】 这是一道牛顿运动定律与运动结合的问题，有一定的难度。命题中出现了两个相互关联的物体的运动，解决这类问题时，一要能对每个物体进行隔离分析，弄清每个物体的受力情况与运动过程；二要把握几个物体之间在空间位置和时间上的关系，注意各物理过程的衔接。

练习3. 如图所示，一足够长的木板静止在光滑水平面上，一物块静止在木板上，木板和物块间有摩擦。现用水平力向右拉木板，当物块相对木板滑动了一段距离但仍有相对运动时，撤掉拉力，此后木板和物块相对于水平面的运动情况为（ ）A ．物块先向左运动，再向右运动B ．物块向右运动，速度逐渐增大，直到做匀速运动C ．木板向右运动，速度逐渐变小，直到做匀速运动D ．木板和物块的速度都逐渐变小，直到为零答：B C 解：对于物块，由于运动过程中与木板存在相对滑动，且始终相对木板向左运动，因此木板对物块的摩擦力向右，所以物块相对地面向右运动，且速度不断增大，直至相对静止而做匀速直线运动，B 正确；撤掉拉力后，对于木板，由作用力与反作用力可知受到物块给它的向左的摩擦力作用，则木板的速度不断减小，直到二者相对静止，而做匀速运动，C 正确；由于水平面光滑，所以不会停止，D 错误。

练习4. 如图18所示，小车质量M 为2.0 kg ，与水平地面阻力忽略不计，物体质量m 为0.5 kg ，物体与小车间的动摩擦因数为0.3，则：

图18

(1)小车在外力作用下以1.2 m/s 2的加速度向右运动时，物体受摩擦力多大？ (2)欲使小车产生a ＝3.5 m/s 2的加速度，需给小车提供多大的水平推力？ (3)若要使物体m 脱离小车，则至少用多大的水平力推小车？

(4)若小车长L ＝1 m ，静止小车在8.5 N 水平推力作用下，物体由车的右端向左滑动，则滑离小车需多长时间？(物体m 看作质点)

解析：(1)m 与M 间最大静摩擦力F 1＝μmg ＝1.5 N ，当m 与M 恰好相对滑动时的加速度为：

F 1＝ma m ，a m ＝F 1m ＝1.5

0.5

m/s 2＝3 m/s 2，

则当a ＝1.2 m/s 2时，m 未相对滑动， 所受摩擦力F ＝ma ＝0.5×1.2 N ＝0.6 N

(2)当a ＝3.5 m/s 2时，m 与M 相对滑动，摩擦力F f ＝ma m ＝0.5×3 N ＝1.5 N 隔离M 有F －F f ＝Ma

F ＝F f ＋Ma ＝1.5 N ＋2.0×3.5 N ＝8.5 N (3)当a ＝3 m/s 2时m 恰好要滑动． F ＝(M ＋m )a ＝2.5×3 N ＝7.5 N (4)当F ＝8.5 N 时，a ＝3.5 m/s 2

木板

物块 拉力

a 物体＝3 m/s 2

a 相对＝(3.5－3) m/s 2＝0.5 m/s 2

由L ＝1

2

a 相对t 2，得t ＝2 s.

答案：(1)0.6 N (2)8.5 N (3)7.5 N (4)2 s

练习5．如图所示，木板长L ＝1.6m ，质量M ＝4.0kg ，上表面光滑，下表面与地面间的动摩擦因数为μ＝0.4.质量m ＝1.0kg 的小滑块(视为质点)放在木板的右端，开始时木板与

物块均处于静止状态，现给木板以向右的初速度，取g ＝10m/s 2

，求：

(1)木板所受摩擦力的大小；

(2)使小滑块不从木板上掉下来，木板初速度的最大值． [答案] (1)20N (2)4m/s

[解析] (1)木板与地面间压力大小等于(M ＋m )g ① 故木板所受摩擦力F f ＝μ(M ＋m )g ＝20N② (2)木板的加速度a ＝F f M

＝5m/s 2

③

滑块静止不动，只要木板位移小于木板的长度，滑块就不掉下来，根据v 2

0－0＝2ax 得 v 0＝2ax ＝4m/s④

即木板初速度的最大值是4m/s

例4．如图所示，有一块木板静止在光滑且足够长的水平面上，木板质量M ＝4kg ，长L ＝1.4m ，木板右端放着一个小滑块．小滑块质量为m ＝1kg ，其尺寸远小于L .小滑块与木板

间的动摩擦因数μ＝0.4，g ＝10m/s 2

.

(1)现用恒力F 作用于木板M 上，为使m 能从M 上滑落，F 的大小范围是多少？

(2)其他条件不变，若恒力F ＝22.8N 且始终作用于M 上，最终使m 能从M 上滑落，m 在M 上滑动的时间是多少？

[答案] (1)F >20N (2)2s

[解析] (1)小滑块与木块间的滑动摩擦力 F μ＝μF N ＝μmg .

小滑块在滑动摩擦力F μ作用下向右做匀加速运动的加速度

a 1＝F μ

m

＝μg ＝4m/s 2.

木板在拉力F 和滑动摩擦力F μ作用下向右做匀加速运动的加速度a 2＝F －F μ

M

， 使m 能从A 上滑落的条件为a 2>a 1， 即F －F μM >F μm

，

解得F >μ(M ＋m )g ＝20N.

(2)设m 在M 上面滑行的时间为t ，恒力F ＝22.8N ，木板的加速度a 2＝

F －F μM

＝4.7m/s 2

，小滑块在时间t 内运动位移s 1＝12a 1t 2，木板在时间t 内运动的位移s 2＝12

a 2t 2

，又s 2－s 1＝L ，

解得t ＝2s.

例5. 一长木板在水平地面上运动，在ｔ=0时刻将一相对于地面静止的物块轻放到木板上，以后木板运动的速度－时间图像如图所示。己知物块与木板的质量相等，物块与木板间及木板与地面间均有摩擦.物块与木板间的最大静摩擦力等

于滑动摩擦力，且物块始终在木板上。取重力加速度的大小g ＝１０ｍ／ｓ２求:

(1) 物块与木板间；木板与地面间的动摩擦因数:

(2) 从ｔ＝０时刻到物块与木板均停止运动时，物块相对于木板的位移的大小. 解析：（1）由图可知，当t=0.5s 时，物块与木板的共同速度为v 1=1m/s

T=0.5s 前，物块相对于木板向后滑动，设物块与木板间动摩擦因数为1μ，木板与地面间动摩擦因数为2μ 对物块：加速度a 1=

m

mg

1μ=g 1μ ○1

又据a=

t v 1得：g 1μ=t

v

1=2m/s ○2 则1μ=0.2

对木板：加速度为a 2=)22(2221212+-=--=+-

g g g m

mg

mg μμμμμ ○3

据a=

t v -v 01得：)22(2+-g μ=t

v -v 01=-8 则3.02=μ（2）t=0.5s 前，a 1=m mg

1μ=2m/s

a 2=

t

v -v 0

1)22(2+-=g μ=-8m/s 2， 木板对地位移为x 1=2

20

212a v v -=1.5m

当t=0.5s 时，具有共同速度v 1=1m/s ， t=0.5s 后物块对地速度大于木板对地速度，此时物块相对于木板响枪滑动，摩擦力方向改变。 木板加速度： a 3= 22)2(221212+-=--=--

g g g m

mg

mg μμμμμ

=-4m/s 2

位移为x 2=3

212a 0v -=81

m

物块加速度大小不变，但方向改变，/

1a =-a 1=-2m/s 2

当木板速度为零时；由于mg mg 212μμ<=f max ,故木板静止而物块仍在木板上以a 1的加速度

做减速滑动，最后静止在木板上

在整个过程中，物块对地位移为x=/

1

2

11212020a v a v -+-=0.5m 物块相对木板的位移为L L=(x 1+x 2)-x=8

9m

例6．如图所示，一块质量为m ，长为L 的均质长木板放在很长的光滑水平桌面上，板

的左端有一质量为m ′的小物体(可视为质点)，物体上连接一根很长的细绳，细绳跨过位于桌边的定滑轮．某人以恒定的速度v 向下拉绳，物体最多只能到达板的中点，已知整个过程中板的右端都不会到达桌边定滑轮处．试求：

(1)当物体刚到达木板中点时木板的位移；

(2)若木板与桌面之间有摩擦，为使物体能达到板的右端，板与桌面之间的动摩擦因数应满足什么条件？

【解析】 (1)m 与m ′相对滑动过程中 m ′做匀速运动，有：v t ＝s 1 ①

m 做匀加速运动，有：1

2

v t ＝s 2 ②

s 1－s 2＝L /2 ③

联立以上三式解得：s 2＝L /2

(2)设m 与m ′之间动摩擦因数为μ1 当桌面光滑时有：m ′gμ1＝ma 1 ④ v 2＝2a 1s 2 ⑤

由④⑤解得：μ1＝m v 2

gm ′L

如果板与桌面有摩擦，因为m 与桌面的动摩擦因数越大，m ′越易从右端滑下，所以当m ′滑到m 右端两者刚好共速时该动摩擦因数最小，设为μ2

对m 有：ma 2＝m ′gμ1－(m ′＋m )gμ2 ⑥ v

2

t ′＝s 2′ ⑦ v 2＝2a 2s 2′ ⑧

对m ′有：v t ′＝s 1′ ⑨ s 1′－s 2′＝L ⑩

联立解得：μ2＝m v 2

2(m ′＋m )gL

所以桌面与板间的动摩擦因数μ≥m v 2

2(m ′＋m )gL