特征函数-习题
随机过程课后题答案
第一章习题解答1． 设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,k P X k pq k ===。
求X 的特征函数，EX 及DX 。
其中01,1p q p <<=-是已知参数。
解()()jtxjtkk X k f t E eepq ∞===∑()k jtkk p q e∞==∑ =0()1jt kjtk pp qe qe ∞==-∑又200()kkk k q qE X kpq p kq p p p ∞∞======∑∑222()()[()]q D X E X E X P =-=（其中 00(1)nnn n n n nxn x x ∞∞∞====+-∑∑∑）令 0()(1)n n S x n x ∞==+∑则 1000()(1)1xxnn k n xS t dt n t dt x x∞∞+===+==-∑∑⎰⎰202201()()(1)11(1)1(1)xn n dS x S t dt dxx xnx x x x ∞=∴==-∴=-=---⎰∑同理 2(1)2kkkk k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞=====+--∑∑∑∑令20()(1)k k S x k x ∞==+∑ 则211()(1)(1)xkk k k k k S t dt k t dt k xkx ∞∞∞+====+=+=∑∑∑⎰）2、（1） 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为1,0()0,0()0,0p p bxb x e x p x b p p x --⎧>⎪=>>Γ⎨⎪≤⎩（2） 其期望和方差；（3） 证明对具有相同的参数的b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。
解 （1）设X 服从(,)p b Γ分布，则10()()p jtxp bxX b f t ex e dx p ∞--=Γ⎰ 1()0()p p jt b x b x e dx p ∞--=Γ⎰101()()()()(1)p u p p p p p b e u b u jt b x du jt p b jt b jt b∞----==Γ---⎰ 10(())x p p e x dx ∞--Γ=⎰ （2）'1()(0)X p E X f j b∴== 2''221(1)()(0)X p p E X f j b +== 222()()()PD XE X E X b∴===（4） 若(,)i i X p b Γ 1,2i = 则121212()()()()(1)P P X X X X jt f t f t f t b-++==-1212(,)Y X X P P b ∴=+Γ+同理可得：()()iiP X b f t b jt∑=∑-3、设X 是一随机变量，()F x 是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。
数学物理方程与特征函数-02
n
X n (x) Bn sin l x
2u u(t02,
t)
a2
2u x2
,
0,u(l,
t
)
0,
u ( x,0)
(
x),
u ( x,0) t
(
x),
0 x l,t 0
t0 0 xl
n
X
n(
n
x)
/ l2, n
Bn sin
sin
n
l
x
(x)s
x 0 x
in m
l
l,t 0
u (Cn
l
n1
u(x,0)
t
n 1
x
cos Dn
na
l
t
Dn
s
in
na sin n x
l
l
na t) sin
l
(x)
n
l
x
l sin m
0
l
x
n1
Cn
sin
n
l
xdx
l (x) sin m
0
l
xdx
l
n
0 Cn sin n1
cos na
l
t
Dn sin
na t) sin
l
n
l
x
sin n x
l
2l n
cos na t,
l
na
l
sin na t
l
f na 2 2l
f1
a 2l
a2 T
v f na 2l a T
2l n
驻波法
特征函数
t it 1 [ 2 2 i 2 2 ] (1 ) t t
二、随机变量特征函数的性质
1. (t ) (0) 1 2. (t ) (t ) 其中 (t )为 (t )的共轭。 3.若Y aX b，其中a, b为常数，则Y的特征函数为
五、多元特征函数
1、多元特征函数的定义 设n元随机变量为(1 , 2 , , n )的分布函数为
F ( x1 , x2 , , xn ), 则它的特征函数定义为
f (t1 , t2 ,, tn ) ei( t1 x1 t2 x2 tn xn ) dF ( x1 , x2 ,, xn )
对于任意实数a，有 e ia 1 a .
事实上 对于实数a 0，有 eia 1 eix dx eix dx a.
0 0 ia ia a a
对于实数a 0，有 e 1 e (e
ia
1) e
ia
1 a
e itx1 e itx2 itx e it ( x1 x2 ) 1 itx2 itx 因此有 e e e x2 x1 it it 即J T中被积函数有界，所以积分可交换次序，得 1 JT 2 1 2
1 JT 2 1 2
e itx1 e itx2 itx T it e dt f ( x)dx
T T
sin t ( x x1 ) sin t ( x x2 ) dt f ( x)dx t t 0 1
(t ) 2 it 2 2
(i 2t ) 2 e
所以 E ( X )
i D( X ) (0) ( (0)) 2 2 X X
14特征函数
性质6 特征函数与矩的关系,若随机变量X的 n阶矩存在,则X的特征函数 g ( t ) 的k 阶导数 g ( t )
k
存在,且
E( X k ) i ( k ) g k (0),
(k n).
Ex.8 X N ( , 2 ) ,利用特征函数求期望与 方差。
三、反演公式及唯一性定理 由随机变量X的分布函数可惟一确定其特征 函数： F ( x ) φ(t ).
唯一性定理 分布函数F ( x1 , x2 ,, xn )由其特 征函数唯一决定
(5) 性质5
若(1 , 2 , , n )的特征函数为f ( t1 , t2 ,, t n )，而 j 的特征函数为f j ( t ), j 1, 2, , n, 则随机变量1 , 2 , , n相互独立的充要条件为
如果f ( t1 , t 2 , , t n )是(1 , 2 , , n )的特征函数 则 a11 a2 2 an n的特征函数为
f (t ) f (a1t , a2t ,, ant )
(3) 性质3
n
如果矩E( )存在，则 kn E (1k1 2k2 n )
k
e
k 0,1, 2,
(t ) e
k 0
ikt
k
k!
e
e e
e it
e
( e it 1)
.
Ex.4 设X ~ N (0,1), 求其特征函数。
解：由X ~ N (0,1)知概率密度为 2 所以特征函数为 f ( x) 1 e
x2 2
x
问题
能否由X的特征函数唯一确定其分布函数？
随机过程及应用：预备知识：特征函数
e
jtxφ(t
)dt
反演公式
注
因
φ(t)
e
jtx
f
(
x)dx
对于连续型随机变量X，概率密度与特征 函数互为富氏变换.
特征函数
推论3 随机变量X 是离散型的,其分布律为
pk PX k, k 0,1,2.
则 φ(t ) pke jkt , t R. k
1
pk 2π
π e j tkφ(t )dt
φ(t) e jt0(1 p) e jt1 p 1 p pe jt q pe jt , t R.
Ex.3 二项分布 φ(t) (q pe jt )n , t R
Ex.4 泊松分布 φ(t ) e(e jt 1) , t R
Hale Waihona Puke 特征函数Ex.5 指数分布
ex ,
f (x) 0,
e
jtxdF
(
x)
求随机变 量函数的 数学期望
注 1）t R, costx 和 sintx 均为有界函数, 故
E(e jtX ) 总存在.
2) E(e j是tX )实变量t 的函数.
特征函数
定义5.1 设X是定义在(Ω,F , P )上的随机变 量,称
φ(t ) E(e jtX )
e
jtxdF
π
反演公式
证 设 s 有N ,
πe jtsφ(t )dt π
π π
pk e jkte jtsdt
k
特征函数
π
π psdt
π π
pke
jt(k s)dt
2ps
0
k
ks
其中当k s时
π
e
jt(k s)dt
浙大《概率论》习题
习题第一讲1. 由盛有号码为N ,,2,1 的球的箱子中有放回的摸了n 次, 依次记其号码, 求这些号码按严格上升次序排列的概率.2. 对任意凑在一起的40人, 求他们中没有两人生日相同的概率.3. 从n 双不同的鞋子中任取)2(2n r r ≤只, 求下列事件的概率:(1) (1) 没有成双的鞋子; (2)只有一双鞋子; (3) 恰有二双鞋子; (4) 有r 双鞋子.4. 从52张的一副扑克牌中, 任取5张, 求下列事件的概率:(1) (1) 取得以A 为打头的顺次同花色5张;(2) (2) 有4张同花色;(3) (3) 5张同花色;(4) (4) 3张同点数且另2张也同点数.思考题:1.（分房、占位问题）把n 个球随机地放入N 个不同的格子中，每个球落入各格子内的概率相同（设格子足够大，可以容纳任意多个球）。
I. I. 若这n 个球是可以区分的，求（1）指定的n 个格子各有一球的概率；（2）有n 个格子各有一球的概率；若这n 个球是不可以区分的，求（1）某一指定的盒子中恰有k 个球的概率；（2）恰好有m 个空盒的概率。
2.取数问题）从1-9这九个数中有放回地依次取出五个数，求下列各事件的概率：（1） （1） 五个数全不同；（2）1恰好出现二次；（3）总和为10.第二讲1. 在一张打方格的纸上投一枚直径为1的硬币, 问方格要多小时才能使硬币与线不相交的概率小于0.01?2. 在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。
在这个城市的居民中，订甲报(记为A)的有45%，订乙报(记为B)的有35%，订丙报(记为C)的有30%，同时订甲、乙两报(记为D)的有10%，同时订甲、丙两报(记为E)的有8%，同时订乙、丙两报(记为F)的有5%，同时订三中报纸(记为G)的有3%. 试表示下列事件, 并求下述百分比：(1)只订甲报的；（2）只订甲、乙两报的；（3）只订一种报纸的；(4)正好订两种报纸的；（5）至少订一种报纸的；（6）不订任何报纸的.3. 在线段[0,1]上任意投三个点, 求0到这三点的三条线段能构成三角形的概率.4. 设A, B, C, D 是四个事件, 似用它们表示下列事件:(1) (1) 四个事件至少发生一个;(2) (2) 四个事件恰好发生两个;(3) (3) A,B 都发生而C, D 不发生;(4) (4) 这四个事件都不发生;(5) (5) 这四个事件至多发生一个;(6) (6) 这四个事件至少发生两个;(7) (7) 这四个事件至多发生两个.5. 考试时共有n 张考签, 有)(n m m ≥个同学参加考试. 若被抽过的考签立即放回, 求在考试结束后, 至少有一张考签没有被抽到的概率.6. 在§3例5中, 求恰好有)(n k k ≤个人拿到自己的枪的概率.7. 给定)(),(),(B A P r B P q A P p ⋃===, 求)(B A P 及)(B A P .思考题1.（蒲丰投针问题续）向画满间隔为a 的平行线的桌面上任投一直径)(a l l <为的半圆形纸片,求事件“纸片与某直线相交”的概率；第三讲1. n 件产品中有m 件废品, 任取两件, 求:(1) (1) 在所取两件中至少有一件是废品的条件下, 另一件也是废品的概率;(2) (2) 在所取两件中至少有一件不是废品的条件下, 另一件是废品的概率.2. 袋中有)3(≥a a 只白球, b 只黑球, 甲乙丙三人依次从袋中取出一球(取后不放回). 试用全概率公式分别求甲乙丙各取得白球的概率.3. 敌机被击中部位分成三部分: 在第一部分被击中一弹, 或第二部分被击中两弹, 或第三部分被击中三弹时, 敌机才能被击落. 其命中率与各部分面积成正比. 假如这三部分面积之比为0.1, 0.2, 0.7. 若已中两弹, 求敌机被击落的概率.4. 甲乙两人从装有九个球, 其中三个是红球的盒子中, 依次摸一个球, 并且规定摸到红球的将受罚.(1) (1) 如果甲先摸, 他不受罚的概率有多大?(2) (2) 如果甲先摸并且没有受罚, 求乙也不受罚的的概率.(3) (3) 如果甲先摸并且受罚, 求乙不受罚的的概率.(4) (4) 乙先摸是否对甲有利?(5) (5) 如果甲先摸, 并且已知乙没有受罚, 求甲也不受罚的概率.5. 设事件A, B, C 相互独立, 求证: B A AB B A -⋃,,也相互独立.思考题1. 甲、乙两人轮流掷一均匀的骰子。
《概率论与数理统计课件》 特征函数
k
it n
．
20
k 1
例 如果我们已知 X ~ N 0, 1 的特征函数是 t e 令Y ~ N
t2 2
，
,
2 ，则 Y X ，因此，
Y t X t e X t
it
eit X t eit e
所以其特征函数
x0 ， x0
x ixt ixt x x t e f x dx e e dx e costxdx i e sin txdx 0 0 0
t it 2 2 i 2 2 1 ． t t
e ihx 1 e
i hx 2 hx i i hx hx hx 2 2 e e 2 sin 2 2 2 ha 2 ．
24
所以，对于所有的 t ,
，有
t h t
x a
e
ihx
2 2
dx
e
it
i t
2t 2
2
1 2
it
it
dz e
i t
2t 2
2
．
在计算积分
it
e
z2 2
dz 中，我们用到了复变函数中的围道积分．
12
二．特征函数的性质
13
性质 1 证明：
t 0 1 ．
我们只就 X 是连续型随机变量的情形予以证明． X 是 设 连续型随机变量，其密度函数为 f x ．
t
e ixt f x dx
随机变量的特征函数
第四章 大数定律与中心极限定理4.1特征函数容提要1. 特征函数的定义 设X 是一个随机变量,称)()(itX e E t =ϕ为X 的特征函数,其表达式如下(),()().(), 在离散场合， 在连续场合，itx i iitX itx x e P X x t E e t e p x dx ϕ+∞-∞⎧=⎪==-∞<<+∞⎨⎪⎩∑⎰由于1sin cos 22=+=tx tx e itx ,所以随机变量X 的特征函数)(t ϕ总是存在的.2. 特征函数的性质 (1) 1)0()(=≤ϕϕt ;(2) ),()(t t ϕϕ=-其中)(t ϕ表示)(t ϕ的共 轭; (3) 若Y =aX +b ,其中a ,b 是常数.则);()(at e t X ibt Y ϕϕ=(4) 若X 与Y 是相互独立的随机变量,则);()()(t t t Y X Y X ϕϕϕ⋅=+(5) 若()l E X 存在,则)(t X ϕ可l 次求导,且对l k ≤≤1,有);()0()(k k k X E i =ϕ (6) 一致连续性 特征函数)(t ϕ在),(+∞-∞上一致连续(7) 非负定性 特征函数)(t ϕ是非负定的,即对任意正整数n ,及n 个实数n t t t ,,,21 和n 个复数n z z z ,,21,有 ;0)(11≥-∑∑==j k j nk nj k z z t t ϕ(8) 逆转公式 设F (x )和)(t ϕ分别为X 的分布函数和特征函数,则对F (x )的任意两个点21x x <,有=-+--+2)0()(2)0()(1122x F x F x F x F ;)(21lim21dt t it e e TT itx itx T ϕπ⎰-+∞→-特别对F (x )的任意两个连续点21x x <,有;)(21lim)()(2112dt t it e e x F x F TT itx itx T ϕπ⎰-+∞→-=-(9) 唯一性定理 随机变量的分布函数有其特征函数唯一决定；(10) 若连续随机变量X 的密度函数为p (x ),特征函数为).(t ϕ如果+∞<⎰+∞∞-dt t )(ϕ,则dt t e x p itx )(21)(ϕπ⎰∞+∞--=3. 常用的分布函数特征表习题与解答4.11. 设离散随机变量X 的分布列如下,试求X 的特征函数.解 t i t i it x e e e t 321.02.03.04.0)(+++=ϕ2. 设离散变量X 服从几何分布 .,2,1,)1()(1 =-===-k p p k X P k 试求X 的特征函数,并以此求E(X )和V a r(x ).解 记q =1-p , 则ititK itit k k itk itxqe pe q e pe p qe e E t -====∑∑+∞=+∞=-1)()()(111ϕ,()2'1)(it itqe ipe t -=ϕ,42'')1()1(2)1()(it itit it it it qe qe qe pe qe pe t -=----=ϕ, p q p i X E 1)1()0(1)(2'=-==ϕ,242''21)1()1(2)1()0(1)(pqq q pq q p i X E +=--+-==ϕ,22222)1(1)]([)()(pqp p q X E X E X Var =-+=-= 3．设离散随机变量X 服从巴斯卡分布 ,)1(11)(rk r p p r k k X P --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--== ,1,,k r r =+试求X 的特征函数.解 设r X X X ,,,21 是相互独立同分布的随机变量,且都服从参数为p 的几何分布Ge(p ),则由上一题知j X 的特征函数为,1)(X ititqepe t j -=ϕ 其中q =1-p . 又因为r X X X X +++= 21,所以X 的特征函数为∏=-==rj ritit x X qe pe t t j 1)1()()(ϕϕ. 4．求下列分布函数的特征函数,并由特征函数求其数学期望和方差.(1)dt e a x F x t a ⎰∞--=2)(1 (a >0); (2) dt a t a x F x⎰∞-+=2221)(π (a >0). 解 (1)因为此分布的密度函数为 ,2)(1xa e a x p -= .+∞<<∞-x 所以此分布的特征函数为010()22itx ax itxax a at e e dx ee dx ϕ+∞--∞=⋅+⋅⎰⎰(cos sin )(cos sin )22ax axa atx i tx e dx tx i tx e dx +∞--∞=+⋅++⋅⎰⎰=.cos 222ta a dx txea ax+=⎰+∞-又因为,)(2)(2222'1t a ta t +-=ϕ ,0)0('1=ϕ ,)()3(2)(322222''1t a a t a t +-=ϕ ,2)0(2''1a -=ϕ 所以 0,(0)1)('1==ϕi X E V a r(X )= .a2(0)1)(2''122==ϕi X E(2) 因为此分布的密度函数为 ,1)(222a x ax p +⋅=π .+∞<<∞-x 所以此分布的特征函数为,cos 2)(022222⎰⎰+∞+∞∞-+=+=dx ax txadx a x e ax itx ππϕ 又因为当t >0时,有(见菲赫金哥尔茨《微积分学教程》第二卷第三分册或查积分表).2cos 022⎰+∞-=+ate a dx a x tx π 所以当t >0时,有 .22)(2at ate e aa t --=⋅=ππϕ 而当t <0时,有 ,)()(22t a e t t -=-=ϕϕ所以.22)(2ta at e e aa t --=⋅=ππϕ 又因为)(2t ϕ在t =0处不可导,故此分布(柯西积分)的数学期望不存在.注：⎰+∞∞-+=dx ax e ax itx222)(πϕ也可利用复变函数中的留数理论来计算,方法如下：t >0时,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⋅=+=⎰+∞∞-ai z a z e i adx a x e ax itz itx ,Res 2)(22222πππϕ ta taitz ai z e ai e ai ai z e i a--→==+⋅=22lim 2ππ5. 设),,(~2σμN X 试用特征函数的方法求X 的3阶及4阶中心矩. 解 因为正态分布),(2σμN 的特征函数为,)(2/22t t i e t σμϕ-=所以,)0('μϕi = ,)0()('μϕ==iX E,)0(22''σμϕ--= ,)0()(222''2σμϕ+==i X E ,3)0(23'''μσμϕi i --= ,3)0()(333'''3μσμϕ+==i X E,36)0(4224''''σσμμϕ++= .36)0()(42244''''4σσμμϕ++==i X E由此得X 的3阶及4阶中心矩为,0)(3)(3)())((2233=+-=-μμX E X E X E X E X E.3)(4)(6)(4)())((44343344σμμμμ=+-+-=-X E X E X E X E X E X E6. 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性：若X ~ b (n , p),Y ~ b(m , p),且 X 与Y 独立,则X+Y ~ b(n + m, p).证 记q=1-p, 因为 n it X q pe t )()(+=ϕ, m it Y q pe t )()(+=ϕ, 所以由 X 与Y 的独立性得()()()()it n m X Y X Y t t t pe q ϕϕϕ++==+,这正是二项分布b(n + m, p)的特征函数,由唯一性定理知X+Y~b(n+m,P ).7. 试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性：若X ~P (λ1),Y ~ P (λ2),且X与Y 独立,则X +Y ~P (λ1+λ2).证：因为 ,)(,)()1()1(21====it ite Y eX et e t λλϕϕ 所以由X 与Y 独立性得,)()()()1)2(-+==+it e et t t Y X Y X λλϕϕϕ这正是泊松分布 P (λ1+λ2).的特征函数,由唯一性定理知X +Y ~ P (λ1+λ2). .8. 试用特征函数的方法证明伽玛分布的可加性：若),,(~1λa Ga X),(~2λa Ga Y ,且X 与Y 独立,则),(~21λa a Ga Y X ++.证 因为 1)1()(a X it t --=λϕ,2)1()(a Y itt --=λϕ,所以由X 与Y 的独立性得)(21)1()()()(a a Y X Y X itt t t +-+-==λϕϕϕ,这正是伽玛分布),(21λa a Ga +的特征函数,由唯一性定理知),(~21λa a Ga Y X ++.9.试用特征函数的方法证明2χ分布的可加性：若)(~2n X χ,)(~2m Y χ,且X 与Y 独立,则).(~2m n Y X ++χ。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
66 求（1）特征函数X (t)
（2）用特征函数求随机变量的期望和方差
4 设X 服从[0,1]区间的均匀分布，求特征函数 X (t)
5 设X 服从参数为=3 的指数分布，求特征函数X (t)
（1）求特征函数 X ห้องสมุดไป่ตู้t)
（2）用特征函数求随机变量的期望和方差
6 设随机变量X服从正态分布 N(2, 9)， （1）求特征函数X (t)
（2）用特征函数求随机变量的期望和方差
特征函数习题
1. 设随机变量X的分布为P{X=c}=1，其中 c为常数， （1）求特征函数 X (t) （2）用特征函数求随机变量的期望和方差
2. 设随机变量X服从0-1分布，其中P{X=1}=0.7， P{X=0}=0.3 ，
（1）求特征函数 X (t)
（2）用特征函数求随机变量的期望和方差
3 设随机变量X的分布列为 p{X k} Cnk pk qnk