初中数学竞赛：共圆点问题

初中数学竞赛：共圆点问题
同在一个圆上的许多点称为共圆点，或者说这些点共圆．证明这些点共圆常常利用以下一些方法思考：
(1)要证明若干点共圆，先设法发现其中以某两点为端点的线段恰为一直径，然后证明其他点对这条线段的视角均为直角．
(2)要证明四点共圆，可证明以这点为顶点的四边形的对角互补，或证某两点视另两点所连线段的视角相等．
(3)如果两线段AB，CD相交于E点，且AE·EB=CE·ED，则A，B，C，D四点共圆．
(4)若相交直线PA，PB上各有一点C，D，且PA·PC=PB·PD，则A，B，C，D四点共圆．
(5)若四边形一个外角等于其内对角，则四边形的四顶点共圆．
(6)要证明若干点共圆，先证其中四点共圆，然后再证其余点都在此圆上．
共圆点问题不但是几何中的重要问题，而且也是直线形和圆之间度量关系或位置关系相互转化的媒介．
例1 设⊙O1，⊙O2，⊙O3两两外切，Y是⊙O1，⊙O2的切点，R，S分别是⊙O1，⊙O2与⊙O3的切点，连心线O1O2交⊙O1于P，交⊙O2于Q．求证：P，Q，R，S四点共圆．分析如图3－54，连YR，则∠PRY=90°，所以∠PRS为钝角，设法证明∠Q与∠PRS互补，则P，R，S，Q共圆．
证连RY，PR，RS，SQ，并作切线RX，则在四边形PRSQ中，
所以
所以P，Q，R，S四点共圆．
例2 设△ADE内接于圆O，弦BC分别交AD，AE边于F，G，
分析欲证F，D，E，G四点共圆，由于已知条件中交弦较多，因此，用圆幂定理的逆定理，若能证出AF·AD=AG·AE成立，则F，D，E，G必共圆．
径，所以∠FDN=∠FMN=90°，
所以F，D，N，M四点共圆，所以
AD·AF=AN·AM．
同理，AG·AE=AN·AM，所以
AD·AF=AG·AE，
所以F，D，E，G四点共圆．
例3 在锐角△ABC中，BD，CE是它的两条高线，分别过B，C引直线DE的垂线，BF⊥DE于F，CG⊥DE于G，求证：EF=DG(图3－56)．
分析由已知，四边形BCGF为直角梯形，FG为一腰，要证EF=DG，易想，若OH为梯形中位线，则OH⊥FG于H，如果证得EH=HD，则FE=DG便是显然的了．
证过BC中点O，作OH⊥DE于H．因为BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，所以
∠BEC=∠BDC=90°，
所以B，E，D，C四点共圆，所以线段ED为圆O的一条弦．由垂径定理可知，EH=HD，所以
FE=DG．
说明在此，B，E，D，C四点共圆显然成为从EH=HD到FE=DG的转化条件．
例4 在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＞CD，K，M分别是腰AD，CB上的点，∠DAM=∠CBK(图3－57)．求证：∠DMA=∠CKB．
证连KM，令∠DAM=∠1，∠CBK=∠2，∠AMB=∠3，∠AKB=∠4，∠ABF=∠5，∠DKC=∠6，∠CMD=∠7．由于∠1=∠2，所以A，B，M，K四点共圆，所以
∠5=∠AKM．
又因为AB∥CD，所以
∠5=∠DCM，∠AKM=∠DCM，
所以K，M，C，D四点共圆，所以∠6=∠7．又因为
∠3=∠4，
∠CKB=180°-∠4-∠6，
∠DMA=180°-∠3-∠7，
所以∠CKB=∠DMA．
例5 设O为圆的弦MN的中点，过O作弦AB，CD，连AD，BC交MN于F，E．求证：EO=OF(图3－58)．
分析欲证OE=OF，最一般的方法是以OE，OF为对应边构造两个三角形，然后证明这两个三角形全等．为此，过A作AG∥MN交圆于G，连OG，EG，CG，以下证明△OEG≌△OFA即可．
证因为AG∥MN，所以
∠1=∠2=∠EOG．
又∠BCG+∠2=180°，所以
∠BCG+∠EOG=180°，
所以E，C，G，O四点共圆，所以
∠3=∠C=∠4．
由于
∠EOG=∠FOA，OG=OA，
所以△OEG≌△OFA，
所以OE=OF．
说明本例是著名的“蝴蝶定理”，下例是这个定理的一个推广．
例6 在过圆心的直线上取P，Q两点，使PO=OQ，过P作割线交圆于C，D，过Q作割线交圆于A，B，连AD，BC，分别交PQ于F，E，则FO=OE(图3－59)．
证作AG∥PQ交⊙O于G，连OA，OG，PG，CG，EG．因为OA=OG，所以
∠1=∠2．
因为AG∥PQ，所以
∠5=∠1=∠2=∠6．
又PO=OQ，所以
△POG≌△QOA，
PG=AQ，∠3=∠4=∠GAB．
又∠GCB=∠GAB=∠3，所以P，G，E，C四点共圆，所以
∠PEG=∠PCG=∠GAD=∠AFQ．
这样，△AQF≌△GPE，所以PE=FQ．已知PO=OQ，所以
OE=OF．
四点共圆在几何证题中也往往成为证明诸圆共点(即几个圆通过同一点)的有力工具，下面再举两个例子．
例7 设四条直线相交于A，B，C，D，E，F六点，求证：△BCE，△DCF，△ADE，△ABF 的外接圆共点(图3—60)．
证因为圆BEC和圆CDF已有一个交点C，必有另一交点O，且O与C不重合(否则圆EBC 和圆CDF相切于C(O)，则AE∥AF，与假设矛盾)．连OC，OD，OE，OF，则有∠A+∠DOE=∠A+∠EOC+∠COD
=∠A+∠ABF+∠AFB=180°，
所以A，D，O，E四点共圆，圆AED过O点．同理，圆ABF也过O点．
所以△BCE，△DCF，△ADE，△ABF的外接圆共点．
说明证明诸圆共点，可先证其中两圆相交(或相切)于某一点，再证此点在其他圆上．也可证诸圆通过某一特殊点．
例8 设I为△ABC之内心，过B作圆切CI于I，过C作圆切BI于I．求证：此二圆与圆ABC共点(图3－61)．
证因为所作之二圆已有一个交点I，必有另一交点O，并且O与I不重合(否则BI，CI 是过I之两圆公切线，则B，I，C必共线，此与I为△ABC内心相矛盾)．连BO，OC，OI，则
∠CIO=∠IBO，
∠BIO=∠ICO，
=180°．
所以A，B，O，C四点共圆，所以所证之三圆共点．
【练习】
1．设梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别在腰AD和BC上，若A，B，F，E四点共圆，则C，D，E，F也必四点共圆．
2．四边形EFGH的顶点顺次在四边形ABCD的各边上，并且AE=AH，BE=BF，CF=CG，DG=DH．求证：E，F，G，H四点共圆．
3．如图3－62．在平行四边形ABCD中，取一点P，使∠1=∠2，求证：∠3=∠4．
(提示：过D引AP的平行线，过C引BP的平行线，两直线交于P′，连PP′．)
4．如图3－63．CE为⊙O的直径，以E为圆心作一圆，⊙O的弦AB所在的直线与⊙E 相切于D，求证：
5．设四边形的两条对角线互相垂直，从对角线交点向各边作垂线，求证：这四条垂线的垂足在同一个圆周上(图3－64)．。