希望杯试题41-50

题41 E 、F 是椭圆22x y 142+=的左、右焦点，l 是椭圆的准线，点P l ∈，则EPF ∠的最大值是 （ ）A 、15°B 、30°C 、45°D 、60°（第十三届高二培训题第21题）解法1 不妨设l 是右准线，点P 在x 轴上方（如图所示），则l的方程为2ax c==，故可设点P为()()0y y >，记EPF θ∠=，由PE 到PF 的角为θ，得t a n1P F P E P FPEk kk k θ-=+ .又知2PF k ==32PE k ==tan θ=.由假设知0y >，所以tan 0,0,2πθθ⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭.由基本不等式得tan 3θ≤=，所以θ的最大值为30°，当P y =.故选B.解法2 如上图，设,EPD FPD αβ∠=∠=，则(),tan tan θαβθαβ=-=-=tan tan 1tan tan y y y y αβαβ-==≤==++ 因为0,,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以θ的最大值为30°.故选B.解法3 由EPF ∆面积的两种表示方法，即11sin 22s EF y EP FP θ== ，得sin θ=EF y EP FP===12≤==，因为θ为锐角，所以θ的最大值为30°.故选B. 解法4 依题意，经过E 、F 且与椭圆的准线l 相切于点P 的圆，使EPF ∠最大.如图1，不妨设l 是右准线，点P 在x轴上方，则准线方程为2a x c==C的坐标为(，因此点P (使EPF ∠最大.又PE 、PF、，设准线l x⊥轴于点A ，则30,P E A P F A ∠=∠=，此时30EPF ∠=.故选B. 评析 一般说来，要求某个角的最值，常常先求出此角的某一三角函数的最值.然后根据角所在范围内此三角函数的单调性确定角的最值.解法1运用到角公式与基本不等式求出了EPF ∠正切的最大值，又利用θ为锐角时tan θ单调增，求出了EPF ∠的最大值.解法2将θ表示成两角差，并利用基本不等式求出了tan θ的最大值，进而求出θ的最大值.而解法3利用同一三角形面积的两种不同表示方法,求出了sin θ的最大值,再由sin θ在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调增,求出了θ的最大值.此法颇有新意.解法4则利用平几中“同弧所对的圆周角总大于圆外角”巧妙地解决问题.我们知道，平面解析几何研究的就是平面几何问题，只不过所用研究方法是代数方法，即解析法而已.解法4告诉我们，若能直接运用平几中的结论解决解析几何问题，常可收到化繁为简的效果.拓展 经研究，我们还可得到下面的定理 若点P 在过椭圆22221x y a b+=的长轴的一个端点的切线l 上移动，则当点P 到长轴的距离等于半短轴长时，点P 与两焦点连线的夹角θ取得最大值arcsin e .证明 如图2，不妨设0,a b l >>的方程为x a =，则以椭圆的上顶点Q 为圆心，且过焦点E 、F 的圆必与l 相切（设切点为P ˊ）（因为QF QP a ='=）根据同圆Q 的弦EF 所对的圆周角总大于圆外角，可知EP F ∠'就是最图1图2大的θ，此时(),P a b '，又()(),0,,0,,P b E C F C k a c'E -=+ 222222.tan ,121P FP E P F P F P Eb bk k bbc bc ca c a c k EP Fb b ac k k a c b b b a c a c'''''---+=∠'=====-+-++-+sin ,arcsin cEP F e EP F e a∠'===∴∠'=.原命题得证. 练习1． 在直线20x y --=上求一点P ，使它与点()()1,1,1,1A B -连线的夹角APB ∠最大. 2． 足球比赛场地宽为m 米，球门宽为n 米，在足球比赛中，甲方边锋带球过人沿边线直进，试问该边锋在距乙方底线多远处起脚射门，能使命中角最大？最大角是多少？ 答案 ()1.1,1,45P APB -∠=,arcsin n m题42 椭圆()012222>>=+b a by a x 的两焦点是1F 、2F ，M 为椭圆上与1F 、2F 不共线的任意一点，I 为21F MF ∆的内心，延长MI 交线段1F 2F 于点N ，则IN MI :的值等于 ( ) A 、b a B 、c a C 、c b D 、ac（第十三届高二培训题第19题）解法1 如图1，设点M 的坐标为()y x ,，21F MF ∆的内切圆半径为r ，y c y F F S F MF =⋅=∆212121,又()()121212112222MF F S MF MF F F r a c r∆=++=+()a c r =+.()r c a y c +=∴，cca ry +=，c a rr y =-，caIM MI =∴:.故选B. 解法2 如图2，不妨令M 为椭圆与y 轴的正半轴的交点.由已知，I 必在线段MO 上，且N 与O 重合.I为21F MF ∆的内心，caOF MF IOMI INMI ===∴22.故选图2图1B.评析 按常规，可设()()0,≠y y x M ,然后求出21MF F ∠与21F MF ∠（或12F MF ∠）的平分线的方程，解方程组求出点I 的坐标，令21MF F ∠平分线的方程中的0=y ，得点N 的坐标，再求出MI 与IN .求比值时如何消去x ，y 还不得而知，其复杂程度也是完全可以想象的.作为一个选择题，轻易地这样去解显然是不可取的.解法1灵活运用平面几何等知识巧妙地解决了问题.解法2更是抓住了选择题的本质特征，运用特殊化思想，轻而易举地解决了问题.由题意，不论点M 在椭圆上的何种位置（只要与1F 、2F 不共线即可），:MI IN 的值总是定值，即结论对一般情形成立，故对其中的特殊情形M 为椭圆与正半y 轴的交点时也应当成立，从而排除特殊情形下不成立的选择支，进而得出正确答案.充分显示了运用特殊化思想解某些选择题的优越性.拓展 对此题作研究，可得下面的定理 1 设 1F 、2F 是椭圆:C ()012222>>=+b a by a x 的左，右焦点，点P 在此椭圆上，且点P 、1F 、2F 不共线，椭圆的离心率为e ，则（1）21F PF ∆的内心内分21PF F ∠的平分线PM 所成的比是定值e1. （2）21F PF ∆的与边()21PF PF 相切的旁切圆的圆心横坐标为定值()a a -；21F PF ∆的与边21F F 相切的旁切圆的圆心外分21PF F ∠的平分线PQ 的比为定值e1-.（3）由焦点向21F PF ∆的21PF F ∠的外角平分线作垂线，垂足必在以坐标原点为圆心，a 为半径的圆上.证明 （1）如图3，设I 为21F PF ∆的内心，连接I F 1、I F 2，则在PM F 1∆及PM F 2∆中由角平分线定理得MF P F MF P F IMPI 2211==，所以ec a MF M F P F P F IMPI 1222121==++=. 图3（2）如图4，设旁切圆圆心为()00,y x I ，M 、N 、R 为切点，则PM PN =，R F M F 11=，22020F R F N c x F P PM c x =⇒-=+⇒-121212F M F P PM F M PF PF+=++=+=012c x F R a ⇒-+=002c x c x a⇒---=0x a ⇒=-为定值.同样的方法可以证明与21F PF ∆的边2PF 相切的旁切圆的圆心横坐标为定值a .如图5，设PQ 交21F F 与R .由外角平分线定理得RF PF RF PF QR PQ 2211==,由合比定理得e c a RF R F PF PF QRPQ 1222121==++=，eQR PQ 1-=∴. （3）如图6，过2F 作12F PF ∠的外角平分线的垂线，A 为垂足，延长A F 2交P F 1的延长线于B ，则PB PF =2，AB A F =2.由椭圆定义可知a PF PF 221=+，故 PBPF B F +=11aPF PF 221=+=.又21OF O F =，∴OA ∥B F 1且112OA F B =，所以a OA =.∴垂足A 在以O 点为圆心，a 为半径的圆上.若将定理1中的椭圆该为双曲线，又得定理2 设1F 、2F 是双曲线()2222:10x y C a b a b-=>>的两个焦点，点P 在此双曲线上，且图4图5图6点P 、1F 、2F 不共线，双曲线的离心率为e ，则（1） 21F PF ∆的内心横坐标是定值，且当点P 在左支上时，定值为a -；当点在右支上时，定值为a .（2） 21F PF ∆的与边1PF （或与边2PF ）相切的旁切圆的圆心分21PF F ∠的外角平分线PM 的比为定值e1；21F PF ∆的与边21F F 相切的旁切圆的圆心横坐标为常数（当点P 在右支上时常数为a -；当点P 在左支上时，常数为a ）.（3） 由焦点向21F PF ∆的21PF F ∠的平分线作垂线，垂足必在以坐标原点为圆心，a 为半径的圆上.读者可仿照定理1的证明，证明定理2.题43 过椭圆左焦点F 作直线交椭圆于B A 、两点，若3:2:=BF AF ，且直线与长轴的夹角为4π，则椭圆的离心率为 （ ） A 、51 B 、52 C 、53 D 、52（第十一届高二第一试第8题）解法1由''AF BF e AA BB ==及23AF BF =：：，得 23.AA BB =‘’：：如图1，过A 作B B AM '⊥于M,则154522BM AA AB AF MBA ︒==∠=’，，.2BM AB ∴=.由12522AA AF '=得'5AF e AA ==.故选B.解法2 设椭圆222210x y a b a b +=>>（），1122,,(,),A x y B x y AF a =（）则,1ex + )(,122x x e AF BF ex a BF -=-+=①，图1图2又32：：=BF AF ②，由①、②得 =BF 21213(),2(),e x x AF e x x -=- 215()AB AF BF e x x =+=-③．又AB 与长轴夹角为4π，所以2121212121211,,))AB y y k y y x x AB y y x x x x -==-=-=-=--④ .由③、④得)(2)(51212x x x x e -=-, 52=∴e .故选B.评析 解法1是运用椭圆第二定义求离心率e 的,AA BM '与及BM 与AB 的关系沟通了A A '与AF 的关系,也是用此法解题的关键所在．解法2则先设出椭圆方程及A 、B 的坐标，运用焦半径公式带出e ，由)(12x x e AF BF -=-及32：：=BF AF 解出AF 与BF ,由AB 与长轴夹角为︒45得1212x x y y -=-,又由弦长公式求出AB ，同为AB ，得)(2)(51212x x x x e -=-，从而52=e ，是典型的运用方程思想解题的实例． 拓展 以此题为背景，对于椭圆、双曲线、抛物线有以下一般结论．命题1 如图3，过椭圆12222=+by a x 的焦点F 作直线交椭圆于B A 、两点，若n BF m AF ==,，直线与长轴的夹角为θ，椭圆的离心率为e,则有)(c o s n m e nm +-=θ．证明 设直线过椭圆的左焦点，过B A 、作相应准线l 的垂线B B A A ''和，B A ''和为垂足．过A 作B B '的垂线与B B '的延长线交于点C ，则θ=∠ABC ．由椭圆定义，可知A A AF ':=:.BF BB e '=,m n AA BB e e''∴==．于是e nm B B A A BC -='-'=．在ABC Rt ∆中， cos cos ()m nABC e m n θ-∠==+．当直线过右焦点时，证法与上相同．又由于θ为直线与长轴的图3夹角，)(cos .0cos n m e nm +-=≥∴θθ故．命题2 如图4，过双曲线12222=-by a x 的焦点F 作直线与双曲线中的一支交于B A 、两点，若n BF m AF ==,，且直线与实轴的夹角为θ，双曲线的离心率为e,则有cos ()m ne m n θ-=+．命题3 如图5，过双曲线12222=-by a x 的焦点F 作直线与双曲线的两支分别交于B A 、两点，若n BF m AF ==,，且直线与实轴的夹角为θ，双曲线的离心率为e, 则有cos ()m ne m n θ+=-．命题4 如图6，过抛物线px y 22=的焦点F 作直线与抛物线交于B A 、两点，若AF =n BF m =,，且直线与抛物线的对称轴的夹角为θ，则有cos m nm nθ-=+． 命题2、3、4的证明与命题1的证明类似，留给读者完成． 对于焦点在y 轴上的圆锥曲线与过焦点的直线交于两点，弦被焦点分成的两段n m 、与圆锥曲线的离心率e 及直线和y 轴的夹角θ之间仍有上述关系成立．运用上述命题可得本题如下解答：令2312,3(0),cos ()(23)5m n t t AF m t BF n t t e m n e t t eθ--====>===++，e51,4∴=πθ 52,22==e ．图4图5请读者完成下面两题：1．过抛物线x y 32=的焦点F 的直线与抛物线相交于B A 、两点．AF ：BF =3：1．求该直线的方程．（答案：)43(3-±=x y ）2．过双曲线1322=-y x 的左焦点1F 作倾斜角为︒30的直线与双曲线交于B A 、两点，求11:BF AF 的值．（答案：32-）题44 如果点A 的坐标为(1,1)，1F 是椭圆459522=+y x 的左焦点，点P 是椭圆上的动点，则1PF PA +的最小值为_________________.（第十一届高二培训题第66题）解 己知椭圆方程可化为15922=+y x ，其半长轴长3=a ，由椭圆定义，可得2121216,26AF PF PA AF PA PF PF PF a -≥+∴++≤+==， 右焦点2F 的坐标为26)(,211),0,2(min 12-=+∴=+=∴PF PA AF ，（此时2,,P A F 共线，且A 在2,F P 之间）.评析 此题运用了椭圆定义及11AF PF PA ≥+，体现了二次曲线的定义在解题中的作用. 如果将此题改为求1PF PA +的最大值，又如何解答呢？设)0(1>=+t t PF PA ，则21222()666t PA PF PF PF PA PF AF =-++=-+≤+=+1max ()6PA PF ∴+=P 、2F 、A 共线且2F 在P 、A 之间）.拓展 此题可作如下推广：推广1 如果A 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>内的定点，则2m in 12m ax 12)(,2)(AF a PF PA AF a PF PA -=++=+.证明 由椭圆定义，得212PF a PF -=，则122()PA PF a PA PF +=+-22a AF ≤+，又2212)(2AF a PA PF a PF PA -≥--=+，故当P 在2AF 的延长线上时，2m a x 12)(AF a PF PA +=+；当P 在A F 2的延长线上时，2m in 12)(AF a PF PA -=+（如图1）.说明：如果点A 在椭圆上，推广1仍成立.推广2 如果A 是椭圆22221(0)x ya b a b +=>>外的定点，21,F F 是两个焦点，P 是椭圆上的动点，则1m in 12m ax 1)(,2)(AF PF PA AF a PF PA =++=+.证明 由椭圆定义，得212PF a PF -=，于是2212)(2AF a PF PA a PF PA +≤-+=+，故当P 在2AF 的延长线上时，2m ax 12)(AF a PF PA +=+;当P在线段1AF 上时，1min 1)(AF PF PA =+（如图2）.推广3 如果A 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>内的定点，21,F F 是两个焦点，P 是椭圆上的动点，则0,min11max1=-=-PF PA AF PF PA .证明 ∴≤-,11AF PF PA 当1,,F A P 三点共线时，1max1AF PF PA =-;当P 在线段1AF 的中垂线上，即1PF PA =时，0min1=-PF PA （如图3）.说明：如果点A 在椭圆上，推广3仍成立. 推广4 如果A 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 图1图2 图3外的定点，21,F F 是两个焦点，P 是椭圆上的动点，则0,min11max1=-=-PF PA AF PF PA （当线段1AF 的中点在椭圆内或椭圆上时）.证明 ∴≤-,11AF PF PA 当P 在1AF 的延长线上时，;1max1AF PF PA =-当P 在线段1AF 的中垂线上（当线段1AF 的中点在椭圆内或椭圆上），即1PF PA =时，1min0PA PF -=（如图4）.以此题为背景，通过猜想与探索，还能得到下面关于圆锥曲线的一些一般结论：命题1 如图5，若M 为椭圆内一定点，直线M F 1与椭圆交于Q P ,两点，则Q P ,分别为椭圆上到M 及2F 的距离之和的最小和最大的点.证明 设K 为椭圆上任意一点，11KF MF KM -≤ 11,KF F M ≤+11212a MF KF KF MF ∴-=+-2KM KF ≤+12112KF KF F M a F M ≤++=+，以上两不等式左端取等号的条件为点M 在线段1KF 上，右端取等号的条件为点1F 在线段KM 上，即Q P ,分别为椭圆上到M 及2F 距离之和的最小和最大点.命题2 如图6，若M 为椭圆外一定点，直线M F 1与椭圆交于Q P ,两点，则有（1）点)(Q P 为椭圆上到1F 及M 距离之差（和）最大（小）点.（2）点)(Q P 为椭圆上到M 及1F 距离之和（差）最小（大）点.证明 （1）设K 为椭圆上任意一点，图4图5图6MF a M F KF KF KM KF M F KF KM KF MF 1121211112,+=++≤+∴+≤≤- ①，M F a MF KF KF KM KF 111222-=-+≤-②，不等式①取等号的条件为点1F 在线段KM 上，不等式②取等号的条件为点K 在线段1MF 上，故点)(Q P 为椭圆上到2F 及M 距离之差（和）最大点.对于（2），同理可证.命题3 如图7，若M 为双曲线右支内一定点，直线1MF 与双曲线分别交于Q P ,两点，则有（1）点)(Q P 为双曲线右（左）支上到)(12F F 及M 距离之和最小的点；（2）点)(P Q 为双曲线左（右）支上到)(12F F 及M距离之和最小的点.证明 （1）设K 为双曲线右支上任意一点， 图7,2,1211211a M F KF KF M F KM KF KF M F KM -=+-≥+∴-≥ 当K 在线段MF 1上时取等号，故P 为双曲线右支上到2F 及M 距离之和最小的点，对于点Q ，命题显然成立.(2)设K 为双曲线左支上任意一点，由（1）易得,212a M F KF KM +≥+，当且仅当K 在线段M F 1上时取等号，故Q 为双曲线左支上到2F 及M 距离之和最小点，对于点P ，命题显然成立.命题4 如图8，若M 为双曲线外一定点，直线1MF 与双曲线左、右支分别交于P Q ,两点，则（1）点)(Q P 为双曲线右（左）支上到)(12F F 及M 距离之差（和）最大（小）的点；（2）点)(P Q 为双曲线左（右）支上到)(12F F 及M 距离之和（差）最小（大）的点.证明 （1）设K 为双曲线右支上任意一点，11,KM KF MF ≥-221112,KF KM KF KF MF MF a ∴-≤-+=-当且仅当点M 在线段1KF 上时取等号，即P 为双曲线右支上到2F 及M 距离之差最大的点，对于点Q ，命题显然成立.（2）设K 为双曲线左支上任意一点，,11KF MF KM -≥,211212a MF KF KF MF KM KF +=-+≥+∴当且仅当K 在线段1MF 上时取等号，即Q 为双曲线左支上到2F 及M 距离之和最小的点，对于点P ，命题显然成立. 命题5 如图9，若M 为抛物线内一定点，过M 作抛物线准线l 的垂线交抛物线于点P ，则点P 为抛物线上与M 及F 距离之和最小的点.命题6 如图10，若M 为抛物线外一定点，过M 作抛物线准线l 的垂线交抛物线于点P ，则点P 为抛物线上与F 及M 距离之差最大的点.命题5、6留给读者自己证明.运用这些命题，可以很容易地解决下列问题：1、如果点A 的坐标为（2，2），2F 是椭圆459522=+y x 的右焦点，点P 是椭圆上的动点，则2PF PA -的最大值为____，PA PF +2的最大值为____.2、如果点A 的坐标为(3,1)，21,F F 分别是双曲线3322=-y x 的左、右焦点，点P Q ,分别为双曲线左、右支上的动点，则2PF PA +的最小值为____，2QA QF +的最小值为____.3、如果点A 的坐标为(1,1)，21,F F 分别是双曲线3322=-y x 的左、右焦点，点P Q ,分别为双曲线左、右支上的动点，则PA PF -2的最大值为____，QA QF +2的最小值为____.4、如果点A 的坐标为(1,3)，F 是抛物线x y 42=的焦点，点P 为抛物线上的动点，则PA PF -的最大值为____.答案：1、526;526+- 2、3226;3226+-3、210;210+-4、2图10图9题45 设1F 、2F 是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P ，使oPF F 12021=∠，则椭圆离心率e 的范围是______.（第十二届高二第一试第20题）解法1 如图1，当点P 与短轴端点B 重合时，21PF F ∠最大.故由题设可知oPF F 12021≥∠.∴tan 1F BO ∠≥tan 360=o，即tan 31≥=∠b cBO F .则==ac e 2313111)(1222=+≥+=+cbc b c .又椭圆离心率1<e ，∴123<≤e . 解法2 设m PF =1，n PF =2，c F F 221=.则由椭圆定义及余弦定理，得mn n m c 24222-+=o 120cos mn n m ++=22，即mn n m c -+=22)(4，亦即mn a c -=2244.从而，22222)22()2(44a an m mn c a ==+≤=-，即，22244a c a ≤-，2234a c ≥∴432≥e .又知10<<e ，故123<≤e 为所求. 解法3 不妨设点),(y x P 在x 轴上方，又知)0,(1c F -，)0,(2c F ，则=o 120tan 12121PF PF PF PF k k k k ⋅+-cx y c x y c x y c x y +⋅-++--=12222c y x cy -+=.由椭圆方程有22222y b a a x -=，代入上式，得03234222=--b cy b y c .解得032>=c b y 或032<-=cb y （舍去）.又知，0y b <≤故有，20bc <≤，b ≤.∴222222a ba a c e -==221a b -=22)31a ≥-图12113e =-，即432≥e .又10<<e ，∴123<≤e 为所求. 解法4 设α=∠21F PF ，β=∠12F PF ，则ooo60120180=-=+βα.由正弦定理得，βαβααβsin sin 2sin sin sin sin 120sin 2+=++===an m n m c o，故2sin12032sin sin 24sin cos 4sin 30cos 222o o c e a αβ====≥+ .又10<<e ，故123<≤e 为所求. 解法5 由焦半径公式及余弦定理得o p p p p ex a ex a ex a ex a c 120cos ))((2)()(4222-+--++=，解得222234e a c x p-=.由椭圆的范围知220a x p ≤≤，故有2222043c a e a ≤-≤.∵10<<e ，∴123<≤e 为所求. 解法6 由已知及椭圆焦点三角形的面积公式得2232120tan 21b b S oPFF ==∆.由椭圆的范围知bc S PF F =∆m ax )(21，∴有bc b ≤23，c b 33≤以下同解法3. 评析 椭圆的离心率e 反应了椭圆的扁平程度，而扁平程度与椭圆的范围相关.解法1中的“∠12F PF 最大”，解法3中的“b y ≤≤0”，解法5中的“220a x p ≤≤”，解法 6中的“bc S PF F =∆m ax )(21”，都是运用椭圆的范围求离心率e 的范围.解法2运用椭圆定义、余弦定理及基本不等式，解法4运用三角函数的有界性，巧妙地求出了离心率e 的范围.拓展 解法1的依据是下面的定理 椭圆上的任意一点与其长轴上关于中心对称的两点连线所成张角中以短轴端点所成的张角为最大.证明 如图2，经过对称的两点1P 、2P 及短轴端点A 作圆，则点A 显然在圆上，椭圆在x 轴上方部分（含左、右顶点）的任意一点P （A 除外）都在圆外 ，根据平几中“同弦上的圆周角大于圆外角”，可知2121PP P AP P ∠≥∠.由椭圆的对称性，可知当点P 是椭圆上任意一点时，也都有2121PP P AP P ∠≥∠，故定理成立.该定理是椭圆的一个重要性质，它对与椭圆有关的离心率、范围、字母讨论、位置等问题能起到优化解题思路的作用. 本赛题可作如下推广推广1 设1F 、2F 是椭圆12222=+by a x)0(>>b a 的两个焦点，若椭圆上恒存在一点P ，使得12F PF θ∠=，则221cos e -≥θ.证明 由已知及焦点三角形面积公式，得bc b S PF F ≤=∆2tan221θ，即tan2b c θ≤，从而222tan 2b c θ≤，222222tan 2tan c c a ≤-θθ，2sec )2tan 1(2tan 222222θθθc c a =+≤，2222tan 112sin cos 222sec 2e θθθθ∴≥==-.221cos e -≥∴θ.推广2 如图3，设1A 、2A 是椭圆12222=+by a x的长轴的两个端点，若椭圆上恒存在一点P 使得θ=∠21PA A ，则θ为钝角且有24244tan ee -≥θ. 证明 不妨设点),(y x P 在x 轴上方，又知)0,(1a A -，)0,(2a A 则有=θtan 12121PA PA PA PA k k k k ⋅+-ax y a x y a x ya x y +⋅-++--=12222a y x ay-+=.由椭圆方程有22222y ba a x -=，代入上式，得)(2tan 222a b y ab -=θ.由假设0>y ，而022<-a b .从而知0tan <θ.又),0(πθ∈ ，故θ为钝角.由上式可得θcot 2222⋅-=a b ab y .由椭圆的性质，知图2b y ≤，故bc ab ≤⋅-θcot 222，即22cot 1ab c θ⋅≤-，，θ 为钝角, cot 0,θ∴< 22244cot 1a b cθ∴⋅≤2222242444tan .a c e c e e θ-∴≥⋅=- 若将焦点换为长轴所在直线与准线的交点，又得推广3 设1E 、2E 是椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的两条准线与x 轴的交点，若椭圆上恒存在一点P (P 与长轴端点不重合)，使得θ=∠21PE E ，则θ为钝角且1tanθ≥-. 证明 如图4，不妨设点),(y x P 在x 轴上方，因为)0,(21caE -，)0,(22ca E ，所以由1PE 到2PE 的角为θ，得=θtan 12121PE PE PE PE k k k k ⋅+-ca x y c a x y c a x yc a x y 22221+⋅-++--=4222222a y c x c cy a -+=.由椭圆方程得22222a x a y b=-，代入上式，得=θtan 22422420a b cy c y a b -<+,θ∴为钝角,且222221tan 2a b cy a c yab c e θ≥-=-=-，即1tan eθ≥-.题46 1F 、2F 是椭圆2214x y +=的两个焦点， P 是椭圆上任意一点，则21PF PF ⋅的最小值是＿＿＿＿.（第七届高二第一试第19题）解法1 如图,设x PF =1，则x PF -=42，易知1211F A x F A ≤≤，即3232+≤≤-x .4)2(4)4(2221+--=+-=-=⋅x x x x x PF PF 在]2,32[-上递增，在]32,2[+上递减，21PF PF ⋅∴在32+=x 或32-=x 时的值达到最小.14)232()(2min 21=+-±-=⋅∴PF PF .解法2 设),(00y x P ，由焦半径公式，得01232x PF +=，02232x PF -=， 200021434)232)(232(x x x PF PF -=-+=⋅∴.220≤≤-x ，∴当20-=x 或20=x 时，21PF PF ⋅取得最小值1)2(4342=±-. 解法3 421=+PF PF ，=--+=⋅∴])()[(4122122121PF PF PF PF PF PF 2121[16()]4PF PF --.显然，当点P 位于长轴端点时，221)(PF PF -取得最大值12221=F F .1)1216(41)(m in 21=-=⋅∴PF PF .解法4 421=+PF PF .设坐标原点为O ，则PO 为21F PF ∆的中线，由中线公式，得22212221)2()(2PO F F PF PF +=+，将3221=F F ，421=+PF PF 代入，得2215PO PF PF -=⋅.21≤≤PO ，∴当2=PO 时，21PF PF ⋅取最小值1.解法5 设11r PF =，22r PF =，m r r =21，421=+r r .则1r 、2r 是方程042=+-m x x 的两个实根，其中1r 、]32,32[2+-∈r .设m x x x f +-=4)(2，则在]32,32[+-上0)(=x f 有解的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥-≥∆0)32(0)32(0f f ，即⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤114m m m ，即41≤≤m .∴21r r 即21PF PF ⋅的最小值为1.解法6 由椭圆焦点三角形的面积公式得2tan221θb S F PF =∆.又θsin 212121PF PF S F PF =∆,得θθsin 2tan2221b PF PF =⋅，12=b ，2tan 12tan2sin 2θθθ+=，代入上式得2tan 1221θ+=⋅PF PF .故当02tan=θ时，21PF PF ⋅取最小值1.评析 本题要求的是21PF PF ⋅的最小值，若能把它表示为某变量的函数，则问题变为求此函数的最小值.除解法5运用方程思想外的所有方法都是运用这种函数思想解决问题的，不过选取的自变量有所不同罢了.当21PF PF ⋅表示为某变量的函数后，确定该函数的定义域也是很关键的一点.解法2与解法5还分别用到了焦半径公式及椭圆的焦点三角形面积公式等重要结论.会推导这些公式，并能灵活运用这些公式对解题也是十分重要的.解法4运用平面几何中的中线公式为我们进一步拓宽了解题思路.拓展 将此题条件一般化，便得下面的定理1 若P 是以1F 、2F 为焦点的椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 上的任意一点，则2212a PF PF b ≤⋅≤.证明 PO 为21F PF ∆的边21F F 上的中线，由中线公式，得22212221)2()(2PO F F PF PF +=+，即2221212214]2)[(2PO F F PF PF PF PF +=⋅-+，整理得22212121211()24PF PF PF PF F F PO ⋅=+--.把a PF PF 221=+，222122b a c F F -==代入上式并整理，得22212PF PF a b PO ⋅=+-.a POb ≤≤ ，2212a PF PF b ≤⋅≤∴.当点P 位于长轴端点处时左边取等号；当点P 位于短轴端点处时右边取等号.若将椭圆改为双曲线，又得定理2 若点P 是以1F 、2F 为焦点的双曲线12222=-by a x 上的任意一点，则221b PF PF ≥⋅.证明 PO 为21F PF ∆的边21F F 上的中线，由中线公式，得22212221)2()(2PO F F PF PF +=+，即2221212214]2)[(2PO F F PF PF PF PF +=⋅+-.把222214)2()(a a PF PF ==-，2222221444)2(b a c c F F +===代入上式并整理得22221PO a b PF PF +-=⋅.a PO ≥ ，222221b a a b PF PF =+-≥⋅∴.当P 位于实轴端点处时取等号.题47 21,F F 是椭圆()012222>>=+b a b y a x 的焦点，P 是椭圆上的一点，且︒=∠9021PF F ，则21PF F ∆的面积是 .（第四届高二第一试第30题）解法1 设,,2211r PF r PF ==则.221a r r =+ ︒=∠9021PF F ,().42222221c c r r ==+∴()()[]()2222221221214441412121b c a r r r r r r S PF F =-=+-+==∴∆. 解法2 设,cos 2cos ,90,2112121αααc F F PF PF F F PF ==∴=∠=∠︒.cos sin 2sin 2cos 22121.sin 2sin 22121221ααααααc c c PF PF S c F F PF PF F =⋅⋅=⋅=∴==∆,221a PF PF =+ 即,cos sin ,2sin 2cos 2c aa c c =+=+αααα,两边平方,得..1cos sin 2,cos sin 21222222222222221b cb c S c b c c a c a c a PF F =⋅=∴=-=-=∴=+∆αααα 解法3 设()∴=∠︒︒︒,90,,21PF F y x P 点P 在线段21F F 为直径的圆222c y x =+上，222c y x =+∴︒︒①.又点P 在已知椭圆上，12222=+∴︒︒bya x ②.①-⨯2a ②,并注意到,222c b a =-得2122222221.21PF PF S b a c a x c PF F ⋅=∴-=∆︒ ()()()()22222222222222422142121︒︒︒︒︒︒︒︒-=-++=+-⋅++=x c c x c c y xy c x y c x .24222222224224b b c b b a b a c a c x c c ==-=+-=-=︒评析 因为要求的是直角21PF F ∆的面积,且21,F F 的坐标确定,按常规思路,只要知道点P 的坐标,问题便解决了.于是解法3设()︒︒y x P ,,便得121212F PF S PF PF ∆=⋅,x y ︒︒=必须消去,因为222c y x =+︒︒(这也可由121-=⋅PF PF k k 得到),且12222=+︒︒by a x ,于是得到,222222b a c a x c -=︒,从而使问题获解.这里运用了方程的思想,整体思想的运用也使得解题过程相对简化.解法1则综合运用了椭圆的定义,勾股定理,直角三角形的面积公式,且巧妙运用代数式的恒等变形,使得整个过程极其简捷,充分显示了二次曲线定义及平几知识在解题中的作用(解法2也运用了椭圆的定义).三种解法都引进了参数,参数思想也是重要的解题思想.消参的方法很多,涉及许多知识与技巧,灵活运用各种知识是消参的捷径.1994年的一道全国高考题与此题十分类似：设21,F F 是双曲线1422=-y x 的两个焦点,点P 在双曲线上且满足︒=∠9021PF F .则21PF F ∆的面积是（ ） A 、1 B 、25C 、2D 、5 拓展 如果将21PF F ∠一般化,我们便得定理1 21,F F 是椭圆()012222>>=+b a by a x 的焦点,P 是椭圆上的点,且θ=∠21PF F ,则21PF F ∆的面积为.2tan 2θb证明 设2211,r PF r PF ==,则a r r 221=+,两边平方并整理,得212222124r r a r r -=+①.又由余弦定理得θcos 242122212r r r r c -+=,即θcos 242122221r r c r r +=+②.由①,②得.cos 12,cos 2424221212212θθ+=+=-b r r r r c r r a.2tan cos 1sin cos 1sin 221sin 212222121θθθθθθb b b r r S PF F =+⋅=+⋅==∴∆ 由定理1,此赛题的答案应是22290tan b b =︒. 随着b a ,取值的不同,即椭圆的扁平程度不同,椭圆上是否一定存在一点P ,使得︒=∠9021PF F 呢?经研究,有下面的定理.定理2 已知21,F F 是椭()012222>>=+b a by a x 的焦点. ⑴椭圆上存在点P 使︒=∠9021PF F 的充要条件是b a 2≥.⑵在⑴的条件下,21PF F ∠的最大值是bcarctan 2. 证明 设2211,r PF r PF ==⑴22212121212222222121224290(2)4r r a r r a r r F PF r r c r r c︒+=⎧+=-⎧⎪∠=⇔⇔⎨⎨+=+=⎪⎩⎩ 2212424a r r c ⇔-= 2122r r b ⇔=.又.2222222121b a b a r r r r ≥⇔≥⇔≥+故椭圆上存在点P 使︒=∠9021PF F 的充要条件是b a 2≥.⑵由对称性,不妨设点P 的坐标为()y x ,且b y a x ≤≤≤≤0,0.在21PF F ∆中,c F F ex a r ex a r 2,,2121=-=+=,由余弦定理得21222212124cos r r c r r PF F -+=∠,0.21222222222222a x x e a b x e a c x e a ≤≤-+-=--+= ∴当0=x 时,21cos PF F ∠取得最小值2221a b +-,即2222a a b -.又[)π,021∈∠PF F 且21222,2arctan 2cos PF F a a b b c ∠∴-=⎪⎭⎫ ⎝⎛的最大值是bcarctan 2.若将焦点改为顶点,我们又得定理 3 已知21,A A 与21,B B 分别是椭圆12222=+by a x 的长轴与短轴的两个端点,P 是椭圆上的动点,则21PA A ∠的最大值为21,arctan 2PB B b a ∠的最小值为ab arctan2. 证明 不妨设()()()0,,0,,0,0,,21a A a A b y a x y x P -≤<<≤,则21.,21PA A ax y k a x y k PF PA ∠-=+=是直线1PA 到直线2PA 的角，2222121tan 1212ay x ay k k k k PF A PF PF PF PF -+=⋅+-=∠∴,又22222,a x a y b -=- ()212222tan .ab A PA a b y -∴∠=-122220,tan .aby b A PA b a <≤∴≥∠>-∞- 又222tan 2arctan,a ab b b a ⎛⎫= ⎪-⎝⎭12A PA ∴∠的最大值为baarctan 2. 同样的思路,可证21PB B ∠的最小值是abarctan 2. 有了这些定理,不难解决下面的问题:1. 21,F F 是椭圆221123x y +=的焦点,点P 在椭圆上,且︒=∠6021PF F ，则12F PF ∆的面积= .2．21,F F 是椭圆的两个焦点,P 是椭圆上的一点,︒=∠6021PF F ，则椭圆的离心率e 的取值范围是( )⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0`A ⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0`B ⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21`C ⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21`D (第十届高二培训题第23题)3. 已知圆22:25C x y +=与x 轴交于两点1F 、2F ,求以1F 、2F 为焦点且与圆C 有公共点的长轴最长的椭圆方程.答案:1. 2.B 3.2215025x y += 题48 椭圆12222=+by a x 的内接三角形的最大面积是＿＿＿＿.（第九届高二第二试第20题）解 不妨设b a >，ABC ∆为以原点为中心的椭圆E 的内接三角形（如图）.显然，ABC ∆的面积可以写成（划分为）若干个（至多4个）底边平行于（或在）x 轴的三角形面积之和.若x 轴方向上不变，在y 轴方向上的长度都增大ba倍，则椭圆E 就变成以O 为圆心，a 为半径的圆.设A 、B 、C 三点经伸长后的对应点为'A 、'B 、'C ，它们就在此圆上.因此，ABC C B A S baS ∆∆='''.易知圆O 的内接三角形'A 'B 'C 面积的最大值是2max 433'a S =，所以椭圆E 的内接三角形ABC 面积的最大值是ab a a b S a b S 433433'2max max ===. 评析 直接将椭圆内接三角形的面积用其三个顶点的动坐标表示，再求其最大值，难度是可想而知的.考虑到圆是特殊的椭圆（椭圆的长、短轴相等时即为圆），当b a >时，将椭圆上的每一点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的ba倍，椭圆就变成了半径为a 的圆.由于圆内接三角形面积的最大值可求，故问题解决.这里，运用特殊化思想，把求椭圆内接三角形面积最大值转化为求圆内接三角形面积的最大值；通过伸缩变换，把椭圆变为圆，运用了简单化原则；半径为a 的圆的内接三角形面积的最大值为2433a ，运用了熟悉化原则；由于在伸缩变换中椭圆上各点的横坐标不变，则内接三角形的底在变换过程中不变（不妨设圆的面积最大的内接三角形的底边与y 轴垂直），伸缩前的高为伸缩后的ba倍，则运用了直观化原则.灵活运用上述原则解题，常常可收到意想不到的效果. 拓展 椭圆的投影可以是圆，看下面的定理 椭圆所在的平面α与平面β所成二面角为θ（abarccos =θ，其中a 、b 分别为椭圆的长半轴和短半轴的长），且椭圆的短轴与平面β平行，则椭圆在平面β上的投影为圆，且半径为b .证明 不妨设椭圆所在位置如图所示.在平面α内分别以长轴和短轴所在直线为x 轴和y 轴建立直角坐标系xoy ；在平面β内分别以长轴与短轴的射影所在直线为'x 轴和'y 轴建立直角坐标系'''y o x .在椭圆上任取一点)sin ,cos (θθb a P ，过P 作 x 轴和y 轴的垂线PQ 、PR ，垂足为Q 、R ；过 P 的射影'P 分别作'x 轴和'y 轴的垂线''Q P 、''R P ， 垂足为'Q 、'R ，由y 轴与β平行，可知PQ ∥''Q P且PQ =''Q P ，θθθcos cos cos ''b aba PR R P =⋅==，∴'P 在坐标系'''y o x 中的坐标是)sin ,cos (θθb b ，由P 的任意性，知'P 的轨迹是半径为b 的圆.用此定理解决本赛题：设椭圆的内接三角形面积为S ，则它在β上的射影为圆的内接三角形,其面积为S abS S ==θcos '.因为圆内接三角形面积最大时为正三角形，其面积2433b S =，所以椭圆的内接三角形面积的最大值2max 44a Sb ab b == . 运用此定理，不难求得椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的面积为ab π.题49 Rt △ABC 中，AB=AC ，以C 点为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在边AB 上，且椭圆过A ，B 两点.求这个椭圆的离心率.（第二届高二第二试第21题）解法1 如图，设θ=∠AFC ，则4πθ-=∠BCF（F 在AB 内，F 是椭圆的另一个焦点）.设椭圆的方程为)0(12222>>=+b a b y a x .则c CF 2=，θsin 2⋅=c AC ，θcos 2⋅=c AF .在△BCF 中，由正弦定理和合分比定理，⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4sin sin 24sin sin 4sin sin πθθπθθπθθaBFBC BFBC . ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅=∴4sin sin sin 2πθθθa BC . 在Rt △ABC 中，θsin 222c AC BC ==，由此得到 ()⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅=4sin sin sin cos sin 24sin sin sin 2sin 22πθθθθθπθθθθc a c ，()sin sin sin sin cos 4πθθθθθθ⎡⎤⎛⎫+-=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.2tan =∴θ,36sin =θ,cos 3θ=212cos 2sin cos sin FC c c a AF AC c c θθθθ∴======+++解法2 设F 、C 为二焦点，m AB =.由椭圆定义知BC BF AC AF +=+，。