3-3线性相关性判定定理
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3.2向量 3-3 向量组的线性相关性
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用 a ,b, , 等表示，如： a1 a2 a a n
线性代数课件 hty 4
注意 １．行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量； ２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算； ３．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.
向量组 a1, a 2 ,, a n 称为矩阵A的列向量组.
线性代数课件 hty 10
类似地, 矩阵A (aij )mn 又有m个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 a m 2
T 1 T 2
a1 n a2n a in a mn
a12 a 22 am 2
a1 s 1 T T a 2 s 2 T a ms s
线性代数课件 hty
20
设矩阵A经初等行变换变成B，则B的每个行 向量都是A的行向量组的线性组合，即B的行向量 组能由A的行向量组线性表示. 由初等变换可逆性 可知，A的行向量组能由B的行向量组线性表示， 于是A的行向量组与B的行向量组等价.
所以，确定飞机的状态，需用6维向量 a ( x , y , z , , , )
线性代数课件 hty 9
四、向量、向量组与矩阵
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组． 例如 矩阵A (a ij ) 有n个m维列向量 mn aj a1 a 2 an a11 a12 a1 j a1n a 21 a 22 a 2 j a 2 n A a m 1 a m 2 a mj a mn
线性代数课件 hty 4
注意 １．行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量； ２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算； ３．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.
向量组 a1, a 2 ,, a n 称为矩阵A的列向量组.
线性代数课件 hty 10
类似地, 矩阵A (aij )mn 又有m个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 a m 2
T 1 T 2
a1 n a2n a in a mn
a12 a 22 am 2
a1 s 1 T T a 2 s 2 T a ms s
线性代数课件 hty
20
设矩阵A经初等行变换变成B，则B的每个行 向量都是A的行向量组的线性组合，即B的行向量 组能由A的行向量组线性表示. 由初等变换可逆性 可知，A的行向量组能由B的行向量组线性表示， 于是A的行向量组与B的行向量组等价.
所以，确定飞机的状态，需用6维向量 a ( x , y , z , , , )
线性代数课件 hty 9
四、向量、向量组与矩阵
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组． 例如 矩阵A (a ij ) 有n个m维列向量 mn aj a1 a 2 an a11 a12 a1 j a1n a 21 a 22 a 2 j a 2 n A a m 1 a m 2 a mj a mn
3§3 线性相关性
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结束
定理2 定理2
设α1 ,α 2 ,⋯,α r 与 β1 , β 2 ,⋯, β s是两个向量组，如果 1）向量组α1 ,α 2 ,⋯,α r 可以经 β1 , β 2 ,⋯, β s 线性表 出， 2）r > s， 则向量组α1 ,α 2 ,⋯,α r 必线性相关 . 证明： 1 推论1
向量组
α i = (ai1 , ai 2 ,⋯, ain ), (i = 1,2,⋯, s )
线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组
a11x1 + a21x2 +⋯+ as1xs = 0 a x + a x +⋯+ a x = 0, 12 1 22 2 s2 s ⋯ ⋯ ⋯ a1n x1 + a2n x2 +⋯+ asn xs = 0
§3 线性相关性
定义
所谓向量 α 与 β 成比例就是说有一数k使 成比例 α = kβ. 定义9 线性组合） 定义9（线性组合） 向量 α 称为向量组 β1 , β 2 ,⋯, β s 的一个线性组合 线性组合， 线性组合 如果有数域P中的数 k1 , k2 ,⋯, ks , 使 α = k1β1 + k2 β 2 + ⋯ + k s β s . 也称向量 α 可经向量组 β1 , β 2 ,⋯, β s 线性表出 .
结束
命题1 命题
任一个n为向量α = (a1 , a2 ,⋯, an ) 都是向量组
ε1 = (1,0,⋯,0),
ε 2 = (0,1,⋯,0),
⋯⋯⋯ ε n = (0,0,⋯,1)
的一个线性组合 . 事实上， α = a1ε1 + a2ε 2 + ⋯ + anε n . 向量 ε1 , ε 2 ,⋯, ε n 称为n维单位向量 . 维单位向量
向量组的线性相关性(2)
ar线性
证 用反证法. 若 a1 ,a2 , ar , a r 1线性相关， 则有不全为
k1a1 k2a2
否则 (kr 1 0)
kr 1ar 1 0 其中 kr 不能为零， 1
若 kr 1 0
k1 k2
k1a1 k2a2
ar 1
kr 0
（Ⅰ）
（Ⅱ）
α1α 2
β1β2
αr
βs
若（Ⅰ）中每一个向量都能由向量组（Ⅱ）线性表示，则称 向量组（Ⅰ）可由向量组（Ⅱ）线性表示. 若向量组（Ⅰ） 与向量组（Ⅱ）可以互相线性表示，则称 向量组（Ⅰ）与向量组（Ⅱ）等价. 向量组之间的等价关系具有以下性质：
① 反身性 ② 对称性 ③ 传递性
例 证
设n维向量组α1 , α 2 , , α n 与e1 ,e2 ,
行 向 量
n
(a1 , a2 ,, an )
α (a1 , a2 , β (b1 , b2 ,
, an ) ai为实数 , bn )
cn )
T
实 向 量
① a b ②维数相同 α β i iFra bibliotek列向量
也可记γ (c1, c2 ,
规定：行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算. 因 此，n维列向量与 n 维行向量总看成是两个不同的向量
则 (k1 k3 , k1 2k2 3k3 , k1 5k2 6k3 ) 0
1 D1 1 0 2 5 1 3 6
亦即
0
这是关于 k1 , k2 , k3 的齐次方程组
据定 理1.4 有非 零解
即有不全为零的数 k1 , k2 , k3 ，使 从而向量组
k1a1 k2a2 k3a3 0 也可直接求解得 ， k1 1, k2 1, k3 1, 即 a1 + a2 - a3 = 0
32向量组的线性相关与线性无关(二)详解
解: (4) 由定理3.2.3知,5个四维向量必定线性相关.
13
例.证明：若 , , 线性无关, 则 , , 也线性无关
证:设 k1( ) k2( ) k3( ) O (*) (目标: ki = 0)
则
(k1 k3 ) (k1 k2 ) (k2 k3 ) O
7
3.2.3向量组的线性相关性的判定
1.向量组线性相关的条件: 设向量组
α1
a11 a21
an1
,
α2
a12 a22
an2
,
, αm
a1m a2m
anm
,
它线性相关还是线性无关,取决于齐次线性方程组
k1α1 k2α2 kmαm 0
a11x1 a12x2 a1m xm 0
(3-14)
只有零解. 考虑 β1, β2, β3相对应的齐次线性方程组
a11x1 a21x2 a31x3 0
aa1123
x1 x1
a22 x2 a23x2
a32 x3 a33 x3
0 0
(3-15)
aa1154
x1 x1
a24 x2 a25 x2
a34 x3 a35 x3
0 0
方程组(3-14)的每一个解都是方程组(3-15)的解.而方程组(3-14)
(3) α1 1, a, a2, a3 T , α2 (1,b,b2,b3)T , α3 (1, c, c2, c3)T ,
α4 (1, d, d 2, d 3)T,其中a,b,c,d各不相同. (4) α1 ( 2, 3, 4, 1)T , α2 ( 2, 1, 4, 0)T , α3 ( 1, 3, 0, 1)T ,
即： a1, a2 ,, am 线性无关
3.3 线性相关性
m维列向量线性无关的充要条件是，以 α 1 , α 2 , ⋯ , α n 维列向量线性无关 充要条件是 维列向量线性无关的 为列向量的矩阵的秩等于向量的个数n。 为列向量的矩阵的秩等于向量的个数 。 对于行向量组显然也成立。 对于行向量组显然也成立。
推论1 推论 设n 个n 维向量α j = ( a1 j , a 2 j , ⋯ , a nj )( j = 1,2, ⋯ , n)， 则向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α n a11 a12 ⋯ a1n
例2
零向量是任何一组向量的线性组合。 零向量是任何一组向量的线性组合。 因为 0 = 0α1 + 0α2 +…+ 0αs.
例3
向量组α 中的任一向量α 向量组 1,α2,…,αs中的任一向量 j (1≤j≤s) 都是此向量组的线性组合。 都是此向量组的线性组合。 因为α 因为 j = 0α1 + 0α2 +…+1αj + … + 0αs.
判断向量β 例4 判断向量 1=(4,3,-1,11)与β2=(4,3,0,11) 与 是否各为向量组α 与 是否各为向量组 1=(1,2,-1,5)与 α2=(2,-1,1,1)的线性组合，若是，写出表达式。 的线性组合， 的线性组合 若是，写出表达式。 对矩阵(α 解：设k1α1+k2α2=β1，对矩阵 1T, α2T, β1 T) 施以初等行变换
2 4 1 2 4 1 1 2 − 1 3 0 − 5 − 5 0 → − 1 1 − 1 → 0 3 3 0 5 0 − 9 − 9 0 1 11 0 2 1 1 0 0 0 0
除零解x 除零解 1=x2=0外，还有非零解，如x1=2, x2=3。 外 还有非零解， 。
线性相关的判定
定理6 设A 是一个n阶方阵，则A的行(列)向量组线
性相关的充要条件是A的行列式等于零
推论 n维向量组 是矩阵
线性无关的充要条件
或者用书本的表述
的行列式不为零(A可逆)。此时,矩阵A的n个列向量也 线性无关。
定理7 n+1个n维向量组 必线性相关。 推论 当m>n时,m个n维向量组线性相关。
推论2
解 （ 1）在A中，有 3个2维行向量，线性相关。
(2) 因 | B | 0, 故B的3个3维行向量线性无关。
（3）对C进行初等行变换
1 3 2 2 1 3 2 2 C ~ 0 2 1 3 ~ 0 2 1 3 0 6 3 5 0 0 0 0 知R(C ) 2 3, 故C的3个4维行向量线性相关。
线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 a x a x a x b m2 2 mn n m m1 1
推 论4
如果在 m n矩 阵A中 有 一 个 r阶 子 式| D | 0,
那么含有 D的r个 行 向 量 线 性 无 关 , 含 有D的r个 列 向 量 线性无关。反之 , A中 所 有 的 r阶 子 式 全 为 零 , 则A的 任 意r个 行 向 量 线 性 相 关 , 任 意r个 列 行 向 量 也 线 性 相 。 关
a a
1n
A称为由 n维行向量组 1 , 2 ,, m所构 成的矩阵 , i 称为矩阵 A的第i个行向量。
一 个 含 有 有 限 个 向 量向 的量 组 ， 总 可 以 看 成 是 由 一 个 矩 阵 的 全 体向 行量 所 构 成 。
线性代数 向量组线性相关性的判别定理
T T T
3.α1 = ( 2,3,1,0) , α 2 = (1,2,5,7 ) , α 3 = ( 5,8,7,7 ) ,
T T T
2 3 解 Q α 1 , α 2 , α 3构成矩阵 A = 1 0
T
T
3.α1 = ( 2,3,1,0) ,α2 = (1,2,5,7) ,α3 = ( 5,8,7,7) ,
T T T
1 2 5 7
5 8 , 7 7
T
可求得r ( A) = 2 < 3, ∴α1 , α 2 , α 3线性相关
T
4.α1 = (1,0,0,2) ,α2 = ( 0,1,0,1) ,α3 = ( 0,0,1,4)
T T
解.Q e1 = (1,0,0) , e2 = ( 0,1,0 ) , e3 = ( 0,0,1) 线性无关 T T T ∴α1 = (1,0,0,2 ) , α 2 = ( 0,1,0,1) , α 3 = ( 0,0,1,4 ) 线性无关
3.3线性相关性的判别定理 线性相关性的判别定理
内容：4个定理 内容： 个定理
定理1 定理1
若 向量组 A：α1 , α 2 ,L , α r 线性相关, 则向量组
B : α1 , L, α r , α r +1 L , α m 也线性相关.(部分相关，则整体相关） 反言之, 若向量组B 线性无关, 则 向量组A也线性无关 .
证明 Q向量组 A：α1 , α 2 ,L, α r 线性相关,
∴ ∃不全为零的数 k1 , k 2 , L , k r ，使得k1α1 + k 2α 2 + L + k rα r = 0 即为 k1α1 + k 2α 2 + L + k rα r + 0α r +1 + L + 0α m = 0 k1 , k 2 ,L , k r ,0 L 0为m个不全为零的数 ∴向量组B : α1 , L , α r , α r +1 L , α m 也线性相关. 向量组B 的向量组是线性相关的向量组。 推论： 含有零向量的向量组是线性相关的向量组 推论： 含有零向量的向量组是线性相关的向量组。
3.α1 = ( 2,3,1,0) , α 2 = (1,2,5,7 ) , α 3 = ( 5,8,7,7 ) ,
T T T
2 3 解 Q α 1 , α 2 , α 3构成矩阵 A = 1 0
T
T
3.α1 = ( 2,3,1,0) ,α2 = (1,2,5,7) ,α3 = ( 5,8,7,7) ,
T T T
1 2 5 7
5 8 , 7 7
T
可求得r ( A) = 2 < 3, ∴α1 , α 2 , α 3线性相关
T
4.α1 = (1,0,0,2) ,α2 = ( 0,1,0,1) ,α3 = ( 0,0,1,4)
T T
解.Q e1 = (1,0,0) , e2 = ( 0,1,0 ) , e3 = ( 0,0,1) 线性无关 T T T ∴α1 = (1,0,0,2 ) , α 2 = ( 0,1,0,1) , α 3 = ( 0,0,1,4 ) 线性无关
3.3线性相关性的判别定理 线性相关性的判别定理
内容：4个定理 内容： 个定理
定理1 定理1
若 向量组 A：α1 , α 2 ,L , α r 线性相关, 则向量组
B : α1 , L, α r , α r +1 L , α m 也线性相关.(部分相关，则整体相关） 反言之, 若向量组B 线性无关, 则 向量组A也线性无关 .
证明 Q向量组 A：α1 , α 2 ,L, α r 线性相关,
∴ ∃不全为零的数 k1 , k 2 , L , k r ，使得k1α1 + k 2α 2 + L + k rα r = 0 即为 k1α1 + k 2α 2 + L + k rα r + 0α r +1 + L + 0α m = 0 k1 , k 2 ,L , k r ,0 L 0为m个不全为零的数 ∴向量组B : α1 , L , α r , α r +1 L , α m 也线性相关. 向量组B 的向量组是线性相关的向量组。 推论： 含有零向量的向量组是线性相关的向量组 推论： 含有零向量的向量组是线性相关的向量组。
《线性代数》向量组的线性相关与线性无关
a11 a21
an1
即行列式 D = a12 a22
an2 = 0 ?
核心问题！
a1n a2n
ann
④若方程组(2)有非零解，则a1,a2,,an线性相关；否则,线性无关.
特殊方法（举例）
亦即
例7. 证明下列单位向量组线性无关.
1
0
0
0
α1
=
0
,
0
α2
=
1
,
0
α3
=
0 1
,
α4
=
k1，k2， ，kn，使
k1a1+k2a2+ + knan=o 成立 .
由向量的运算性质可得
k1a1+k2a2+ +kn an=o，即
a11 a21
an1 0
k1
a12 ...
+
k2
a22 ...
+
...
+
kn
an2 ...
=
0 ...
a1n a2n
故
β
=
(-
l1 l
)α 1
+
(-
l2 l
)α 2
+
+
(-
lm l
)α m
，
即b可由向量组a1，a2， ，am线性表示.
定理2 设向量组 a1，a2， ，am ，b 线性相关，而a1，a2， ，am线性无关，则b 可由a1，a2， ，am线性表示，且表
示式是惟一的.
证明： 再证表示法惟一.
设b可表示成以下两种形式，
结论： 1.含有零向量的向量组一定线性相关.
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即 1 能由其余向量线性表示.
定理2
设向量组 A : 1 , 2 , , r 线性无关 , 而向量
组 B : 1 , , r , 线性相关 , 则向量 必能由向量组 A 线性表示 , 且表示式是唯一的 . 证 设 k11 k2 2 kr r k 0 ∵Ａ线性无关，而向量组Ｂ线性相关， ∴k≠０，（否则与Ａ线性无关矛盾） 即有
其中r ≤ n，则向量组A线性无关的充分必要条 件是：在矩阵A中至少存在一个不等于零的r阶 子式
定理4当r＝n时，我们有如下推论
推论1 n个n维向量线性无关的充要条件是它 们所构成的n阶方阵的行列式不等于零。 推论2 n个方程的n元齐次线性方程组Ax＝0有 非零解的充要条件是系数行列式 A 0 推论3 当m>n时，m个n维向量 1 ,2 ,,m 一定线性相关。这就是说，向量的个数超过 维数的向量组一定线性相关。
k11 k2 2 kr r k k1 k2 kr 1 2 r k k k
∴β 可由Ａ线性表示.
下证唯一性： 设
11 2 2 r r ;
11 2 2 r r
两式相减有
1 1 1 2 2 2 r r r 0
∵Ａ线性无关，
1 1 0, 2 2 0,r r 0 1 1 , 2 2 ,r r 即表达式唯一.
若向量组 1 , 2 , , r 线性相 若干个向量后所得的向量组 1 关 2 , , r 也线性相关。
推论4 如果在m × n型矩阵A中有一个r阶子式
D0
，则含有D的r个行向量和r个列向量都线
性无关；如果A中所有r阶子式全等于零，则A的 任意r个行向量及任意r个列向量都线性相关。
§3.3
线性相关性判定定理
定理1 向量组 1 , 2 ,, m （当 m 2 时）线性相关 的充分必要条件是 1 , 2 , , m中至少有一个向 量可由其余 m 1个向量线性表示． 证明 充分性
设 a1 , a2 , , am 中有一个向量（比如 能由其余向量线性表示. 即有
其中 k1 , k2 ,, kr ,0,,0 不全为零 所以 1 , 2 ,, r , r 1 ,m 线性相关
部分相关则整体相关
整体无关则部分无关
定义1 在 m n 矩阵 A 中任取 k 行 k 列（k m , k n），位于这些行列交叉 处的个 k 2 元素, 不改 变它们在 A 中所处的位置次序而得 k阶行列式， 的 称为矩阵 A 的 k 阶子式.
定理3
, 则增加 , r 1 ,,m
证
因为 1 ,2 ,,r 线性相关 故存在一组不全为零的数 k1 , k2 ,, kr 使 从而
k11 k22 krr 0
k11 k22 krr 0 r 1 0 m 0
m n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 C C 个.
k m k n
定理4
设n维行向量组A： 1T ,2T ,,r T 构成一个 r × n型矩阵
1T a11 T 2 a21 A T r ar 1 a12 a1n a22 a2 n ar 2 arn
k1 1 k2 2 km m 0.
因 k1 , k2 , , km中至少有一个不为0， 不妨设 k1 0,则有
k2 k3 km 1 2 3 m . k1 k1 k1
例 讨论下列矩阵的行向量组的线性相关性
3 1 2 3 1 3 2 2 2 3 1 B 2 2 1 C 0 2 1 3 A 3 4 3 2 0 1 5 0 2
解 矩阵A中有3个2维行向量，由推论3知必线 性相关。 因为 B 2 0 由推论1知B的三个行向量 线性无关。 矩阵C的4个3阶子式全为零，故C的3个行 向量线性相关。
am）பைடு நூலகம்
am 1 1 2 2 m1 m1
故
1 1 2 2 m1 m1 1am 0
1 , 2 , , m1 , 1 这 m 个数不全为0，
因
故 1 , 2 , , m线性相关. 必要性 设 1 , 2 , , m 线性相关， 则有不全为0的数 k1 , k 2 ,, k m , 使
定理2
设向量组 A : 1 , 2 , , r 线性无关 , 而向量
组 B : 1 , , r , 线性相关 , 则向量 必能由向量组 A 线性表示 , 且表示式是唯一的 . 证 设 k11 k2 2 kr r k 0 ∵Ａ线性无关，而向量组Ｂ线性相关， ∴k≠０，（否则与Ａ线性无关矛盾） 即有
其中r ≤ n，则向量组A线性无关的充分必要条 件是：在矩阵A中至少存在一个不等于零的r阶 子式
定理4当r＝n时，我们有如下推论
推论1 n个n维向量线性无关的充要条件是它 们所构成的n阶方阵的行列式不等于零。 推论2 n个方程的n元齐次线性方程组Ax＝0有 非零解的充要条件是系数行列式 A 0 推论3 当m>n时，m个n维向量 1 ,2 ,,m 一定线性相关。这就是说，向量的个数超过 维数的向量组一定线性相关。
k11 k2 2 kr r k k1 k2 kr 1 2 r k k k
∴β 可由Ａ线性表示.
下证唯一性： 设
11 2 2 r r ;
11 2 2 r r
两式相减有
1 1 1 2 2 2 r r r 0
∵Ａ线性无关，
1 1 0, 2 2 0,r r 0 1 1 , 2 2 ,r r 即表达式唯一.
若向量组 1 , 2 , , r 线性相 若干个向量后所得的向量组 1 关 2 , , r 也线性相关。
推论4 如果在m × n型矩阵A中有一个r阶子式
D0
，则含有D的r个行向量和r个列向量都线
性无关；如果A中所有r阶子式全等于零，则A的 任意r个行向量及任意r个列向量都线性相关。
§3.3
线性相关性判定定理
定理1 向量组 1 , 2 ,, m （当 m 2 时）线性相关 的充分必要条件是 1 , 2 , , m中至少有一个向 量可由其余 m 1个向量线性表示． 证明 充分性
设 a1 , a2 , , am 中有一个向量（比如 能由其余向量线性表示. 即有
其中 k1 , k2 ,, kr ,0,,0 不全为零 所以 1 , 2 ,, r , r 1 ,m 线性相关
部分相关则整体相关
整体无关则部分无关
定义1 在 m n 矩阵 A 中任取 k 行 k 列（k m , k n），位于这些行列交叉 处的个 k 2 元素, 不改 变它们在 A 中所处的位置次序而得 k阶行列式， 的 称为矩阵 A 的 k 阶子式.
定理3
, 则增加 , r 1 ,,m
证
因为 1 ,2 ,,r 线性相关 故存在一组不全为零的数 k1 , k2 ,, kr 使 从而
k11 k22 krr 0
k11 k22 krr 0 r 1 0 m 0
m n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 C C 个.
k m k n
定理4
设n维行向量组A： 1T ,2T ,,r T 构成一个 r × n型矩阵
1T a11 T 2 a21 A T r ar 1 a12 a1n a22 a2 n ar 2 arn
k1 1 k2 2 km m 0.
因 k1 , k2 , , km中至少有一个不为0， 不妨设 k1 0,则有
k2 k3 km 1 2 3 m . k1 k1 k1
例 讨论下列矩阵的行向量组的线性相关性
3 1 2 3 1 3 2 2 2 3 1 B 2 2 1 C 0 2 1 3 A 3 4 3 2 0 1 5 0 2
解 矩阵A中有3个2维行向量，由推论3知必线 性相关。 因为 B 2 0 由推论1知B的三个行向量 线性无关。 矩阵C的4个3阶子式全为零，故C的3个行 向量线性相关。
am）பைடு நூலகம்
am 1 1 2 2 m1 m1
故
1 1 2 2 m1 m1 1am 0
1 , 2 , , m1 , 1 这 m 个数不全为0，
因
故 1 , 2 , , m线性相关. 必要性 设 1 , 2 , , m 线性相关， 则有不全为0的数 k1 , k 2 ,, k m , 使