画出已知点及其关于坐标轴的对称点
13.2.2 用坐标表示轴对称
B
B′
O
顶点C的对称点的坐标为（ 2 ，5 ）
A′
x
顶点D的对称点的坐标为（ 5 ，4 ）
描出这四个点并依次连接即可.
应用新知
小结：在坐标系中作已知图形关于坐标轴对称的图形：
一求：求已知图形的一些特殊点的对称点的坐标；
二描：在坐标系中描出这些对称点；
三连：顺次连接这些对称点得到对称图形.
应用新知
(2)若点A、B关于y轴对称，求a、b的值．
a = −1
a−b = 2
ቊ
解:(1)由题可得 ቊ
，解得 b = −3
b = −3
a=1
a−b
=
−2
(2)由题可得 ቊ
，解得 ቊ
b=3
b=3
应用新知
例3. 已知点P（a+1，2a-1 ）关于x轴的对称点在
第一象限，求a的取值范围.
解:由题可得，点P关于x轴的对称点为（a+1， 1−2a ）
关于y轴 A′(-3.5 ,4)
的对称点
B′( 4 ,2)
C′(-3 , -3)
规律：关于y轴对称的两个点，
横坐标互为相反数,纵坐标相等。
公式：P(a,b)
关于y轴对称
P′ (-a,b)
探究新知
y
P′ (-a,b)
=
=
-a
P
┌
┌
关
于
y
轴
对
称
P′
b
┌
为什么？
P(a,b)
O
a
x
探究新知
y
A (3.5,4)
13.2.2 用坐标表示轴对称
要点回顾
1.作点的轴对称图形：如果直线MN外有一点A，那么怎样
八年级数学上册教学课件《用坐标表示轴对称》
12
y
6 -5
1 1
2
-4 0
B B〞
E〞 D〞1 D E O1
x
C
A〞 A
C〞
观察关于y 轴对称的每对对称点的坐标
有怎样的变化规律？
y
关于y 轴对称的 每对对称点的横坐 标互为相反数，纵 坐标相等．
B B〞
E〞 D〞1 D E O1
x
C
A〞 A
C〞
再找几个点，分别画出它们的 对称点，检验一下你发现的规律．
2
3
方法二：∵点A（3x-1，2x+5）关于y
轴对称的点在第一象限. ∴点A（3x-1，2x+5）在第二象限.
∴3x-1<0，2x+5>0，解得 5＜x＜1 .
2
3
综上所述，x的取值范围： 5＜x＜1 .
2
3
课堂小结
归纳
点（x，y）关于x 轴对称的点的坐标为
（_x__，__-y__）；
点（x，y）关于y 轴对称的点的坐标为
C y C′
D
D′
A A′′
B1 B′′O
1 B′ A′x
D′′ C′′
归纳画一个图形关于x 轴或y 轴对称的图形 的方法和步骤.
先求出已知图形中的一些特殊点（如多边形 的顶点）的对称点的坐标，描出并连接这些点， 就可以得到这个图形关于坐标轴对称的图形．
步骤简述为：
（1）求特殊点的坐标；（2）描点；（3）连 线．
（-2，1），C（-2，5）， A B 1
D（-5，4）， 分别画出
O1
x
与四边形ABCD 关于y 轴
和x 轴对称的图形．
解：点（x，y）关于y
八年级数学上册 画轴对称图形教学设计
八年级上册微型课15 13.2 画轴对称图形一、内容和内容解析1．内容能画出简单平面图形关于给定对称轴的对称图形, 利用在平面上一个点关于坐标轴对称点的坐标规律在平面直角坐标系中画出一个图形关于坐标轴对称的图形.2内容解析本节的主要内容是画轴对称图形,要求学生能够画出简单图形(点、线段、直线、三角形等)关于给定对称轴的对称图形,能够利用轴对称进行简单的图案设计,认识平面直角坐标系中图形轴对称后点的坐标变化的特点.首先通过操作对轴对称的性质进行了归纳,然后通过例题给出了画简单平面图形关于给定对称轴对称的图形的一般方法,最后用坐标从数量关系的角度刻画了轴对称.教科书从观察和实验入手,归纳得出坐标平面上一个点关于x轴或y轴对称的点的坐标的规律,并进一步探讨了如何利用这种规律在平面直角坐标系中画出一个图形关于x轴或y轴对称的图形.基于以上分析,确定本节课的教学重点画出简单图形(点、线段、直线、三角形等)关于给定对称轴的对称图形,用坐标表示点关于坐标轴对称点的点的坐标.二、目标和目标解析1.目标(1)能画出简单平面图形关于给定对称轴的对称图形.(2)从观察和实验入手，归纳得出在平面上一个点关于坐标轴对称点的坐标规律.(3)利用这种规律在平面直角坐标系中画出一个图形关于坐标轴对称的图形.2.目标解析达成目标（1）的标志是：探索画一般的轴对称图形的方法,使学生能够按要求作出简单平面图形经过一次对称后的图形.达成目标（2）的标志是：在找关于坐标轴对称的点的坐标之间规律的过程中,培养学生的语言表达能力、观察能力、归纳能力,养成良好的自觉探索的习惯．达成目标（3）的标志是：能在直角坐标系中画点关于坐标轴的对称点；能表示点关于坐标轴对称的点的坐标.三、教学问题诊断分析这节从数的角度刻画了轴对称的内容,包括关于坐标轴对称的点的坐标的关系.这里的关键是要让学生感受图形轴对称之后点的坐标的变化,把“形”和“数”紧密地结合在一起,把坐标思想和图形变化的思想联系起来.本节课的教学难点是: 较复杂图形的轴对称图形的画法; 找对称点的坐标之间的关系.四、教学过程设计1.引入新知我们前面学习了轴对称图形以及轴对称图形的一些相关的性质.如果有一个图形和一条直线，如何画出这个图形关于这条直线对称的图形呢？这节课我们一起来学习作轴对称图形的方法.师生活动：通过教师提问,引起学生思考.设计意图：通过问题，设置悬念，引起学生的兴趣.2.探究新知如图，在一张半透明纸的左边部分，画一只左脚印，把这张纸对折后描图，打开对折的纸，就能得到相应的右脚印.问题1 认真观察，左脚印和右脚印有什么关系？这时，右脚印和左脚印成轴对称，折痕所在直线就是它们的对称轴.追问折痕与图中的线段PP′是什么关系？折痕垂直平分线段PP′.师生活动:教师提出问题,学生认真思考,积极回答问题归纳由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同；新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.设计意图:让学生通过观察,再总结,为后面画图做准备.问题2：如果有一个点和一条直线，如何画出与这个点关于这条直线对称的图形呢？师生活动:教师提出问题,学生独立思考,然后小组交流,学生代表汇报交流结果.A1.过点A画直线l的垂线，垂足为点O.2.在垂线上截取OA′=OA.A′就是点A关于直线l的对称点.设计意图:让学生通过画点的对称点,理解成轴对称图形的性质,为后面画图形的轴对称做铺垫.问题3如果有一条线段和一条直线，如何画出与这条线段关于这条直线对称的图形呢？师生活动:教师提出问题,学生独立思考,然后小组交流,学生代表汇报交流结果.1.过点A画直线l的垂线，垂足为点O,在垂线上截取OA′=OA.2.画点B关于直线l的对称点.3.连接点A′和点B′.线段A′B′即为所求.设计意图:让学生通过画一条线段的对称线段,理解成轴对称图形的性质,为后面画图形的轴对称做铺垫.例1如图，已知△ABC和直线l，画出与△ABC关于直线l对称的图形.师生活动:教师提出问题,学生独立思考,然后小组交流,学生代表汇报交流结果.画法：（1）过点A画直线l的垂线，垂足为点O，在垂线上截取OA′=OA，A′就是点A关于直线l的对称点；（2）同理，分别画出点B， C 关于直线l 的对称点B′，C′；（3）连接A′B′，B′C′，C′A′.则△A′B′C′即为所求.设计意图:让学生通过画一个点、一条线段的对称图形,最后再到画一个三角形的对称图形，进一步加深对成轴对称图形性质的认识，逐层递进，使学生掌握知识效果好.追问如果有一个点和一条直线，如何画出与这个点关于这条直线对称的图形呢？师生活动:最后师生共同总结,得出结论.归纳几何图形都可以看作由点组成.对于某些图形，只要作出图形中一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.设计意图:及时总结归纳，使知识成系统，成体系，便于学生记忆.3.当堂训练练习如图，把下列图形补成关于直线l的对称图形.师生活动:教师提出问题,学生独立思考,然后小组交流,学生代表汇报交流结果.设计意图:让学生熟练掌握作轴对称的方法,注意作特殊点的对称点.4.深入探究下面, 我们探究在直角坐标系中, 分别以x轴和y轴为对称轴时, 一对对称点的坐标之间的关系.问题4 如图是一幅老北京城的示意图, 其中西直门和东直门是关于中轴线对称的.如果以天安门为原点,分别以长安街和中轴线为x 轴和y轴建立平面直角坐标系, 根据如图所示的东直门的坐标, 你能说出西直门的坐标吗？问题5平面直角坐标系中,画出下列已知点及其关于坐标轴的对称点,并把它们的坐标填入表格中,看看每对对称点的坐标有怎样的规律再和同学讨论一下.师生活动:教师提出问题,学生独立思考,然后小组交流,学生代表汇报交流结果.归纳点(x, y)关于x轴对称的点的坐标为(x, -y)，点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x, y).设计意图:让学生经历探究,观察,亲自动手画图,发现规律的过程,使学生体会数学是从实践中来,通过学生动手,总结出的规律,印象深刻,便于记忆.5.当堂训练例2 如图, 四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-5,1 )，B(-2,1 ), C(-2,5 ), D(-5,4 ), 分别画出与四边形ABCD关于y 轴和x轴对称的图形.师生活动:教师提出问题,学生独立思考,然后小组交流,学生代表汇报交流结果.解：点(x, y)关于y轴对称的点的坐标为(-x, y), 因此四边形ABCD 的顶点A, B,C, D关于y轴对称的点分别为A′( , ), B′( , ), C′( , ), D′( , ).类似地, 请你在图上画出与四边形ABCD关于x 轴对称的图形.设计意图:利用刚总结的规律,及时训练,让学生印象深刻.练习分别写出下列各点关于x轴和y 轴对称的点的坐标:(-2, 6), (1, -2), (-1, 3), (-4,-2), (1, 0).师生活动:教师提出问题,学生独立思考,然后作答.设计意图:利用刚总结的规律,及时训练,让学生印象深刻.练习如图, △ABO关于x轴对称, 点A 的坐标为(1, -2), 写出点B的坐标.师生活动:教师提出问题,学生独立思考,然后作答.设计意图:利用刚总结的规律,及时训练,让学生印象深刻.练习如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别画出与△ABC 关于x轴和y轴对称的图形.师生活动:教师提出问题,学生独立思考,然后作答.设计意图:利用刚总结的规律,及时训练,让学生印象深刻.6.拓广探索分别作出点△PQR关于直线x =1(记为直线m)和直线y =-1(记为直线n)对称的图形. 你能发现它们的对应点的坐标之间分别有什么关系吗？师生活动:教师提出问题,学生独立思考,然后作答.设计意图:让学生经历探究,观察,亲自动手画图,发现规律的过程,使学生体会数学是从实践中来,通过学生动手,总结出的规律,印象深刻,便于记忆.7.小结（1）经过轴对称变换后的图形与原图形上对应点连线与对称轴有怎样的关系？（2）画一个图形的轴对称图形, 关键步骤是什么？（3）点(x, y)关于坐标轴对称的点的坐标是什么呢？设计意图:引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获,把握本节课的核心,能画出简单平面图形关于给定对称轴的对称图形,利用在平面上一个点关于坐标轴对称点的坐标规律在平面直角坐标系中画出一个图形关于坐标轴对称的图形.8．布置作业教科书第71至第72页习题13.2第1 ，2 ，3, 4，5 题.五、目标检测1.如下图，已知点A和直线L，试画出点A关于直线L的对称点A'.设计意图:让学生进一步巩固画出给定点关于给定条直线对称的图形的方法.2.如下各图，已知线段AB和直线l，试画出线段AB关于直线l的对称线段A'B' . 设计意图:让学生进一步巩固画出给定线段关于给定条直线对称的图形的方法.3.已知△ABC，直线L，画出△ABC关于直线L对称的图形。
23.2.3关于原点对称的点的坐标+课件2024-2025学年人教版数学九年级上册
再见！
探究活动
如图，在直角坐标系中， 作出下列已知点关于原点 的对称点，并写出它们的 坐标。 A(4，0)，B(0，-3)， C(2，1)，D(-1，2)， E(-3，-4)
思考：
①它们的横坐标与横坐标绝对值什么关系？纵坐标与纵 坐标的绝对值又有什么关系？②坐标与坐标之间符号又 有什么特点？
探究活动
A(4，0) B(0，-3) C(2，1) D(-1，2) E(-3，-4)
23.2.3 关于原点对 称的点的坐标
复习回顾
1.已知点A和直线L，如图，请画出点A关于L对称 的点 A′．
2.如图，△ABC绕点C旋转180°，画出旋转后的 图形.
复习回顾
3、点M(－2，1)关于x轴对称的点的坐标是 _(－__2_，__－__1) 点M(－2，1)关于y轴对称的点的坐标是___(2_，__1_)_ 你还记得点关于坐标轴对称的口诀吗？
巩固练习
1、下列各点中哪两个点关于原点O对称？ A（-5，0），B（0，2），C（2，-1），D（2，0）， E（0，5），F（-2，1），G（-2，-1）
2、写出下列各点关于原点对称的对称点A'，B'，C'，D' 的坐标 A（3，1），B（-2，3），C（-1，-2），D（2，-3）
A ' （-3，-1）B ' （2，-3）C ' （1，2） D ' （-2，3）
关于 原点 对称 的点
思考：
①它们的横坐标与横坐标绝对值什么关系？纵坐标与纵 坐标的绝对值又有什么关系？②坐标与坐标之间符号又 有什么特点？
归纳特征 关于原点对称的点的坐标特征
当平面直角坐标系中的两个点关于原点对
称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）
青海省湟川中学第二分校八年级上册数学《12.2.2用坐标表示轴对称》课件(新人教版)
拓展
如图,分别作出点P,M,N关于直线x=1的对称 点, 你能发现它们坐标之间分别有什么关系吗?
· P(-2,4)
y
5
4
x=1
· P’(4,4)
3
· M(-1,1) 2 ’ 1
M’(3,1)
·
x
· · -4
-3
-2
-1
0 -1
-2
12345
N(-3,-2)
N’(5,-2)
,
小结
1. 学习了在平面直角坐标系中，关于x轴和y轴对 称的点的坐标的特点.
用坐标表示轴对称
做一做
在如下图的平面直角坐标系中, 画出下列已知点及其对称点, 并把坐 标填入表格中,看看每对对应点的坐 标有怎样的规律，再和同学们讨论 一下.
y
x
已知点
A(2,－3) B(－1，2) C(－5,－5)
D(4,0)
关于x轴的对称点 A′(2,3) B′( -1,-2) C′( -5,5 ) D′( -4,0 )
关于y轴的对称点 A″( -2,-3 ) B″( 1,2) C″( 5,-5) D″( 4,0 )
归纳
点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(_x__,_－__y) 点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(－__x_,__y_)
例题
例：四边形ＡＢＣＤ的四个顶点的坐标分别是
A(－5，1), B(－2，1), C(－2，5), D(－5，4)，
关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于y轴 对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.
2. 学习了在平面直角坐标系中如何画一个图形关 于x轴或y轴的对称图形
先求出已知图形中的一些特殊点(如多边形的顶点)的对应点的 坐标,描出并连接这些点,就可以得到这个图形的轴对称图形.
画轴对称图形课时练
第202042集
画轴对称图形课时练自主预习与合作探究部分
【一题多变】如图13.2-8所示，图中的小方格都是边长为1 的正方形，△ABC的顶点坐 标分别为A（0，-2），B(3,-1),C(2,1). 请在图中画出△ABC 关于x轴对称的图形△A''B''C''，并写出A''，B''，C''坐标
一个数学小老师
第202042集
画轴对称图形课时练自主预习与合作探究部分
1.由一个平面图形可以得到与它关于一条直线I对称的图形，这个图形与原图形 的_形__状___、__大__小____全相同. 2.新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线1的__对__称__点____ 3.连接任意一对对应点的线段被对称轴__垂__直__平__分____
4.如图13.1.2-14，某镇的两个村A，B均位于河岸I的南面，镇政府决定为两个村通自来水.应在 河岸1上何处建自来水厂P，才能使自来水厂到两个村的距离相等?
5.画出图13.1.2-15中轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴.
一个数学小老师
第202042集
线段垂直平分线的性质与判定课时练达标检测与分层演练部分
第202042集
画轴对称图形课时练自主预习与合作探究部分
【例3】如图13.2-8所示，图中的小方格都是边长为1 的正方形，△ABC的顶点坐标分 别为A（0，-2），B(3,-1),C(2,1). （1）请在图中画出△ABC关于y轴对称的图形△A'B'C'; （2）写出点B'和C'的坐标.
A'(0,2B)'(-3,-1) C'(-2,-1)
《画轴对称图形(2)》名师教案
（）13.2 画轴对称图形（曾昭姣）第二课时用坐标表示轴对称一、教学目标（一）学习目标1．能在直角坐标系中画点关于坐标轴的对称点．2．能表示点关于坐标轴对称的点的坐标；能表示点经历关于x轴、y轴两次轴对称得到的对称点坐标；能表示关于平行于坐标轴的直线的对称点的坐标．3．能用坐标系中的对称知识解决问题，并在学习和解决问题中培养语言表达能力、观察能力、归纳能力，自觉探索的习惯，体验数形结合的思想，体验学习数学的乐趣．（二）学习重点用坐标表示点关于坐标轴对称的点的坐标．★（三）学习难点找对称点的坐标之间的关系．▲二、教学设计（一）课前设计1．预习任务(1)教材图13.2－3是一张老北京城的示意图，其中西直门和东直门是关于中轴线对称的，如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，根据如图所示的东直门的坐标，你能说出西直门的坐标吗？(-3.5，4)(2)如图，△ABC与△DFE关于y轴对称，已知A(－4，6)，B(－6，2)，E(2，1)，则点D的坐标为( B )A．(－4，6) B．(4，6) C．(－2，1) D．(6，2).2．预习自测(1)如图，△ABC与△DFE关于x轴对称，已知A(－4，6)，B(－6，2)，C(－2，1)，则点D、E、F的坐标分别为____________.【知识点】轴对称、点的坐标.【解题过程】观察坐标系中的已知对称图形；利用格点确定(数出)相应点的坐标.【思路点拨】确定对称点，数格点得坐标.【答案】D(－4，－6)，E(－6，－2)，F(－2，－1)(2)在坐标系中描出点A(3，4)及其关于x轴、y轴的对称点A1、A2，并写出A1、A2坐标__________．【知识点】根据点的坐标描点；轴对称；点的坐标．【解题过程】描出点A→作出A关于x轴、y轴的对称点→确定A1、A2坐标．【思路点拨】有坐标网格的坐标系数格子就可以确定点的位置和坐标．【答案】A1(3，－4)、A2(－3，4)．(3)已知l过点(1，0)且平行于y轴，作出点A(－1，2)关于l的对称点A1，并写出A1的坐标_____．【知识点】轴对称；点的坐标．【解题过程】作出A关于直线l的对称点→确定A1坐标．【思路点拨】有坐标网格的坐标系数格子就可以确定点的位置和坐标．【答案】A1(3，2) ．(4) 作出A(－3，4)绕原点旋转180°得到的点A1，并写出A1的坐标_____________．【知识点】根据点的坐标描点；旋转；点的坐标．【解题过程】描出点A→作出A绕原点旋转180°得到的点A1→确定A1坐标．．【思路点拨】以O为圆心，OA为半径作半圆．【答案】(3，－4)．(二)课堂设计1．知识回顾画一个图形的轴对称图形的一般步骤：①过已知点作已知直线的垂线，并确定垂足；②在直线的另一侧，以垂足为一端点，在垂线上作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；③连接通过原图形已知点所作的这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．这个方法可以称为作轴对称图形的“垂线法”．2．问题探究探究一在直角坐标系中画点关于坐标轴的对称点●活动①在直角坐标系中画出下列已知点A(2，－3)；B(－1，2)；C(－6，－5)；D(3，5)；E(4，0)；F(0，－3).师问：怎么描出A点？生答：……师总结：坐标系中描点，应通过对应的横纵坐标轴上的数据作坐标轴的垂线，两垂线的交点即为该点.【设计意图】培养学生语言表达能力；回忆、熟悉、巩固坐标系中点的描法.●活动②画出以上点分别关于x轴和y轴的对称点.师问：怎么作出已知点关于x轴和y轴的对称点．生答：……教师总结：在坐标系中作已知点关于坐标轴的对称点有两种办法，一是利用“垂线法”，二是在有网格的坐标系中直接数格点.【设计意图】培养学生语言表达能力；巩固“垂线法”作对轴称图形；在坐标系中寻求不同于“垂线法”的作轴对称图形的方法．探究二(1)关于坐标轴的对称点▲★●活动①根据探究一的作图，填写表格.已知点A(2，－3) B(－1，2) C(－6，－5) D(3，5) E(4，0) F(0，－3) 关于x轴的对称点(2，3) (-1，-2) (-6，5) (3，-5) (4，0) (0，3) 关于y轴的对称点(-2，-3) (1，2) (6，-5) (-3，5) (-4，0) (0，-3) 仔细观察已知点和其对称点的坐标，探索关于坐标轴对称的点的坐标有什么规律．生答：……教师总结：点关于什么轴对称，则对应坐标不变，另一个变为相反数．【设计意图】通过探究，初步得到坐标系中点关于坐标轴对称的规律；培养学生观察、归纳、探索能力；让学生体验数形结合的思想．●活动②想办法检验你所发现的规律的正确性，说说你是如何检验的．生答：……教师总结：点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，－y），即横坐标相等，纵坐标互为相反数；点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（－x，y），即横坐标互为相反数，纵坐标相等．【设计意图】通过探究，得到坐标系中点关于坐标轴对称的规律；培养学生质疑、求是的科学精神．(2)一个点经历关于x轴、y轴两次轴对称得到的对称点●活动①在坐标系中作出点A(2，－3)关于x轴的对称点A1，又作出A1关于y轴的对称点A2．生：(动手作图)师：(巡视、指导)教师总结：可以利用前述点关于坐标轴的对称规律快速描点．【设计意图】检验学生对新知的运用，巩固新知．●活动②探究点P(x，y)连续经过x轴、y轴对称后得到的点P'的坐标．师问：点P(x，y)连续经过x轴、y轴对称后得到的点P'的坐标是怎样的？学生回答：……师总结：一个点经历关于x轴、y轴两次轴对称得到的对称点的坐标规律是：横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．我们又称这种对称为两个点(图形)关于原点对称．【设计意图】拓展延伸，为后继学习做铺垫．(3)关于平行于坐标轴的直线的对称点的坐标●活动①在坐标系中作出点A关于直线a、b的对称点．生：(动手作图)师：(巡视、指导)教师总结：这个不是关于坐标轴的对称点，可以“垂线法”或“数格点”的办法描点．【设计意图】巩固所学．●活动②探究坐标系中点P(x，y)关于平行于坐标轴的直线a的对称点的坐标规律生讨论：……生答：……教师总结：这种不是关于坐标轴对称的，最好是作图探究，不可停留在“空对空”的思索状态，动手往往比动脑更有实效．【设计意图】综合应用，拓展延伸，培养探究、综合能力，体会数形结合的重要性，为后继学习作铺垫．探究三举例分析●活动①巩固基础【例1】已知A(2，a)，B(－b，4)，分别根据下列条件求a、b的值．(1)A、B关于y轴对称； (2) A、B关于x轴对称；(3) A、C关于x轴对称， B、C关于y轴对称．生：(解答、交流、展示)师：(巡视、指导、点评)【知识点】点与点关于坐标轴对称．【数学思想】数形结合，方程思想．【解题过程】(1)第一步，根据点与点关于y轴对称的关系得到2＋(－b)＝0，a＝4；第二步，求出a＝4，b＝2．(2)第一步，根据点与点关于x轴对称的关系得到2=-b，a+4=0；第二步，求出a=-4，b=-2.(3)第一步，设C(m，n)；第二步，由A、C关于x轴对称得m＝2，a＋n＝0；又由B、C关于y轴对称得n＝4，－b＋m＝0；进而求出a＝－4，b＝2．【思路点拨】展开就近联想，两个点关于坐标轴对称，其坐标对应的是一同一反．如(1) A、B关于y轴对称，说明纵坐标相同，横坐标相反．(2)实际上是两个点(图形)关于原点对称．【答案】(1) a＝4，b＝2；(2) a＝－4，b＝－2；(3) a＝－4，b＝2．【巩固练习1】点P(2，3)关于x轴对称的点为P1，P1关于y轴对称的点为P2．则P2的坐标为( )A. (2，3)B. (2，－3)C. (－2，3)D. (－2，－3)生：(解答、交流、展示)师：(巡视、指导、点评)【知识点】点与点关于坐标轴对称．【数学思想】数形结合．【解题过程】第一步，根据点与点关于x轴对称的关系得到P1(2，－3)；第二步，根据点与点关于y轴对称的关系得到P2(－2，－3)．【思路点拨】展开就近联想，两个点关于坐标轴对称，其坐标对应的是一同一反．步步为营，一环扣一环，结果自然而然就出来了．当然，最好是画图，来得更快．此题实际上是两个点(图形)关于原点对称．【答案】选D．●活动②能力提升【例2】如下图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(－5，1)，B(－2，1)，C(－2，5)，D(－5，4)，分别画出与四边形ABCD关于y轴、x轴对称的图形．生：(解答、作图、交流、展示) 师：(巡视、指导、点评)【知识点】点与点关于坐标轴对称，坐标系中的对称作图． 【数学思想】数形结合．【解题过程】作四边形ABCD 关于y 轴对称的图形，第一步，求四个对称点坐标；第二步，描出四个对称点；第三步，连线．作四边形ABCD 关于x 轴对称的图形，同上.【思路点拨】坐标系中的对称作图，按“求对称点坐标→描点→连线”的方式比较好，如果采用课时1的作图方式则不够精确和简洁． 【答案】如下．【巩固练习2】如下图，四边形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A(－5，1)，B(－2，1)，C(－2，5)，D(－5，4)．(1)画出四边形ABCD 关于原点对称的图形；(2)画出四边形ABCD 关于直线l 对称的图形．生：(解答、作图、交流、展示) 师：(巡视、指导、点评)【知识点】点与点关于原点对称(一个点依次关于x 、y 轴对称)，点与点关于非坐标轴对称． 【数学思想】数形结合．【解题过程】(1)第一步，根据点与点关于原点对称的关系得到对称点坐标；第二步，描点；第三步，连线．(2)同上.【思路点拨】(1)展开就近联想，两个点关于原点对称，其坐标对应的是双反．(2)两个点关于与y 轴平行的直线对称，纵坐标相等，横坐标与直线横坐标之差的绝对值相等. 【答案】如下xyA'D 'B'C '-5AD-5B C-7-6-4-3-2-1-7-6-4-3-2-17654321765432O1 xylA'D 'B'C '-5AD-5B C-7-6-4-3-2-1-7-6-4-3-2-17654321765432O1●活动③ 自主探究【例3】如图，梯形ABCD 关于y 轴对称，点A 的坐标为(－3，3)，点B 的坐标为(－2，0)，试写出点C 和点D 的坐标，并求出梯形ABCD 的面积．【知识点】点与点关于坐标轴对称，坐标系中求图形(梯形)面积，平行于坐标轴的线段长． 【数学思想】数形结合．【解题过程】求出C 、D 坐标→求AD 、BC 的长度→求梯形面积．【思路点拨】平行于x 轴的两点之间的距离等于两点横坐标差的绝对值；求规则图形的面积应选用平行于x 轴(或y 轴)的边为底边，求面积较方便． 【答案】∵点D 与点A(－3，3)关于y 轴对称， ∴点D 的坐标为(3，3)． 同理点C 的坐标为(2，0)．∴AD=|3－(－3)|＝6，BC＝|2－(－2)|＝4，∴S＝(AD+BC)•OE÷2＝(6+4)×3÷2＝15．梯形【巩固练习3】在坐标系中描出点A(－4，5)，B(－5，2)，C(－1，－2)，D(3，2)，E(2，5)，连接AB，BC，CD，DE，EA．①请你判断所得图形是轴对称图形吗？如果不是，请你说明理由；如果是，请说出对称轴；②求这个多边形的面积．【知识点】坐标系中描点；轴对称图形的判断；【数学思想】数形结合．【解题过程】作坐标系→描点→判定是否轴对称及其对称轴→确定面积求法→求面积．【思路点拨】如果图形规则，找准求面积的要素可求；如果图形不规则，可以参照坐标轴割补图形．【答案】如图，是轴对称图形，对称轴是x＝－1，面积是37个平方单位．3. 课堂总结(1)知识梳理①点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，－y），即横坐标相等，纵坐标互为相反数；点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（－x，y），即横坐标互为相反数，纵坐标相等．即两个点关于什么轴对称，则对应坐标不变，另一个变为相反数．②一个点经历关于x轴、y轴两次轴对称得到的对称点的坐标规律是：横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．我们又称这种对称为两个点(图形)关于原点对称．③两个点关于平行于坐标轴的直线对称，最好作图分析．(2)重难点归纳①用坐标表示点关于坐标轴对称的点的坐标．②找对称点的坐标之间的关系，利用方程(组)解决问题．（三）课后作业巩固基础，自主突破1.说出下列各点关于x轴，y轴对称的点的坐标：(－2，6)，(1，－2)，(－1，3)，(－4，－2)，(1，0)．【知识点】点与点关于坐标轴对称．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】按点与点关于坐标轴对称的关系依次写出即可．【思路点拨】两个点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标相反；关于y轴对称，横坐标相反，纵坐标不变．【答案】2.平面直角坐标系中，点P(4，－5)关于x轴的对称点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【知识点】点与点关于坐标轴对称；象限内点的坐标符号．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】第一步，求出P关于x轴的对称点P ' (4，5)；第二步，确定P '所在象限．【思路点拨】两个点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标相反；四个象限内点的坐标符号依次为(正，正)，(负，正)，(负，负)，(正，负)．【答案】A．3.已知点P(－2，3)关于y轴对称的点为Q(a，b) ，则a＋b的值为( )A.1B.－1C.5D. －5【知识点】点与点关于坐标轴对称；方程．【数学思想】数形结合思想；方程思想．【解题过程】第一步，求出P关于y轴的对称点Q (2，3)，即a＝2，b＝3；第二步，求出a ＋b＝5．【思路点拨】两个点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标相反．【答案】C．4. 点P(a，b)关于x轴对称的点为P1，P1关于y轴对称的点为P2．则P2的坐标为( )A. (a，b)B. (a，－b)C. (－a，b)D. (－a，－b)【知识点】点与点关于坐标轴对称．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】第一步，求出P关于x轴的对称点P1(a，－b)；第二步，求出P1关于y轴的对称点P2(－a，－b)．【思路点拨】两个点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标相反；两个点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标相反．【答案】D．5.若点(a，b)与点(m，n)满足a＋m＝0，b－n＝0，则这两点关于( )对称．A.x轴B.y轴C.x轴或y轴D.不确定【知识点】点与点关于坐标轴对称，方程．【数学思想】数形结合思想，方程思想．【解题过程】第一步，由a＋m＝0，b－n＝0得到，两个点的横坐标相反，纵坐标相等；第二步，逆用“两点关于坐标轴对称关系”得到两点关于y轴对称．【思路点拨】顺向分析：如果关于x轴对称，会怎样?如此逐个分析．逆向分析，由方程变形得到a与m，b与n的数量关系，再对照“两点关于坐标轴对称关系”得到结果．【答案】B．6.已知点P(a＋1，2a－3)关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是()A.1a<- B.312a-<< C.312a-<< D.32a>【知识点】不等式组．【数学思想】数形结合思想，方程思想．【解题过程】第一步，确定P点的坐标符号，得到不等式组；第二步，解不等式组．【思路点拨】第一象限内点的坐标符号是怎样的？【答案】B．交流合作，能力拓展7. 已知点P(－1－2a，5)关于x轴的对称点和点Q(3，b)关于y轴的对称点相同，则A(a，b)关于x轴对称的点的坐标为()A.(1，－5)B.(1，5)C.(－1，5)D.(－1，－5)【知识点】点与点关于坐标轴对称，方程组．【数学思想】方程思想．【解题过程】第一步，确定P点和Q点的坐标；第二步，得方程组；第三步，解方程组，得A点；第四步，求A的对称点．【思路点拨】两个点关于x轴、y轴对称，其坐标是怎样的？【答案】B．8.已知点P(x＋1，2x－1)关于x轴对称的点在第一象限，则化简：|x＋2|－|1－x|＝___________．【知识点】点与点关于坐标轴对称，象限内点的坐标符号，不等式组，去绝对值符号．【数学思想】数形结合，不等式思想．【解题过程】第一步，确定P点对称点的符号；第二步，列不等式组；第三步，解不等式组，求出x的取值范围；第四步，去绝对值符号，化简所求代数式．【思路点拨】第一象限内的点的坐标符号是怎样的？怎样去绝对值符号？【答案】2x＋1．合作探究，多维突破9. 已知点A(a＋2b，1)，B(－2，2a－b)．①若点A、B关于x轴对称，求a、b 的值；②若点A、B关于y轴对称，求a＋b的值．【知识点】点与点关于坐标轴对称，方程组．【数学思想】方程思想．【解题过程】第一步，确定A、B横纵坐标的数量关系；第二步，列方程组；第三步，解方程组，求出a、b的值；第四步，解决新问题．【思路点拨】点与点关于坐标轴对称，横纵坐标的关系是怎样的？【答案】①4,53.5ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩②4,53.5ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩75a b+=10.如图，在平面直角坐标系中，直线l过点M(3，0)，且平行于y轴．①如果△ABC三个顶点的坐标分别是A(－2，0)，B(－1，0)，C(－1，2)，△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2的三个顶点的坐标；②如果点P的坐标是(－a，0)，其中a＞0，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求PP2的长．【知识点】点与点关于坐标轴对称，两个点关于平行于坐标轴的直线的对称．【数学思想】数形结合，分类思想．【解题过程】①第一步，确定△A1B1C1各点坐标；第二步，作出△A2B2C2；第三步，确定△A2B2C2各点坐标．②略【思路点拨】点与点关于坐标轴对称，两个点关于平行于坐标轴的直线的对称，横纵坐标的关系是怎样的？【答案】①(1)A2(4，0)，B2(5，0)，C2(5，2)；②如果0＜a≤3，那么点P1在线段OM上．PP2＝PP1＋P1P2＝2OP1＋2P1M＝2(OP1＋P1M)＝2OM＝6．如果a＞3，那么点P1在点M的右边．PP2＝PP1－P1P2＝2OP1－2P1M＝2(OP1－P1M)＝2OM＝6.故PP2的长是6．作业自助餐1. 已知点A(2，3)，则点A关于x轴的对称点的坐标为()A．(3，2) B．(2，－3) C．(－2，3) D．(－2，－3)【知识点】点与点关于坐标轴对称．【数学思想】数形结合．【解题过程】直接利用点与点关于坐标轴对称的关系得到对称点坐标，抑或作图可得．【思路点拨】点与点关于坐标轴对称，两个点横纵坐标的关系是怎样的？【答案】B．2. 平面内点A(－2，2)和点B(－2，6)的对称轴是()A．x轴 B．y轴 C．直线y＝4 D．直线x＝－2【知识点】点与点关于平行于坐标轴的直线对称．【数学思想】数形结合．【解题过程】作图，确定坐标．【思路点拨】作图．【答案】C．3.如图，以正方形ABCD的中心O为原点建立平面直角坐标系，点A的坐标为(－2，－2)，则B、C、D的坐标分别为________________________________．【知识点】正方形的对称性，点与点关于坐标轴对称．【数学思想】数形结合．【解题过程】作图可得，确定．【思路点拨】作图，对称点，求坐标．【答案】(2，－2) 、 (2，2) 、 (－2，2)．4.点P(－4，1)关于过点(－2，0)且平行于y轴的直线的对称点的坐标为_____________．【知识点】点与点关于平行于坐标轴的直线对称．【数学思想】数形结合．【解题过程】作图，确定坐标．【思路点拨】作图．【答案】(0，1)．5. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A1(2，5)关于y轴的对称点为A2，点A2关于x轴的对称点为A3．①画出△A1A2A3，并求△A1A2A3的面积；②如果将△A1A2A3沿着直线y＝－5翻折可得到△B1B2B3，请写出B1，B2，B3的坐标．【知识点】点与点关于坐标轴对称．【数学思想】数形结合．【解题过程】确定坐标，作图，求面积．【思路点拨】作图．【答案】① ，20.②点A 1(2，5)关于y ＝－5对称的点B 1的坐标为(2，－15)； 点A 2(－2，5)关于y ＝－5对称的点B 2的坐标为(－2，－15)；点A 3(－2，－5)关于y ＝－5对称的点B 3的坐标为(－2，－5)．6如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A(0，1)，B(3，2)，C(1，4)均在正方形网格的格点上．①画出△ABC 关于x 轴的对称图形△A 1B 1C 1；②将△A 1B 1C 1沿x 轴方向向左平移3个单位后得到△A 2B 2C 2，写出顶点A 2，B 2，C 2的坐标． 【知识点】点与点关于坐标轴对称，坐标系中图形的平移． 【数学思想】数形结合．【解题过程】确定点的坐标，作图． 【思路点拨】作图． 【答案】解：①如图所示：△A 1B 1C 1即为所求．②如图所示，△A 2B 2C 2即为所求，点A 2(－3，－1)，B 2(0，－2)，C 2(－2，－4)．。
用坐标表示轴对称
1.如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标 的特点，分别作出△ABC关于X轴和y 轴对 称的图形。
5 4
C（-3,2）
3 2
B`（-1,1）
C``（3,2）
·
A（-４,1）
1 1
A``（４,1）
·
-4
A`（-４,-1）
-3
-2
-1
B（-1,-1）
0 -1 -2 -3 -4
B``（1,-1）
·
2
3
4
5
C`（-3,-2）
关于x轴的对称点 A′(2,
画出已知点及其关于y轴的对称点,并把坐标填入表格中
y
B E″ D″
B″ D E
x
两点关于Y轴对称时,纵坐标相 A A″ 同,横坐标互为相反数
C 已知点 C″
你能说出这 些点关于y 轴对称点的 坐标关系吗？
A（2，－3）B（－1，2）C（－6，－5）D（0.5，1） E（4，0）
5 4
A(-2,2) C’(-4,1)
·
·
3 2 1 1
B(2,0)
2 3
-4 y=-1
-3
-2
-1 0 -1 -2 -3 -4
C(-4,-3) A’(-2,-4)
· ·
· B’(2,-2) ·
4
5
1、在平面直角坐标系中，点P（-1，3）与点P1 （3，3）可以看成关于直线 X=1 轴对称； 2、在平面直角坐标系中，点P（-1，3）与点P2 （-1，-5）可以看成关于 直线y=-1 轴对称；
2. 若点C（-2，-3）关于x轴的对称点为A，关 于y轴的对称点为B，则△ABC的面积为 12 。 1 m<3.当m 时，点 y P（2m+1，m-3）关于y轴 2 A（-2，3） 的对称点在第四象限。 4.如图圆心O1，O2都在x轴上的两圆相交于A 点P关于y轴对称的点的坐标是 （2，1.5）与 B点，则B点的坐标为 。 （2，-1.5） （-2m-1，m-3） x y -2m-1>0 A B C m-3<0 （2，-3） （-2，-3） · · O1 x O2 B
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·
y
5 4 3 2 1
关于x轴的对称点 C(6， 5) 关于y轴的对称点 C(6， 5)
· C( 6， 5)
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 -5
1 2 3 4 5 6
x
C(6， 5)
·
y
5 4 3 2
1 D( ， 1) 2 1
-4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4
D( 1 ，1)
2
E(4，0)
x
已知点 y
5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 1 2 3 4 5
A(2， 3)
关于x轴的对称点
A( 2， 3)
·
A( 2， 3)
关于y轴的对称点 A( 2， 3)
x
A( 2， 3) -4
·
A(2， 3) ·
E(4， 0)
·
E(4， 0)
1 2 3 4 5
-4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4
·ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x E(4， 0)
关于 x 轴对称的点的坐标的特点 是: 横坐标相等，纵坐标互为相反数.
关于 y 轴对称的点的坐标的特点 是: 横坐标互为相反数，纵坐标相等.
已知点 y
5 4 B( 1， 2) 3 2 1
B( 1， 2)
关于x轴的对称点 B( 1， 2) 关于y轴的对称点
B(1， 2)
·· ·
-4
B(1， 2)
x
-4 -3 -2 -1 0 -1 -2 B(1， 2) -3
1 2 3 4 5
已知点
C( 6， 5)
C(6， 5)
在如图的平面直角坐标系中，画出下列已知点及其 关于坐标轴的对称点，并把他们的坐标填入表格中， 看看每对对称点的坐标有怎样的规律，在和同学讨 论一下． y 已知点 A(2, – 3) B( –1，2)
5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 5
C(– 6， – 5)
· · · 1 D( ， 1)
2
1 D( ， 1) 2
1 D( ， 1) 2 关于x轴的对称点 1 D( ， 1) 2 1 关于y轴的对称点 D( ， 1) 2
已知点 x
1 2 3 4 5
已知点 y
5 4 3 2 1
E(4， 0) E(4， 0)
关于x轴的对称点
关于y轴的对称点 E( 4， 0)